DEVOIR DE MATHÉMATIQUES N O 4 SUJET A

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1 DEVOIR DE MATHÉMATIQUES N O 4 SUJET A Calculatrice autorisée - Durée = minutes Nom et Prénom Classe Seconde 11 PARTIE A. Fonctions affines EXERCICE 1 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez si elle est une fonction affine, et si oui, précisez ses coefficients (c est-à-dire les valeurs des nombres p et r tels que la fonction f soit de la forme f (x) = px+ r ). 1. f (x)= 6x. h(x)=( x) + 4x. k(x)=(x+ 1) (x 6) EXERCICE On considère la fonction affine f (x)= x+ 1 y et on note D sa courbe représentative dans un repère du plan. 1. Tracer D ci-contre.. Décrire les variations de f sur R, en justifiant votre réponse.. Résoudre, par un calcul, l équation f (x)=. 4. Dresser le tableau de signes de la fonction f, et en déduire l ensemble des solutions de l inéquation f (x) x La résolution de l équation et de l inéquation doit être faite par un calcul, mais vous pouvez vérifier votre résultat à l aide du graphique. 1/

2 EXERCICE Soit h la fonction h définie surr par h(x)=(x+ 7)( x+ 4) dont on a tracé ci-contre la courbe représentative C dans un repère. 1. Résoudre l équation h(x) =. 4 C Dresser le tableau de signes de la fonction h.. En déduire les solutions de l inéquation h(x) (on pourra vérifier, même approximativement, la réponse à l aide de la courbe représentative de h). PARTIE B. Statistiques EXERCICE 4 On demande à 1 passants combien d argent ils ont actuellement dans leur porte-monnaie. On obtient les réponses suivantes (montant en euros) : 4, 7 8, Calculer la moyenne de cette série (donner la valeur exacte).. Calculer la médiane de cette série.. Déterminer le premier quartile et le troisième quartile de cette série. EXERCICE (, points - barème indicatif) Mathéo consulte son relevé de notes de mathématiques pour ce trimestre. Il a déjà effectué un devoir surveillé (DS, coefficient 4) et deux QCM (coefficient 1), et il lui reste à passer un deuxième DS (toujours coefficient 4) : Évaluation DS n o 1 QCM n o 1 QCM n o DS n o Note 11, 14 1? Coefficient Son objectif est d avoir une moyenne trimestrielle supérieure ou égale à 1. À quel intervalle doit appartenir sa note du dernier DS pour réaliser cet objectif? /

3 EXERCICE 6 (, points - barème indicatif) Le tableau ci-dessous donne les effectifs de 4 classes d âges de la population française en 1 (chiffres en millions de personnes Source : INSEE). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Effectif (en millions) 16,4 1, 16, 1,4 1. Établir le tableau des fréquences de ces classes d âge et celui des fréquences cumulées croissantes (FCC) (on donnera les résultats en pourcentage, arrondi à 1 chiffre après la virgule : par exemple, on arrondira,% à,%). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Fréquence (en %) FCC (en %) Construire le graphique des fréquences cumulées croissantes de cette population : 1 FCC (en %) Age (en années). À l aide du graphique et en laissant les éventuels traits de construction, répondre aux questions suivantes : quel est l âge médian de la population française? (valeur approchée acceptée à ± ans près) quelle est la proportion de personnes françaises agées de ans ou plus? (valeur approchée à±% près) /

4 DEVOIR DE MATHÉMATIQUES N O 4 CORRIGÉ SUJET A EXERCICE 1 1. f (x)= 6x = 6x = 1x donc f est une fonction affine, avec p = et r = 1.. h(x)=( x) + 4x = x+ (x) + 4x = x+ 4x + 4x = 8x x+ donc hn est pas une fonction affine.. k(x)=(x+1) (x 6) = (x+ 1 (x 6))(x+1+x 6)= ( x+1 x+6) (x )= 7(x )=14x donc k est une fonction affine, avec p = 14 et r =. 1. La droite D qui représente la fonction affine f passe par les points A ( ) ( f ()=1 et B f ()=).. La fonction f est une fonction affine, de la forme f (x)=ax+b avec a= > : d après le cours, f est donc croissante surr.. On résout f (x)= x+ 1= x = 1 x = ( 1)=. L équation f (x)= a EXERCICE donc une seule solution, à savoir x= =,. 4. On sait que f est croissante et qu elle s annule en x =,. On en déduit le tableau de signes suivants : x signe de f (x). + + Ainsi, l inéquation f (x) a pour solution l intervalle ] ;,]. EXERCICE Soit h la fonction h définie surr par h(x)=(x+ 7)( x+ 4) dont on a tracé ci-contre la courbe représentative C dans un repère. { x+ 7= 4 C { x = On a h(x)=(x+ 7)( x+ 4)= si c est-à-dire si ou x+ 4= ou x = 4 =.. On sait que la fonction x x+ 7 est croissante surret que la fonction x x+ 4 est décroissante surr. On en déduit alors le tableau de signes de la fonction h : x signe de x+ 7 signe de x+ 4 signe de h(x) /

5 . On déduit que l ensembre des solutions de l inéquation h(x) est ] ; 7 ] [ ;+ [. EXERCICE 4 On demande à 1 passants combien d argent ils ont actuellement dans leur porte-monnaie. On obtient les réponses suivantes (montant en euros) : 4, 7 8, La moyenne x de cette série vaut : x= 4+,+7+8, = 7,8e. 1. Puisqu il y a 1 termes dans cette série, la médiane de cette série vaut la demi-somme des termes de rang et 6 : M e = 1+1 = 11,e.. Le premier quartile correspond ici au terme de rang : Q 1 = 7e ; et le troisième quartile correspond au terme de rang 8 : Q = e. EXERCICE (, points - barème indicatif) On note x la note du dernier DS : la moyenne des notes est alors m= 4 11, x = 7+4x 1. Mathéo veut que m 1 : cela signifie que 7+4x x x 1 4x 1 7= x 1 4 =1,7 Et comme la note x est forcément inférieure ou égale à, elle doit donc appartenir à l intervalle [1,7 ;] pour que l objectif soit atteint. EXERCICE 6 (, points - barème indicatif) Le tableau ci-dessous donne les effectifs de 4 classes d âges de la population française en 1 (chiffres en millions de personnes Source : INSEE). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Effectif (en millions) 16,4 1, 16, 1,4 1. Établir le tableau des fréquences de ces classes d âge et celui des fréquences cumulées croissantes (FCC) (on donnera les résultats en pourcentage, arrondi à 1 chiffre après la virgule : par exemple, on arrondira,% à,%). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Fréquence (en %),8% 4,4%,6% 4,% FCC (en %),8%,% 7,8% 1% /

6 . Construire le graphique des fréquences cumulées croissantes de cette population : 1 FCC (en %) Age 4 (en années) À l aide du graphique et en laissant les éventuels traits de construction, répondre aux questions suivantes : quel est l âge médian de la population française? (valeur approchée acceptée à ± ans près) Il est voisin de 4 ans. quelle est la proportion de personnes françaises agées de ans ou plus? (valeur approchée à ± % près) On lit sur le graphique que la proportion de Français agés de ans ou moins est d environ 8% donc la proportion de Français agés de plus de ans est de 1%8%= 6%. /

7 DEVOIR DE MATHÉMATIQUES N O 4 SUJET B Calculatrice autorisée - Durée = minutes Nom et Prénom Classe Seconde 11 PARTIE A. Fonctions affines EXERCICE 1 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez si elle est une fonction affine, et si oui, précisez ses coefficients (c est-à-dire les valeurs des nombres p et r tels que la fonction f soit de la forme f (x) = px+ r ). 1. f (x)= 1 1x. h(x)=(7 x) + 4x. k(x)=(x+ 1) (x 6) EXERCICE On considère la fonction affine f (x)= x+ 1 y et on note D sa courbe représentative dans un repère du plan. 1. Tracer D ci-contre.. Décrire les variations de f sur R, en justifiant votre réponse.. Résoudre, par un calcul, l équation f (x)=. 4. Dresser le tableau de signes de la fonction f, et en déduire l ensemble des solutions de l inéquation f (x) x La résolution de l équation et de l inéquation doit être faite par un calcul, mais vous pouvez vérifier votre résultat à l aide du graphique. 1/

8 EXERCICE Soit h la fonction h définie surr par h(x)=(x+ 8)( x+ 4) dont on a tracé ci-contre la courbe représentative C dans un repère. 1. Résoudre l équation h(x) =. 4 C Dresser le tableau de signes de la fonction h.. En déduire les solutions de l inéquation h(x) (on pourra vérifier, même approximativement, la réponse à l aide de la courbe représentative de h). PARTIE B. Statistiques EXERCICE 4 On demande à 1 passants combien d argent ils ont actuellement dans leur porte-monnaie. On obtient les réponses suivantes (montant en euros) : 4, 7 8, Calculer la moyenne de cette série (donner la valeur exacte).. Calculer la médiane de cette série.. Déterminer le premier quartile et le troisième quartile de cette série. EXERCICE (, points - barème indicatif) Mathéo consulte son relevé de notes de mathématiques pour ce trimestre. Il a déjà effectué un devoir surveillé (DS, coefficient 4) et deux QCM (coefficient 1), et il lui reste à passer un deuxième DS (toujours coefficient 4) : Évaluation DS n o 1 QCM n o 1 QCM n o DS n o Note 11, 14 17? Coefficient Son objectif est d avoir une moyenne trimestrielle supérieure ou égale à 1. À quel intervalle doit appartenir sa note du dernier DS pour réaliser cet objectif? /

9 EXERCICE 6 (, points - barème indicatif) Le tableau ci-dessous donne les effectifs de 4 classes d âges de la population française en 1 (chiffres en millions de personnes Source : INSEE). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Effectif (en millions) 16,4 1, 16, 1,4 1. Établir le tableau des fréquences de ces classes d âge et celui des fréquences cumulées croissantes (FCC) (on donnera les résultats en pourcentage, arrondi à 1 chiffre après la virgule : par exemple, on arrondira,% à,%). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Fréquence (en %) FCC (en %) Construire le graphique des fréquences cumulées croissantes de cette population : 1 FCC (en %) Age (en années). À l aide du graphique et en laissant les éventuels traits de construction, répondre aux questions suivantes : quel est l âge médian de la population française? (valeur approchée acceptée à ± ans près) quelle est la proportion de personnes françaises agées de ans ou plus? (valeur approchée à±% près) /

10 DEVOIR DE MATHÉMATIQUES N O 4 CORRIGÉ SUJET B EXERCICE 1 1. f (x)= 1 1x = 1 1x = 6x donc f est une fonction affine, avec p = 6 et r =.. h(x)=(7 x) + 4x = 7 7 x+ (x) + 4x = 49 8x+ 4x + 4x = 8x 8x+ 49 donc hn est pas une fonction affine.. k(x)=(x+1) (x 6) = (x+ 1 (x 6))(x+1+x 6)= ( x+1 x+6) (x )= 7(x )=14x donc k est une fonction affine, avec p = 14 et r =. 1. La droite D qui représente la fonction affine f passe par les points A ( ) ( f ()=1 et B f ()=).. La fonction f est une fonction affine, de la forme f (x)=ax+b avec a= > : d après le cours, f est donc croissante surr.. On résout f (x)= x+ 1= x = 1 x = ( 1)=. L équation f (x)= a EXERCICE donc une seule solution, à savoir x= =,. 4. On sait que f est croissante et qu elle s annule en x =,. On en déduit le tableau de signes suivants : x signe de f (x). + + Ainsi, l inéquation f (x) a pour solution l intervalle ] ;,]. EXERCICE Soit h la fonction h définie surr par h(x)=(x+ 8)( x+ 4) dont on a tracé ci-contre la courbe représentative C dans un repère. { x+ 8= 4 C { x = On a h(x)=(x+ 8)( x+ 4)= si c est-à-dire si ou x+ 4= ou x = 4 =.. On sait que la fonction x x+ 8 est croissante surret que la fonction x x+ 4 est décroissante surr. On en déduit alors le tableau de signes de la fonction h : x signe de x+ 8 signe de x+ 4 signe de h(x) /

11 . On déduit que l ensembre des solutions de l inéquation h(x) est ] ; 8 ] [ ;+ [. EXERCICE 4 On demande à 1 passants combien d argent ils ont actuellement dans leur porte-monnaie. On obtient les réponses suivantes (montant en euros) : 4, 7 8, La moyenne x de cette série vaut : x= 4+,+7+8, = 8,e. 1. Puisqu il y a 1 termes dans cette série, la médiane de cette série vaut la demi-somme des termes de rang et 6 : M e = 1+1 = 11,e.. Le premier quartile correspond ici au terme de rang : Q 1 = 7e ; et le troisième quartile correspond au terme de rang 8 : Q = 6e. EXERCICE (, points - barème indicatif) On note x la note du dernier DS : la moyenne des notes est alors m= 4 11, x = 77+4x 1. Mathéo veut que m 1 : cela signifie que 77+4x x x 1 4x 1 77= x 1 4 =1, Et comme la note x est forcément inférieure ou égale à, elle doit donc appartenir à l intervalle [1, ;] pour que l objectif soit atteint. EXERCICE 6 (, points - barème indicatif) Le tableau ci-dessous donne les effectifs de 4 classes d âges de la population française en 1 (chiffres en millions de personnes Source : INSEE). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Effectif (en millions) 16,4 1, 16, 1,4 1. Établir le tableau des fréquences de ces classes d âge et celui des fréquences cumulées croissantes (FCC) (on donnera les résultats en pourcentage, arrondi à 1 chiffre après la virgule : par exemple, on arrondira,% à,%). Classe d âge [; ] ]; 4] ]4; 6] ]6; 11] Fréquence (en %),8% 4,4%,6% 4,% FCC (en %),8%,% 7,8% 1% /

12 . Construire le graphique des fréquences cumulées croissantes de cette population : 1 FCC (en %) Age 4 (en années) À l aide du graphique et en laissant les éventuels traits de construction, répondre aux questions suivantes : quel est l âge médian de la population française? (valeur approchée acceptée à ± ans près) Il est voisin de 4 ans. quelle est la proportion de personnes françaises agées de ans ou plus? (valeur approchée à ± % près) On lit sur le graphique que la proportion de Français agés de ans ou moins est d environ 8% donc la proportion de Français agés de plus de ans est de 1%8%= 6%. /