Chapitre 3 : Notion de fonction 2nde

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1 Chapitre 3 : Notion de fonction 2nde I. Exemple introductif Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur en cm d un côté de ce rectangle. 1. Calculer l'aire du rectangle lorsque x = a. Exprimer en fonction de x l aire du rectangle. b. On peut ainsi calculer l aire du rectangle pour différentes valeurs de x : x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Aire 6 II. Notion de fonction et courbe représentative II. 1. Généralités Définition n 1 : Soit D un ensemble de nombres. Définir une fonction f sur D, c est associer à chaque réel x de D, un unique réel que l on note f(x). On note f : D R x f(x) Et on lit : «La fonction f définie pour tout x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f(x).» Vocabulaire : Dans l égalité f(a) = b on dit que b est l image de a par f et a est un antécédent de b par f L ensemble D est appelé l ensemble de définition de la fonction f, c est l ensemble des réels qui ont une image par f. On le note souvent D f. Remarque : Un nombre de l ensemble de départ n a qu une image mais un nombre de l espace d arrivée peut avoir plusieurs antécédents Exemple n 1 : On considère la fonction f qui à tout entier naturel associe la somme des chiffres qui le composent. l ensemble de définition de f est N. On a f(134) =.

2 Exemple n 2 : On considère la fonction f qui à tout réel associe la somme du carré de ce réel et de 1. Cette fonction est définie sur R, On peut représenter cette fonction par la formule explicite f : x.. On a f(2) =, ainsi l image de. par f est. Exercice n 1 : Ensemble de définition Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : a) f(x) = x 1 b) g(x) = 1 x+3 c) h(x) = 1 x 2 +1 Exercice n 2 : images et antécédents Soit la fonction f définie par f(x) = x 1 1) Compléter le tableau de valeurs : x 4 10, ,25 x 1 2) Compléter alors : a) L image de 4 par f est b) Un antécédent de 5 par f est c) f : 4,2 d) f(20,25) = Méthode n 1 Pour déterminer l image d un réel par une fonction définie par une formule, il suffit de remplacer x par la valeur désirée. Pour déterminer le ou les antécédents par f d un réel k, il suffit de résoudre l équation f(x) = k. II. 2. Représentation graphique a. généralités Définition n 2 : Le plan étant muni d un repère (O ; I, J), on appelle courbe représentative (ou représentation graphique) d une fonction f, l ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). On dit que y = f(x) est une équation de la courbe représentative de f dans ce repère qu on note C f.

3 Exercice n 3 : Reprendre l exemple introductif et représenter la fonction aire dans le repère ci-dessous. Méthode n 2 : Pour représenter une fonction quand elle est définie par une formule algébrique, on calcule l image de nombres réels pris dans l ensemble de définition puis on complète un tableau de valeurs et on place les points dans un repère. Proposition n 1: Dans un repère (O ; I, J), Dire que M (a ; b) est un point de C f signifie que a appartient à l ensemble de définition de f et que f(a) = b Exercice n 2 : La courbe C représente dans un repère une fonction f définie sur [-2 ; 4] par f(x) = 0,5(x + 1)² 2. Les points suivants appartiennent-ils à la courbe C? A(0 ; -1,5) ; B(1 ; 0) ; C(2 ; 2) ; D(-3 ; 0) ; E(1,5 ; 1) ; F(-1 ; -2)

4 b. lecture graphique Lecture de l ensemble de définition On repère l ensemble des abscisses des points de la courbe représentative de la fonction. Lecture d une image Pour lire l image d un nombre a par une fonction f : - on se place sur l axe des abscisses au point d abscisse a - on imagine la parallèle à l axe des ordonnées passant par ce point - On lit l ordonnée du point d intersection de cette parallèle et de la courbe. On obtient l image de a Lecture d antécédent(s) Pour lire l (les) antécédent(s) d un nombre b : - on se place sur l axe des ordonnées au point d ordonnée a - on imagine la parallèle à l axe des abscisses passant par ce point - on lit l abscisse de chaque point d intersection de cette parallèle avec la courbe. On obtient ainsi chaque antécédent de a Remarque importante : Lire les antécédents de b revient à résoudre graphiquement l équation f(x) = b. Exercice n 3 : Figure n 1 On donne la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé 5 1. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Déterminer l image de 1, 3, 0, -2, -4 par f. 3. Déterminer le ou les antécédents de 7, 10, 0 par f. j -5 O i 3 5

5 III. Sens de variation d une fonction 1. fonction croissante, décroissante sur un intervalle a. Définition Définition 3 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans son domaine de définition f est dite croissante sur I si pour tous réels a et f est dite décroissante sur I si pour tous réels a b de I tels que a b, on a f(a) f(b) et b de I tels que a b, on a f(a) f(b) (les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre). On dit aussi que f conserve l ordre (les images et les antécédents sont rangés dans l ordre inverse). On dit aussi que f renverse l ordre On pourra pour l instant retenir : Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I, si lorsque les abscisses x augmentent, les images f(x) augmentent. Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle I, si lorsque les abscisses x augmentent, les images f(x) diminuent Remarque : Si les inégalités sont strictes, on dit que f est strictement croissante ou décroissantes. Définition 4 : La fonction f est dite constante sur I si pour toutes les valeurs a et b de I on a f(a) = f(b). Définition 5 : On dit qu une fonction est monotone si elle soit croissante, soit décroissante. Remarque : Etudier les variations graphiquement, c est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est monotone, puis on peut résumer les résultats dans un tableau de variation. b. Tableau de variation : Le tableau de variation est un résumé des renseignements que nous connaissons sur la fonction ou sur sa courbe représentative. Dans tout tableau de variations : - On repère sur la première ligne la variable x variant sur son ensemble de définition - On découpe D l ensemble de définition en autant d'intervalles sur lesquels la fonction a le même sens de variation sachant que la lecture graphique se fait de gauche à droite. On signale d'une flèche : - montante la croissance de la fonction, descendante la décroissance de la fonction. - horizontale la constance de la fonction S ils existent, on repère le minimum et/ou le maximum de la fonction f sans oublier la valeur en lesquels ils sont atteints.

6 Exercice n 4 : figure 3 On donne la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. Représenter le tableau de variation de la fonction f 2. maximum et minimum d une fonction Définition 4 : f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I. si f(a) est la plus petite valeur de f(x) sur I c est-à-dire : Pour tout réel x de I, f(a) f(x) alors on dit que f admet un minimum en a sur I. si f(a) est la plus grande valeur de f(x) sur I c est-à-dire : Pour tout réel x de I, f(a) f(x) alors on dit que f admet un maximum en a sur I. On dit que f admet un extremun si elle admet un minimun ou un maximun. Exercice n 5 1. Reprendre la figure précédente et déterminer les extremums de la fonction f. 2. Dans l exemple introductif, donner les dimensions du rectangle permettant de construction un rectangle d aire maximale.

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