GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

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1 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ème année. Vecteurs du plan et de l espace.. Introduction.. Ensembles \ et \.. Composantes d un vecteur 4..4 Opérations sur les vecteurs 6..5 Combinaison linéaire, colinéarité, coplanarité 0..6 Norme d un vecteur..7 Composantes d un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur * 6..8 Ce qu il faut absolument savoir 9. Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel 0.. Le produit scalaire 0.. Propriétés du produit scalaire.. Angle entre deux vecteurs..4 Projection orthogonale 6..5 Le déterminant Le produit vectoriel * Ce qu il faut absolument savoir 55 Picchione Serge 04-05

2 . Droites et plans 56.. Équations paramétriques des droites dans \ 56.. Équations cartésiennes des droites dans \ 57.. Passage : Équations paramétriques / cartésiennes des droites dans \ Position relative de deux droites dans \ et intersections Angles entre deux droites dans \ Distance entre un point et une droite dans \ 6..7 Équations paramétriques des droites dans \ Équations cartésiennes des droites dans \ Position relative de deux droites dans \ et intersections Angles entre deux droites dans \ 70.. Équations paramétriques des plans dans \ 74.. Équations cartésiennes des plans dans \ 75.. Passage : Équations paramétriques / cartésiennes des plans dans \ Distance entre un point et un plan dans \ Angles entre deux plans dans \ Ce qu il faut absolument savoir 85.4 Cercles et sphères * 86.5 Solutions des exercices 9 Picchione Serge 04-05

3 AVANT-PROPOS Ce document a été conçu pour l enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en troisième année, en géométrie vectorielle. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d autres filières d enseignement. Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. Les exercices accompagnés d un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l option, niveau avancé (MA). Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l étude d un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : «Ce qu il faut absolument savoir» et «Questionnaire à choix multiples». Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l adresse suivante : Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter. BON TRAVAIL! Picchione Serge 04-05

4 Picchione Serge 04-05

5 . Vecteurs du plan et de l espace.. Introduction Dans ce cours de Mathématiques, nous allons reprendre le concept de vecteur étudié en Physique. Nous nous intéresserons à généraliser et à modéliser ce concept afin de l'utiliser dans l'étude de la Géométrie. Pour rappel, certaines grandeurs physiques peuvent être modélisées à l'aide d'un seul nombre. Par exemple, la température, la masse, une distance, un angle d'inclinaison, etc. Ces grandeurs sont appelées grandeurs scalaires. D'autres grandeurs comme une force, une position, une vitesse, un champ électrique ne peuvent pas être modélisées qu'à l'aide d'un seul nombre. On a besoin de connaître leur direction, leur sens et leur intensité (un nombre). Ces grandeurs sont alors appelées grandeurs vectorielles. Définitions v = vecteur position du"point" au temps t. Un vecteur est un objet entièrement déterminé par la donnée d'une direction, d'un sens et d'une intensité (un nombre). On représente un vecteur par une flèche ce qui permet justement de décrire une direction (droite), un sens (pointe) et une intensité (longueur de la flèche). B A v Le point d application du vecteur est le point A et l extrémité est le point B. On note v = AB un vecteur et v = AB son intensité (on dit aussi norme de v ). On appelle vecteur nul, noté 0, le vecteur dont le point d'application et l extrémité coïncident : AA = 0. Le vecteur nul 0 à une intensité nulle, sa direction est indéterminée. Le vecteur opposé de v = AB est le vecteur dont l origine v B est B et l extrémité A. Il est noté v = BA= AB A v Deux vecteurs sont équivalents si et seulement si ils ont même direction, même sens et même intensité (longueur). v t O v v v Exemples A C H E J B D F Les vecteurs AB et CD sont équivalents (même norme, direction et sens). Les vecteurs AB et EF ne sont pas équivalents car ils n ont pas la même norme. et JI ne sont pas équivalents Les vecteurs GH car ils n ont pas le même sens. G I P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

6 .. Ensembles Définitions et Dans le plan, un repère cartésien (orthonormé) est constitué d un point O, nommé origine et de deux axes orientés Ox et Oy, perpendiculaires deux à deux, (muni d une même échelle). Un point P du plan, peut alors être représenté par deux nombres réels : x et y. P x; y. On notera : ( ) ( x;y ) est un couple de nombres réel et x, y sont les coordonnées cartésiennes de P. Autrement dit, un point P du plan est identifié à un couple de nombres : P ( x;y) Illustration y P(x;y) L'ensemble de tous les couples de nombres {( x; y) xet y } se note : Le plan est donc identifié à. 0 x = Dans l'espace, un repère cartésien (orthonormé) est constitué d un point O, nommé origine et de trois axes orientés Ox, Oy et Oz, perpendiculaires deux à deux, (muni d une même échelle). Un point P de l espace, peut alors être représenté par trois nombres réels : x, y et z. P x; y;z. On notera : ( ) ( x;y;z ) est un triple de nombre réel et x, y, z sont les coordonnées cartésiennes de P. Autrement dit, un point P de l'espace est identifié à un triple de nombre: P ( x;y;z) Illustration z P(x;y;z) x 0 y L'ensemble de tous les triples de nombres {( x;y;z) x,yetz } se note : Notre espace usuel est donc identifié à. = P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

7 Exercice (réponse sur la feuille) a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D dans le plan. y A B C 0 D x b) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G dans l espace. z F C G y 0 B A x D E P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

8 .. Composantes d un vecteur Considérons le plan identifié à. a) Chaque vecteur v = AB possède une infinité de vecteurs équivalents. b) Tous les vecteurs équivalents ont les mêmes composantes. Les composantes de AB sont respectivement b a et b a. Les composantes de OP sont respectivement p 0 et p 0. Les vecteurs AB et OP sont équivalents car p =b a et p =b a Illustration : y b a b a A v B p v P p 0 O p a x 0 b p b a 0 c) Parmi les vecteurs équivalents, il y en a un seul dont le point d application est l origine O(0;0). Conséquence : chaque vecteur du plan couple de nombres ( ), peut peut-être associé à un unique p;p. On notera v = OP = ( p ;p ) Considérons l espace identifié à. a) La représentation des vecteurs dans l espace est moins aisée que dans le plan. b) Les propriétés observées sur les vecteurs du plan sont applicables à ceux de l espace. Conséquence : chaque vecteur de l espace triple de nombres ( ), peut peut-être associé à un unique p;p;p. On notera v = OP= ( p ;p ;p ) y Remarque / exemple u Il ne faut pas confondre le point P(;) dont les x coordonnées sont respectivement et avec le v vecteur v = OP = ( ;) dont les composantes sont respectivement et. Dans les deux cas v nous utilisons le même couple de nombres ; v P cependant les coordonnées de P représentent 0 v la «position» du point P alors que les composantes de v = OP représente un w «déplacement», une «translation». u = ; v = ; w = ; x = ; ( ) ( ) ( ) ( ) x P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

9 Exercice (réponse sur la feuille) Dessiner deux vecteurs équivalents aux vecteurs AB, CE et CD. B C D Exercice 0 E A Considérons le plan identifié à. ) Dans chacun des dessins suivants, les deux flèches représentent-elles des vecteurs équivalents? Justifier vos réponses. v 0 w 0 w 0 a) b) c) v w v w w d) e) f) ) Donner les composantes de chaque vecteur. ) Que constate-t-on? Exercice 4 v Soit A(0;5), B(;0), C(6;) et D(5;6), quatre points du plan v. w v a) Déterminer les composantes des vecteurs AB, AC, AD, BC, BD et CD. b) Parmi ces vecteurs, lesquels sont équivalents? c) Compléter la phrase suivante : A a;a,b b;b,c c;c etd d;d, 4 points du plan. AB = CD (les vecteurs AB etcdsont équivalents) si et seulement si» «Soient ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice 5 Soit les points O(0;0), A(5;7), B(7;0), C(7;5), D(9;8) et E(6;) du plan. a) Déterminer les coordonnées du point F tel que OF = AB. b) Déterminer les coordonnées du point G tel que OG = BE. c) Déterminer les composantes du vecteur r tel que r = AB. d) Déterminer les coordonnées du point M tel que AB = MC. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

10 ..4 Opérations sur les vecteurs Il y a deux opérations élémentaires qu on peut définir sur les vecteurs. On peut multiplier un vecteur par un scalaire (un nombre) et on peut additionner deux vecteurs. Ces deux opérations sont essentielles pour modéliser les phénomènes physiques ainsi que pour obtenir certains résultats en géométrie. Définition Considérons a = ( a ;a ) et b= ( b ;b ) a+ b= a ;a + b ;b a + b ;a + b λ a = λ a ;a = λ a ; λ a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) deux vecteurs du plan et λ un scalaire. (addition entre deux vecteurs) (multiplication d un vecteur par un scalaire) Illustration a y λ a + b a A λa a + b b a 0 a λ a b b B a + b x Activité I (réponse sur la feuille) Considérons v = ( ;) et v = ( 0; ) y deux vecteurs du plan. 0 v v x i) Calculer a = v v = b= v + v = ii) Dessiner les vecteurs aetb. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

11 Définition Considérons a = ( a ;a ;a ) et b = ( b ;b ;b ) deux vecteurs de l espace et λ un scalaire. a + b = ( a ;a ;a) + ( b ;b ;b) = ( a+ b ;a + b ;a + b) (addition entre deux vecteurs) λ a = λ a ;a ;a = λ a ; λ a ; λ a (multiplication d un vecteur par un scalaire) ( ) ( ) Illustration z a + b λ a a A λ a a + b λ a + b b a a b O a b B a λ a b a + b y x Activité II (réponse sur la feuille) Considérons v = ( ;; 7) et v = ( 0;0; ) Calculer a = v v = deux vecteurs de l'espace. b= v + v = Remarques a) Géométriquement, le vecteur a+ b est obtenu avec : a+ b "la règle du parallélogramme" (diagonale du parallélogramme). a b en mettant les deux vecteurs aetb de sorte que l'extrémité de a coïncide avec le point d'application de b, comme dans l exemple ci-dessous. b b a a a+ b P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

12 b) Géométriquement, le vecteur λ a est obtenu en considérant qu il a : la même direction que a. une norme égale à λ a. le même sens que a si λ > 0 et il est de sens opposé à a si λ < 0. a a a c) Les vecteurs sont devenus des couples ou des triples de nombres. Les opérations entre les vecteurs sont devenues des opérations entre des couples ou des triples de nombres. On peut alors s'affranchir de la représentation géométriquement des vecteurs pour effectuer des opérations entre vecteurs. C'est plus facile et plus rapide! d) Les opérations définies précédemment dans le plan et dans l espace n généraliser dans avec n > ( n entier positif ) : peuvent se Définition n Soient a = ( a ;a ;...;an) et b = ( b ;b ;...;bn) deux vecteurs et λ un scalaire. On a : a + b = ( a ;a ;...;an) + ( b ;b ;...;bn) = ( a+ b ;a + b ;...;an + bn) (addition entre deux vecteurs) λ a = λ ( a ;a ;...;an) = ( λ a ; λ a ;...; λ an) (multiplication d un vecteur par un scalaire) e) On constate que l addition de deux vecteurs est un vecteur et que la multiplication d un vecteur par un scalaire est aussi un vecteur. Un peu d'histoire L Irlandais Sir William Hamilton ( ) fut l un des premiers à utiliser les vecteurs et il est probablement l inventeur du mot (mot venant du latin vehere, qui signifie «porter»). L Allemand Hermann Grassman ( ) introduisit la notation vectorielle à l occasion de problèmes de physique. L Américain Gibbs (89-90) et l Anglais Heaviside (850-95), disciples de Hamilton, donnent au calcul vectoriel sa forme quasi définitive, mais ce type de «calcul» met assez de temps à s introduire en France. Michel Chasles (79-880), avait déjà pressenti l importance du sens sur un axe sans aller jusqu à la notion de vecteur. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

13 Propriétés de l'addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire Pour tout vecteur u,v et w et scalaires λ, μ on a : P) u + v = v + u commutativité de l'addition P) u + v + w = u + v + w associativité de l'addition ( ) ( ) P) 0 + v = v 0 est l' élément neutre pour l' addition P4) v + -v = 0 tout vecteur v possède unvecteur opposé v ( ) P5) v = v est l'élément neutre pour la multiplication P6) λ u + v = λ u + λ v distributivité P7) ( ) ( λ + μ) v = λ v+ μ v P8) λ μ v = λ μ v associativité ( ) ( ) Démonstration En exercice u u Illustration de P6) v u+ v u + v = ( u + v) v Exemples a) u+ v = (;) + (0; ) = (+ 0; ) = (0+ ; + ) = (0; ) + (;) = v+ u b) 4 ( u+ v) = 4 ((;) + (0; ) ) = 4 ( ; ) = (; 4) 4u + 4v = 4(;) + 4(0; ) = (;4) + (0; 8) = (; 4) v = 4;7 v = 4; 7 v+ v = 4;7 + 4; 7 = 0;0 = 0 c) Si ( ) alors ( ) car ( ) ( ) ( ) ( ) Définition La soustraction de deux vecteurs est définie, grâce à l addition, par : u v = u+ ( v) Illustration v u v v u u v Exemples a) u v = ( ;) ( 6; ) = ( ;) + ( 6;) = ( ;) b) a b = ( ;; ) (6; ; 4 ) = ( ;; ) + ( 6;;4 ) = ( ;; ) P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

14 ..5 Combinaison linéaire, colinéarité, coplanarité Définition Soit n scalaires λ, λ,..., λ n et n vecteurs v,v,...,vn. Le vecteur défini de la manière suivante : λv + λv λnvn est appelé combinaison linéaire des vecteurs v,v,...,vn. Exemples a) v est combinaison linéaire du vecteur v. b) v+ v est combinaison linéaire des vecteurs v etv. c) ( 6;) = ( ;) est combinaison linéaire du vecteur ( ; ). d) ( 9; 9;) = ( ;; 4) est combinaison linéaire du vecteur ( ;; 4). Définitions Deux vecteurs a et b du plan ou de l espace sont colinéaires b=λa Trois vecteurs a,b et c de l espace sont coplanaires c = λa+ μb Illustration a b= λ a b a λa μb c = λa+ μb Exemples sont colinéaires car a = b ou b= a a = 9; 9; et b= ( ;; 4) sont colinéaires car a = ( ) b ou b= a a = ;; 4 b = ;; et c = 5; 7;8 c = a+ b a) a = ( 6;) et b= ( ;) b) ( ) c) ( ) ( ) ( ) sont coplanaires car ( ) Remarques a) Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires alors un est combinaison linéaire de l'autre et réciproquement. b) Si trois vecteurs non nuls sont coplanaires alors chaque vecteur est combinaison linéaire des deux autres. c) Deux vecteurs colinéaires non nuls sont de même direction. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

15 Exercice 6 v = ; et v = ; y Considérons ( ) ( ) deux vecteurs du plan. v 0 v x a) Calculer les combinaisons linéaires suivantes : a = v + v b= v v c= v+ v b) Dessiner les vecteurs a,b,c et d. d = v v Exercice 7 v = ;; 7 et v = 0;0; Considérons ( ) ( ) deux vecteurs de l espace. Calculer les combinaisons linéaires suivantes : a = v + v b= v v c = v v d = v v Exercice 8 Considérons vecteurs u = ( u ;u ),v=( v ;v ) et w= ( w ;w ) du plan et α, β deux scalaires. Démontrer les propriétés suivantes : a) v+ w= w+ v c) 0+ v = v e) v= v g) ( α + β) v = α v+ β v b) ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) v+ v = v + v = 0 d) ( ) ( ) α v+ w = α v+ α w f) ( ) = v h) α ( β v) ( α β) Remarque : Ces propriétés sont aussi valables dans l'espace similaires à celle de. ; les démonstrations sont P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

16 Exercice 9 Notation : Les vecteurs i= ( ;0) et j = ( 0;) sont appelés : la base canonique du plan. a) Considérons un repère orthonormé et les vecteurs du plan suivant : y c j f e b d i a x i) Écrire les vecteurs a,b,c,d,eet f comme combinaison linéaire des vecteurs i,j. ii) Peut-on toujours écrire un vecteur v = ( v ;v) du plan comme combinaison linéaire des vecteurs i= ( ;0) et j = ( 0;)? Justifier. i = ;0;0, j = 0;;0 et k = 0;0; sont appelés : la base canonique de l'espace. Notation : Les vecteurs ( ) ( ) ( ) b) Considérons un repère orthonormé et les vecteurs de l espace suivant : Exprimer les vecteurs a = ( 7;0; 5 ), b = ( ;0;0) et c = ( c ;c ;c) dans la base canonique i,j et k (c est-à-dire comme combinaison linéaire des vecteurs i,j et k). P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

17 Relations de Chasles Quels que soient les points A, B, C et O on a les trois relations suivantes : ) AB + BC = AC ) AB = BA ) AB = OB OA O OA A OC OB AB AC B C BC Remarques : a) La première relation se généralise par exemple : AG+ GU + UV + VC = AC b) AB OA+ OB Démonstration B OB O ) Par définition de l addition vectorielle : En mettant les deux vecteurs AB etbc de sorte que l'extrémité de AB coïncide avec le point d'application de BC on obtient : AB + BC qui est égal au vecteur AC. ) On pose C = A et on considère AC = AB + BC On obtient : AA = AB + BA 0 = AB+ BA 0+ ( AB) = + AB+ BA+ ( AB) AB = BA OA A OC OA + AB = OB OA + AB + OA = OB + OA AB = OB OA ) ( ) ( ) AB AC C BC P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

18 Exercice 0 On considère, dans un repère orthonormé d origine O, les points A( ; ), B ( 4;4 ) et ( ) a) Placer les points A, B et C, puis dessiner les vecteurs OA, OB et OC. b) Dessiner les vecteurs AB, BC et AC. C 0;. y 0 x c) Exprimer AB, BC et AC comme combinaison linéaire de OA, OB et OC et calculer algébriquement les composantes de ces vecteurs. d) Complétez les phrases suivantes : i) Les composantes de A B = (... ;... ) indiquent que, pour aller du point A au point B, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y. ii) Les composantes de B C = (... ;...) indiquent que, pour aller du point B au point C, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y. iii) Les composantes de A C = (... ;... ) indiquent que, pour aller du point A au point C, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y. e) Compléter la phrase suivante : «Soit A( a ;a ) et B( b ;b ) deux points du plan. Les composantes du vecteur AB sont : AB =...» P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

19 Exercice On considère, dans un repère orthonormé d origine O, les points A( ; ;0), B ( 4;4; ) et C( 0;;4 ). a) Placer les points A, B et C, puis dessiner les vecteurs OA, OB et OC. b) Dessiner les vecteurs AB, BC et AC. z 0 y x c) Exprimer AB, BC et AC comme combinaison linéaire de OA, OB et OC et calculer algébriquement les composantes de ces vecteurs. d) Complétez les phrases suivantes : i) Les composantes de AB = (... ;... ;... ) indiquent que, pour aller du point A au point B, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y, et enfin de unités dans la direction z. ii) Les composantes de BC = (... ;... ;... ) indiquent que, pour aller du point B au point C, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y, et enfin de unités dans la direction z. iii) Les composantes de AC = (... ;... ;... ) indiquent que, pour aller du point A au point C, il faut se déplacer de unités dans la direction x, de.unités dans la direction y, et enfin de unités dans la direction z. e) Compléter la phrase suivante : «Soit A( a ;a ;a ) et B( b ;b ;b ) deux points de l espace. Les composantes du vecteur AB sont : AB =...» P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

20 Exercice Soit le point A ( ; ). a) Trouver les coordonnées du point b) Trouver les coordonnées de A tel que AA = ( 4; ) A tel que AA = ( 4; ) A tel que AA = ( 4; ) c) Trouver les coordonnées de 4 4 d) Trouver les composantes du vecteur AA 4. e) Trouver les coordonnées de A 5 et 6 AA 5 6 = ; A si ( ) Exercice a) Soit O l'origine du repère et A, B, C, trois points distincts. Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que les points A, B et C soient alignés? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. O A B C b) En utilisant le calcul vectoriel, déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés. i) A( 6;4 ), B ( 4; ) et C ( ; ) ii) A( 0;4 ), B ( 6; ) et C ( ;) iii) A( 0;0; ), B( 0;60;) et C ( 0; 40;) P Exercice 4 A a) Soit O l'origine du repère et A, B, P, Q, quatre points distincts. Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que la droite d AB, passant par A et B, soit parallèle à la droite d PQ, passant par P et Q? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. O B d AB Q d PQ b) En utilisant le calcul vectoriel, déterminer dans chaque cas si la droite passant par le point P et Q est parallèle à la droite passant par A et B. i) P; (, ) Q4;,A ( ) ( ;5 ) et B5; ( ) ii) P( ; ), Q( 4; ), A( ; ) et B( ;9) iii) P( ;; ), Q( ;; ), A( ;;0 ) et B( 0;;) Exercice 5 a) Soit les points A( ; ), B ( ;0 ),C ( ; ) et D ( 5;k ) avec k. i) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, les points A, B et D sont alignés. ii) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, la droite d AB est parallèle à la droite d CD. b) Soient les points ( ) ( ) A ; ;5, B 0;; et C( α;6; β ) avec α, β. Déterminer α et β de telle manière que les points A, B et C soient alignés. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

21 Rappel Convention d écriture A On dessinera un triangle défini par les lettres ABC en plaçant les sommets en tournant dans le sens trigonométrique (anti-horaire). On dessinera un quadrilatère défini par les lettres ABCD en plaçant les sommets en tournant dans le sens trigonométrique (anti-horaire). B B A C C D Exercice 6 a) Soit O l'origine du repère et A, B, C, D, quatre points distincts. Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que les points A, B, C et D définissent un parallélogramme? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. b) Dans le plan on considère les points suivants : A( 0;4 ), B( 0;0 ), C ( 8; 0) et D( 8; 6) Montrer en utilisant le calcul vectoriel, que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Exercice 7 Un segment [ AB ] limité par les points A( ;8;) et B ( 9; 7; ) est divisé par les points C,D,E et F en 5 parties égales. Déterminer les coordonnées de ces points. Exercice 8 Soit A( ; 5), B ( ;) et ( ) C 6;4 trois points du plan a) Déterminer, à l aide du calcul vectoriel, le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Déterminer, à l aide du calcul vectoriel, le point M intersection des diagonales de ce parallélogramme. Exercice 9 Soit A; ( ; 5) et B ( ;;) deux sommets du parallélogramme ABCD dans l espace Soit M ( 4; ;7 ) l'intersection des diagonales. Déterminer à l aide du calcul vectoriel, les deux autres sommets. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

22 Exercice 0 * Pierre Varignon (654-7) Démontrer le théorème de Varignon à l'aide du calcul vectoriel : " En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ". D L K A C I J Indication : IJKL est un parallé log ramme IJ = LK ou IL = JK B Exercice Soit ABCD un parallélogramme. a) Démontrer en utilisant le théorème de Thalès que ses diagonales se coupent en leur milieu. b) Démontrer en utilisant le calcul vectoriel que ses diagonales se coupent en leur milieu. Exercice Soit A( a;a ) et B( b;b ) deux points du plan. M( m ; m ) est le point milieu du segment [ AB ] et vectoriellement MA+ MB = 0. a) Exprimer OM comme combinaison linéaire de OA et OB.. y A MA M MB B b) Déterminer les composantes du vecteur OM c) Déterminer le point milieu du segment [ AB ] avec A; ( ) etb4;4 ( ). 0 x d) Faire les mêmes raisonnements qu'aux points a) et b) mais avec deux points de l'espace A( a;a;a ) et B( b;b;b ) e) Soit M le milieu de [ AC ] et N le milieu de [ BC ]. Montrer que MN = AB P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

23 Exercice Soit les 4 points A( 5; ;0 ), B( ; 4;5 ), C( ; ;4 ) et D( 6;; ) a) Trouver les composantes des vecteurs AB et DC. b) Trouver les coordonnées du point M milieu du segment [ AC ]. c) Trouver les coordonnées du point N milieu du segment [ BD ]. d) Que peut-on conclure à propos du quadrilatère ABDC? Exercice 4 Le centre de gravité G d'un objet est une notion physique qui est liée, entre autres choses, à la répartition de la masse à l'intérieur de G cet objet. C'est en ce point qu'une force égale au poids de l'objet doit être appliquée pour que celui-ci soit en équilibre. Dans le cas d'une masse homogène et d'un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité est en rapport direct avec la géométrie de l'objet et ses axes de symétrie : le centre de gravité d'un triangle se trouve à l'intersection de ses médianes et celui d'un rectangle à l'intersection de ses diagonales. Soit A( a;a ),Bb;b ( ) etcc;c ( ) les sommets du triangle ABC dans le plan. G g ; g est le centre de gravité du triangle ABC et vectoriellement GA+ GB + GC = 0 ( ) a) Exprimer OG comme combinaison linéaire de OA, OB et OC.. b) Déterminer les composantes du vecteur OG. c) Déterminer le centre de gravité du triangle ABC avec A( 6;0),B(4;4) et C(4; 4).. d) Faire les mêmes raisonnements qu'aux points a) et b) mais avec trois points de l'espace A a ;a ;a, B b ;b ;b et C c ;c ;c. ( ) ( ) ( ) y B G A e) Construire vectoriellement le point G. (réponse sur la feuille) 0 C x B A O C P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

24 Exercice 5 a) On veut obtenir les vecteurs «sommets» du carré A'B'C'D' à partir des vecteurs «sommets» du carré ABCD. Compléter les égalités vectorielles y suivantes : (...;...) =...(...;...) OA' (...;...) =...(...;...) OB' (...;...) =...(...;...) OC' (...;...) OD' OA OB OC ( ) =......;... OD D C 0 D A C B x b) On veut obtenir les vecteurs «sommets» du carré A''B''C''D'' à partir des vecteurs «sommets» du carré A'B'C'D'. A B D C Compléter les égalités vectorielles suivantes : (...;...) =...(...;...) OA'' OA' (...;...) =...(...;...) OB'' OB' (...;...) =...(...;...) OC'' OC' (...;...) =...(...;...) OD'' OD' A B c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan? d) Quel objet et quelle opération mathématique avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations? e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette transformation? (longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation) f) Est-ce que cette transformation s applique uniquement aux carrés? Justifier. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

25 Exercice 6 a) On veut obtenir les vecteurs «sommets» du carré A B C D à partir des vecteurs «sommets» du carré ABCD. Compléter les égalités vectorielles suivantes : y (...;...) =...(...;...) OA' (...;...) =...(...;...) OB' (...;...) =...(...;...) OC' (...;...) OD' OA OB OC ( ) =......;... OD D C D A C B b) On veut obtenir les vecteurs «sommets» du carré A B C D à partir des vecteurs «sommets» du carré A B C D. D C A B A B Compléter les égalités vectorielles suivantes : 0 x (...;...) =...(...;...) OA'' OA' (...;...) =...(...;...) OB'' OB' (...;...) =...(...;...) OC'' OC' (...;...) =...(...;...) OD'' OD' c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan? d) Quel objet et quelle opération mathématique avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations? e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette transformation? (longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation) f) Est-ce que cette transformation s applique uniquement aux carrés? Justifier. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

26 ..6 Norme d un vecteur On note a la norme (ou l'intensité) d un vecteur a. Proposition Dans le plan Dans l espace : Si a = ( a ;a) alors a = a + a : Si a = ( a ;a ;a) alors a = a + a + a Exemples Si a = ;4 alors a = + 4 = 5 a) ( ) Si a = ;4;5 alors a = = 50 b) ( ) Démonstration Dans le plan : Dans l espace: a 0 a a a a a 0 a r a a Triangle rectangle Thm. de Pythagore a = a + a a = a + a Triangle rectangle Thm. de Pythagore r = a + a et a = r + a Donc a = r + a = a + a + a Propriétés de la norme a,b et λ ) ) ) a 0 et a = 0 a = 0 λ a = λ a a + b a + b ( inégalité du triangle ) a a + b b Exemple Si a = ;4 alors 5 a = 5;0 5 a = = 5 5 a = = 5 5 = 5 ( ) ( ) Démonstration En exercice. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

27 Définition Un vecteur v est unitaire v = Exemples a) Dans le plan i = ( ;0) et j = ( 0;) sont unitaires. Vérification : i = + 0 = j = 0 + = = θ θ θ b) Dans le plan tout vecteur de la forme v ( cos( );sin( )) est unitaire car : v = cos ( θ ) + sin ( θ ) = = sin(θ) y v θ Si θ = 45 alors v = ( cos ( 45 );sin ( 45 )) = ; est unitaire. Vérification : Proposition v = + = + = = cos(θ) x Si v 0, alors le vecteur v v que l on écrit aussi v est un vecteur unitaire de même v direction et de même sens que v. Exemples a) Dans le plan : ( ) v = ; et v = ( pas unitaire ) v v = ( ; ) = ; = ; et = + = ( unitaire ) v v b) Dans l'espace : ( ) v = ;; et v = ( pas unitaire ) v v = ( ;; ) = ; ; = ; ; et = = ( unitaire ) v v Remarque Cette opération, est appelée normalisation d un vecteur. Démonstration Considérons le vecteur : v v = v v v Calculons sa norme : v = v = v = = v v v v Pr opiété de la norme P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

28 Exercice 7 Calculer la norme des vecteurs suivants : (réponse en valeur exacte) π π a= 8;5 ; b = ; ; c= cos ;sin ; a b a= ;;4 ; b = ; ; ; 5a a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) Exercice 8 En s'appuyant sur la définition algébrique de la norme dans le plan, démontrer les propriétés suivantes : a= a ;a et λ on a : Pour tout ( ) ) a 0 ) a = 0 a = 0 ) λ a = λ a Remarque : Ces propriétés sont aussi valables dans l'espace similaires à celle de. ; les démonstrations sont Exercice 9 ) Soit a = ( 4;y). Trouver le(s) nombre(s) y tel que a = 5. b= 4; ;z. Trouver le(s) nombre(s) z tel que b =. ) Soit ( ) ) Soit c = ;y; 4) Soient les points A( ; ) et ( ). Trouver le(s) nombre(s) y tel que c =. D 5;k avec k. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, AD = 4. Exercice 0 Trouver un vecteur v : a) unitaire du plan ayant la même direction et même sens que u = 4i j. w= 7;; 4 x = ; ;. b) de l'espace de longueur 5 ayant la même direction et même sens que ( ) c) unitaire de l'espace ayant la même direction que ( ) d) du plan dont la norme est égale à 4 et dont la composante dans la direction de i est deux fois plus grande que la composante dans la direction de j. e) du plan de direction i + j et dont la norme est égale à 8.. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

29 Exercice a) Dans le plan : i) Déterminer les composantes des vecteurs OA, OB, OC, AB, BC et AC. ii) Calculer la norme des vecteurs du point i). (réponse en valeur exacte) iii) Calculer le périmètre du triangle ABC. y A B 0 x C b) Dans l espace : i) Déterminer les composantes des vecteurs OA, OB, OC, AB, BC et AC. ii) Calculer la norme des vecteurs du point i). (réponse en valeur exacte) iii) Calculer le périmètre du triangle ABC. z C O y A x B c) Compléter les phrases suivantes : i) «Soit ( ) ( ) Aa;a etbb;b deux points du plan. La norme de AB (distance entre A et B) est : AB =...» ii) «Soit ( ) ( ) A a ;a ;a et B b ;b ;b deux points de l espace. La norme de AB (distance entre A et B) est : AB =...» P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

30 Exercice Soient A;; ( ) ; B;5;8 ( ) ; C( ;7;4) trois points de l espace a) Le triangle ABC est-il isocèle ou équilatéral? Justifier. b) Calculer le périmètre et l aire du triangle. Exercice Démontrer que les quatre points A( ;0;4), B ( 0; 4;), ( ) C 0;0;5 et D( ; ; ) appartiennent à une sphère centrée à l origine. Calculez le rayon R de cette sphère. Exercice 4 * Soit A( ; ) et B ( 4; ) deux points du plan. a) Déterminer C tel que le triangle ABC soit isocèle en C et que OC et OA soient colinéaires. b) Calculer l aire de ce triangle...7 Composantes d'un vecteur du plan en fonction de sa norme et son angle directeur * Exprimons les composantes d'un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur * y Soit : v= ( a;b) On a : v = norme de v (intensité de v ) b θ = angle directeur de v (direction et sens de v par rapport à la partie positive de l'axe horizontal.) v v a) Comment obtenir v et θ à l'aide des composantes a et b de v? Pythagore : v = a + b 0 θ a x θ b b = = a a θ θ + ( ) Trigonométrie : tan tan ou 80 b) On constate à que : a = v cos( θ ) et b= v sin( θ ) v = a;b = v cos( θ ); v sin( θ ) = v cos( θ );sin( θ ) et donc ( ) ( ) ( ) Exemple * Si v = ( ;) alors v = + = 8 ( norme ) et θ = tan = 45 ( angle directeur ) v= 8 cos(45 ); 8 sin(45 ) = 8 cos(45 );sin(45 ) On peut écrire : ( ) ( ) P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

31 y Exercice 5 * K On considère un octogone régulier (8 côtés de même longueur) inscrit dans un cercle de rayon 4. K 4 K Déterminer les composantes des vecteurs «sommets» OK i de la "molécule" suivante : (réponse en valeur exacte). K 5 0 K x K 8 K 6 K 7 Exercice 6 * Déterminer les composantes des vecteurs «sommets» OHi et ONi des "molécules" suivantes : (réponse en valeur exacte). H H N N y C y N 4 C N H H 4 N 5 N 6 0 x 0 x Carré de côté 0 et de centre C(;) Hexagone de côté 7 et de centre C(-;-6) Exercice 7 * a) Le point P est soumis à deux forces PQ et PR d intensités respectives 5 [N] et 8 [N]. (Le newton est l unité de force) La direction de PQ est Nord 0 Est et la direction de PR est Nord 65 Est. Calculer la norme et la direction (par rapport à l'axe horizontal) de la force résultante PS. b) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier. i) «En additionnant les normes des vecteurs a et b on obtient la norme du vecteur a+ b.» ii) «En additionnant les angles directeurs des vecteurs a et b on obtient l angle directeur du vecteur a+ b.» P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

32 Exercice 8 * Déterminer une force additionnelle F4 pour que la condition d équilibre statique soit satisfaite. Condition d équilibre : F+ F + F + F4 = 0 Calculer la norme et l angle directeur de la force additionnelle F 4. Exercice 9 * Les vecteurs sont très utiles pour décrire le mouvement d un robot. La figure représente le bras d un robot. Ce bras peut pivoter aux articulations P et Q. Le bras supérieur, représenté par c = PQ, fait 7,5 cm de long et l avant-bras, y compris la main, représenté par d = QR a une longueur de 4,5 cm. a) Calculer les composantes du vecteur PR. b) Calculer la norme et l angle directeur du vecteur PR. Exercice 40 * La figure montre deux remorqueurs qui amènent un navire dans le port. Le remorqueur A (le plus puissant) génère une force de [N] sur son câble, le plus petit B une force de N. Si le navire suit une ligne droite l, calculer l angle θ que forme le remorqueur A avec la droite l. A B P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

33 ..8 Ce qu il faut absolument savoir Connaître la définition d un vecteur Comprendre la notion d équivalence entre deux vecteurs ok ok Comprendre les identifications : plan et espace ok 4 Déterminer les composantes d un vecteur dans 5 Additionner deux vecteurs à l aide des composantes dans et 6 Multiplier un vecteur par un scalaire à l aide des composantes dans 7 Connaître les propriétés de l addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire 8 Soustraire deux vecteurs à l aide des composantes dans et 9 Connaître la définition de combinaison linéaire et de colinéarité 0 Connaître les relations de Chasles Calculer la norme d un vecteur à l aide des composantes dans Connaître les propriétés de la norme d un vecteur et et Connaître la définition de vecteur unitaire et savoir normaliser un vecteur 4 * Calculer la norme et l angle directeur d un vecteur dans ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

34 . Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel.. Le produit scalaire Considérons les deux vecteurs : d = AB Le déplacement d un objet P entre le point A et le point B. F La force constante appliquée à l objet. F A θ P proj d F d B En Physique, on définit le travail W d une force F constante appliquée à un objet P se déplaçant d un point A à un point B ( d = AB ) par : W = projd F d Donc : W = proj F d = F cos d = d F cos = F d produit scalaire de F et d d ( θ) ( θ) ( ) notation Remarque Si F est perpendiculaire à d = AB alors la projd F est nulle et le travail W est nul. Définition (Mathématique) Étant donné deux vecteurs uetv, le produit scalaire de uetv, noté u v, est le nombre réel (scalaire) défini par : u v = u v cos( θ ) où θ est l angle que forment les vecteurs uetv lorsqu on les rapporte à une même origine. (0 θ π ) Illustration v cos( θ) u θ ucos() θ u v v P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

35 Théorème (Expression du produit scalaire de deux vecteurs ( ) ( ) uetv à l aide des composantes) Si u = u ;u et v = v ;v alors u v = u v + u v Démonstration θ Théorème du cosinus : ( ) u v = u + v u v cos( θ ) u v cos( θ ) = u + v u v Avec les composantes : u u v v = u v ( ( ) ( ) ) u v= u + u + v + v u v u v = ( u + u + v + v ( u u v + v ) ( u u v + v ) ) = u v + u v Théorème (Expression du produit scalaire de deux vecteurs ( ) ( ) uetv à l aide des composantes) Si u = u ;u ;u et v = v ;v ;v alors u v = u v + u v + u v Démonstration Similaire à celle dans. Exemples a) Dans b) Dans Si u = ; et v = 4; 4 alors u v = 4 4 = 0 Si u = ; ; et v = 4;4; alors u v = 4 4+ = 6 : ( ) ( ) : ( ) ( ).. Propriétés du produit scalaire Considérons u,v et w trois vecteurs et λ un scalaire. P) u v = v u Le produit scalaire est commutatif. P) u ( v + w ) = u v + u w Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition. P) ( λu) v = u ( λv) = λ(u v) P4) v v = v Le produit scalaired'un vecteur aveclui-meme ˆ donnelecarré de sa norme. Démonstration En exercice. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

36 Exercice 4 À partir de la définition du produit scalaire remplir le tableau suivant : (réponse en valeur exacte et il s'agit de vecteurs de ) i j i j i+ j i j i+ j y j 0 i x Exercice 4 À partir de la définition du produit scalaire remplir le tableau suivant : (réponse en valeur exacte et il s'agit de vecteurs de ) i j k i+ j i j i j k i+ j x z k 0 i j y Exercice 4 a) Soit les vecteurs a = ( ; ) ; b= ( ; ) ; i = ( ;0) et j = ( 0;). Calculer a b, i j, a ( b i ), a ( i b ), j ( b+ a) b) Pourquoi a ( i b) n'a pas de sens? de. c) Soit les vecteurs a = ( ; ; ) ; b = ( 4; ;0 ) ; i = ( ;0;0 ) ; j = ( 0;;0) et k = ( 0;0;) de.. Calculer a b, i j, a ( b i ), j ( b+ a ), k ( i+ j) Exercice 44 Considérons vecteurs de : u = ( u ;u ),v = ( v ;v) et w= ( w ;w) ainsi que λ un scalaire. Démontrer les propriétés du produit scalaire énoncé ci-dessous : P) u v = v u Le produit scalaire est commutatif. P) u ( v + w ) = u v + u w Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition. P) ( λu) v = u ( λv) = λ(u v) P4) v v = v Le produit scalaired'un vecteur aveclui-meme ˆ donne le carré de sa norme. Remarque : Les démonstrations étant identiques, ces propriétés sont aussi valables dans P.S. / Géométrie vectorielle / N-A.

37 .. Angle entre deux vecteurs u On a : uv θ arcos = avec 0 θ π u v θ v Démonstration u v u v u v = u v cos( θ ) cos( θ ) = θ = arcos u v u v Exemple Considérons points A; ( ) et B; ( ). Calculons l angle AOB à l aide du produit scalaire : OA OB 4 4 cos( AOB ) = = AOB = arccos 6,87 OA OB 5 5 y 0 B A x Remarques De la définition du produit scalaire u v = u v cos( θ ), il ressort que le signe du produit scalaire dépend uniquement de l angle θ entre les deux vecteurs : Soit u 0 et v 0 et 0 θ π. u θ aigu cosθ > 0 u v >0. θ u v θ obtus cosθ < 0 u v < 0. θ v π θ = ( = 90 ) cosθ = 0 u v=0. u θ = 90 v Proposition Deux vecteurs non nuls uetv sont orthogonaux ( ) u v u v = 0 Autrement dit : Dans : u = ( u ;u) et v = ( v ;v) sont orthogonaux si u v = u v+ u v = 0 Dans u = u ;u ;u et v = v ;v ;v sont orthogonaux si u v = u v + u v + u v = 0 : ( ) ( ) P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

38 Exemples a) Si u = ( ;) v = ; car u v = + = 0 alors ( ) ( ) est un vecteur orthogonal à u y v u 0 x b) Plus généralement : Dans, si u = ( u ;u) u = u ;u est un vecteur orthogonal à u car u u = u ( u) + u u = 0 alors ( ) u u θ = 90 u u -u u Propriétés P5) u = u (même norme) P6) Si u 0, u s' obtient par rotation du vecteur u de 90 dans le sens anti horaire. P7) k u = k u et u+ v = u + v ( ) ( ) Exercice 45 a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs a = ( ;) et b= ( ;,5) b) Mesurer à l aide d un rapporteur l angle formé par les vecteurs aetb. c) A l aide du produit scalaire, calculer en degré l angle entre aetb. d) Même question, mais pour les vecteurs a = i+ j et c = 0i j. Exercice 46 Considérons les points de : A( ; ) ; B ( ; ) et C ( 5,5;,5). A a) A l aide du produit scalaire, calculer les angles du triangle. b) Le triangle ABC est-il isocèle? Justifier par un calcul. c) A l aide des vecteurs, calculer l'aire du triangle ABC. O B C Exercice 47 Soit les points A( 4; ) et B( ;) du plan. Calculer, à l aide du produit scalaire, l'angle que fait la droite AB avec l'horizontale. Exercice 48 a = ;; et b = ;;0 a) Soit ( ) ( ) deux vecteurs de b) Soit A( ; ; ), B( ;; 4) et C( ;0;5) trois points de.calculer l'angle entre les vecteurs aetb.. Calculer l angle BAC. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

39 Exercice 49 Les vecteurs aetb sont-ils orthogonaux? Justifier. a) a = ( 0;00) et b= ( 50;5) b) a = ( 8;4) et b= ( 47; 55) c) a = ( ;;) et b= ( 0;;) d) a = ( ;;) et b= ( ;; 5) e) Déterminer si la valeur de l angle formé par les vecteurs aetb est : aigu, obtus ou droit et ceci sans calculer explicitement l angle. Exercice 50 Soit A; ( 6 ), B9;4 ( ) et C7; ( 9) trois points de. a) Le triangle ABC est-il rectangle en A? Justifier votre réponse en utilisant le produit scalaire. b) A l aide des vecteurs, calculer l'aire du triangle ABC. Exercice 5 Soit A( ; ), B ( ; λ ) et C ( 9; ) trois points de. a) A l'aide du produit scalaire, calculer les valeurs de λ pour que ABC soit un triangle rectangle. b) Dessiner dans un repère orthonormé tous les triangles rectangles ABC. Exercice 5 Soit a = ( ;0;) et b = ( ;;) deux vecteurs de. a) Déterminer un vecteur n = ( n ;n ;n), orthogonal à a. v= v ;v ;v et w= w ;w ;w b) Déterminer deux vecteur ( ) ( ) et qui soient orthogonaux au vecteur b. ayant des directions différentes c) Combien y a-t-il de vecteurs c, orthogonaux à a et à b dans? Justifier votre réponse. d) Déterminer un vecteur c = ( c ;c ;c), orthogonal à a et à b. u= u ;u ;u, orthogonal à a et à b et unitaire. e) Déterminer un vecteur ( ) Exercice 5 a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs a = ( ;) et a. b) Donner les composantes du vecteur a. c) Calculer a a. Que constate-t-on? d) A l aide du produit scalaire, calculer en degré l angle entre aeta. e) Même question, mais pour les vecteurs x = 4i j et x. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

40 Exercice 54 C On donne deux points A; ( ) et B; 5 ( ) de. a) Déterminer de manière vectorielle les sommets C et D d'un carré ABCD dont [ AB ] est un côté. (Réponse en valeur exacte). b) Dessiner dans un repère orthonormé le carré ABCD. O D A B..4 Projection orthogonale d un vecteur sur un autre vecteur Il s agit de trouver la projection orthogonale p du vecteur a sur le vecteur b : Proposition a b p = b et b p = a b b θ a p b Exemples a) Soient a = ( ;) et b= ( ;). La projection orthogonale p de a sur b est donnée par : a b p + b ( ;) 4 ( ; ) 8 ; 4 = = = = b a = ;; et b= ; ;. b) Soient ( ) ( ) La projection orthogonale p de a sur b est donnée par : + ( ) + p = ( ; ;) = ( ; ; ) = ; ; + ( ) + Démonstration Comme p et b sont colinéaires on peut écrire p=λb. a b L inconnue est λ. Cherchons λ : θ p ( p a) b ( p a) b= 0 p b ab= 0 ab ab ab ( λb) b a b = 0 λ( b b) a b = 0 λ = = donc p = b b b b b y 0 a p x p a b a b ab ab a b La norme de p est : p = b = b = p = b b b b P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

41 Remarques a) p et b sont colinéaires car p=λb λ b) p à la même direction que b mais pas forcément le même sens. c) La projection orthogonale de a sur b n est en général pas égale à la projection orthogonale de b sur a. a p b Exercice 55 a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs a = ( 4;6) et p la projection orthogonale de a sur b., b= ( ;6) b) Mesurer à l aide d une règle la norme de p. c) A l aide du produit scalaire, calculer les composantes de p, ainsi que sa norme. d) Même question, mais pour les vecteurs x = 4i + 0 j et y = 6i + 8 j Exercice 56 a = ;; et b = ;; Soit ( ) ( ) deux vecteurs de. a) Déterminer la projection orthogonale de a sur b notée proj b ( a) b) Déterminer la projection orthogonale de b sur a notée proj a ( b) c) Que constate-t-on?.. Exercice 57 Considérons A( ;; ), B( 5;; 7) et C( 6;5; 8) trois points de l espace. a) Déterminer les coordonnées d un point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Déterminer la projection orthogonale du vecteur AD sur le vecteur AB. c) Déterminer les coordonnées d un point P situé sur le segment [ AB ] tel que le triangle ADP soit rectangle en P. d) Calculer l aire du parallélogramme ABCD. Exercice 58 Considérons A( ;; ), B( 4;8; ) et C( 6;;), les trois sommets du triangle ABC dans l espace. a) Déterminer la projection orthogonale du vecteur AC sur le vecteur AB. b) Chercher les coordonnées du point D, pied de la perpendiculaire abaissée du point C sur le segment [AB]. c) Calculer l aire du triangle ABC. C A D O B P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

42 Exercice 59 * On utilise intensivement le calcul vectoriel en infographie pour éclairer ou ombrer des surfaces. Un rayon lumineux incident représenté par le vecteur I touche une surface plane. N est un vecteur orthogonal à la surface plane et de norme. Le rayon lumineux réfléchi par la surface plane, représenté par le vecteur R, peut se calculer R = I N N + I. en utilisant la formule : ( ) I θ i N θ r R Remarque : θi = θ f a) Démontrer cette formule. Indication : utiliser la projection orthogonale. b) Calculer R pour les vecteur I et N : I = 4; N = 0; i) ( ) et ( ) ii) I = ( 0; 4) et N = ; c) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs R,I et N Exercice 60 * Dans le minerai de sphalérite, chaque atome de zinc est entouré de quatre atomes de soufre qui forment un tétraèdre régulier dont l'atome de zinc occupe le centre. L'angle de liaison θ est l'angle formé par la combinaison S-Zn-S. Démontrer que la valeur en degré de l'angle de liaison vaut : 09,47 θ. Remarque : un tétraèdre régulier (toutes ces faces sont des triangles équilatéraux) peut toujours s'inscrire dans un cube : les arêtes du tétraèdre coïncident alors avec les diagonales des faces du cube. Exercice 6 * On donne deux points A( ; ) et B ( ; 5 ) de. a) Déterminer de manière vectorielle les sommets P et Q d'un carré APBQ dont [AB] est une diagonale. (Réponse en valeur exacte.) b) Dessiner dans un repère orthonormé le carré APBQ. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

43 Exercice 6 * Il existe plusieurs démonstrations de l'énoncé suivant : «Si trois points distincts A, B et C sont inscrits sur un cercle de centre O de telle manière que A et B sont les extrémités d'un diamètre de ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en C (voir figure)». B C u v O A Donner une démonstration vectorielle de cet énoncé en exprimant d'abord AC et CB comme combinaison linéaire de uet v. Exercice 6 * (mécanique : plan incliné) On veut décomposer une force donnée F en une somme vectorielle F+ F de telle manière que F aie la même direction que u et que F soit orthogonal à u. a) Exprimer F en fonction de F et u. b) Exprimer F en fonction de F et u. c) Calculer F et F si : F = 0; 00 et u = 4; i) ( ) ( ) u F ii) F = ( 0;0; 00) et u= ( 0; 4; ) F F Exercice 64 * Le point C * est le symétrique du point C par rapport au segment [AB]. A ;;, B 5;5;9 et C ;5;7, trois points de. On donne ( ) ( ) ( ) a) Déterminez les coordonnées du point C *. b) Du point C, un rayon de lumière est dirigé vers le point D( ;4;7) du segment [AB]. Le segment [AB] agit comme un miroir et réfléchit le rayon dans la direction v (qu'on peut supposer unitaire). A C D v B Déterminez les composantes de v. O C * P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

44 ..5 Le déterminant Définition u u ;u et v v ;v de. Soient deux vecteurs = ( ) = ( ) Le déterminant d'ordre de uetv est le nombre réel (scalaire) défini par : Exemple u = ;6 et v = ;5 Si ( ) ( ) (pris dans cet ordre), noté Det ( u;v) u u Det ( u;v) = = u v u v v v alors ( ), 6 Det u;v = = 5 ( ) 6 = 7 5 Remarque Det ( u;v) = Det ( v;u) L'ordre dans lequel sont pris les vecteurs uetv, influence le signe du déterminant. Définition u u ;u ;u, v v ;v ;v et w w ;w ;w de. Soient trois vecteurs = ( ) = ( ) = ( ) (pris dans cet ordre), noté ( ) Le déterminant d'ordre de u,vet w Det u;v;w, est le nombre réel (scalaire) défini par : u u u v v v v v v Det ( u;v;w) = v v v = u u + u w w w w w w w w w = u v w v w u v w v w + u v w v w ( ) ( ) ( ) Autrement dit : Pour calculer un déterminant d ordre, il faut multiplier chaque terme de la ère ligne par les déterminants d ordre obtenus en traçant la ligne et la colonne passant par ce terme. Exemple Si u = ;0;, v = ;; et w = 0;; ( ) ( ) ( ) 0 alors Det ( u;v;w) = = 0 + = 0 = Remarque Det( u;v;w ) = Det( v;u;w ) = Det( u;w;v ) = Det( w;v;u ) L'ordre dans lequel sont pris les vecteurs u,vet w, influence le signe du déterminant. P.S. / Géométrie vectorielle / N-A

45 Règle de Sarrus Pour le calcul du Det ( u;v;w), on utilise souvent la règle de Sarrus. Règle pratique permettant de calculer un déterminant d ordre. On réécrit à droite du déterminant les deux premières colonnes. Le déterminant est égal à la somme des produits des triplets d éléments situés sur une parallèle à la diagonale principale diminuée de la somme des produits des triplets d éléments situés sur une parallèle à la diagonale non principale. Proposition u u u u u v v v v v = (uvw + uvw + uvw ) (uvw + uvw + uvw ) w w w w w = u v w v w u v w v w + u v w v w Soient deux vecteurs = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) u u ;u et v v ;v de. L aire A du parallélogramme engendré par uetv est égale, au signe près, à la valeur du déterminant d'ordre de uetv A= Det u;v. ( ) Exemple Soient u = ( ;0 ) et v = ( 0; ) 0 Det( u;v ) = = 0 0 = 4 0 A = Det( u;v) = 4 0 Det( v;u ) = = 0 0 = 4 0 v 0 u Démonstration u + v y u+ v v u 0 v Aire du parallélogramme engendré par uetv v u u u + v x = Aire du rectangle de côtés u+ v et u + v - Aire de triangles rectangles égaux - Aire de trapèzes égaux = ( ) ( ) ( ) vv v+ u + v u u+ v u + v = u v u v = Det( u;v) P.S. / Géométrie vectorielle / N-A