Exercices de géométrie affine et euclidienne

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1 Exercices de géométrie affine et euclidienne version du 22 décembre 2006

2 Quadrilatère Composition de symétries centrales Composition d homothéties Le trapèze Polygone des milieux Le tourniquet dans le triangle Un problème de construction Deux triangles Un cas particulier du théorème de Desargues Une droite et son image Transformations cycliques Affinités et transvections Desargues dans l espace Projection centrale, rapport et birapport Coordonnées barycentriques et déterminants Aire algébrique d un polygone Action du groupe affine sur les triplets de droites

3 Demi-espaces Régionnement du plan par un repère affine Cônes convexes Quadrilatères Diagonales d un polygone convexe Milieux Une propriété des triangles Le théorème de Carathéodory Projection sur un convexe fermé Séparation de convexes Hyperplans d appui Génération par les demi-espaces Domaines de Voronoï

4 Distances aux points d un repère affine Fonction scalaire de Leibniz Cercles d Apollonius Triangle orthique Bissectrices et cercle circonscrit Le pivot Cercles tangents Trois cercles Le théorème des trois tangentes Rayons des cercles inscrit et exinscrits Un problème de maximisation Le problème de Fermat Trisection Un problème de recouvrement Disque de rayon minimal contenant un compact

5 Composition de réflexions (1) Composition de réflexions (2) Composition de réflexions (3) Symétrie glissée Composition de rotations Composition de symétries glissées Le tourniquet dans le cercle Polygone régulier Deux carrés (ou trois) Billard polygonal Plus court chemin Le problème de Fagnano Sous-groupes finis d isométries

6 Composée de trois réflexions Caractérisation de l axe d un vissage Tétraèdres équifaciaux Isométries du tétraèdre régulier Isométries du cube Cube, tétraèdres et octaèdre Isométries de l hélice circulaire

7 Tangentes menées d un point à la parabole Un problème de lieu géométrique Diamètres conjugués de l ellipse Ellipse de Steiner d un triangle Construction de l hyperbole

8 Projection et affinités Transformation affine du plan Position relative de deux cercles Perpendiculaire commune Equation normale d une droite, bissectrices Réflexion Isométrie de l espace (1) Isométrie de l espace (2) Isométries du cube et du tétraèdre Equation d une conique Une construction de l ellipse

9 Paramétrisation du cercle Orthocentre Deux carrés (ou trois) Un triangle et son image Configuration de Vecten Triangles de Napoléon Le théorème de Ptolémée Projection orthogonale d un cube

10 a Lignes de niveau dez z b Matrices et homographies Points fixes d une homographie Invariant anallagmatique de deux cercles

11 Quadrilatère Soit, dans le plan affine, ABCD un quadrilatère, I, J, K, L les milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA. Montrer que IK et JL ont même milieu. Indication

12 Que peut-on dire de l isobarycentre des quatre points A, B, C, D? Accueil Retour

13 L isobarycentre des quatre points A, B, C, D est, par associativité, l isobarycentre de I et K, i.e. le milieu du segment IK. C est aussi, pour la même raison, celui de JL. Autre solution Table

14 Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme, puisque IJ = 1 LK = AC (considérez 2 les triangles ABC et ACD). Ses diagonales IK et JL se coupent donc en leurs milieux. Table

15 Composition de symétries centrales Soit ABC un triangle, A, B, C les milieux respectifs de BC, CA et AB, s A, s B, s C les symétries centrales par rapport à ces points. Déterminer la nature géométrique des transformations f = s B s A et g = s C s B s A. Indication

16 Déterminez les parties linéaires f et g de f et g, puis les images f(b) et g(b) du point B par ces deux transformations. Retour

17 La partie linéaire d une symétrie centrale est l homothétie vectorielle de rapport -1. La composée de deux symétries centrales a pour partie linéaire l identité, c est donc une translation. La composée de trois symétries centrales a pour partie linéaire l homothétie vectorielle de rapport -1, c est donc une symétrie centrale. Comme f(b) = A et g(b) = B, f est la translation de vecteur BA et g la symétrie centrale de centre B. Table

18 Composition d homotheties Soient, dans le plan affine E, h 1 et h 2 deux homothéties de centres respectifs O 1 et O 2 et de même rapport λ 0. Déterminer la nature géométrique de la transformation f = h 2 h 1 1.

19 La partie linéaire d une homothétie affine de rapport λ est l homothétie vectorielle de rapport λ. La partie linéaire de f = h 2 h 1 1 est donc l identité de E. Il en résulte que f est une translation. L image f(o 1 ) = h 2 (O 1 ) de O 1 par cette translation vérifie O 2 f(o 1 ) = λ O 2 O 1, d où O 1 f(o 1 ) = O 1 O 2 + O 2 f(o 1 = (1 λ) O 1 O 2 : f est donc la translation de vecteur (1 λ) O 1 O 2. Suite

20 Soit F une partie non vide de E, F 1 = h 1 (F ) son image par h 1, F 2 = h 2 (F ) son image par h 2. Montrer que F 2 est l image de F 1 par une translation dont on précisera le vecteur.

21 F 2 est l image de F 1 par la translation f de vecteur (1 λ) O 1 O 2. Accueil Table

22 Le trapèze Soit ABCD un trapèze de bases AB et CD. On note K et L les milieux de AB et CD et on suppose que les droites AD et BC se coupent en un point I et les droites AC et BD en un point J. Montrer que les points I, J, K, L sont alignés et que : IK IL JL JK = 1. Indication

23 Considérez des homothéties de centres I et J qui transforment la droite AB en la droite CD. Retour

24 Il existe une unique homothétie h de centre I transformant D en A. Cette homothétie transforme la droite CD en une droite parallèle passant par A, i.e. en la droite AB. Elle transforme donc C en B, et le milieu L de CD en le milieu K de AB. Les points I, K et L sont donc alignés et le rapport de h est égal à IK IL. De même l unique homothétie h de centre J transformant A en C transforme B en D et le milieu K de AB en le milieu L de CD. Les points J, K et L sont donc alignés et le rapport de h est égal à JL. La composée JK h h de ces deux homothéties transforme D en C, C en D, et laisse fixe L. C est donc la symétrie par rapport à L, i.e. l homothétie de centre L et de rapport 1. Mais son rapport est aussi le produit IK IL JL JK des rapports de ces deux homothéties. Table

25 Polygone des milieux (1) Soit ABC un triangle. Montrer qu il existe un triangle A B C et un seul tel que A soit le milieu de B C, B le milieu de C A, et C le milieu de A B. Indiquer une construction géométrique de ce triangle. Suite

26 Polygone des milieux (2) Soit A B C D un quadrilatère. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu il existe un quadrilatère ABCD tel que A soit le milieu de AB, B le milieu de BC, C le milieu de CD, et D le milieu de DA. Ce quadrilatère, s il existe, est-il unique? Indication Suite

27 Si ABCD existe, les égalités A B = D C = 1 AC montrent que A B C D 2 est un parallélogramme. Cette condition est donc nécessaire pour qu il existe une solution. Si elle est vérifiée, soit A un point quelconque du plan, B son symétrique par rapport à A, C le symétrique de B par rapport à B, D le symétrique de C par rapport à C ; D est alors le milieu de DA, ce qui montre que ABCD est solution. Il y a donc dans ce cas une infinité de solutions : l un des points ABCD peut être choisi arbitrairement, les autres sont alors uniquement déterminés. Retour Suite

28 Polygone des milieux (3) Etant donnés n points B 1,...,B n du plan affine E, peut-on toujours trouver n points A 1,...,A n de E tels que B i soit, pour tout i = 1,...,n, le milieu de A i A i+1 (avec la convention A n+1 = A 1 )? Donner une construction géométrique des points A i à partir des points B i lorsque la solution existe. Indication

29 Le polygone des milieux est-il quelconque? Accueil Retour

30 Indication On pourra considérer la composée des symétries de centres B 1, B 2,...,B n. Retour

31 Il suffit naturellement de considérer le triangle obtenu en traçant les parallèles aux côtés menées par les sommets opposés. Retour Suite

32 Si le problème admet une solution A 1,..., A n, la composée f = s Bn s B1 des symétries de centres B 1, B 2,...,B n laisse fixe le point A 1. Or cette composée est : une symétrie centrale si n est impair ; la translation de vecteur v = 2( B 1 B B n 1 B n ) si n est pair. Si n est impair, le problème admet donc une solution et une seule : A 1 est le centre de f, A 2 = s B1 (A 1 ),.... Si n est pair, soit v = 0 : f est alors l identité et le problème admet une infinité de solutions (A 1 quelconque, A 2 = s B1 (A 1 ),... ), soit v 0 : f n a dans ce cas pas de point fixe et le problème n admet pas de solution. Comment construisez-vous la solution si n est impair? Autre solution

33 Il suffit de partir d un point quelconque M et de construire son image f(m) : le centre de f est le milieu de Mf(M), qui est donc le point A 1. Retour Table

34 Autre solution Si a 1,...,a n sont les affixes des points A k et b 1,...,b n les affixes des points B k, le problème équivaut à résoudre le système: a 1 + a 2 = 2b 1 a 2 + a 3 = 2b 2... =... a n 1 + a n a 1 + a n = 2b n 1 = 2b n Le déterminant de ce système se calcule en développant par rapport à la première colonnne : ( 1) =1 n+1. Suite

35 Si n est impair, le système est de Cramer : il admet donc une solution et une seule quels que soient les points B k. Si n est pair, le déterminant est nul (ce qu on pouvait voir directement en remarquant que la somme des lignes d indice pair est égale à la somme des lignes d indice impair) et le sytème est de rang n 1. Si la condition a 1 + a a n 1 = a 2 + a a n est vérifiée, le système admet une infinité de solutions (on peut choisir arbitrairement a 1 et les autres points sont alors uniquement déterminés) ; sinon le sytème n admet pas de solution. Retour Table

36 Le tourniquet dans le triangle Par un point D du côté AB d un triangle ABC on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E ; par E on trace la parallèle à AB qui coupe CB en F ; par F on trace la parallèle à CA qui coupe BA en G ; par G on trace la parallèle à BC qui coupe AC en H ; par H on trace la parallèle à AB qui coupe CB en I ; par I on trace la parallèle à CA qui coupe BA en J. Montrer que J = D. Indication

37 Remarquez que l application de la droite AB dans elle-même qui au point D associe le point G est affine. Quelles sont les images des points A et B par cette application? Retour

38 L application f de la droite AB dans elle-même qui au point D associe le point G est affine, puisque composée de trois projections. Elle échange les points A et B et est donc involutive, puisque (A,B) est un repère affine de cette droite. L image J de D par f f est donc égale à D. Remarque : L application f est donc la symétrie par rapport au milieu de AB. En appliquant trois fois le théorème de Thalès, on pouvait d ailleurs montrer que DA DB = GB, et en déduire que D et G étaient symétriques par rapport à ce milieu. GA Table

39 Un problème de construction Soit, dans un plan affine E, ABCD un parallélogramme dont on suppose les sommets A et B fixés. Déterminer le lieu de D quand C décrit une droite de E. Suite

40 Le point D se déduit de C par la translation de vecteur BA. Il décrit donc, quand C décrit la droite, la droite 1 image de par cette translation. Suite

41 En déduire une construction d un parallélogramme ABCD dont les sommets A et B sont fixés, les sommets C et D devant appartenir respectivement à deux droites et données de E (on discutera l existence et l unicité de la solution selon la position de ces droites).

42 Le point D s obtient comme intersection de et de la droite 1 déduite de par la translation de vecteur BA. Table

43 Deux triangles (1) Soit, dans le plan affine, ABC un triangle non aplati, A 1 le symétrique de B par rapport à C, B 1 le symétrique de C par rapport à A, C 1 le symétrique de A par rapport à B. Comparer les aires des triangles ABC et A 1 B 1 C 1. Indication

44 Comparez par exemple les déterminants det( A 1 B 1, A 1 C 1 ) et det( CA, CB). Accueil Retour

45 On a : Accueil det( A 1 B 1, A 1 C 1 ) = det( A 1 C + CB 1, A 1 B + BC 1 ) = det( CB + 2 CA,2 CB BA) = det( CB + 2 CA,3 CB CA) = 7 det( CA, CB) L aire du triangle A 1 B 1 C 1 est donc 7 fois celle du triangle ABC. Remarque Suite

46 On pouvait aussi remarquer que les aires de chacun des triangles A 1 BC 1, B 1 CA 1 et C 1 AB 1 étaient égales au double de celle du triangle ABC. Retour Suite

47 Deux triangles (2) Reconstruire le triangle ABC à partir du triangle A 1 B 1 C 1. Indication

48 Soient A 2, B 2, C 2 les points d intersection des droites BC, CA et AB avec les droites B 1 C 1, C 1 A 1 et A 1 B 1. Ecrire les coordonnées barycentriques des points A 1, B 1 et C 1 dans le repère affine (A,B,C). En déduire les coordonnées barycentriques des points A, B, C, puis celles des points A 2, B 2, C 2 dans le repère affine (A 1,B 1,C 1 ). Retour

49 Soient A 2, B 2, C 2 les points d intersection des droites BC, CA et AB avec les droites B 1 C 1, C 1 A 1 et A 1 B 1. On a : L égalité A 1 = 2C B A = 2 7 A B C 1 B 1 = 2A C d où : B = 1 7 A B C 1 C 1 = 2B A C = 4 7 A B C 1 A = 2 7 A B C 1 = A B 1!+ 1 7 C 1 montre que C 2 = 1 3 A B 1, puisque ce dernier point appartient aux deux droites A 1 B 1 et AC 1. C 2 est donc situé au tiers du segment B 1 A 1 à partir de B 1. La droite AB s en déduit, puisque les points C 1 et C 2 lui appartiennent. Les autres côtés du triangle ABC s obtiennent de la même manière. Retour Table

50 Un cas particulier du théorème de Desargues Montrer que deux triangles non aplatis du plan affine se déduisent l un de l autre par une homothétie ou une translation si et seulement si leurs côtés sont deux à deux parallèles. Indication

51 Si A B = λ AB, il existe une et une seule homothétie ou translation f qui transforme A en A et B en B (démonstration). Que peut-on dire de f(c)? Retour

52 Si A B = AB, le quadrilatère ABB A est un parallélogramme et AA = BB : la translation de vecteur AA transforme donc A en A et B en B. Si A B = λ AB, avec λ 1, 0, il existe une homothétie et une seule de rapport λ qui transforme A en A et B en B. Son centre O est déterminé par la relation OA = λ OA, qui s écrit encore OA + AA = λ OA, ou (1 λ) AO = AA. Retour

53 Une homothétie ou une translation conserve le parallélisme : la condition est donc nécessaire. Réciproquement, les droites AB et A B étant parallèles, il existe une homothétie ou une translation f qui transforme A en A et B en B. L image f(c) de C par f appartient à la parallèle à AC passant par A, i.e. à la droite A C et à la parallèle à BC passant par B, i.e. à la droite B C : c est donc le point C. Application

54 Soient D 1 et D 2 deux droites sécantes du plan affine E et M un point de E n appartenant à aucune de ces droites. On suppose que le point O d intersection de D 1 et D 2 est situé hors du cadre de la figure. Donner une construction de la droite OM.

55 Soient P 1 un point de D 1 et P 2 un point de D 2 tels que la droite P 1 P 2 ne passe pas par M. Une parallèle à P 1 P 2 coupe D 1 en P 1 et D 2 en P 2. Les parallèles à P 1 M (resp. P 2 M) menées par P 1 (resp. P 2) se coupent en M. La droite MM passe par O. Table

56 Une droite et son image Soit f une transformation affine d un espace affine E et D une droite de E. Montrer que l ensemble des milieux des segments Mf(M) pour M D est une droite ou un point. Indication

57 Soient A et B deux points distincts de D. Exprimez M (resp. f(m)) comme barycentre de A et B (resp. f(a) et f(b)). Retour

58 Soient A et B deux points distincts de D. Tout point M de E s écrit de manière unique comme barycentre αa + (1 α)b (α R) de A et B. La transformation f étant affine, elle conserve les barycentres : f(m) = αf(a) + (1 α)f(b). Le milieu g(m) de Mf(M) est le barycentre du système pondéré (A, α α ), (B,1 ), 2 2 (f(a), α α ), (f(b),1 ), ou encore du système (g(a), α), (g(b), 1 α), où g(a) 2 2 est le milieu de Af(A) et g(b) le milieu de Bf(B). Si g(a) = g(b), on a g(m) = g(a) = g(b) pour tout point M de D. Sinon le point g(m) = αg(a) + (1 α)g(b) décrit la droite g(a)g(b) quand α décrit R. Autre solution Table

59 On peut aussi remarquer que l application g qui à M associe le milieu g(m) de Accueil f Mf(M) est affine, d application linéaire associée + id E. En effet si M et N sont 2 deux points de E, on vérifie facilement que MN + f(m)f(n) MN + f( g(m)g(n) = = MN). 2 2 Il en résulte que l image g(d) de la droite D par g est une droite ou un point. Table

60 Transformations cycliques Soient A, B, C, D quatre points du plan affine P tels que trois d entre eux ne soient jamais alignés. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le quadrilatère ABCD pour qu il existe une transformation affine f de P vérifiant f(a) = B, f(b) = C, f(c) = D, f(d) = A. Montrer qu une telle transformation, si elle existe, est un élément d ordre 4 du groupe affine de P.

61 Les points A, B, C constituent un repère affine de P. Soit D = αa + βb + γc, avec α + β + γ = 1, l écriture de D dans ce repère. Si une telle transformation f existe, elle vérifie : f(d) = αf(a) + βf(b) + γf(c) = αb + βc + γ(αa + βb + γc) = αγa + (α + γβ)b + (β + γ 2 )C. L égalité f(d) = A se traduit alors par le système αγ = 1, α + γβ = 0, β + γ 2 = 0. On en déduit β = γ 2, α = γ 3, γ 4 = 1, d où γ = ±1. Si γ = 1, on a α = β = γ = 1, ce qui est impossible, puisque α + β + γ = 1. On a donc α = γ = 1, β = 1, ce qui signifie que ABCD est un parallélogramme. Réciproquement, si ABCD est un parallélogramme, l unique transformation affine de P vérifiant f(a) = B, f(b) = C, f(c) = D vérifie aussi f(d) = f(a B+C) = B C + D = A. Les deux transformations affines f 4 et id P coïncident sur le repère affine A, B, C ; elles sont donc égales. Par contre f 2 id P (f 2 est la symétrie centrale par rapport au centre du parallélogramme) : f est donc d ordre 4 dans GA(P ). Retour Table

62 Affinités et transvections (1) Soit (A 0,...,A n ) un repère affine d un espace affine E de dimension n et A 0 un point de E n appartenant pas à l hyperplan affine H engendré par A 1,..., A n. Montrer qu il existe une transformation affine f de E et une seule qui laisse fixe tout point de H et transforme A 0 en A 0. Suite

63 On sait qu il existe une et une seule transformation affine f transformant le repère affine (A 0,A 1,...,A n ) en la famille (A 0,A 1,...,A n ) : f(a 0 ) = A 0, f(a i ) = A i pour tout i = 1,...,n. Cette transformation affine laisse invariant tout point de H. Retour Suite

64 Affinités et transvections (2) On suppose que A 0 n appartient pas à l hyperplan affine H parallèle à H passant par A 0. Montrer que f est une affinité de base H dont on précisera la direction. Suite

65 Soit A le point d intersection de la droite A 0 A 0 avec H. L affinité de base H, de direction (A 0 A 0) et de rapport AA 0 AA 0 et f sont deux applications affines qui coïncident sur le repère affine (A 0,...,A n ). Elles sont donc égales. Retour Suite

66 Affinités et transvections (3) On suppose maintenant que A 0 appartient à l hyperplan affine H parallèle à H passant par A 0. Montrer qu il existe une fonction affine ϕ sur E nulle sur H telle que Mf(M) = ϕ(m) A 0 A 0 pour tout point M de E. Suite

67 Tout point M du plan s écrit M = α 0 A 0 + α 1 A α n A n avec nxi=0 α i = 1. Son image f(m) par l application affine f s écrit f(m) = α 0 f(a 0 ) + α 1 f(a 1 ) + + α n f(a n ) = α 0 A 0 + α 1 A α n A n. On en déduit Mf(M) = α 0 A 0 A 0 = ϕ(m) A 0 A 0, où ϕ est la forme affine qui associe à tout point de E sa coordonnée suivant A 0 dans le repère affine (A 0,A 1,...,A n ), i.e. l unique application affine de E dans R vérifiant ϕ(a 0 ) = 1, ϕ(a i ) = 0 pour tout i = 1,...,n. Retour Suite

68 Affinités et transvections (4) On suppose que E est un plan. Donner une construction géométrique de l image M = f(m) d un point M de E par f. Table

69 Si M n appartient pas à H, l image par f de la droite A 0 M est la droite A 0m, où m est l intersection de la droite A 0 M avec H, puisque m est fixe par f. Le point M = f(m) est donc l intersection de la droite A 0m avec la parallèle à H menée par M, puisque Mf(M) est proportionnel à A 0 A 0. Si M appartient à H, on commence par construire l image par f d un point n appartenant pas à H et on fait une construction analogue à partir de ce point et de son image (on peut aussi remarquer que dans ce cas Mf(M) = A 0 A 0). Table

70 Le théorème de Desargues Soit, dans l espace affine de dimension 3, OABC un tétraèdre et Π un plan coupant les trois arêtes OA, OB et OC en A, B et C. On suppose les droites BC et B C (resp. CA et C A, AB et A B ) sécantes en des points α, β et γ. Montrer que les trois points α, β et γ sont alignés. Indication

71 Considérez l intersection des plans ABC et Π. Accueil Retour

72 Les plans ABC et Π se coupent suivant une droite et les points α, β et γ appartiennent tous trois à. Remarque

73 On en déduit, en considérant la figure plane ci-dessous comme la projection sur le plan ABC d une figure de l espace, que si deux triangles ABC et A B C d un même plan sont tels que les droites AA, BB et CC soient concourantes, alors les points d intersection des côtés BC et B C, CA et C A, AB et A B (s ils existent) sont alignés. Cas particulier Table

74 Si les côtés BC et B C sont parallèles, et les côtés CA et C A, AB et A B sécants en des points β et γ, alors la droite βγ est parallèle aux droites BC et B C. Si les côtés BC et B C, ainsi que les côtés CA et C A, sont parallèles, alors les côtés AB et A B le sont aussi (pourquoi?). On retrouve alors le cas particulier du théorème de Desargues considéré précédemment. Table

75 Projection centrale, rapport et birapport Soit et deux droites sécantes en O. Deux droites D et D coupent et en A, B, A, B. On suppose les milieux I et I des segments AB et A B alignés avec O. Montrer que les droites D et D sont parallèles. Indication

76 Soit D l image de D par l homothétie de centre O qui transforme I en I, A et B ses points d intersection avec et. Que peut-on dire du quadrilatère A B B A? Retour

77 Soit D l image de D par l homothétie de centre O qui transforme I en I, A et B ses points d intersection avec et. Les diagonales du quadrilatère A B B A se coupent en leurs milieux. Si ce quadrilatère n était pas aplati, ce serait un parallélogramme et les droites et seraient parallèles, ce qui n est pas. On a donc D = D, ce qui montre que D et D sont parallèles. Suite

78 Cet exercice montre en particulier que la projection centrale de centre O qui à un point M du plan associe le point d intersection de la droite OM avec une droite fixée D n est pas affine (elle ne conserve pas les milieux). On peut d ailleurs remarquer que cette application n est pas définie sur un espace affine, puisque l image d un point de la parallèle à D passant par O n est pas définie. La restriction de cette application à une droite D ne passant pas par O est bien définie et est une application affine dans le seul cas où D et D sont parallèles (c est alors la restriction à D de l unique homothétie de centre O qui transforme D en D ). La suite de l exercice va montrer que la projection centrale conserve cependant le birapport de quatre points. Retour Suite

79 Projection centrale et birapport Soit A, B, C, D quatre points distincts d une droite du plan affine P et O un point de P n appartenant pas à. Montrer que AC AD = det( OA, OC) det( OA,. OD) Suite

80 Soit v un vecteur directeur de, de sorte que MN = MN v pour tout couple (M,N) de points de. L égalité cherchée résulte immédiatement des deux égalités : det( OA, OC) = det( OA, OA + AC) = det( OA, AC) = AC det( OA, v) det( OA, OD) = det( OA, OA + AD) = det( OA, AD) = AD det( OA, v). Retour Suite

81 En déduire que si une autre droite de P ne passant pas par O coupe les quatre droites OA, OB, OC et OD en des points A, B, C et D, on a : AC AD BD BC = A C A D B D B C (conservation du birapport par les projections centrales). Indication

82 Il existe des réels α, β, γ, δ non nuls tels que OA OC = γ OC, OD = δ OD. = α OA, OB = β OB, Retour

83 Les points O, A et A étant alignés, il existe un réel α non nul tel que OA = α OA. De même, il existe β, γ, δ non nuls tels que OB = β OB, OC = γ OC, OD = δ OD. On en déduit : A C A D B D = det( OA, OC ) B C det( OA, OD ) det( OB, OD ) det( OB, OC ) = det(α OA,γ OC) det(α OA,δ det(β OB,δ OD) OD) det(β OB,γOC) = det( OA, OC) det( OA, = AC AD BD BC. det( OB, OD) OD) det( OB, OC) On en déduit qu une projection centrale conserve le birapport de quatre points. Remarque Table

84 Supposons le plan muni d un produit scalaire. Le quotient AC s interprète alors AD comme le rapport des aires des triangles OAC et OAD, puisque ces deux triangles OC sin AOC ont même hauteur. Il est donc encore égal au rapport. La valeur OD sin AOD absolue AC AD BD sin AOC sinøbod du birapport est donc égale à et ne dépend BC sin AOD sin BOC donc que des droites OA, OB, OC et OD, et non de la sécante. Les égalités établies précédemment ne font que refléter ces dernières sans avoir à se placer dans le cadre euclidien. Table

85 Coordonnées barycentriques et déterminants Soit ABC un triangle non aplati du plan affine E. Montrer que les aires algébriques ( MB, MC), ( MC, MA), ( MA, M B) des triangles M BC, M CA et M AB constituent un système de coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C).

86 Il suffit de montrer que : det( MB, MC) = α det( AB, AC) det( MC, MA) = β det( AB, AC) det( MA, MB) = α det( AB, AC) si (α,β,γ) sont les coordonnées barycentriques réduites de M dans le repère ABC, ce qui se vérifie immédiatement en remarquant que AM = β AB + γ AC, BM = α BA + γ BC, CM = αca + βcb, et en développant les déterminants. Table

87 Aire algébrique d un polygone : cas du triangle Soit E un plan affine et ( i, j) une base de E. On note ( u, v) le déterminant de deux vecteurs u et v de E dans cette base. Soit ABC un triangle de E. Montrer que la somme ( MA, MB) + ( MB, MC) + ( MC, MA) ne dépend pas du point M de E et l exprimer en fonction de l aire algébrique ( AB, AC) du triangle ABC. On remarquera que le signe de l aire algébrique d un triangle dépend de l orientation de ce triangle, c est-à-dire de l ordre dans lequel sont écrits les sommets. Suite

88 Pour tout couple M,N de points de E : ( MA, MB) + ( MB, MC) + ( MC, MA) = ( MN + NA, MN + NB) + ( MN + NB, MN + NC) + ( MN + NC, MN + NA) = ( NA, NB) + ( NB, NC) + ( NC, NA) + ( MN, NB NA) + ( MN, NC NB) + ( MN, NA NC) = ( NA, NB) + ( NB, NC) + ( NC, NA). En particulier, pour N = A, on obtient : ( MA, MB) + ( MB, MC) + ( MC, MA) = ( AB, AC). Cette relation exprime simplement que l aire algébrique du triangle ABC est la somme des aires algébriques des triangles MAB, MBC et MCA. Ces aires constituent également un système de coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C). Retour Suite

89 Aire algébrique d un polygone Soit n un entier 2 et A 1,... A n n points de E. Montrer que la somme ( MA 1, MA 2 ) + ( MA 2, MA 3 ) + + ( MA n 1, MA n ) + ( MA n, MA 1 ) ne dépend pas du point M de E. On appellera cette somme aire algébrique du polygone A 1... A n. On peut aisément vérifier que si le polygone est convexe, et si M est intérieur au polygone, ces aires sont toutes de même signe et donc que l aire géométrique du polygone (i.e. la valeur absolue de l aire algébrique) est la somme des aires géométriques des triangles MA i A i+1 et représente donc l aire du polygone au sens usuel. Table

90 Pour tout couple M,N de points de E : ( MA i, MA i+1 ) = ( MN + NA i, MN + NA i+1 ) = ( NA i, NA i+1 ) + ( MN, NA i+1 NA i ) = ( NA i, NA i+1 ) + ( MN, A i A i+1 ), d où, en faisant la somme et en posant A n+1 = A 1 : nxi=1 ( MA i, MA i+1 ) = nxi=1 ( NA i, NA i+1 ) + nxi=1 ( MN, A i A i+1 ) = nxi=1 ( NA i, NA i+1 ) + ( MN, nxi=1 A i A i+1 ) = nxi=1 ( NA i, NA i+1 ) + ( MN, 0 ) = nxi=1 ( NA i, NA i+1 ). Retour Table

91 Aire d un polygone convexe Le polygone A 1... A n est convexe si pour tout entier i = 1,...,n, il est situé tout entier d un même côté de la droite A i A i+1. Si le point M est intérieur au polygone, ses coordonnées barycentriques réduites (α i,β i,γ i ) dans le repère (A i 1,A i,a i+1 ) vérifient α i > 0, β i < 0, γ i > 0. Il en résulte que les aires algébriques des triangles orientés MA i 1 A i et MA i A i+1 sont de même signe. Retour

92 Action du groupe affine sur les triplets de droites (1) Soient 1, 2, 3 (resp. 1, 2, 3) trois droites d un plan affine P en position générale (i.e. deux à deux sécantes et d intersections distinctes). Montrer qu il existe une transformation affine f de P dans P et une seule qui vérifie f( i ) = i pour i = 1,2,3. Indication

93 Que peut-on dire de l image des points A, B et C? Accueil Retour

94 Soient A, B et C les points d intersection de ces droites deux à deux. Une transformation affine f transforme 1 en 1, 2 en 2 et 3 en 3 si et seulement si f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C. Or (A,B,C) est un repère affine du plan : il existe donc une application affine f et une seule qui vérifie ces conditions et elle est bijective. Suite

95 Action du groupe affine sur les triplets de droites (2) On suppose maintenant 1, 2 et 3, concourantes en un point A. Existe-t-il toujours une transformation affine f qui vérifie f( i ) = i pour i = 1,2,3? Si oui, est-elle unique? Indication

96 Observez la figure... Accueil Retour

97 Soient B et C (resp. B et C ) les points d intersection d une parallèle à 1 avec 2 et 3 (resp. 2 et 3). Il existe une transformation affine f et une seule qui transforme le repère affine (A,B,C) en le repère affine (A,B,C ). Cette application transforme les droites 2 et 3 en les droites 2 et 3. Comme toute transformation affine conserve le parallélisme, elle transforme la droite 1 en une droite parallèle à la droite B C passant par A, c est-à-dire en la droite 1. Mais une transformation qui vérifie f( i ) = i pour i = 1,2,3 n est pas unique : toute transformation affine h f, où h est une homothétie quelconque de centre A, possède aussi cette propriété. Suite

98 Action du groupe affine sur les triplets de droites (3) Soient 1, 2, 3 (resp. 1, 2, 3) trois droites de l espace affine S de dimension 3. On suppose que deux quelconques de ces droites ne sont jamais coplanaires. Montrer qu il existe une transformation affine f de S dans S et une seule qui vérifie f( i ) = i pour i = 1,2,3. Indication

99 Montrez qu il existe un parallélépipède ABCDEF GH et un seul qui s appuie sur ces trois droites (voir figure). Retour

100 Montrons qu il existe un parallélépipède ABCDEF GH et un seul qui s appuie sur 1, 2, 3 (voir figure). En effet le point A est obtenu comme intersection de 1 et du plan passant par 3 dont la direction contient celle de 2. Il est donc uniquement déterminé. De même pour les autres points. Soit A B C D E F G H un parallélépipède s appuyant de même sur 1, 2, 3. Une transformation affine f de S transforme i en i pour i = 1,2,3 si et seulement si elle transforme ABCDEF GH en A B C D E F G H. Il faut et il suffit pour cela qu elle transforme le repère affine (A,B,E,D) de S en le repère affine (A,B,E,D ). Or il existe une et une seule transformation affine qui vérifie cette propriété. Retour Table

101 Demi-espaces Soit E un espace affine de dimension n et H un hyperplan affine de E. Montrer que la relation R définie sur E \ H par M R N si et seulement si [MN] H = est une relation d équivalence qui sépare E \ H en exactement deux classes. Indication

102 Considérez un repère cartésien (O, e 1,..., e n ), avec O H et e 1,..., e n 1 H. Accueil

103 Soit (O, e 1,..., e n ) un repère cartésien de E, avec O H et e 1,..., e n 1 H, x (M) 1,...,x (M) n (resp. x (N) 1,...,x (N) n ) les coordonnées de M (resp. N) dans ce repère. Les points M et N sont en relation si et seulement si x (M) n et x (N) n sont de même signe. En effet tout point du segment [MN] s écrit αm +(1 α)n avec α [0,1] et ce point appartient à H si et seulement si αx (M) n +(1 α)x (N) n = 0, autrement dit si 0 appartient au segment de R d extrémités x (M) n et x (N) n. On vérifie sans peine que la relation x (M) n et x (N) n sont de même signe induit une relation d équivalence sur E \ H. On dit que deux points équivalents sont du même côté de H et les deux classes d équivalence sont appelées demi-espaces (ouverts) délimités par H. Table

104 Régionnement du plan par un repère affine Soit A, B, C un repère affine du plan. Caractériser en termes de coordonnées barycentriques réduites dans ce repère les sept régions du plan délimitées par les droites AB, BC et CA.

105 Soit (α, β, γ) les coordonnées barycentriques réduites d un point M = αa+βb+γc (α+β+γ = 1) dans le repère affine A, B, C. La droite BC a pour équation α = 0 et partage le plan en deux demi-plans : celui qui contient A est caractérisé par α > 0 et l autre par α < 0. Les droites AB, BC et CA divisent ainsi le plan en 7 régions ouvertes caractérisées par les 7 triplets de signes possibles pour (α, β, γ) (ces trois nombres ne peuvent être simultanément négatifs, puisque leur somme vaut 1). Suite

106 En combien de régions les plans portant les faces d un tétraèdre non aplati partagentils l espace? Indication

107 Les sommets du tétraèdre constituent un repère affine de l espace. Chacune des régions délimitées par les plans portant les faces est caractérisée par le quadruplet des signes des coordonnées barycentriques réduites d un point dans ce repère.

108 Les sommets du tétraèdre constituent un repère affine de l espace. Chacune des régions délimitées par les plans portant les faces est caractérisée par le quadruplet des signes des coordonnées barycentriques réduites d un point dans ce repère. Il y a donc 15 régions, correspondant aux 15 quadruplets de signes possibles (2 4 1, puisqu ici encore les coordonnées barycentriques réduites ne peuvent être simultanément négatives). (On peut distinguer ainsi 4 types de régions selon le nombre de signes + et de signes - parmi les coordonnées barycentriques : faites une figure et distinguez ces régions). Table

109 Cônes convexes Soit C un convexe d un espace affine E et O un point de E. Montrer que la réunion Γ des demi-droites fermées d origine O passant par M, pour M décrivant C, est un convexe.

110 Soient M et N deux points de Γ et P un point du segment [MN]. Il existe deux réels λ 0 et µ 0 et deux points M 1 et N 1 de C tels que OM = λ OM 1 et ON = µ ON 1, ainsi qu un réel α [0,1] tel que P = αm + (1 α)n, d où : OP = α OM + (1 α) ON = αλ OM 1 + (1 α)µ ON 1. Si αλ = (1 α)µ = 0, on a P = O. Sinon le réel ν = αλ + (1 α)µ est strictement positif. On peut alors écrire : (1 α)µ OP = ν αλ OM 1 + ONŽ, soit en posant ν ν α 1 = αλ ν et P 1 = α 1 M 1 + (1 α 1 )N 1, OP = ν OP 1. Le point P 1 appartient à C, puisque α 1 appartient à [0,1] et C est convexe : il en résulte que P appartient à Γ. Table

111 Quadrilatères Soient A, B, C, D quatre points trois à trois non alignés du plan affine P. Montrer qu il existe quatre réels non nuls α, β, γ, δ, de somme nulle, tels que le vecteur α OA + β OB + γoc + δod soit nul pour tout point O de P, et que ces nombres sont uniques à multiplication près par un même scalaire non nul. Suite

112 Si α + β + γ + δ = 0, le vecteur α OA + β OB + γoc + δod ne dépend pas du point O. Il est en particulier égal à β AB + γ AC + δ AD. Les points A, B, C n étant pas alignés, les vecteurs AB et AC forment une base du plan vectoriel P. Il existe donc deux réels λ et µ tels que AD = λab + µ AC. Ces réels vérifient λ 0 (sinon A, C et D seraient alignés), µ 0 (sinon A, B et D seraient alignés), λ + µ 1 (sinon B, C et D seraient alignés). Le quadruplet (1 λ µ, λ, µ, 1) convient donc et il est unique à multiplication près par un réel non nul, puisque la décomposition du vecteur AD dans la base ( AB, AC) est unique. Suite

113 Quadrilatères (suite) En déduire, en examinant les signes de ces nombres, que tout quadrilatère est de l un des trois types suivants : A D B C D C B A A C D B

114 Les nombres α, β, γ et δ étant de somme nulle, ils ne peuvent être tous de même signe. À permutation circulaire et à multiplication par -1 près, il reste donc trois possibilités pour leurs signes: (+, +, +, ), (+,, +, ), (+, +,, ). Le premier cas correspond à la première figure (un point à l intérieur du triangle formé par les trois autres : quadrilatère ni convexe ni croisé), le second à la seconde figure (les diagonales AC et BD se coupent : quadrilatère convexe), et le dernier à la dernière figure (les côtés AB et CD se coupent : quadrilatère croisé). B D A A D A D C C B C B Table

115 Diagonales d un polygone convexe Déterminer le nombre de points d intersection des diagonales d un polygone convexe A 1 A 2... A n intérieurs à ce polygone. On supposera que trois diagonales ne sont jamais concourantes. Indication

116 Combien de sommets faut-il pour déterminer un tel point d intersection? Accueil Retour

117 Quatre sommets distincts déterminent un unique quadrilatère convexe et donc un unique point d intersection intérieur au polygone. Réciproquement tout point d intersection détermine uniquement 4 sommets distincts (les extrémités des diagonales dont il constitue l intersection). Il y a donc autant de points que de parties à 4 éléments dans un ensemble à n éléments, i.e. n 4Ž. Table

118 Ensemble des milieux Soient C et C deux convexes non vides d un espace affine E. Montrer que l ensemble Γ des milieux des segments MM, où M parcourt C et M parcourt C, est un convexe. Suite

119 Il suffit de montrer que si M 1 et M 2 2! (resp. M 1 et M 2) sont deux points de C (resp. C ), le point 1 α 2 M M 1!+(1 1 α) 2 M M appartient à Γ pour tout α [0,1]. Mais ce point s écrit aussi : 1 2 (αm 1 + (1 α)m 2 ) (αm 1 + (1 α)m 2) et αm 1 + (1 α)m 2 (resp. αm 1 + (1 α)m 2) appartient à C (resp. C ) puisque ces ensembles sont convexes. Retour Suite

120 Milieux (suite) Décrire Γ quand C et C sont deux segments AB et CD. Retour

121 Les milieux E, F, G, H des segments AC, BC, BD et BC forment un parallélogramme, puisque HG = EF = 1 AB. Ces quatre points, ainsi donc 2 que leur enveloppe convexe Γ (le parallélogramme plein) sont donc inclus dans Γ. Pour montrer que tout point K = 1 2 M M, avec M = αa+(1 α)b et M = γc +(1 γ)d (0 α,γ 1) appartient à Γ, il suffit d écrire : 1 K = α 2 A M!+(1 1 α) 2 B + 1 D!!! 2 M 1 = α γ 2 A C!+(1 1 γ) 2 A + 1 D!! 2 1 +(1 α) γ 2 B C!+(1 1 γ) 2 B = αγe + α(1 γ)h + (1 α)γf + (1 α)(1 γ)g. Retour Table

122 Une propriété des triangles Soit, dans le plan affine E, T un triangle et T un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif. Montrer que l intersection de T et de T est : soit vide ; soit réduite à un point ; soit un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif. Indication

123 Considérez un repère cartésien (A, AB, AC), où A, B, C sont les sommets du triangle et écrivez des inégalités caractérisant les points de T et de T.

124 Soient A, B, C les sommets du triangle. Un point M de coordonnées (x,y) dans le repère cartésien (A, AB, AC) appartient à T si et seulement si x 0, y 0, x + y 1. Il existe deux réels réels a et b et un réel c > 0 tels que le triangle T est caractérisé par les inégalités x a, y b, (x a) + (y b) c. L intersection T T est alors caractérisée par les inégalités x max(a,0), y max(b,0), x + y min(a + b + c,1). Elle est donc : vide si max(a,0) + max(b,0) > min(a + b + c,1) ; réduite à un point si max(a,0) + max(b,0) = min(a + b + c,1) ; un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif si max(a,0) + max(b,0) < min(a + b + c,1). Table

125 Le théorème de Carathéodory (1) Soient A 0, A 1, mp,a m m + 1 points affinement dépendants d un espace affine E. Montrer qu il existe m + 1 réels α 0, α 1,,α m de somme nulle, non tous nuls, tels que le vecteur OA i soit nul pour tout point O de E. i=0 α i Suite

126 Dire que les points A 0,A 1,,A m sont affinement dépendants signifie que le système ( mp mp mp mp A 0 A 1,..., A 0 A m ) est lié. Il existe donc m réels α 1,,α m non tous nuls tels que le vecteur α ia 0 A i soit nul. Posons α 0 = α i. Comme α i = 0, le vecteur i=1 i=1 i=0 α mp ioa i ne dépend pas du point O de E ; en prenant O = A 0, on voit qu il est i=0 égal à A 0 A i, qui est nul. i=1 α i Suite

127 Le théorème de Carathéodory (2) En déduire que tout barycentre à coefficients tous positifs de m+1 points A 0, A 1,,A m affinement dépendants d un espace affine E peut s écrire comme barycentre à coefficients tous positifs de m de ces points. Suite

128 Soit M un barycentre à coefficients tous positifs des m + 1 points A 0, A 1,,A m : λ i MA i = mxi=0 0, λ i 0 pour tout i = mp 1,..., m, somme nulle, non tous nuls, tels que le vecteur λ i > 0. mxi=0 Ces points étant affinement dépendants, il existe m + 1 réels α 0, α 1,, α m de MA i soit nul, d où : i=0 α i mxi=0(λ i tα i ) MA i = 0 pour tout réel t. Soit I l ensemble des indices i tels que α i soit strictement positif (cet ensemble n est λ i pas vide, puisque les α i sont de somme nulle et ne sont pas tous nuls) et t = min. i I α i On a alors λ i tα i 0 pour tout i = 0,...,m,Pm i=0 (λ i tα i ) =Pm i=0 λ i > 0 et λ j tα j = 0 si t = λ j α j. Le point M s écrit donc comme barycentre à coefficients tous positifs des points A i, i j. Suite

129 Le théorème de Carathéodory (3) En déduire le théorème de Carathéodory : tout point de l enveloppe convexe d une partie d un espace affine de dimension n est barycentre à coefficients tous positifs de n + 1 points de cette partie.

130 On sait que l enveloppe convexe d une partie A de E est l ensemble des barycentres à coefficients tous positifs de points de A. Tout point M de cette enveloppe convexe s écrit donc comme barycentre à coefficients tous positifs de m points de A, pour un certain entier m. Comme m points d un espace affine de dimension n sont affinement dépendants si m > n + 1, un raisonnement par récurrence immédiat permet de montrer que M s écrit comme barycentre à coefficients tous positifs d au plus n + 1 de ces points. Application

131 Application En déduire que l enveloppe convexe d un compact non vide d un espace affine de dimension finie est compacte.

132 Soit K un compact non vide de E. Notons Accueil Σ n = {(λ 0,..., λ n ) [0,1] n mxi=0 λ i = 1} et ϕ l application de K n+1 Σ n dans E définie par ϕ(a 0,...,A n,λ 0,...,λ n ) = nxi=0 λ i A i. Le théorème de Carathéodory implique que l enveloppe convexe de K est l image de ϕ. Mais ϕ est continue et K n+1 Σ n est compact. L image d un compact par une application continue étant compacte, il en résulte que l enveloppe convexe de K est compacte. Remarque : L enveloppe convexe d un fermé n est par contre pas nécessairement fermée. Déterminez, pour vous en convaincre, l enveloppe convexe de la réunion d une droite D et d un point O n appartenant pas à cette droite.

133 L enveloppe convexe est la bande du plan comprise entre la droite D et la parallèle à D passant par O, cette dernière droite exclue à l exception du point O. Cette enveloppe convexe n est donc pas fermée, alors que la réunion de D et de O l est. 0 D Table

134 Projection sur un convexe fermé Soit C un convexe fermé non vide d un espace affine euclidien E. Montrer que pour tout point M de E il existe un unique point P de C réalisant la distance de M à C, i.e. vérifiant MP = d(m,c) = inf{mq Q C}.

135 Existence : Soit N un point de C et K l intersection de C et de la boule fermée de centre M et de rayon MN. On a clairement inf{mq Q C} = inf{mq Q K}. Mais K est compact et la fonction Q MQ est continue. Cette fonction atteint donc sa borne inférieure sur K. Unicité : Supposons qu il existe deux points distincts P 1 et P 2 de C vérifiant MP 1 = MP 2 = inf{mq Q C}. Le triangle MP 1 P 2 serait isocèle en M et le milieu I de P 1 P 2 appartiendrait à C, puisque C est convexe, et vérifierait MI 2 = MP 2 1 IP 2 1 < MP 2 1, ce qui contredit l hypothèse. Le point P de C vérifiant MP = d(m,c) = inf{mq Q C} est donc unique. On l appelle projeté de M sur le convexe C. Suite

136 Montrer que le projeté P de M sur C est l unique point de C vérifiant P M P Q 0 pour tout point Q de C. Indication

137 Soit Q un point de C et R un point du segment [P Q]. Il existe donc ε [0,1] tel que P R = ε P Q. En utilisant l inégalité MP 2 MR 2 et en faisant varier ε, montrez que P M P Q 0. Pour démontrer l unicité du point P vérifiant cette relation, supposez que P 1 et P 2 la vérifient et exprimez P 1 P2 2 en fonction de P 1 M P 1 P 2 et P 2 M P 2 P 1. Que peut-on dire du signe de ces produits scalaires?

138 Soit Q un point de C et R un point du segment [P Q]. Il existe donc ε [0,1] tel que P R = ε P Q. Comme R appartient à C, on a : MP 2 MR 2 = ( MP + P R) 2 = MP 2 + 2ε MP P Q + ε 2 P Q 2, d où 0 2ε MP P Q + ε 2 P Q 2 et, pour ε > 0, 0 2 MP P Q + εp Q 2. En faisant tendre ε vers 0, on obtient 0 MP P Q, i.e. P M P Q 0. Soient P 1 et P 2 deux points de C vérifiant P 1 M P 1 Q 0 (resp. P 2 M P 2 Q 0) pour tout point Q de C. En prenant Q = P 2 (resp. Q = P 1 ) dans cette inégalité, on obtient P 1 M P 1 P 2 0 et P 2 M P 2 P 1 0, d où, en faisant la somme P 1 P2 2 = ( P 1 M + MP 2 ) P 1 P 2 0 i.e. P 1 = P 2. Suite

139 Montrer que la projection p sur un convexe fermé C réduit les distances : Accueil p(m)p(n) MN pour tout couple (M,N) de points de E. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le convexe C pour que p soit affine.

140 Soient M 1, M 2 deux points de E et P 1, P 2 leurs projetés sur C. Les inégalités M 1 P 1 P 1 P 2 0 et P 1 P 2 P 2 M 2 0 (appliquez la propriété précédente avec Q = P 2 et Q = P 1 ) montrent que : M 1 M 2 2 = ( M 1 P 1 + P 1 P 2 + P 2 M 2 ) 2 La projection p diminue donc les distances. M 1 P1 2 + P 1 P2 2 + P 2 M M 1 P 1 P 2 M 2 ( M 1 P 1 + P 2 M 2 ) 2 + P 1 P2 2 P 1 P2 2. Elle est affine si et seulement si C est un sous-espace affine de E : la condition est nécessaire, puisque l image p(e) de la projection sur C est égale à C et que l image d une application affine est un sous-espace affine ; elle est suffisante, puisque si C est un sous-espace affine de E, la projection sur C n est autre que la projection orthogonale sur ce sous-espace. Table

141 Séparation de convexes Soient C 1 et C 2 deux convexes compacts disjoints d un espace affine euclidien E. Montrer qu il existe un hyperplan H de E qui sépare strictement C 1 de C 2, i.e. tel que C 1 soit inclus dans l un des deux demi-espaces ouverts délimités par H et C 2 dans l autre. Indication

142 Soient P 1 C 1 et P 2 C 2 des points réalisant la distance de C 1 à C 2 : Accueil P 1 P 2 = min{q 1 Q 2 Q 1 C 1, Q 2 C 2 }. (On expliquera pourquoi de tels points existent.) Montrer que l hyperplan médiateur de P 1 P 2 convient.

143 La fonction (Q 1, Q 2 ) Q 1 Q 2 de C 1 C 2 dans [0, + [ est continue. Elle atteint donc son minimum sur le compact C 1 C 2. Soient P 1 C 1 et P 2 C 2 des points réalisant ce minimum : P 1 P 2 = min{q 1 Q 2 Q 1 C 1, Q 2 C 2 } et H 1 (resp. H 2 ) l hyperplan orthogonal à P 1 P 2 passant par P 1 (resp. P 2 ). P 1 (resp. P 2 ) est alors le projeté de P 2 (resp. de P 1 ) sur C 1 (resp. C 2 ) et C 1 (resp. C 2 ) est situé tout entier du côté de H 1 (resp. H 2 ) qui ne contient pas P 2 (resp. P 1 ). L hyperplan médiateur H de P 1 P 2 est parallèle à P 1 et P 2 et sépare strictement C 1 et C 2. Table

144 Hyperplans d appui Montrer que pour tout point M de la frontière d un convexe fermé C d un espace affine euclidien E il existe un hyperplan affine H de E vérifiant : M appartient à H ; C est situé tout entier d un même côté de H. Un tel hyperplan est appelé hyperplan d appui de C en M. Indication

145 Considérez une suite (M n ) de points de E \ C convergeant vers M et leurs projetés P n M n P n sur C. Montrez que si u est une valeur d adhérence de la suite u n =, P n M n l hyperplan passant par M de vecteur normal u est un hyperplan d appui de C en M.

146 Soit (M n ) une suite de points de E \ C convergeant vers M (une telle suite existe puisque C est fermé et que M appartient à la frontière de C). Soit P n le projeté de P n M n M n sur C et u n =. La suite P n converge vers M, puisque MP n MM n (la P n M n projection p sur C diminue les distances et p(m) = M) et P n M n P n Q 0 pour tout point Q de C, ce qui équivaut à : u n P n Q 0 pour tout point Q de C ( ) Soit u une valeur d adhérence de la suite ( u n ) (cette suite est bornée, puisque tous les vecteurs u n sont unitaires). En passant à la limite dans la relation ( ), on obtient u MQ 0 pour tout point Q de C, ce qui signifie que C se trouve tout entier d un même côté de l hyperplan normal à u passant par M. Remarque Table

147 Remarque : Si dim(e) = 2 et si la frontière de C est une courbe lisse, l hyperplan d appui en M est unique : c est la tangente en M à la frontière de C. Dans le cas général, il peut exister une infinité d hyperplans d appui en M. Table

148 Génération par les demi-espaces Montrer que tout convexe fermé d un espace affine euclidien est l intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent.

149 Soit C un convexe fermé d un espace affine euclidien E. L intersection C des demiespaces fermés contenant C contient évidemment C. Montrons que le complémentaire de C dans E contient le complémentaire de C : l assertion en résultera. Soit M E \ C et P son projeté sur C. L inégalité P M P Q 0 pour tout point Q de C montre que C est inclus dans le demi-espace fermé de E orthogonal à P M passant par P qui ne contient pas M. Ce demi-espace contient C et M ne lui appartient pas : M appartient donc au complémentaire de C. Remarque Table

150 Soit C = E, aucun demi-espace de E ne contient C et C = E. La seconde partie de la démonstration montre que si C E, il existe au moins un demi-espace fermé de E contenant C. Tout convexe fermé de E distinct de E est donc inclus dans un demi-espace. On peut également remarquer que la propriété démontrée est purement affine : la démonstration donnée ici utilise la structure euclidienne de E, mais tout espace affine de dimension finie peut être muni d une structure euclidienne et le résultat ne dépend pas du choix de cette structure. Table

151 Domaines de Voronoï Soient A 1,..., A n n points distincts du plan affine euclidien E. Montrer que les domaines V i (i = 1,...,n) définis par : sont convexes. V i = { M E MA i MA j pour tout j = 1,...,n } Indication

152 Que peut-on dire de l ensemble des points M vérifiant MA i MA j? Accueil

153 Pour tout i et tout j, l ensemble des points M vérifiant MA i MA j est le demiplan fermé délimité par la médiatrice de A i A j contenant A i. Un demi-plan est convexe : V i est donc convexe comme intersection de convexes. Table

154 Distances aux points d un repère affine Soit E un espace affine euclidien de dimension n et A 0, A 1,...,A n un repère affine de E. Montrer qu un point M de E est entièrement déterminé par ses distances aux points de ce repère : MA i = NA i pour tout i = 0, 1,...,n implique M = N.