Aires. Aires. Aire du triangle MCD : Aire du quadrilatère AMEB : Calcul des longueurs : MA, ME, MD et MC M F
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- Martial Julien
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1 On considère un carré d aire 1. Tous les segments ont pour extrémités les milieux des côtés ou les sommets du carré. Quelle est l aire de chacune des aires coloriées? ) M ire du triangle M : ire du quadrilatère M : alcul des longueurs : M, M, M et M ) M 1) Montrer que le triangle M est rectangle en M. alcul de l aire du quadrilatère M : alcul de l aire du quadrilatère M : alcul des longueurs : M, M, M, M et M Montrer que les points,, et M sont sur le cercle 1 de même que les points,, et M sont sur le cercle de centre O 2. ustifier que O 2 est sur le cercle 1. Pierre elouya ollège anson 1
2 ) K L alcul de la longueur KL : alcul de : ) alcul de la longueur : ) alcul de l aire du pentagone Pierre elouya ollège anson 2
3 alcul de la longueur : ) alcul de l aire de : alcul de ) alcul de la longueur : alcul de la longueur : ) Pierre elouya ollège anson 3
4 alculer,,. Montrer que 1 3 est une valeur approchée de à 0,002 près par excès. ) Montrer que = 2. puis, en déduire la longueur de. K) alculer les longueurs, et. L) Pierre elouya ollège anson 4
5 Montrer que les points, et sont situés sur un cercle de centre M) N) Montrer que les points,, et sont cocycliques. O) Pierre elouya ollège anson
6 Q) R) Pierre elouya ollège anson 6
7 ) M On considère les deux triangles M et M. On utilise le théorème de Thalès : M M = M M = Puisque est le milieu de [] donc, = 2. On en déduit que les hauteurs des deux triangles M et M sont aussi dans le même rapport, soit M = 2.M. La somme des hauteurs des deux triangles M et M est égale à la longueur d un côté du carré : M + M = = 1. onc, 2M + M = 3M = 1 soit, M = 1 3 et M = 2 3. On en déduit l aire des deux triangles : aire (M) = = 1 3 et aire (M) = donc, aire(m) = 4.aire(M) ; on vérifie que les aires sont dans le rapport 4 = 2 2. = M alcul de l aire du triangle M : aire() = aire(m) + aire(m) donc, aire(m) = aire() aire(m) = = 1 6 utre possibilité : ans le triangle M, la hauteur issue de M est égale à M car M est sur une diagonale du carré. On en déduit l aire du triangle M : = 1 6 alcul de l aire du quadrilatère M : a) ans le triangle, aire (M) = aire () aire (M) = = 12 b) ans le trapèze rectangle, aire (M) = aire () aire (M) = = 12 alcul des longueurs : M, M, M et M Puisque les deux triangles M et M sont semblables et dans le rapport 2, on a, en utilisant le théorème de Thalès : Pierre elouya ollège anson 7
8 M M = M M = = 2 = M + M. e M = 2, on déduit que M = 2.M et = 2.M + M = 3.M. M alcul de : Le triangle est rectangle isocèle en donc, en utilisant le théorème de Pythagore, on a : 2 = soit, 2 = = 2 et = 2. On en déduit M = 2 3 = 2 2 et M = 2.M = 3 3 = M + M. e M = 2, on déduit que M = 2.M et = 2.M + M = 3.M. M alcul de : Le triangle est rectangle en et est le milieu de [] donc, = 1 2. n utilisant le théorème de Pythagore, on a : ( ) = soit, 2 = = = et = 4 On en déduit M = 3 = 2 3 = et M = 2.M = = 2. Puisque [] est une diagonale du carré, = 4 et = M ( )2 2 2 On en déduit que 2 +M 2 = M 2, soit 2 2 = = 22 ( 2 ) = 8 9 et 2 = 4. onc, = = 2 3 = M ) M 1) Montrer que le triangle M est rectangle en M. Les triangles et sont semblables car ils ont leurs côtés de même longueur. On en déduit que M = M. M = M (alternes-internes) et M est le complémentaire de M donc, M est le complémentaire de M, soit M est le complémentaire de M et on en déduit que M = 90. ÂM = 180 = ÂM + M donc, ÂM = = 90 Le triangle M est rectangle en M. Les triangles M et M ont tous leurs angles identiques ; ils sont semblables donc, M = 2.M = 4.M alcul des longueurs : M, M, M, M et M M M = M M = = 2 aire(m ) = M 2 et aire(m) = M 2 = (2M ) 2 = 4M 2 donc, aire M = 4.aire(M ) aire(m) + aire(m ) = 1 4 donc,.aire(m ) = 1 1 et aire(m ) = onc, aire(m) = 1. M 2.M.M alcul de M : aire( ) = = =.M Mais, aire( ) = 1 4 donc.m 2 = 1 4 et M 2 = et M = = 20 = 2 20 = 10 Pierre elouya ollège anson 8
9 On en déduit M 2 = = 1 1 et M = = Puisque M = 4.M, M = 4 10 = 2 alcul de M : M = M = 2 On en déduit que M M = = = 3 2 alcul de l aire du quadrilatère M :. = 2 = ans le trapèze rectangle, aire (M) = aire() aire (M) = = alcul de l aire du quadrilatère M : a) ans le triangle, aire(m ) = aire() aire(m ) = = 1 K M Puisque M = 4.M, M = 4.M = 4. = 4. e même, Puisque M M = 3 2, M = 3 2 M, soit M = 2 3 M M + M = donc, 2 3 M + M =, soit 3 M = et M = 3 on a donc aussi M = 3 K = 3 = 3 = ans le triangle M, rectangle en, on utilise le théorème de Pythagore : ( ) 2 ( ) M 2 = 2 + M 2 = M 2 + M 2 = + = = 2 = 1 donc, M = 1. 2 Montrer que les points,, et M sont sur le cercle 1 de même que les points,, et M sont sur le cercle de centre O 2. ustifier que O 2 est sur le cercle 1. O 1 M O 2 Pierre elouya ollège anson 9
10 ans le triangle M, rectangle en M, O 1 est le milieu de [] donc, la droite parallèle à (M) passant par O 1 coupe [M] en son milieu et perpendiculairement donc, O 1 est sur la médiatrice de [M]. ans le triangle M, rectangle en M, O 2 est le milieu de [ ] donc, la droite parallèle à ( M) passant par O 2 coupe [M] en son milieu et perpendiculairement donc, O 2 est sur la médiatrice de [M]. (O 1 O 2 ) est la médiatrice de [M]. ans le triangle, O 1 est le milieu de [] et O 2 est le milieu de [ ] donc, [O 1 O 2 ] est parallèle à ( ) et O 1 O 2 = 1 2 ; mais, on a aussi = donc, O 1O 2 = 1 2. Mais [] est un diamètre du cercle 1 donc, O 1 O 2 = O 1 et O 2 est sur le cercle 1. ) K L On utilise un résultat du : l aire du triangle M est égale à 1 20 ans le triangle, on a : aire(lk) = aire() aire(l) aire(k) = aire() 2.aire(M ) = On en déduit l aire du carré central : aire(kl) = aire() 4.aire(L) 4.aire(LK) = alcul de la longueur KL : 20 = = 1 20 = = 3 20 On utilise un résultat du : dans le triangle M, M = et M = 10. ci, le triangle L est semblable au triangle M : L = et L = 10. ans le triangle L, est le milieu de [] et [L]//[K] donc, K est le milieu de [L] (réciproque du théorème de la droite des milieux). = L + 2.LK ; on en déduit 2LK = L = 2 10 = 4 10 = 2 et LK = ( )2 ( ) 2 Vérification : aire(kl) = = 2 = 2 = 1 alcul de : = L + L = + = 2 L est un triangle rectangle en L, on utilise le théorème de Pythagore : ( 2 2 = 2 + L 2 = )2 + ( )2 ( ) 2 ( ) = = 20 + = 2 = 1 donc, = Pierre elouya ollège anson 10
11 K L ) Si on trace le segment [], il partage le carré en deux rectangles et de même aire. Les deux triangles et représentent chacun le quart de chacun des deux rectangles, ce qui représente donc = 1 4 utre solution : Les deux triangles et représentent chacun un quart du carré, soit la moitié du carré. ans les triangles et, rectangles respectivement en en et, les segments [ ] et [] sont des médianes issues de l angle droit respectivement des triangles et, elles partagent donc ces deux triangles en deux triangles de même aire, soit = 1 4 de l aire du carré. L aire du losange est donc égale à = 1 4 Pierre elouya ollège anson 11
12 alcul de la longueur : et sont les milieux respectifs de [] et [] donc, = 1 2. = 1 2 Les points,,, et sont-ils cocycliques? utrement dit, ces cinq points sont-ils sur le cercle de centre passant par? Ou encore, comparer les distances de tous ces points à. est un rectangle dont est le point d intersection des diagonales donc, = = = = 4. l reste à comparer 1 2 et 4 ou encore, 2 4 et Les deux fractions ont le même dénominateur, il ne reste plus qu à comparer leurs numérateurs : 2 et. es deux nombres sont positifs, ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés : 2 2 = 4 et ( ) 2 =. 4 < donc, 4 < et 2 <. Le point est à l extérieur du disque de centre passant par. 4. ) ire() = aire() + aire() + aire() = aire() + 2.aire() = 1 2 On utilise un résultat du : aire(m) = 1 6 aire() + 2.aire() = aire() + 2.aire(M) = aire() = 1 2 donc, aire() = = 1 6 alcul de l aire du pentagone aire() = aire( ) + aire( ) + aire() = aire( ) + 2.aire() On utilise un résultat du : aire(m) = aire() = 1 12 aire( ) = = = 1 3 alcul de la longueur : = + donc, = = 2 6 = 3 Pierre elouya ollège anson 12
13 ) On trace la diagonale [] ; elle partage le losange en deux triangles de même aire et aire() = 2.aire(). On utilise le résultat du : aire() = 1 6 aire() = 2.aire() = = 1 3 alcul de l aire de : ans le triangle, est le milieu de [] donc, [] médiane issue de partage le triangle en deux triangles de même aire et aire( = aire() = 1 12 Remarque : puisque les triangles, et ont la même aire et qu ils ont la même hauteur, ils ont donc la même base : = =. Pierre elouya ollège anson 13
14 ) alcul de la longueur : = + + donc, =, donc : = 2 6 = ( ) = ( ) = ( ) 7 = ) ) Pierre elouya ollège anson 14
15 K) L) M) Pierre elouya ollège anson 1
16 N) O) Q) Pierre elouya ollège anson 16
17 R) Pierre elouya ollège anson 17
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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