29 Espaces euclidiens

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1 29 Espaces euclidiens Sauf mention du contraire, les espaces R n sont munis de leur structure euclidienne canonique 29. espaces vectoriels euclidiens Exercice 563 Soit R 2 muni de la forme ( ) φ : (x, y),(x, y ) 2xx + 3x y + 3x y + 5y y φ définit-elle un produit scalaire sur R 2? Exercice 564 Les formes suivantes, sur E = R 2 [X], définissent-elles des produits scalaires?. : (p, q) p( )q( ) + p(0)q(0) + p(2)q(2) 2. ψ : (p, q) 0 p(t)q(t)dt Dans le cas où une forme est un produit scalaire, calculer inf{ p q /p = 2X 2 X 3, q R [X]} Exercice 565 Soit E = C ([0,2],R). Question 565. Les formes suivantes définies sur E sont-elles des produits scalaires?. : (f, g ) 0 f (t)g (t)dt 2. 2 : (f, g ) 2 0 f (t)g (t)dt 3. 3 : (f, g ) 2 f (t)g (t)dt 4. 4 : (f, g ) 2 0 t f (t)g (t)dt Question En identifiant polynôme et fonction polynomiale, R 2 [X] est assimilé à un sous-espace F de dimension finie de E. Trouver une base orthonormale de F dans le cas où j est un produit scalaire. Exercice 566 E est le sous-espace de C (R, R) engendré par B = {cos, sin, }. Montrer que 2π (f, g ) f (t)g (t)dt définit un produit scalaire sur E. B est-elle une base orthonormale? Exercice 567 Calculer. inf (a,b) R 2 0 (t 2 at b) 2 dt 2. inf (a,b) R 2 0 t 2 (ln t at b) 2 dt 0 Indication : Dans chaque cas on définira un espace vectoriel euclidien dans lequel la borne inférieure sera interprétée comme une distance. 03

2 Exercice 568 Soit E = M n (R) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n. La trace est la forme linéaire sur E définie pour toute matrice A = (a j,k ) 0 j n par : 0 k n tr(a) = a j,j 0 j n Vérifier que pour toutes matrices A et B dans E tr(ab) = tr(ba) Pour toutes matrices A et B dans E, nous posons : (A,B) = tr( t BA). Démontrer que définit un produit scalaire sur E. La norme associée à est définie par A = (A,A). Démontrer que BA A B Exercice 569 On considère les endomorphismes de l espace euclidien R 3 dont la matrice dans la base canonique est : , , , 2 2, , 0 0, Déterminer la nature (et les caractéristiques) de ces endomorphismes. Exercice 570 Soient a, b et c dans R 3. Question 570. Vérifier : a ( b c) = ( a c) b ( a b) c Question Déterminer le noyau de x ( a. b) x + ( a x) b Exercice 57 Question 57. Dans E, espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, r est la rotation d axe D, orienté par u, d angle θ. Montrer que pour tout vecteur x : r (x) = ( cos(θ)) x.u sin(θ) u + cos(θ) x + u 2 u u x Question 57.2 En déduire : r (x) r (x) = 2 sin(θ) u u x 04

3 Exercice 572 Soit f un automorphisme orthogonal d un espace vectoriel euclidien E de dimension 3. Démontrer que (u, v) E 2, f (u) f (v) = det(f )u v Exercice 573 Soient, dans l espace muni de la base orthonormée (e,e 2,e 3 ), les rotations r d axe orienté par e, d angle θ et r 2 d axe orienté par e 2 d angle θ. Déterminer r 2 r. Exercice 574 (Olinde Rodrigue) Soit r une rotation de l espace de dimension 3, d angle θ dont l axe D est orienté par le vecteur w. Soit u un vecteur orthogonal à w et v = w w u. Ainsi (u, v, w) est une base orthogonale telle que u = v.. Calculer 2 (r (u) r (u)) et 2 (r (u) + r (u)). 2. Soit la rotation r de l espace R 3 muni de sa structure euclidienne canonique, de matrice A : A = Utiliser les formules précédentes pour déterminer un vecteur w qui oriente l axe puis cos(θ) et sin(θ). 3. Soit ζ un vecteur n appartenant pas à D. Démontrer que r (ζ) r (ζ) est orthogonal à ζ et à w. 4. En déduire que, si w est unitaire : r (ζ) r (ζ) = 2sin(θ)w ζ Géométrie affine euclidienne Exercice 575 Dans l espace euclidien R 3, muni de la base et du produit scalaire canonique, calculer l expression analytique de la réflexion de plan P d équation x + y z = 3. Exercice 576 Dans l espace, déterminer la symétrique de la droite passant par A(0,4,3) et de direction u(4, 3,) par rapport au plan P d équation x + y z = 3. Exercice 577 Dans le plan euclidien, soit D la droite d équation 5x 6y = 0. Calculer l expression analytique de la réflexion s d axe D. Exercice 578 Dans le plan, soit D la droite d équation 5x 6y 9 = 0. Calculer l expression analytique de la réflexion d axe D. Déterminer les images de la droite d équation x 2y + 3 = 0 et du cercle d équation 3x 2 + 3y 2 + 6x 8y = 0 par cette réflexion. Exercice 579 L espace euclidien orienté est muni d une base directe (e,e 2,e 3 ). Calculer la matrice de la rotation d axe orienté par e 2 + e 3 et d angle θ. Exercice 580 Dans l espace euclidien R 3 euclidien usuel, déterminer la matrice du retournement d axe = (,2,3). 05

4 Exercice 58 Soit P le plan d équation : 2x + 4y 3z 5 = 0. Calculer l expression analytique de la réflexion de plan P. Déterminer l image par la réflexion du plan d équation 5x + y 6z + 2 = 0 et de la droite donnée par le repère (A, u) où A a pour coordonnées (9, 9,5) et u, (2,, 3). Exercice 582 Soit D la droite de l espace, contenant le point A de coordonnées ( 3,, 2) et de direction le vecteur (, 2, 2). Calculer l expression analytique du retournement d axe D. Exercice 583 Dans l espace (affine ou vectoriel), soient s une réflexion de plan P, r une rotation d axe d angle θ. Déterminer r s r. Généraliser. Exercice 584 Déterminer la nature de l application affine f de l espace dans lui même donnée par :. x = y + y = z 2 z = x x = 9 ( 8x + 4y + z) + y = 9 (4x + 7y + 4z) z = 9 (x + 4y 8z) 3. x = 7 (3x + 2y 6z) + y = 7 (2x + 6y + 3z) z = 7 ( 6x + 3y 2z) + 2 Exercice 585 Dans le plan orienté, soit ABC un triangle équilatéral et r, r 2, r 3 les rotations d angle π 3 de centres respectifs A, B, C. Déterminer r 3 r 2 r. Exercice 586 Soient quatre points A, B, C, D du plan, étudier le produit, dans cet ordre, des symétries par rapport aux droites (AB), (BC), (CD), (DA) dans le cas où les points sont cocycliques. Exercice 587 Dans le plan, on note s M la symétrie par rapport au point M. On considère un triangle A 0 B 0 C 0 et on définit A B C = s AO (A 0 B 0 C 0 ), A 2 B 2 C 2 = s B (A B C ), A 3 B 3 C 3 = s C2 (A 2 B 2 C 2 ), etc. Montrer que : s C5 s B4 s A3 s C2 s B s A0 = Id Exercice 588 Soit ABC un triangle du plan, α, β et γ les bissectrices intérieures issues respectivement de A, B et C. À tout point M, on associe les droites s α (AM), s β (BM), s γ (CM). Montrer que ces droites sont concourantes. Vrai pour tout ensemble de trois bissectrices concourantes. 06

5 A B N I M A C B C Exercice 589 Déterminer l ensemble des centres des similitudes directes du plan qui transforment le cercle de centre A de rayon R en le cercle de centre A et de rayon R. Exercice 590 On considère deux cercles C et C du plan, de centres O et O et de rayons non nuls. Soit θ un réel, à tout point M de C on associe le point M tel que ( OM, O M ) = θ La droite (MM ) coupe respectivement C et C en N et N. Montrer qu il existe une similitude s telle que pour tout N : s(n) = N Exercice 59 Soient trois points A, B, C du plan et les similitudes directes s j pour j =, 2 et 3 telles que : s est de centre A et s (B) = C s 2 est de centre B et s 2 (C) = A s 3 est de centre C et s 3 (A) = B Étudier s s 2 s 3 et s 3 s 2 s. Exercice 592 Dans l espace on considère les points A, B, C, D et A, B. Déterminer l ensemble des points M tels que :. ( MA + MB + 2 MC).( MA + MB ) = 0 2. ( MA + MB + MC + MD).( MA + MB + MC) = 2 Exercice 593 Sur les cotés d un triangle ABC du plan, on construit extérieurement au triangle des triangles équilatéraux BCA, CAB et ABC.. Montrer que AA = BB = CC 2. Montrer que les droites (AA ), (BB ) et (CC ) sont concourantes en un point I. 07

6 3. Si I est intérieur au triangle, montrer que : IA + IB + IC = AA B A C I B C A Exercice 594 Soit, dans l espace muni d un repère orthonormé, les points A(,2,3), B(,5,), C(0,,2) et A( 2,, ). Calculer le volume du tétraède ABCD et l aire de l ensemble formé de ses faces. Exercice 595 Montrer que deux coniques qui ont même excentricité sont semblables. Exercice 596 Déterminer les isométries du plan qui laissent invariant :. un carré ; 2. un rectangle non carré ; de l espace qui laissent invariant un parallélépipède rectangle à base carrée. Exercice 597 Soient ABC un triangle du plan et C le cercle circonscrit. Soit H l orthocentre de ABC. Montrer qu un point M appartient à C si et seulement si ses projections orthogonales sur les cotés du triangle sont alignées (dans ce cas, le milieu de [M,H] appartient à cette droite). 08

7 A C M B I H B A C Exercice 598 Soient (a, b, c) trois points non alignés d un sous-espace affine tels que (abc) soit direct et m 0 appartient à (bc). La suite (m k ) k 0 est définie par récurrence : si m k appartient à (bc), m k+ est le projeté de m k sur (ca) ; si m k appartient à (ca), m k+ est le projeté de m k sur (ba) ; si m k appartient à (ba), m k+ est le projeté de m k sur (bc). 09

8 c m m 0 m 3 a m 2 b Démontrer que (m 3k ) k 0 tend vers un point c de (bc). De même montrer que (m 3k+ ) k 0 et (m 3k+2 ) k 0 convergent vers des points a et b. Les triangles (a,b,c) et (a,b,c ) sont semblables. Appelons la similitude telle que (a) = a, (b) = b, (c) = c Démontrer que les suites (a k ) k 0, (b k ) k 0 et (c k ) k 0 définies par récurrence : avec a 0 = a,b 0 = b,c 0 = c et (a n+,b n+,c n+ ) = (a n,b n,c n ) convergent vers un point s, centre de la similitude. c a c a b b 0

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