,=L'ESPACE=AU=BAC=2016fe

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1 31 France métropolitaine Asie juin 005 septembre points Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère : les points A(0 ; 1 ; 1) et B( ; ; 1) x t la droite D de représentation paramétrique y 1 t z 1 t, t 1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) a Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas parallèles b Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas sécantes Dans la suite la lettre u désigne un nombre réel On considère le point M de la droite D de coordonnées ( + u ; 1 + u ; 1 u) 3 Vérifier que le plan P d équation x y z 3u 0 est orthogonal à la droite D et passe par le point M 4 Montrer que le plan P et la droite (AB) sont sécants en un point N de coordonnées (4 + 6u ; 3 3u ; 1) 5 a Montrer que la droite (MN) est perpendiculaire à la droite D b Existe-t-il une valeur du nombre réel u pour laquelle la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (AB)? 6 a Exprimer MN en fonction de u b En déduire la valeur du réel u pour laquelle la distance MN est minimale 3 AmériqueAsie du Sud juin novembre points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée L absence de réponse n est pas pénalisée Une réponse non justifiée n est pas prise en compte L espace est muni d un repère orthonormé (O; i, j, k) Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : A(3 ; 1 ; 4), B(1 ; ; 3), C(4 ; 1 ; ) Le plan P a pour équation cartésienne : x 3y + z 7 = 0 x 1 4t La droite a pour représentation paramétrique y 4 t, t z 8 t Affirmation 1 : Les droites et (AC) sont orthogonales Affirmation : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne x + 5y + z 5 = 0 Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées (x ; y ; z) sont données par x 1 s s' y 1 s s', s, s appartiennent au plan P z 1 4s s' Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan P qui contient la droite 1

2 3 Polynésie Asie septembre juin points ABCDEFGH est un cube I est le milieu de [AB], J est le milieu de [HD] et K est le milieu de [HG] On se place dans le repère (A;AB,AD,AE) E J H K F G 1 Démontrer que le vecteur CE est un vecteur normal au plan (IJK) Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK) 3 Soit M un point de la droite (CE) Quelle est la position du point M sur la droite (CE) pour laquelle le plan (BDM) est parallèle au plan (IJK)? A D I B C 34 Nouvelle-Calédonie Asie juin 005 novembre points Soient x, y et z trois nombres réels On considère les implications (P 1 ) et (P )suivantes : 1 (P 1 ) x y z 1 x y z 3 Partie A L implication (P ) est-elle vraie? Partie B 1 3 (P ) x y z x y z 1 Dans l espace, on considère le cube ABCDEFGH, représenté ci-contre, et on définit le repère orthonormé (A;AB,AD,AE) E F H G 1 a Vérifier que le plan d équation x + y + z = 1 est le plan (BDE) b Montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE) c Montrer que l intersection de la droite (AG) avec le plan (BDE) est le point K de coordonnées ; ; Le triangle BDE est-il équilatéral? 3 Soit M un point de l espace a Démontrer que si M appartient au plan (BDE), alors A M = AK MK b En déduire que si M appartient au plan (BDE), alors AM AK c Soient x, y et z des réels quelconques En appliquant le résultat de la question précédente au point M de coordonnées (x ; y ; z),montrer que l implication (P 1 ) est vraie A B D C

3 35 Nouvelle-Calédonie Asie juin 005 mars points Dans le repère orthonormé (O; i, j, k) de l espace, on considère pour tout réel m, le plan P m 1 1 d équation m x m 1 y mz Pour quelle(s) valeur(s) de m le point A(1 ; 1 ; 1) appartient-il au plan P m? Montrer que les plans P 1 et P 4 sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique x 1 t (d) y 9 t avec t z t 3 a Montrer que l intersection entre P 0 et (d) est un point noté B dont on déterminera les coordonnées b Justifier que pour tout réel m, le point B appartient au plan P m c Montrer que le point B est l unique point appartenant à P m pour tout réel m 4 Dans cette question, on considère deux entiers relatifs m et m' tels que 10 m 10 et 10 m' 10 On souhaite déterminer les valeurs de m et de m' pour lesquelles P m et P m' sont perpendiculaires a Vérifier que P 1 et P 4 sont perpendiculaires b Montrer que les plans P m et P m' sont perpendiculaires si et seulement si c On donne l algorithme suivant : mm' mm' m 1 m' Variables : m et m entiers relatifs Traitement : Pour m allant de 10 à 10 : Pour m' allant de 10 à 10 : Si mm' 16m 1 m' 1 4 mm' 0 Alors Afficher m ; m' Fin du Pour Fin du Pour Quel est le rôle de cet algorithme? d Cet algorithme affiche six couples d entiers dont (4 ; 1), (0 ; 1) et (5 ; 4) Écrire les six couples dans l ordre d affichage de l algorithme 3

4 36 Antilles-Guyane Asie juin septembre points Soit ABCDEFGH le cube ci-contre On se place dans le repère orthonormé (A;AB,AD,AE) H E G F A B D C x s 1 a Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique y 1 s, où s décrit z 0 l ensemble des nombres réels b Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées (t ; t ; t) où t est un réel Soit M un point quelconque de la droite (DB) et N un point quelconque de la droite (AG) Démontrer que la droite (MN) est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulement si 1 1 M et N ont pour coordonnées respectives ; ; 0 et ; ; Soit s et t deux réels quelconques On note M(s ; 1 s ; 0) un point de la droite (DB) et N(t ; t ; t) un point de la droite (AG) a Montrer que MN 3t s 3 6 b En déduire la position des points M et N pour laquelle la distance MN est minimale Que peut-on dire de la droite (MN) dans ce cas? 37 France métropolitaine Asie juin 005 juin points Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k) on donne les points : A(l,, 3), B(3, 0, l), C(l, 0, l), D(, l, l), E(l,, 3) et F(, 3, 4) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte Affirmation 1 : Les trois points A, B et C sont alignés Affirmation : Le vecteur n (0, 1, 1) est un vecteur normal au plan (ABC) Affirmation 3 : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC] Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont sécantes 4

5 38 Liban Asie juin mai points On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I Une représentation en perspective de ce solide est donnée en annexe (à rendre avec la copie) Toutes les arêtes sont de longueur 1 L espace est rapporté au repère orthonormé ( A; AB, AD, AK) 1 a Montrer que IE En déduire les coordonnées des points I, E et F 0 b Montrer que le vecteur n est normal au plan (ABE) c Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE) On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB] a Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles b Déterminer l intersection des plans (EMN) et (FDC) c Construire sur l annexe (à rendre avec la copie) la section du solide ADECBF par le plan (EMN) 5

6 39 Amérique Asie du Nord juin 005 juin points On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1 On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur 1 Justifier que le repère (O;OB,OC,OS) est orthonormé Dans la suite de l exercice, on se place dans le repère (O;OB,OC,OS) 1 On définit le point K par la relation SK SD et on note I le milieu du segment [SO] 3 a Déterminer les coordonnées du point K b En déduire que les points B, I et K sont alignés c On note L le point d intersection de l arête [SA] avec le plan (BCI) Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles d Déterminer les coordonnées du point L 3 On considère le vecteur 1 n 1 dans le repère (O;OB,OC,OS) a Montrer que n est un vecteur normal au plan (BCI) b Montrer que les vecteurs n, AS et DS sont coplanaires c Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD)? 6

7 10 3 Pondichéry Asie juin avril points ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 Le point I est le milieu du segment [BF] Le point J est le milieu du segment [BC] Le point K est le milieu du segment [CD] Partie A Dans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction : le point L ; l intersection D des plans (IJK) et (CDH) ; la section du cube par le plan (IJK) Partie B L espace est rapporté au repère ( A; AB, AD, AE) 1 Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère a Montrer que le vecteur AG est normal au plan (IJK) b En déduire une équation cartésienne du plan (IJK) 3 On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l intervalle [0 ; 1] tel que AM t AG 5 a Démontrer que MI 3t 3t 4 b Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N 1 ; 1 ; 1 4 Démontrer que pour ce point N 1 ; 1 ; 1 : a N appartient au plan (IJK) b La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF) 7

8 11 3 Antilles-Guyane Asie juin 005 juin points ABCDEFGH est un cube d arête égale à 1 L espace est muni du repère orthonormé ( D; DC, DA, DH ) Dans ce repère, on a : D(0 ; 0 ; 0), C(1 ; 0 ; 0), A(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 0 ; 1) et E(0 ; 1 ; 1) Soit I le milieu de [AB] Soit P le plan parallèle au plan (BGE) et passant par le point I On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I, J, K, L, M et N appartiennent respectivement aux arêtes [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE] 1 a Montrer que le vecteur DF est normal au plan (BGE) b En déduire une équation cartésienne du plan P Montrer que le point N est le milieu du segment [AE] 3 a Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HB) b En déduire que la droite (HB) et le plan P sont sécants en un point T dont on précisera les coordonnées 4 Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre FBGE 8

9 Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs disposés en forme de «coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère (O;OA,OB,OC) soit un repère orthonormé On utilisera ce repère dans tout l'exercice Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC) Les rayons lumineux sont modélisés par des droites Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises) : 1 3 Asie juin points lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur v a ; b ; c est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est v' a ; b ; c ; lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur v a ; b ; c est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est v' a ; b ; c ; lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur v a ; b ; c est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est v' a ; b ; c 1 Propriété des catadioptres En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur v a ; b ; c est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite d 1 de vecteur directeur v1 ; 1 ; 1 qui vient frapper le plan (OAB) au point I 1 ( ; 3 ; 0) Le rayon réfléchi est modélisé par la droite d de vecteur directeur v ; 1 ; 1 et passant par le point I 1 Réflexion de d sur le plan (OBC) a Donner une représentation paramétrique de la droite d b Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan c Soit I le point de coordonnées (0 ; ; l) Vérifier que le plan (OBC) et la droite d sont sécants en I On note d 3 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC) d 3 est donc la droite de vecteur directeur v 3 ; 1 ; 1 passant par le point I (0 ; ; l) 3 Réflexion de d 3 sur le plan (OAC) Calculer les coordonnées du point d'intersection I 3 de la droite d 3 avec le plan (OAC) On note d 4 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC) Elle est donc parallèle à la droite d 1 4 Étude du trajet de la lumière u 1 ; ; 0 On donne le vecteur, et on note P le plan défini par les droites d l et d a Démontrer que le vecteur u est un vecteur normal au plan P b Les droites d 1, d et d 3 sont-elles situées dans un même plan? c Les droites d 1, d et d 4 sont-elles situées dans un même plan? 9