BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 2 Mars durée : 2 heures

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1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 2 Mars durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points) Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse n enlève aucun point. Pour chacune des quatre questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 1 x désigne un nombre. Une solution de l inéquation 2x 5 1 est : 2 Le PGCD des nombres 12 et 30 est égal à : 3 x désigne un nombre. La forme développée de (3x + 7)(3x 7) est : 4 Le nombre peut s écrire : Réponse A Réponse B Réponse C x² x² 42x x² 49 9 Exercice 2 : M. Dubois fait construire une maison et aujourd hui il visite le chantier. Il observe un électricien. Il constate que celui-ci a, à côté de lui, deux boîtes. Dans la première, il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat. Dans la seconde, il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat. 1. L électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond? 2. L électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées. Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte, puis une vis dans la seconde boîte. a) Construire l arbre des possibilités de cette expérience aléatoire et indiquer les différents tirages possibles. b) Montrer qu il y a plus d une chance sur deux d obtenir deux vis différentes. 1/4

2 Exercice 3 : 1) Soit la fonction f : x x +. Répondre aux questions suivantes par des calculs appropriés. Ceux-ci devront figurer sur votre copie. a) Quelles sont les images de 2 et de? b) Quel est l antécédent de 1? 2) Il est donné, ci-contre, la représentation graphique d une fonction g. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Vous laisserez apparents les pointillés permettant la lecture. a) Quelles sont les images de 2 et 4? b) Quels sont les antécédents de 0? Activités géométriques (12 points) Exercice 1 : 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. 2. Prouver que ABC est rectangle en B. 3. Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm et le point G du segment [BC] tel que CG = 4 cm. 4. Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. 5. Sachant que l aire du triangle ABC est de 37,5 cm², calculer l aire du triangle CFG. 2/4

3 Exercice 2 : Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat ayant la forme d un parallélépipède rectangle, est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille. Rappel : V cylindre = πr²h et V boule = πr a) Montrer que le volume d un pot de glace au chocolat est 3600 cm 3. b) Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d un pot de glace à la vanille. 2. Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d une boule de glace contenue dans la coupe. 3. Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l évaluation. Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots en chocolat et de pots à la vanille? Exercice 3 : On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d arête et un prisme droit de façon a obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l arête des cubes. 1. Dessiner en vraie grandeur une vue de l arrière du solide. 3/4 2. Calculer le volume en cm 3 du solide.

4 Problème (12 points) Questions enchaînées : on pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème. Dans tout l exercice, l unité de longueur est le centimètre. A ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et = 120. La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. C B H 1. Tracer la figure en vraie grandeur. 2. a) Calculer la mesure de l angle. En déduire que BH = 3. b) Prouver que AH =, puis calculer l aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). c) Prouver que AC = M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5. La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. a) Compléter la figure. b) Prouver que NM =. c) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer l aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l unité près de cette aire. 4/4

5 CORRECTION ACTIVITES NUMERIQUES : Exercice 1 : 1. 1 (réponse B) 2. 6 (réponse A) 3. 9x² 49 (réponse C) 4. (réponse B) 4 pts Exercice 2 : M. Dubois fait construire une maison et aujourd hui il visite le chantier. Il observe un électricien. Il constate que celui-ci a, à côté de lui, deux boîtes. Dans la première, il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat. Dans la seconde, il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat. 1. L électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond? La probabilité que la vis soit à bout rond est de. 2. L électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées. Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte, puis une vis dans la seconde boîte. a) Construire l arbre des possibilités de cette expérience aléatoire et indiquer les différents tirages possibles. 2 ème boîte ISSUE 1 ère boîte R (R ; R) R P (R ; P) R (P ; R) P P (P ; P) b) Montrer qu il y a plus d une chance sur deux d obtenir deux vis différentes. p(r ; P) + p(p ; R) = = = Cette probabilité est bien supérieure à.

6 Exercice 3 : 1. Soit la fonction f : x x +. Répondre aux questions suivantes par des calculs appropriés. Ceux-ci devront figurer sur votre copie. a) Quelles sont les images de 2 et de? f( 2) = ( 2) + = 1 + = + = f( ) = + = + = = b) Quel est l antécédent de 1? On résout l équation f(x) = 1 x + = 1 x = x = x = x = L antécédent de 1 est Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Quelles sont les images de 2 et 4? g(2) = 1 et g(4) = 3 a) Quels sont les antécédents de 0? Les antécédents de 0 sont 1 et 3.

7 ACTIVITES GEOMETRIQUES : Exercice 1 : cm B G 7,5 cm 4 cm C 5 cm F A 12,5 cm 2. Prouver que ABC est rectangle en B. AC² =12,5² = 156,25 BC² + AB² = 10² + 7,5² = 156,25 AC² = BC² + AB² donc, d après la propriété réciproque de Pythagore, ABC est rectangle en B. 3. Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm et le point G du segment [BC] tel que CG = 4 cm. Voir figure. 4. Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. ABC est un triangle, les points C, F et A sont alignés dans le même ordre que C, G et B et donc les droites (AB) et (FG) sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès). 2pts 5. Sachant que l aire du triangle ABC est de 37,5 cm², calculer l aire du triangle CFG. CFG est une réduction de ABC d échelle 0,4. On obtient donc l aire de CFG en multipliant celle de ABC par 0,4². Aire CFG = 37,5 0,4² = 6 cm². Rq : On peut aussi justifier que le triangle CFG est rectangle en G et montrer ensuite que GF est égal à 3 cm (Thalès ou Pythagore). On obtient alors l aire avec.

8 Exercice 2 : Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat ayant la forme d un parallélépipède rectangle, est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille. Rappel : V cylindre = πr²h et V boule = πr a) Montrer que le volume d un pot de glace au chocolat est 3600 cm = 3600 cm 3. b) Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d un pot de glace à la vanille. π 7² 15 = 735π 2309 cm 3. 0,5pt 0,5pt 2. Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d une boule de glace contenue dans la coupe. π 2,1 3 = 12,348π 39 cm 3. 0,5pt 3. Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots en chocolat et de pots à la vanille? Volume de glace au chocolat nécessaire pour 100 coupes : = 7800 cm ,2 Le restaurateur devra acheter 3 pots de glace au chocolat. Volume de glace à la vanille nécessaire pour 100 coupes : = 3900 cm ,7 Le restaurateur devra acheter 2 pots de glace à la vanille. 2pt

9 Exercice 3 : On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d arête et un prisme droit de façon a obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l arête des cubes. 1. Dessiner en vraie grandeur une vue de l arrière du solide Calculer le volume en cm 3 du solide = 400 cm 3. Volume des 6 cubes Volume de prisme (aire de la base hauteur)

10 PROBLEME : Questions enchaînées : on pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème. Dans tout l exercice, l unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et = 120. La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H. 1. Tracer la figure en vraie grandeur. A (MN) // (AH) N 6 C 6,5 M 120 B H a) Calculer la mesure de l angle. = = 60 0,5pt En déduire que BH = 3. ABH est rectangle en H donc cos =. BH = BA cos = 6 cos 60 = 3. b) Prouver que AH =, puis calculer l aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). ABH est rectangle en H donc on peut utiliser le théorème de Pythagore : AB² = BH² + AH². AH² = AB² BH² = 6² 3² = 27 AH = = = 3 Aire ACH = = = = 19,5 cm² c) Prouver que AC = 14. ACH est rectangle en H donc, d après la propriété de Pythagore : AC² = CH² + AH² = 13² + (3 )² = = 196 AC = = 14

11 3. M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5. La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. a) Compléter la figure. Voir figure. b) Prouver que NM =. Dans le triangle ACH : M (CH) N (CA) (MN) // (AH) On peut donc utiliser le théorème de Thalès. On a : = NM = = = = 2pts c) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer l aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l unité près de cette aire. Calcul de l aire du triangle CMN : CMN est rectangle en M car (MN) est parallèle à (AH) et (AH) est perpendiculaire à (CM). donc Aire CMN = = = = 4,875 2,5pts Aire AHMN = aire ACH aire CMN = 19,5 4,875 = 14,625 25,33. L aire du trapèze AHMN est d environ 25,33 cm 2.