Géométrie. 1 Exercices de préparation. Certains exercices ont été repris sur les site Les maths libres.

Transcription

1 Géométrie 1 Exercices de préparation Certains exercices ont été repris sur les site Les maths libres. Exercice 1 (Les maths libres). La figure ci-dessous représente un trapèze rectangle ABC D tel que : AB = 12 cm ; CD = 9 cm ; BC = 5 cm. D C A H B 1. H est le pied de la hauteur issue de C. (a) Montrer que HB = 3 cm. (b) Calculer C H. (c) Déduire que le périmètre de ABCD est égal à 30 cm. 2. Calculer la mesure de l angle ABC au degré près. 3. Représenter sur la copie la figure aux dimensions réelles. 4. La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Compléter la figure. 5. Calculer BM.

2 Exercice 2 (Les maths libres). Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour chacune d elles, déterminer la mesure de l angle ABC. Exercice 3 (Les maths libres). Un marionnettiste doit faire un spectacle sur le thème de l ombre. Pour cela il a besoin que sa marionnette de 30 cm ait une ombre de 1,2 m. La source de lumière C est située à 8 m de la toile (AB). La marionnette est représentée par le segment [DE]. 1. Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 2. Calculer EC pour savoir où il doit placer sa marionnette. Exercice 4 (Les maths libres). Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la défense des Etats-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. 2

3 Il est représenté par le schéma ci-contre. B C M O A D E 1. Calculer la mesure de l angle AOB. 2. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. (a) Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de AOB et la médiatrice de [AB]. (b) Prouver que [AM] mesure environ 140 m. (c) En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone. Exercice 5 (Les maths libres). On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l angle B AC mesure 50 et AB est égal à 5 cm. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté (C), en un autre point M. 1. Quelle est la mesure de l angle B AM? Aucune justification n est demandée. 2. Quelle est la nature du triangle B AM? Justifier. 3. Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près. 4. La droite (BO) coupe le cercle (C) en un autre point K. Quelle est la mesure de l angle BKC? Justifier. 3

4 Exercice 6 (Les maths libres). La ville BONVIVRE possède une plaine de jeux bordée d une piste cyclable. La piste cyclable a la forme d un rectangle ABCD dont on a «enlevé trois des coins». Le chemin de G à H est un arc de cercle; les chemins de E à F et de I à J sont des segments. Les droites (EF ) et (AC) sont parallèles. Quelle est la longueur de la piste cyclable? Justifier la réponse. Exercice 7 (Les maths libres). Teiki se promène en montagne et aimerait connaître la hauteur d un Pinus (ou Pin des Caraibes) situé devant lui. Pour cela, il utilise un bâton et prend quelques mesures au sol. Il procède de la façon suivante : Il pique le bâton en terre, verticalement, à 12 mètres du Pinus. La partie visible (hors du sol) du bâton mesure 2 m. Teiki se place derrière le bâton, de façon à ce que son il, situé à 1,60 m au dessus du sol, voie en alignement le sommet de l arbre et l extrémité du bâton. Teiki marque sa position au sol, puis mesure la distance entre sa position et le bâton. Il trouve alors 1,2 m. On peut représenter cette situation à l aide du schéma ci-dessous : Quelle est la hauteur du Pinus au-dessus du sol? Exercice 8 (Les maths libres). Sur le dessin ci-contre, les points A, B et E sont alignés, et C le milieu de [BD]. 1. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 4

5 2. En déduire la nature du triangle BDE. 3. Calculer ED. Arrondir le résultat au dixième. Exercice 9 (Les maths libres). En se retournant lors d une marche arrière, le conducteur d une camionnette voit le sol à 6 mètres derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu il regarde en arrière. 1. Calculer DC. 2. En déduire que ED = 1,60 m. 3. Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir? Expliquer. Exercice 10. On considère un triangle équilatéral ABC de 6 cm de côté avec : E est un point de [AB] N est un point de [AB] F est un point de [AC] Q est un point de [AC] R est un point de [BC] M est un point de [BC] AE = AF = CQ = CR = BM = BN = 2 cm. Quelle est la nature du polygone EFQRMN? Justifier. Exercice 11. EFGH et F KGH sont deux parallélogrammes. Démontrer que F est le milieu de [EK ]. Exercice 12. Soit ABC un triangle tel que : AB = 14, AC = 13 et BC = 15. Soit H le pied de la hauteur du triangle ABCissue de C. À tout point K du segment [AH], on associe le rectangle K LMN inscrit dans le triangle ABC tel que les points L et M appartiennent respectivement aux segments [AC] et [BC] 5

6 C L M A K H N B On cherche la position du point K sur le segment [AH] pour laquelle K LMN est un carré. On admet que cette position existe et est unique. 1. Montrer que AH = 5 et C H = La figure suivante est réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique, le point K étant mobile sur [AH]. KN KL Le logiciel permet un relevé des valeurs de K L et de K N lorsque K varie sur [AH] et fournit une représentation graphique des variations de K N en fonction de K L. (a) On peut constater que cette représentation graphique est limitée par les points de coordonnées (12, 0) et (0, 14). Pourquoi était-ce prévisible? (b) À l aide du graphique précedent, déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de la longueur K N pour laquelle K LMN est un carré. Justifier. 3. (a) Exprimer AK et BN en fonction de K L. (b) En déduire que K N = K L. 4. Quelle est la position exacte du point K sur le segment [AH] pour laquelle K LMN est un carré? 6

7 Exercice 13. On considère la figure ci-dessous constituée d un cercle C passant par les sommets A et B d un carré ABCD de côté a et par le sommet E d un triangle équilatéral EDC extérieur au carré. L objectif de cet exercice est de détermnier le rayon et le centre O du cercle C. E D C A B 1. Soit A le point d intersection, autre que A, du cercle et de la droite (AD). Démontrer que les points A, O et B sont alignés. 2. Soit d la médiatrice du segment [AB]. (a) Démontrer que le point E appartient à la droite d. (b) Proposer une méthode de construction de la droite d utilisant uniquement la règle non graduée. (c) Démontrer que le point O appartient à la droite d. (d) Proposer une méthode de construction du point O utilisant uniquement la règle non graduée. 3. Quelle est la nature des triangles ED A et EOA? En déduire que D AO = 30 degrés. 4. Quelle est la nature du triangle AOB? En déduire la longueur du rayon du cercle. 2 Exercices de concours Exercice 14 (Sujet 2015, exercice 3). Dans cet exercice, on prendra 1 cm comme unité de longueur. On considère un trapèze ABF E rectangle en A et B, c est-à-dire tel que les droites (AE) et (BF ) sont perpendiculaires à la droite (AB), et tel que AB = 14, AE = 3 et BF = 9. Le point M pour laquelle la valeur de E M + MF est minimale. 1. Construire le trapèze ABF E et le point G, symétrique du point F par rapport à la droite (AB). 2. On appelle P l intersection des droites (AB) et (EG). Montrer que pour tout point M de [AB], nous avons E M + MG EP + PG. 3. Déduire de la question précédente que la valeur E M + MF est minimale lorsque M est placé en P. 7

8 AP (a) Montrer que 14 AP = 3 9. (b) Calculer AP. 4. Calculer la valeur minimale de E M + MF. En donner la valeur exacte en cm et la valeur arrondie au dixième. Exercice 15 (Sujet 2014, extrait du problème). Dans ce problème, on s intéresse à différentes méthodes de calcul ou d estimation de l aire de certains quadrilatères. I. Chez les Mayas Les civilisations anciennes utilisaient divers procédés pour estimer les aires des champs. Les Mayas, par exemple, estimaient l aire d un quadrilatère en calculant le demi-produit des longueurs des diagonales. d D Aire D d Justifier que cette estimation Maya donne la valeur exacte de l aire d un carré de côté a. 2. On considère un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 3 cm. La formule Maya donnet-elle la valeur exacte de l aire de ce rectangle? II. Chez les indiens On dit qu un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si ses quatre sommets sont des points de ce cercle. C est le cas du quadrilatère ci-contre. Brahmagupta, mathématicien indien du VIIe siècle, a établi une formule donnant l aire d un tel quadrilatère lorsqu il est non croisé : S = (p a)(p b)(p c)(p d) où a, b, c et d sont les longueurs des côtés du quadrilatère et p est son demi-périmètre. 1. Étude d une configuration particulière a) Construire un cercle Γ et deux points A et C diamétralement opposés sur ce cercle. Placer un point B sur le cercle Γ distinct des points A et C. Construire le point D, symétrique du point B par rapport à la droite (AC). Laisser apparents les traits de construction. b) Justifier que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans le cercle Γ. c) Exprimer l aire du quadrilatère ABCD en fonction des longueurs AB et BC en utilisant la formule de Brahmagupta. On admettra que le quadrilatère ABCD est non croisé. d) Retrouver l expression précédente de l aire du quadrilatère ABCD par une autre méthode. 2. Étude d une autre configuration particulière : le rectangle 8

9 a) Justifier qu un rectangle est inscriptible dans un cercle. b) À l aide de la formule de Brahmagupta, retrouver l expression usuelle de l aire d un rectangle de longueur et de largeur. 3 Solutions des exercices Solution de l exercice 1 La figure ci-dessous représente un trapèze rectangle ABC D tel que : AB = 12 cm ; CD = 9 cm ; BC = 5 cm. 1. H est le pied de la hauteur issue de C. (a) Montrer que HB = 3 cm. HB = AB AH = AB CD = 12 9 = 3 cm (b) Calculer C H. Dans le triangle HBC rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, B H 2 + HC 2 = BC HC 2 = HC 2 = 25 HC 2 = 16 HC = 4 cm (c) Déduire que le périmètre de ABCD est égal à 30 cm. P ABCD = = 30 cm 2. Calculer la mesure de l angle ABC au degré près. Dans le triangle HBC rectangle en H, cos( HBC) = HB BC cos( HBC) = 3 5 D après la calculatrice, HBC 53ř. Comme ABC = HBC, on a ABC 53ř. 9

10 3. Représenter sur la copie la figure aux dimensions réelles. 4. La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Compléter la figure. Voir figure. 5. Calculer BM. H est sur (B A). M est sur (BC). (HM) // (AC). D après le théorème de Thalès, B H B A = BM BC = HM AC 3 12 = BM = BM 5 BM = 5 4 Solution de l exercice 2 Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour chacune d elles, déterminer la mesure de l angle ABC. 10

11 Figure 1 : Le triangle ABC est un demi-triangle équilatéral, alors ABC = 60 2 = 30ř. Figure 2 : C est un point du cercle de diamètre [AB]. Alors, le triangle ABC est rectangle en C. B AC = 59ř ABC = 31ř Figure 3 : ABCDE est un pentagone régulier, alors AOB = = 72ř. Dans le triangle AOB isocèle en O, OB A = B AO = = 54ř 2 D où ABC = 2 OB A = 108ř. Solution de l exercice 3 Un marionnettiste doit faire un spectacle sur le thème de l ombre. Pour cela il a besoin que sa marionnette de 30 cm ait une ombre de 1,2 m. La source de lumière C est située à 8 m de la toile (AB). La marionnette est représentée par le segment [DE]. 1. Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Les deux droites sont perpendiculaires à une même droite. Elles sont donc parallèles. 11

12 2. Calculer EC pour savoir où il doit placer sa marionnette. D est sur (C A). E est sur (CB). (DE) // (AB). D après le théorème de Thalès, CD C A = CE CB = DE AB CD C A = CE 8 = 0,3 1,2 CE 8 = 1 4 CE = 2 m Solution de l exercice 4 1. Calculer la mesure de l angle AOB. Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la défense des Etats-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre. ABCDE est un pentagone régulier. D où l angle au centre AOB = = 72ř. 2. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. (a) Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de AOB et la médiatrice de [AB]. Le triangle AOB est isocèle en O. La hauteur issue de O est son axe de symétrie. (OM) est aussi la bissectrice de AOB et la médiatrice de [AB]. (b) Prouver que [AM] mesure environ 140 m. Dans le triangle AOM rectangle en M, sin( AOM) = AM AO sin(36) = AM 238 AM = 238sin(36) AM 140 m (c) En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone. 12

13 AM = 140 m donc AB = 2A = 280 m. P ABCDE = 5AB = = 1400 m Solution de l exercice 5 On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l angle B AC mesure 50 et AB est égal à 5 cm. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté (C), en un autre point M. 1. Quelle est la mesure de l angle B AM? Aucune justification n est demandée. B AM = B AC 2 = 50 2 = Quelle est la nature du triangle B AM? Justifier. Le triangle B AM est inscrit dans le cercle de diamètre [AM]. Le triangle B AM est rectangle en B. 3. Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près. Dans le triangle ABM rectangle en B, cos( B AM) = AB AM cos(25) = 5 AM AM cos(25) = 5 5 AM = cos(25) 4. La droite (BO) coupe le cercle (C) en un autre point K. Quelle est la mesure de l angle BKC? 13

14 Justifier. Les angles inscrits BKC et B AC interceptent le même arc BC. Alors BKC = B AC = 25ř Solution de l exercice 6 Dans cet exercice, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. La ville BONVIVRE possède une plaine de jeux bordée d une piste cyclable. La piste cyclable a la forme d un rectangle ABCD dont on a «enlevé trois des coins». Le chemin de G à H est un arc de cercle; les chemins de E à F et de I à J sont des segments. Les droites (EF ) et (AC) sont parallèles. Quelle est la longueur de la piste cyclable? Justifier la réponse. Calculons EF. E est sur (B A). F est sur (BC). (EF ) // (AC). D après le théorème de Thalès, BE B A = BF BC = EF AC = EF = EF 312 EF = 52 Calculons BC. Dans le triangle B AC rectangle en B, d après le théorème de Pythagore, AB 2 + BC 2 = AC 2 14

15 BC 2 = BC 2 = BC = 120 Calculons BF. Le triangle BF E est une réduction du triangle BC A de coefficient 1 6. BF = 1 6 BC = = 20 6 Calculons GC. GC = BC BF FG = = 48 Calculons I J. Dans le triangle DI J rectangle en D, d après le théorème de Pythagore, I D 2 + D J 2 = I J = I J 2 I J 2 = 6025 I J 77,6 Calculons AE. AE = AB BE = = 240 Calculons I H. I H = DC DI HC = = 211 Calculons AJ. AJ = AD D J = = 48 Conclusion. P = AE + EF + FG +GH + H I + I J + J A P = π , P = 756 m 15

16 Solution de l exercice 7 Teiki se promène en montagne et aimerait connaître la hauteur d un Pinus (ou Pin des Caraibes) situé devant lui. Pour cela, il utilise un bâton et prend quelques mesures au sol. Il procède de la façon suivante : Il pique le bâton en terre, verticalement, à 12 mètres du Pinus. La partie visible (hors du sol) du bâton mesure 2 m. Teiki se place derrière le bâton, de façon à ce que son il, situé à 1,60 m au dessus du sol, voie en alignement le sommet de l arbre et l extrémité du bâton. Teiki marque sa position au sol, puis mesure la distance entre sa position et le bâton. Il trouve alors 1,2 m. On peut représenter cette situation à l aide du schéma ci-dessous : Quelle est la hauteur du Pinus au-dessus du sol? M est sur (AB). N est sur (AC). (MN) // (BC). D après le théorème de Thalès, AM AB = AN AC = MN BC 1,2 13,2 = 0,4 BC 0,4 13,2 BC = 1,2 BC = 4,4 IL reste à ajouter le hauteur de l il. 4,4 + 1,6 = 6 m. La hauteur du Pinus est de 6 m. 16

17 Solution de l exercice 8 Sur le dessin ci-contre, les points A, B et E sont alignés, et C le milieu de [BD]. 1. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. Dans le triangle B AC, [AC] est le plus grand côté. Testons la relation de Pythagore : AB 2 + BC 2 = AC 2. AC 2 = 5 2 = 25 AB 2 + BC 2 = = = 25 Comme AB 2 + BC 2 = AC 2, le triangle B AC est rectangle en B. 2. En déduire la nature du triangle BDE. Les points A, B et E sont alignés. le triangle DE est donc rectangle en B. 3. Calculer ED. Arrondir le résultat au dixième. Dans le triangle BDE rectangle en B, d après le théorème de Pythagore, DB 2 + BE 2 = DE = DE 2 DE 2 = DE 2 = 85 DE = 85 DE 9,2 Solution de l exercice 9 En se retournant lors d une marche arrière, le conducteur d une camionnette voit le sol à 6 mètres derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu il regarde en arrière. 17

18 1. Calculer DC. B est sur (C A). D est sur (CE). (BD) // (AE). D après le théorème de Thalès, CB C A = CD CE = BD AE CB C A = CD 6 = 1,1 1,5 CD 6 = CD = 66 CD = 4,4 m 2. En déduire que ED = 1,60 m. ED = CE CD = 6 4,4 = 1,60 m 3. Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir? Expliquer. La fillette se trouverait dans le trapèze invisible ABDE. Le conducteur ne peut la voir. 18