Chapitre II : Configurations planes et repérages

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Georgette Lamarche
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1 hapitre II : onfigurations planes et repérages Etrait du programme : I onfigurations planes ans cette partie, aucune nouveauté! La rédaction devra être apprise, comme indiquée dans les eercices avec la plus grande rigueur. Voici ce qu il faut savoir : Les triangles. Les droites remarquables (livre p) roite remarquable éfinition Point d intersection Hauteur passe par le sommet et est orthogonale au côté opposé H, l orthocentre Médiane passe par le sommet et le milieu du côté opposé G, centre de gravité, qui se trouve au deu tiers de chaque médiane en partant du sommet Médiatrice est othogonale au côté et passe par son milieu O, centre du cercle circonscrit issectrice partage l angle du sommet en deu angles égau I, centre du cercle inscrit. Proportionnalité du triangle (livre p ) Théorème des milieu Théorème de Thalès. Triangle rectangle (livre p) Trigonométrie Théorème de Pthagore Triangle inscrit dans un demi-cercle

2 Quadrilatères (livre p-5) On considère un quadrilatère quelconque omment montrer que est un trapèze de bases () et ()? () ( ) avec non croisé omment montrer que est un parallélogramme? () ( ) et () ( ) = et = Les diagonales [ ] et [] ont le même milieu = et () ( ) avec non croisé omment montrer que est un rectangle? = = = 9 et est un parallélogramme dont côtés consécutifs sont perpendiculaires et est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur omment montrer que est un losange? = = = et est un parallélogramme dont côtés consécutifs sont de même longueur et est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires omment montrer que est un carré? et est à la fois un rectangle et un losange

3 II Repère du plan et coordonnées d un point éfinition : Un repère du plan est défini par points non alignés souvent appelés O, I et J. On note (O; I ; J) le repère ainsi défini. O s appelle l origine du repère. ans un repère tout point M du plan est repéré par un couple unique (; ) de réels que l on appelle le couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I ; J). Plus précisément, est appelé abscisse du point M et est appelé ordonnée du point M. Il eiste tpes de repères : Le triangle OIJ est : La grille est formée de : Le repère est dit : Rectangle isocèle en O Rectangle en O Isocèle en O Quelconque carrés rectangles losanges parallélogrammes orthonormal orthogonal normé quelconque III Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé Propriété : Soient et deu points de coordonnées respectives ( ; ) et ( ; ) d un repère (O; I ; J) quelconque. lors le milieu I du segment [] a pour abscisse la moenne des deu abscisses et pour ordonnée la moenne des ordonnées, c est-à-dire : I = + I = + Point-méthode : Utiliser les coordonnées du milieu : Le plan est muni d un repère orthonormé (O; I ; J) On donne les points (; ), L(; ), ( ; ) et (; ).. Faire une figure sur laquelle on placera les points intervenants dans l énoncé.. éterminer les coordonnées du milieu de [].. éterminer les coordonnées du point, smétrique de par rapport à L.. Quelle est la nature du quadrilatère?

4 Solution : Point-méthode : (suite). Voir figure ci-contre. Le milieu de [] a pour coordonnées : + = + = et + = + = est-à-dire ( ;), il s agit donc du point L.. Une smétrie centrale implique toujours un milieu. smétrique de par rapport à L, donc L est le milieu de []. Par conséquent : L = + L = + On écrit la formule des coordonnées du milieu = + connues = + On remplace les valeurs = + = + On multiplie par 5 L = = 5 On résout insi, ( ;5).. L est le milieu de [] et de [], donc est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, c est donc un parallélogramme. Propriété : On considère deu points et de coordonnées ( ; ) et ( ; ) dans un repère orthonormal (O; I ; J). lors la distance est donnée par : = ( ) + ( ) La démonstration est faite en eercice, à partir du théorème de Pthagore Point-méthode : Utiliser la formule de la distance Soient ( ; ), (; ), (; 6), ( 5; ) et E( ; ) dans un repère orthonormé.. Faire une figure. est-il le milieu de [E]?. émontrer que le triangle est isocèle en. Est-il équilatéral?. émontrer que le triangle E est isocèle en. Est-il rectangle en?

u lieu de comparer et, on va comparer et afin de ne pas avoir la grande racine. = ( ) + ( ) = ( + ) + ( ) = 6 + = 7 L 5 = ( + ) + (6 ) = 6 + = 7 = donc = et ainsi, est bien isocèle en.

5 Solution : Point-méthode : (suite). Voir figure ci-contre. ttention de ne pas partir de la conclusion. Il ne faut pas dire que + E est égal à dès le début, il faut le démontrer : Le milieu de [E] a pour coordonnées : + E = = onc n est pas le milieu de [E] u lieu de comparer et, on va comparer et afin de ne pas avoir la grande racine. = ( ) + ( ) = ( + ) + ( ) = 6 + = 7 L 5 = ( + ) + (6 ) = 6 + = 7 = donc = et ainsi, est bien isocèle en.. Or = ( ) + (6 ) = = 8 onc donc n est pas équilatéral. = E donc E est isocèle en. = ( 5 + ) + ( ) = 6 + = E = ( + ) + ( ) = + 6 = Pour démontrer qu un triangle est rectangle, on peut utiliser la réciproque du theorème de Pthagore E = ( + 5) + ( ) = + 6 = Or + E = + = insi, E = + E donc d après la réciproque du théorème de Pthagore, le triangle E est rectangle en. 5

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