Repérages et vecteurs

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1 Chapitre V Repérages et vecteurs I. Vecteurs et translations. 1.Translation de vecteur AB : a) Définition : Le point du plan a pour translaté l unique point dans la translation de vecteur AB si [A ] et [B] ont le même milieu. b) Exemples : Si (AB) B A Si (AB) B A Cette définition revient à dire que le point du plan a pour translaté l unique point dans la translation de vecteur AB si AB est un parallélogramme (éventuellement aplati). On pourra donc aussi utiliser la construction d un parallélogramme.. Vecteur : a) Définition : Un vecteur est défini par : sa direction son sens sa longueur ( appelée sa.) Exemple : AB a pour direction celle de la droite (AB), a pour sens celui de A vers B et pour norme AB, notée... b) Remarque : A est l origine du vecteur AB. c) Cas particulier : S il n y a pas de mouvement, la translation utilisée est la translation de vecteur nul, noté Vecteurs égaux : a) Définition : Deux vecteurs sont égaux s ils définissent la même translation ; autrement dit, deux vecteurs sont égaux s ils ont même direction, même sens et même norme. b) Exemple : AB = CD signifie que : c) Conséquence : AB = CD signifie que ABDC est un

2 4.Vecteurs opposés : a) Définition : Deux vecteurs sont opposés s ils ont b) Notation : L opposé de AB se note. L opposé de u se note. 5.ilieu d un segment : I est le milieu du segment [AB] si et seulement si. 6. Somme de deux vecteurs : a) Définition : La somme de deux vecteurs est le vecteur de la translation obtenue en faisant la composition des deux translations associées à ces vecteurs. b) Composition de deux translations : relation de Chasles La composition des translations de vecteurs AB et BC ( c estàdire la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC) est égale à la translation de vecteur AC. Conséquence : On a l égalité vectorielle appelée la relation de Chasles : c) Somme de deux vecteurs de même origine : La translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur AC est égale à la translation de vecteur AD, où AC=BD d) Cas particulier du milieu : AB + AC = AD signifie que ABDC est un I est le milieu de [AB] si et seulement si.. e) Différence de deux vecteurs : Soustraire un vecteur, revient à ajouter son opposé : u v = u + v f) Remarque : L addition peut se faire sans tenir compte de l ordre : u + v = v + u ( )

3 II. Repères cartésiens. Coordonnées de points. René Descartes ( ) : C est dans le Discours de la éthode, en 1637, que Descartes résout, dans un livre intitulé La Géométrie, le problème de Pappus (mathématicien grec du III siècle) par la méthode des coordonnées qui réduit un problème géométrique à un calcul algébrique. La solution géométrique de Pappus était longue et difficile contrairement à celle de Descartes. Son nom a donné le mot cartésien. Et l on nomme la géométrie cartésienne, cette façon de résoudre par l algèbre des problèmes géométriques. 1. Repères d une droite. a) Définition : Soit D une droite, O et I deux points de la droite D. Le couple (O,I) est un repère de la droite graduée (ou axe) D. O en est l origine et OI l unité. A tout point de la droite D correspond un unique réel x appelé l abscisse de dans le repère (O,I). O I 0 1 x b) Exemple : Soit D une droite et les points cidessous: A C O D B A a pour abscisse. dans le repère (O,D) A a pour abscisse. dans le repère (A,C) A a pour abscisse. dans le repère (O,B) A a pour abscisse. dans le repère (C,D) A a pour abscisse. dans le repère (C,B) c) Rappels : 1) Si est le milieu de [AB] avec a, b et x les abscisses respectives de A, B et alors x = a + b. ) Si a et b sont les abscisses respectives de A et B alors AB = a b si a b b a si a b. Repères du plan Soit O, I et J trois points du plan non alignés, (O,I) est un repère de la droite (OI) et (O,J) est un repère de la droite (OJ). Soit un point quelconque du plan. Il est possible de trouver deux points P et Q respectivement sur (OI) et (OJ) tels que OPQ soit un parallélogramme : il suffit de tracer les parallèles aux axes passant par et de prendre les points d intersection avec ces axes. Q O P P étant sur la droite (OI), il existe un unique réel x tel que x soit l abscisse de P dans le repère de droite (O,I). Q étant sur la droite (OJ), il existe un unique réel y tel que y soit l abscisse de Q dans le repère de droite (O,J)

4 a) Définition d un repère du plan : Considérons O, I et J, trois points non alignés du plan. Le triplet (O, I, J) est un repère cartésien du plan. O en est l origine, (OI) l axe des abscisse de repère (O,I) et (OJ) l axe des ordonnées de repère (O,J). Ces droites sont souvent notées (x x) et (y y) et sont appelées les axes du repère. I donne l unité sur l axe des abscisses et J l unité sur l axe des ordonnées. Si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal. Si de plus, les unités sont les mêmes, c est à dire si OI = OJ, le repère est dit orthonormal ou orthonormé. b) Définition des coordonnées d un point dans un repère du plan : Soit (O, I, J) est un repère cartésien du plan. Tout point du plan est repéré dans ce repère du plan par deux nombres : son abscisse lue sur l axe des abscisses et notée x son ordonnée lue sur l axe des ordonnées et notée y ( x ; y ) est le couple de ses coordonnées. Notation : ( x ; y ). c) Coordonnées du milieu d un segment Conjecture avec Géogébra : Créer 4 curseurs a, b,c et d prenant des valeurs entières comprises entre 5 et 5. Créer le points A(a,b), B(c,d) et le milieu de [AB]. Conjecturer sur les coordonnées de. Coordonnées de A Coordonnées de B Coordonnées de Nous avons conjecturer avec Géogébra la propriété suivante : (Voir 3 p.193pour une démonstration) Propriété : Soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) dans le repère (O, I, J). I est le milieu du segment [AB] si et seulement si I x A + x B ; y A + y B Application : Si A(3 ; 5) et (1 ; 7), chercher les coordonnées de B pour que soit le milieu de [AB] Voir aussi le 16 p. 193 (programmation du calcul des coordonnées du milieu). d) Distance entre deux points Idée du calcul de la distance entre deux points (figure avec Géogébra puis Pythagore) Nous avons vérifié sur des exemples avec Géogébra la propriété suivante : Propriété (admise) : Soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) dans le repère orthonormal (O, I, J). AB = ( x B x A ) + ( y B y A ) Remarque : Le repère doit être obligatoirement orthonormal pour que la démonstration avec le théorème de Pythagore soit possible. Voir aussi le 17 p. 193 (programmation du calcul de la longueur d un segment).

5 III. Coordonnées de vecteurs. 1. Définition des coordonnées d un vecteur dans une base a) Définition Soient i et j deux vecteurs non nuls et de directions différentes. Le couple ( i, j ) est appelé une base. Considérons le repère cartésien du plan (O, I, J) tel que OI = i et OJ = j. (Le repère (O, I, J) se note aussi (O; i, j )). Soit u un vecteur. On admet qu il existe un unique point du plan tel que u = O. Soit ( x ; y ) les coordonnées de dans le repère (O, I, J). Le couple x ; y b) Notation: u ( x ; y ) ou u x. y c) Exemple ( ) est aussi le couple des coordonnées (ou composantes) de u dans la base ( i, j ). d) Remarque : Les coordonnées de ce vecteur expriment les déplacements qu'il faut effectuer pour aller de O à, en suivant des chemins parallèles aux axes.. Propriétés : a) Coordonnées de la somme de deux vecteurs : Si u x, y u x, y ( ) et ( ) dans la base ( i, j ) alors u + u x + x ; y + y ( ) Démonstration : Soit u ( x, y) et u x, y i, j ). Il existe trois points, N et P tels que u = O, v = ON et u + v = OP. Par définition, dans le repère (O; i, j ), ( x, y) et N ( x, y ). De plus OPN est un parallélogramme. Ses diagonales [OP] et [N] se coupent en leur milieu d où les égalités : x P + x O = x + x N x P y P + y O = y = x + x + y N y P = y + y x P = x + x y P = y + y b) Calcul des coordonnées du vecteur AB Dans le repère (O; i, j ). soit A x A ; y A ( ) deux vecteurs dans la base ( ( ) et B ( x B ; y B ) alors AB ( x B x A ; y B y A ) dans la base ( i, j ). Démonstration : Dans le repère (O; i, j ). soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) donc OA ( x A ; y A ) et OB ( x B ; y B ) dans la base ( i, j ). Par la relation de Chasles, AB = AO + OB = OA + OB = OB + ( OA). Remarque : le point A tel que OA = OA est le symétrique de A par rapport à O donc ses coordonnées sont opposées à celles de A. c) Coordonnées du vecteur nul Propriété : Dans la base ( i, j ), soit u ( x, y). u = 0 si et seulement si x = y = 0 Démonstration : x = y = 0 alors u = OO = 0 et réciproquement. d) Coordonnées de deux vecteurs égaux Propriété : Dans la base ( i, j ), soit u ( x, y) et u (x,y ). Les vecteurs u et u sont égaux si et seulement si x = x et y = y

6 Démonstration : Dans la base ( i, j ), soit u (x,y) et u ( x, y ). On a u = u u u = 0 x x i + y y j = 0 x x = y y = 0 x = x et y = y. ( ) ( ) IV. ultiplication d un réel par un vecteur. Vecteurs colinéaires 1. ultiplication d un réel par un vecteur a) Définition : Dans la base ( i, j ), soit le vecteur u x, y vecteur u donne le vecteur k. u ainsi défini : k. u ( kx; ky) Remarque : On admettra que ce résultat est indépendant du choix du repère. ( ) et k un réel. La multiplication du réel k par le b) Conjecture : Créer deux curseurs a et b un vecteur u de coordonnées (a ; b), puis un curseur k (entre 10 et 10). Créer le vecteur v=ku (c est à dire de coordonnées (ka ; kb)). Faire varier les curseurs et conjecturer sur les liens entre u et v suivant les valeurs de k. c) Propriété caractéristique (admise) : Soit k un nombre réel non nul et u un vecteur non nul. La multiplication du réel k par le vecteur u donne le vecteur k. u ainsi défini : Direction : k. u et u ont la même direction Sens : Si k > 0, k. u et u sont de même sens Si k < 0, k. u et u sont de sens contraires Norme : k. u = k u k. 0 = 0 et 0. u = 0 d) Exemples : 1) AC = 3.AB signifie que : A B ) DC= 1 AB signifie que : B A C

7 3) ilieu d un segment : I est le milieu du segment [AB] si et seulement si.. e) Propriétés : Soient k, k deux réels et u, u deux vecteurs. Alors : 1. u = u ( k + k ). u = k. u + k. u k. ( u + v ) = k. u + k. v k. ( k. u ) = ( k k ). u. Colinéarité a) Définition : Le vecteur non nul u et le vecteur v sont dits colinéaires s il existe un nombre réel k tel que v = k. u. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Remarque : Il y a unicité de la valeur k. Démonstration de l unicité : Si u et v sont colinéaires et si v = k. u = k. u alors k. u k. u = 0 Or u 0 alors k k' ( ) = 0 soit k = k'. ( k k' ) u = 0 b) Conséquences : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s ils ont la même direction. Si A, B, C et D sont quatre points distincts du plan, il y a équivalence entre les résultats suivants : (AB)//(CD) AB et CD ont la même direction il existe un réel k tel que AB=kCD AB et CD sont des vecteurs colinéaires. Si A, B et C sont trois points distincts du plan, il y a équivalence entre les résultats suivants : A, B et C sont alignés (AB)//(AC) AB et AC ont la même direction il existe un réel k tel que AB=kAC AB et AC sont des vecteurs colinéaires. La colinéarité permet de traduire des propriétés telles que l alignement ou le parallélisme. c) Application : 51 p. 37