Université Paris-Sud Examen d Électromagnétisme Mercredi 18 Mai 2016

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1 Université Paris-Sud L3 et Magistère de Physique Fondamentale Première session Examen d Électromagnétisme Mercredi 18 Mai 2016 Durée de l épreuve : 3 heures L utilisation de documents, téléphones portables...est interdite. Les différentes parties du sujet sont indépendantes. Barème approximatif : Questions de cours : 3 points ; Problème 1 : 12 points ; Problème 2 : 12 points. L énoncé est délibérément long. Formulaire ( ) rot rota = ( grad div ) A A Questions de cours A = Ax ux + A yuy + A zuz ( ) f = div gradf div A = A x x + A y y + A z ( ) ( ) a + b a b cos a cos b = 2 sin sin 2 2 1/ Donner sans calcul mais en le justifiant, le champ E créé sur une charge q par un demi-espace métallique parfait. On note d la distance qui sépare la charge et le plan à l interface vide-métal et u z un vecteur unitaire normal au plan. 2/ Partant des équations de Maxwell dites dans le vide et des expressions des densités de charges et de courants liés, dérivez les équations de Maxwell dites dans les milieux pour les champs électrique E, excitation électrique D, magnétique B et le vecteur H. Problème 1 - Propriétés optiques d un cristal liquide On s intéresse ici à la propagation dans un cristal liquide d une onde progressive plane se propageant dans la direction de Oz. Il s agit d une onde de lumière visible de longueur d onde dans le vide de l ordre de 0, m. Le cristal liquide occupe l espace entre deux plans d équation z = 0 et z = L distants de L = 1 mm. Il s agit d un liquide constitué de molécules ayant la forme de bâtonnets de longueur a m. Dans des conditions de température et de pression ad hoc, les bâtonnets ont tendance à s aligner à l échelle mésoscopique sur un vecteur n (M) du plan xoy appelé directeur. Seule la direction de n a une signification, son sens n en a pas car les molécules ne sont pas orientées. L ordre qui est ainsi créé confère à ce liquide des propriétés particulières que l on rencontre usuellement plutôt dans les solides à structure cristalline, ce qui justifie l appellation cristaux liquides. On considérera ici que le cristal liquide est un milieu diélectrique parfait (ni charges libres, ni courants libres), linéaire homogène et anisotrope : en un point où le directeur vaut n (M), on 1

2 peut décomposer les vecteurs E et D en leurs composantes parallèles à n et leurs composantes perpendiculaires à n. On peut alors définir deux indices lumineux n e (indice extraordinaire) et n o (indice ordinaire), nombres réels positifs, tels que : D = ɛ 0 n 2 ee D = ɛ 0 n 2 oe Typiquement, n e et n o sont de l ordre de l unité. Le cristal liquide est placé entre un polariseur 1 P 1 dans le plan z = 0 et un analyseur P 2 dans le plan z = L croisés (P 1 selon u x et P 2 selon u y ), de telle sorte que E (z = 0, t) = E 0 exp( iωt) u x. Dans le cristal liquide, on pose : E = Eα (z, t) u α + E β (z, t) u β + E z (z, t) u z D = Dα (z, t) u α + D β (z, t) u β + D z (z, t) u z où u α = n et ( u α, u β, u z ) est un trièdre direct. 1. Le cristal est supposé non-magnétique. a. Rappeler les équations de Maxwell dans un milieu non magnétique. b. Montrer que D z (z, t) = 0 et E z (z, t) = 0. c. Établir l équation de propagation : 2 E 2 = µ 2 D 0 t 2 2. Dans cette question, on suppose que les parois imposent l orientation du directeur de telle sorte que n (x, y, z = 0) = u x et n (x, y, z = L) = u y ; on constate alors que dans le plan de cote z, le directeur n (x, y, z) fait un angle φ(z) = πz/2l avec u x. Les directions des vecteurs u α et u β dépendent donc de z. Dans toute la suite on fait l approximation : 2 E 2 2 E α 2 uα + 2 E β 2 uβ (1) a. En déduire les équations aux dérivées partielles vérifiées par E α (z, t) et E β (z, t) et chercher des solutions du type onde plane progressive se propageant selon u z. En déduire deux relations de dispersion entre ω et k α (vecteur d onde associé à E α ) d un côté et ω et k β (vecteur d onde associé à E β ) de l autre. b. Montrer que E β (z, t) = 0 et exprimer E α (z, t) en fonction de E 0, n e, ω, z, t et k 0 = ω/c. 1. On rappelle qu un polariseur est un instrument d optique qui ne laisse passer que le champ selon une direction fixe : un polariseur selon u x ne laisse passer que la composante E x = E x ux du champ électrique. Un analyseur est un polariseur que l on place en sortie d un système optique. 2

3 c. Exprimer (Eα u α) en fonction de Eα, u α, E α et u α. En raisonnant sur des ordres de grandeur, justifier a posteriori l approximation (1) proposée par l énoncé. d. Déterminer en fonction de E 0 l éclairement E 2 = E 2 2 t dans l espace z > L, après que la lumière a traversé l analyseur P En présence d un champ magnétique statique B 0 = B 0 ux suffisamment fort, on constate que le directeur n s aligne dans tout le cristal liquide avec B 0. a. Comparer l éclairement E 2 alors obtenu après passage de l analyseur à l éclairement calculé en 2.c. Proposer une application concrète de ce dispositif. b. Pour interpréter l action de B 0, il faut prendre en compte le caractère très faiblement diamagnétique 2 du cristal liquide. Compte-tenu de la non-isotropie, en un point où le directeur vaut n (M), on peut décomposer les vecteurs aimantation M et excitation magnétique H en leurs composantes parallèles à n et leurs composantes perpendiculaires à n ; on peut alors définir deux susceptibilités magnétique χ e et χ o telles que : M = χ eh M = χ oh χ e ; χ ; χ e > χ o i. Rappeler la définition d un milieu diamagnétique. ii. En déduire que B 0 µ 0 H. iii. Rappeler l expression du couple de force de Laplace que subit un moment magnétique M placé dans un champ magnétique B 0. iv. Exprimer le couple s exerçant par unité de volume en un point du cristal liquide où le directeur fait un angle φ avec B 0 = B 0 ux en fonction de B 0, µ 0, χ e, χ o et φ. v. Étudier les positions d équilibre et leur stabilité. Conclure. vi. Que se passerait-il si on avait χ e < χ o? Problème 2 : Étude d un écran magnétique On cherche à créer un dispositif au centre duquel le champ magnétique serait très inférieur au champ magnétique terrestre B T = T et serait insensible aux variations lentes du champ extérieur. 1/ Etude du champ créé par un barreau aimanté de longueur finie - On considère un barreau cylindrique d axe Oz, de longueur L et de rayon R, constitué de fer doux, portant une aimantation M uniforme avec M = M u z (M > 0). On rappelle que la caractéristique simplifiée M = f(h) du fer doux est donnée par la figure 1. On se placera toujours dans le régime linéaire ( H < H S ) et on supposera que l échantillon de fer doux utilisé est également homogène et isotrope. (a) Définir la susceptibilité magnétique χ et la perméabilité relative µ r. (b) Retrouver les relations liant B et M, puis B et H en fonction de χ et µ 0. (c) Quelle est la densité de courant équivalente volumique et quelles sont les densités de courant équivalentes surfaciques (surfaces latérale et transverses du barreau)? 2. Cette propriété est sans effet sur la propagation d une onde lumineuse car le champ magnétique d une onde est trop faible : les résultats de 1.2 ne sont donc pas remis en cause. 3

4 Figure 1 Caractéristique du fer doux. (d) On rappelle que le champ magnétique en un point P de l axe d un solénoïde parcouru par la densité surfacique j s = j s uθ est donné, en prenant les notations de la figure 2, par : B(P ) = µ 0 j s (cos(θ 1 ) cos(θ 2 )) u z 2 Figure 2 Solénoïde fini. En déduire que le champ B 1 créé au centre par le barreau aimanté est : B 1 = µ 0 M cos(θ) u z où θ est l angle selon lequel on voit l extrémité du cylindre depuis le centre. (e) Tracer (sans calcul) l allure des lignes du champ B 1 créé par l aimantation M dans tout l espace. 2/ Etude du champ créé par un cylindre magnétique de longueur finie - On considère un tube de fer doux tel qu indiqué sur la figure 3, d axe Oz, de très haute perméabilité relative µ r 10000, de diamètre interne D, de longueur L et d épaisseur e D, portant une aimantation M uniforme avec M = M u z (M > 0). On note θ et θ les angles tels que tan(θ) = D/L et tan(θ ) = (D + 2 e)/l. (a) En utilisant la question 1.d, montrer que le champ B 2 (C) créé en C (centre du dispositif d écrantage) par le matériau magnétique se met sous la forme : B 2 (C) = µ 0 M (θ θ) sin(θ) u z En différenciant une expression de tan(θ), déduire la forme finale de B 2 (C) : B 2 (C) µ 0 M 2 e L sin(θ) cos2 (θ) u z Quelle est la valeur du champ correspondant H 2? 4

5 Figure 3 Coupe du tube magnétique. (b) Tracer (sans calcul) l allure des lignes du champ B 2 créé par l aimantation M dans tout l espace. 3/ Etude de l écran magnétique - On crée un écran magnétique en plongeant le cylindre de la question précédente dans un champ uniforme B 0 = B 0 uz (avec B 0 > 0). On suppose que dans le champ B 0, le fer doux s aimante uniformément ( B 0 est suffisamment faible pour que le fer doux reste dans le régime linéaire) : M = M u z. On fait en outre l approximation que pour z L/2, les champs B et H ne dépendent pas de la distance à l axe Cz à l intérieur du tube. Le but de la question est de déterminer la valeur de D qui donne le meilleur écrantage au centre. (a) On note H i et B i les champs totaux dans le matériau dans le plan z = 0, H C et B C les champs totaux au centre. Donner, en le justifiant, la direction de tous ces champs. Exprimer H i et H C en fonction de M, B 0 et des caractéristiques géométriques du tube. (b) En déduire l expression de B C en fonction de B 0, θ, e, L et χ. (c) Pour quelle valeur θ 0 de θ le champ B C est-il minimum? Quelle est la valeur B C min correspondante? Application numérique : En prenant L = 80 cm et e = 2 mm, donner la valeur du facteur d atténuation B C min /B 0 et la valeur de D correspondante (un ordre de grandeur suffit). (d) Dans cette question uniquement, on se place dans le régime saturé du fer doux (ce qui correspond à H > H S sur la caractéristique de la figure 1). Décrire alors (sans calcul) ce qui se passe en C. 5