Algèbre bilinéaire. Chapitre Forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, forme quadratique

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1 Table des matières 8 Algèbre bilinéaire 8.1 Forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, forme quadratique Espaces euclidiens Produit scalaire Orthogonalité Bases orthonormales Diagonalisation des matrices symétriques Formes quadratiques sur R n

2 Chapitre 8 Algèbre bilinéaire Dans tout ce chapitre E désigne un R-espace vectoriel. 8.1 Forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, forme quadratique Dénition On appelle forme bilinéaire sur E E (on dit aussi : sur E) toute application ϕ : E E E (u, v) ϕ(u, v) telle que : Pour tout triplet (u, v, v ) d'éléments de E et tout réel λ, ϕ(u, v + λv ) = ϕ(u, v) + λϕ(u, v ). (ϕ est linéaire par rapport à la seconde place) Pour tout triplet (u, u, v) d'éléments de E et tout réel λ, ϕ(u + λu, v) = ϕ(u, v) + λϕ(u, v). (ϕ est linéaire par rapport à la première place) Remarque 8.1. En particulier, si ϕ est une forme bilinéaire sur E, on a, pour tout vecteur u de E : ϕ(u, E ) = et ϕ( E, u) = Exercice 1 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée. Exemple Les applications suivantes sont des formes bilinéaires : ϕ : R 3 R 3 R ((x, y, z), (x, y, z )) xx + yy + zz ϕ : R R R R R (f, g) f( 1)g() + f()g( 1) ϕ : R R R ((x 1, y 1 ), (x, y )) x 1 y + x y 1

3 Exercice Soient (u 1, u, u 3 ) et (v 1, v, v 3, v 4 ) deux familles d'éléments de E. Soient (λ 1, λ, λ 3 ) et (µ 1, µ, µ 3, µ 4 ) deux familles de réels. Soit ϕ une forme bilinéaire sur E. En utilisant la bilinéarité de ϕ, exprimer ϕ (λ 1 u 1 + λ u + λ 3 u 3, µ 1 v 1 + µ v + µ 3 v 3 + µ 4 v 4 ) en fonction des éléments de la famille (ϕ(u i, v j )) 1 i 3,1 j 4. Proposition Soient n et p deux entiers strictement positifs. Soient (u 1,..., u n ) et (v 1,..., v p ) deux familles d'éléments de E. Soient (λ 1,..., λ n ) et (µ 1,..., µ p ) deux familles de réels. Soit ϕ une forme bilinéaire sur E. On a l'égalité suivante : n p n p ϕ λ i u i, µ j v j = λ i µ j ϕ (u i, v j ). i=1 j=1 i=1 j=1 Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent. Dénition Soit ϕ une forme bilinéaire sur E. On dit que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur E si et seulement si, pour tout couple (u, v) de E, on a : ϕ(u, v) = ϕ(v, u). Exercice 3 Vérier que les trois formes bilinéaires de l'exemple vu plus haut sont symétriques. Remarque Pour montrer qu'une application ϕ de E E dans R est une forme bilinéaire symétrique, il (faut et il) sut d'établir que ϕ est symétrique et linéaire par rapport à la seconde place. (le détail de la justication est laissée au lecteur : on obtient la linéarité par rapport à la première place en utilisant le caractère symétrique de ϕ, puis la linéarité de ϕ par rapport à la seconde place, puis de nouveau la symétrie de ϕ) Dénition Etant donnée une forme bilinéaire symétrique ϕ sur E, on appelle forme quadratique associée à ϕ, l'application suivante : Φ : E R u ϕ(u, u) 3

4 Exercice 4 Exercices et 3 de la feuille d'exercices distribuée. Proposition (identités de polarisation ) Soit Φ une forme quadratique sur E. Il existe une unique forme bilinéaire symétrique, appelée forme polaire de Φ telle que, pour tout vecteur u de E, Φ(u) = ϕ(u, u). Cette forme bilinéaire est dénie, pour tout couple (u, v) de E E, par l'une des trois égalités suivantes : ϕ(u, v) = 1 (Φ(u + v) Φ(u) Φ(v)). ϕ(u, v) = 1 (Φ(u) + Φ(v) Φ(u v)). ϕ(u, v) = 1 (Φ(u + v) Φ(u v)). 4 Démonstration : immédiat avec l'exercice précédent (l'existence découle de la dénition et l'unicité de l'une, au choix, des trois égalités -deux fomes bilinéaires convenant coïncident en tout couple (u, v) de E donc sont égales-). Remarque La dernière partie de ce chapitre est dédiée à l'étude des formes quadratiques sur R n. Les résultats de cette partie sont fondamentaux car ils seront réutilisés dans le chapitre sur les fonctions de plusieurs variables. 8. Espaces euclidiens 8..1 Produit scalaire Dénition 8..1 Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique dénie sur E. On dit que ϕ est positive si et seulement si, pour tout vecteur u de E, on a ϕ(u, u). On dit que ϕ est dénie-positive si et seulement si, pour tout vecteur u de E non nul, on a ϕ(u, u) >. Remarque 8.. Le caractère positif ou déni-positif d'une forme bilinéaire ϕ se lit sur la forme quadratique Φ associée à ϕ puisque, pour tout vecteur u de E, on a ϕ(u, u) = Φ(u). C'est la raison pour laquelle on parle aussi du caractère positif et du caractère déni-positif d'une forme quadratique. On dénit de manière analogue le caractère négatif et le caractère déni-négatif d'une forme bilinéaire symétrique (ou d'une forme quadratique). Dénition 8..3 (Produit scalaire, espace euclidien ) On appelle produit scalaire sur E, toute forme bilinéaire symétrique dénie-positive. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien. Remarque 8..4 On trouve aussi régulièrement les notations, < u, v >, (u, v) et u.v à la place de ϕ(u, v) lorsque ϕ est un produit scalaire. Nous utiliserons d'ailleurs systématiquement la notation <, > à partir de la partie 8... Exercice 5 Exercices 4 et 5 de la feuille d'exercices distribuée. 4

5 Exemple 8..5 Soient n et p deux entiers strictement positifs. Soient a et b deux réels tels que a < b. Les applications suivantes sont des produits scalaires : ϕ : R n R n R. n ((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) x i y i (ce produit scalaire est appelé produit scalaire usuel sur R n ) ϕ : M n,p (R) M n,p (R) R (A, B) tr (t AB ). (ce produit scalaire est appelé produit scalaire usuel sur M n,p (R)) i=1 ϕ : C ([a, b], R) C ([a, b], R) R (f, g) b a f(t)g(t) dt (ce produit scalaire est appelé produit scalaire usuel sur C ([a, b], R)). Théorème 8..6 (Inégalité de Cauchy-Schwarz ) Soit ϕ un produit scalaire sur E. Soient u et v deux éléments de E. On note Φ la forme quadratique associée à ϕ. On a l'inégalité suivante : (ϕ(u, v)) Φ(u)Φ(v). Démonstration : Introduisons la fonction P suivante : P : R R λ Φ(u + λv). Comme ϕ est un produit scalaire sur E, ϕ est une forme bilinéaire positive sur E donc on a, pour tout réel λ : P (λ) = ϕ(u + λv, u + λv). De plus, pour tout réel λ, on a, par bilinéarité et symétrie du produit scalaire ϕ : P (λ) = ϕ (u + λv, u + λv) = ϕ(u, u) + λϕ(v, u) + λϕ(u, v) + λ ϕ(v, v) = λ ϕ(v, v) + λϕ(u, v) + ϕ(u, u). Donc P est un polynôme. Dans le cas ϕ(v, v) =, on a v = E (car ϕ est un produit scalaire) et le résultat est donc clair (ϕ(u, v) = = ϕ(v, v)ϕ(u, u)). Dans le cas ϕ(v, v) >, P est un polynôme du second degré à valeurs positives. Son discriminant est négatif ou nul, c'est-à-dire que l'on a : d'où le résultat. 4 (ϕ(u, v)) 4ϕ(u, u)ϕ(v, v) Remarque 8..7 Du théorème précédent on déduit que l'on a aussi les inégalités (avec les mêmes notations) : ( Φ(u) et Φ(u) sont bien dénie car ϕ est une forme bilinéaire symétrique positive) On peut montrer (en utilisant le fait qu'un polynôme de degré de disciminant nul admet une racine et le caractère déni-positif de ϕ) que l'on a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si la famille (u, v) est liée. 5

6 Exemple 8..8 Soient x, y et z trois réels. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire usuel de R 3 et les vecteurs on obtient que l'on a : x + y + z x + y + z 3 x + y + z. Exercice 6 Exercice 6 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème 8..9 (Inégalité de Minkowski ) Soit ϕ un produit scalaire sur E. Soient u et v deux éléments de E. On note Φ la forme quadratique associée à ϕ. On a l'inégalité suivante : Φ(u + v) Φ(u) + Φ(v). Démonstration : On a : D'où : Φ(u + v) = ϕ(u + v, u + v) = ϕ(u, u) + ϕ(u, v) + ϕ(v, u) + ϕ(v, v) = Φ(u) + Φ(v) + ϕ(u, v). ( Φ(u) + Φ(v) ) ( Φ(u + v) ) = Φ(u) + Φ(v) + Φ(u) Φ(v) Φ(u + v) = Φ(u) + Φ(v) + Φ(u) Φ(v) (Φ(u) + Φ(v) + ϕ(u, v)) ( ) = Φ(u) Φ(v) ϕ(u, v). Or l'inégalité de Cauchy-Schwarz permet d'armer que l'on a Φ(u) ( ) ( ) Φ(v) ϕ(u, v), d'où Φ(u) + Φ(v) Φ(u + v) et donc le résultat. Exemple 8..1 Soient f et g deux fonctions continues sur [, 1] à valeurs dans R. On a l'inégalité : (f(t) + g(t)) dt (f(t)) dt + (g(t)) dt. Théorème Soit ϕ un produit scalaire sur E. On note Φ la forme quadratique associée à ϕ. L'application :. : E R u ( Φ(u) = ) ϕ(u, u) est une norme sur E, appelée norme associée à ϕ. Démonstration : le lecteur établira facilement, avec ce qui précède, que, pour tout u de E, on a u ; que, pour tout u de E, on a u = si et seulement si u = ; que, pour tout u de E et tout réel λ, on a λu = λ u et que, pour tout couple (u, v) de E, on a u + v u + v. Remarque 8..1 L'inégalité de Cauchy-Schwartz se réécrit donc, en notant <, > le produit scalaire et. la norme associée : (u, v) E, < u, v > u v. 6

7 L'inégalité de Minkowski s'interprête facilement graphiquement dans le cas de R muni de son produit scalaire usuel (et aussi dans le cas de R 3 muni de son produit scalaire usuel) : Exercice 7 1) On munit R du produit scalaire usuel. Déterminer la norme des vecteurs u = (3, ) et v = ( 1, 1). ) On rappelle que la représentation graphique des vecteurs u et v est la suivante : Comment peut-on interpréter la norme d'un vecteur (dans ce contexte)? Remarque Dans R muni du produit scalaire usuel, l'inégalité de Minkowski s'interprête géométriquement de la façon suivante : 7

8 8.. Orthogonalité Dénition Soit <, > un produit scalaire sur E. On note. la norme associée à ce produit scalaire. On dit que deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux si et seulement si < u, v >=. Lorsque c'est le cas, on note u v. Une famille (u i ) i I d'éléments de E est dite orthogonale si et seulement si, pour tout couple (i, j) d'éléments distincts de I, on a u i u j. Une famille (u i ) i I d'éléments de E est dite orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si, elle est orthogonale et que, pour tout élément i de I, on a u i = 1. Exemple Les matrices en eet : ( 1 1 ) et ( 1 ) sont orthogonales pour le produit scalaire usuel sur M (R), La famille ( (1, 1, 1), (1, 1, ), ( 3 4, 3 4, 3 )) est une famille orthogonale pour le produit scalaire usuel de R 3. En eet : Cette famille n'est pas orthonormale car : La famille ((1, ), (, 1)) est une famille orthonormale pour le produit scalaire usuel de R. Remarque La bilinéraité du produit scalaire implique que si u et v sont deux vecteurs orthogonaux alors, pour tous réels λ et µ, les vecteurs λu et µv sont orthogonaux. Exemple Comme les vecteurs (1, 1, 1) et (1, 1, ) sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel de R 3 les vecteurs (3, 3, 3) et ( 5, 5, ) le sont aussi. 8

9 Proposition (Théorème de Pythagore ) Soit <, > un produit scalaire sur E. Soient u et v deux éléments de E. On a l'équivalence : u + v = u + v u v. Démonstration : On a les équivalences suivantes : u + v = u + v < u + v, u + v >=< u, u > + < v, v > < u, u > + < u, v > + < v, v >=< u, u > + < v, v > < u, v >= u v d'où le résultat. Remarque Dans R muni du produit scalaire usuel, le théorème de Pythagore s'interprête géométriquement de la façon suivante : Proposition 8.. Soit <, > un produit scalaire sur E. Soient m un entier strictement positif et (u 1,..., u m ) une famille de vecteurs de E. On suppose que la famille (u 1,..., u m ) est orthogonale (pour le produit scalaire <, >). On a le résultat suivant : m m u i = u i. i=1 i=1 Démonstration : 9

10 Dénition 8..1 (orthogonal d'une partie ) Soient <, > un produit scalaire sur E et A une partie non vide de E. L'ensemble des vecteurs de E orthogonaux (pour le produit scalaire <, >) à tous les vecteurs de A est appelé orthogonal de A et est noté A. Autrement écrit on a : A = {w E ; u A, < w, u >= } Exemple 8.. On considère le sous-ensemble A de R 3 déni par A = { (x,, z), (x, z) R }. On a, pour le produit scalaire usuel de R 3, A = Exercice 8 Exercices 7 et 8 de la feuille d'exercices distribuée Bases orthonormales Exercice 9 Soient <, > un produit scalaire sur E et (u 1, u, u 3, u 4 ) une famille orthogonale (pour le produit scalaire <, >) de vecteurs non nuls de E. Montrer que la famille (u 1, u, u 3, u 4 ) est libre. 1

11 Proposition 8..3 Soit <, > un produit scalaire sur E. Toute famille orthogonale (pour le produit scalaire <, >) de vecteurs non nuls de E est libre. Démonstration : laissée au lecteur (qui pourra raisonner par récurrence et s'inspirer de l'exercice précédent). Exercice 1 Exercice 9 de la feuille d'exercices distribuée. Proposition 8..4 (Algorithme de Gram-Schmidt ) Soient <, > un produit scalaire sur E et (v 1,..., v m ) une famille libre de vecteurs de E. Il existe une famille orthogonale (pour le produit scalaire <, >) (V 1,..., V m ) de vecteurs non nuls de E telle que, pour tout k de [1, m], Vect (V 1,..., V k ) = Vect (v 1,..., v k ). Démonstration : laissée au lecteur (qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent). Remarque 8..5 On peut facilement déduire d'une famille orthogonale (V 1,..., V m ) de vecteurs non nuls de E, une famille orthonormale de vecteurs de E, la famille suivante (par exemple) convient : Théorème 8..6 On suppose que E est de dimension nie strictement positive. Soient <, > un produit scalaire sur E et F un sous-espace vectoriel de E de dimension strictement positive. On a les résultats d'existence suivants : L'espace vectoriel F admet au moins une base orthonormale (pour le produit scalaire <, >). Toute base orthonormale de F peut être complétée en une base orthonormale de E (pour le produit scalaire <, >). Démonstration : immédiat avec l'algorithme de Gram-Schmidt qui permet d'obtenir une base orthonomale à partir d'une base. Exemple 8..7 La base orthonormale ( u, v ) de F suivante peut être complétée en la base orthonormale ( u, v, w ) de R 3 (pour le produit scalaire usuel) : 11

12 Proposition 8..8 On suppose que E est de dimension nie strictement positive n. Soient <, > un produit scalaire sur E et B = (e 1,..., e n ) une base orthonormale de E (pour le produit scalaire <, >). Soient u et v deux vecteurs de E. On note (λ 1,..., λ n ) le n-uplet de coordonnées de u dans la base B, (µ 1,..., µ n ) le n-uplet de coordonnées de v dans la base B, U la matrice-colonne de M n,1 (R) dénie par U = par V = < u, v >= u = µ 1.. µ n λ 1.. λ n (ie U = Mat B (u)) et V la matrice-colonne de M n,1 (R) dénie (ie V = Mat B (v)). On a les résultats suivants : n λ i µ i = t UV. i=1 n λ i = t UU. i=1 Démonstration : Proposition 8..9 Soient <, > un produit scalaire sur E et B = (e 1,..., e n ) une base orthonormale de E (pour le produit scalaire <, >). Pour tout vecteur u de E, on a : n u = < u, e i > e i. i=1 Démonstration : Remarque 8..3 Le deuxième point de la proposition précédente se réécrit donc : 1

13 8.3 Diagonalisation des matrices symétriques Exercice 11 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème Soit A une matrice de M n (R). On suppose que A est symétrique. Il existe une matrice inversible P de M n (R) et une matrice diagonale D de M n (R) telles que A = P DP 1 et P 1 = t P. Démonstration : ce théorème est admis. Remarque 8.3. On peut montrer que toute famille obtenue en juxtaposant des bases orthonormales de sous-espaces propres de A associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille orthonormale (pour le produit scalaire de R n ; on identie ici A et l'endomorphisme de R n qui lui est canoniquement associé, ce qui est la convention habituelle). On retiendra donc qu'étant donnée une matrice symétrique réelle A de M n (R), pour obtenir une matrice inversible P de M n (R) telle que P 1 = t P et P 1 AP soit une matrice diagonale, il sut de déterminer des bases orthonormales des sous-espaces propres de A puis de juxtaposer ces bases. Exemple La diagonalisation de la matrice A = et 1 A = 1 = permet d'armer que l'on a :

14 8.4 Formes quadratiques sur R n Exemple Exercice 15 de la feuille d'exercices distribuée. Proposition 8.4. Soient n un entier strictement positif. Soit q une application dénie sur R n, à valeurs dans R. Pour que q soit une forme quadratique, il faut et il sut qu'il existe une famille de réels (a i,j ) 1 i j n telle que, pour tout n-uplet (x 1,..., x n ) de R n, on ait : q(x 1,..., x n ) = a i,j x i x j. Lorsque c'est le cas, cette famille est unique. 1 i j n Démonstration : laissée au lecteur (qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent). Exemple L'application : q : R 3 R (x, y, z) x + 4xy 1xz + 3y + 5yz z (que l'on peut réécrire q : R 3 R ) est une forme quadratique sur R 3. (x 1, x, x 3 ) x 1 + 4x 1 x 1x 1 x 3 + 3x + 5x x 3 x 3 Dénition-Proposition Soient n un entier strictement positif et q une forme quadratique sur R n. On note (a i,j ) 1 i j n la famille de réels telle que, pour tout n-uplet (x 1,..., x n ) de R n, q(x 1,..., x n ) = a i,j x i x j et A la matrice dénie par A = a 1,1 a 1,... a 1,n a 1,. a.. a,n, a 1,n... Pour tout n-uplet (x 1,..., x n ) de R n : où X = x 1.. x n. a n 1,n a n,n. q(x 1,..., x n ) = t XAX 1 i j n La matrice A est symétrique et est appelée matrice de q (on dit aussi que q est la forme quadratique associée à la matrice A). Démonstration : laissée au lecteur (qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent). Remarque On se permet souvent de parler du caractère déni-positif, positif, négatif ou déni-négatif d'une matrice symétrique -alors qu'en toute rigueur ces notions ne sont dénies que sur la forme quadratique associée à cette matrice-. 14

15 Exemple L'application : q : R 3 R (x, y, z) x + 4xy 1xz + 3y + 5yz z est une forme quadratique. Sa matrice est L'application : q : R 3 R (x, y, z) x + 5xz + 3y 6yz est une forme quadratique. Sa matrice est La forme quadratique associée à la matrice est l'application : Exercice 1 Exercice 16 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème-Dénition (Décomposition de Gauss d'une forme quadratique ) Soient n un entier strictement positif et q une forme quadratique, non nulle, sur R n. Il existe un entier p appartenant à [1, n], des formes linéaires l 1,..., l p appartenant à L(R n, R) linéairement indépendantes et des réels non nuls λ 1,..., λ p tels que, pour tout n-uplet (x 1,..., x n ) de R n : p q(x 1,..., x n ) = λ i l i (x 1,..., x n ). i=1 Le couple (s, t), où s désigne le nombre de réels de la famille (λ i ) 1 i p qui sont strictement positifs et t le nombre de réels de la famille (λ i ) 1 i p qui sont strictement négatifs est appelé signature de la forme quadratique q. Le rang de la forme quadratique q est le nombre de réels de la famille (λ i ) 1 i n qui sont non nuls. Démonstration : on admet ce résultat qui généralise ce qui a été constaté sur quelques cas particuliers dans l'exercice précédent. Remarque Par convention la signature d'une forme quadratique nulle est (, ). Si q est une forme quadratique de signature (s, t) alors le rang de q est égal à s + t. 15

16 Proposition Soient n un entier strictement positif et q une forme quadratique sur R n. On note (s, t) la signature de q. On a les résultats suivants : q est dénie-positive si et seulement si s = n. q est positive si et seulement si t =. q est dénie-négative si et seulement si t = n. q est négative si et seulement si s =. q n'est pas positive ni négative si et seulement si s > et t >. Démonstration : laissée au lecteur. Exercice 13 Exercices 17 et 18 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème Soient n un entier strictement positif et q une forme quadratique, non nulle, sur R n. On note A la matrice de q. Comme A est symétrique, il existe un entier p appartenant à [1, n] et des a ap..... réels non nuls a 1,..., a p tels que A est semblable à la matrice On a les résultats suivants : q est dénie-positive si et seulement si p = n et, pour tout i de [1, n], a i >. q est positive si et seulement si, pour tout i de [1, p], a i >. q est dénie-négative si et seulement si p = n et, pour tout i de [1, n], a i <. q est négative si et seulement si, pour tout i de [1, p], a i <. q n'est pas positive ni négative si et seulement si il existe un couple (i, j) d'éléments de [1, p] tel que a i > et a j <. Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent. Remarque Plus généralement, en notant s le nombre de réels de la famille (a i ) 1 i p qui sont strictement positifs et t le nombre de réels de la famille (a i ) 1 i p qui sont strictement négatifs, la signature de q est (s, t). On reprend les notations du théorème (8.4.7) : on note (λ i ) 1 i p la famille de réels intervenant dans la décomposition de Gauss de la forme quadratique associée à A. Le nombre de réels positifs (respectivement négatifs) de la famille (a i ) 1 i p est égal au nombre de réels positifs (respectivement négatifs) de la famille (λ i ) 1 i p mais ces familles sont en général distinctes. 16