MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES Durée 1 h 30 mn Problème n 1 L entreprise VAXERL est en relation avec deux partenaires financiers, la Société Générale de Banque (SGB) et le Crédit Marseillais (CM) Les conditions d escompte des lettres de change relevé support papier des deux banques sont les suivantes : Société Générale de Banque Crédit Marseillais Taux d'escompte de la SBG 6,50% Taux d'escompte de la SBG 6,80% Commission d'endos 0,60% Commission d'endos 0,60% Commission de manipulation 5 HT Commission de manipulation 6 HT (propre à l'escompte) (escompte ou encaissement) ours de banque 1 ours de banque 2 à l'encaissement à l'escompte à l'encaissement à l'escompte Établir une relation permettant à la société VAXERL d arbitrer entre les deux banques lorsqu un effet doit être porté à l escompte. Problème n 2 Une entreprise remet à l escompte le 15 octobre deux effets dont les caractéristiques sont le suivantes : Échéance ,00 31-octobre ,00 30-novembre Les conditions de banque sont les suivantes : - Taux de l escompte (dont commission d endos) 9% l'an - Commission de service (que l effet soit escompté ou encaissé) 4 HT - our de banque 1 - Date de valeur des effets remis à l encaissement Date de valeur des effets remis à l escompte Présenter le bordereau de remise à l escompte mettant en évidence montant des agios et net de la négociation. 2- Calculer le taux de revient pour chacun des deux effets. 3- Calculer le taux de revient global de cette remise à l escompte. Problème n 3 Les soldes prévisionnels de trésorerie établis la société LAPALME pour le quatrième trimestre sont les suivants :

2 Date de valeur Opération Mouvement Solde Débit Crédit Débiteur Créditeur 30 septembre Solde débiteur (positif) 500,00 16 octobre Virements émis , ,00 20 octobre Remise de chèques 2 500, ,00 03 novembre Effet encaissé , ,00 15 décembre Effets domiciliés , ,00 31 décembre Solde avant agios ,00 Les conditions appliquées par sa banque pour le découvert sont les suivantes : Taux nominal du découvert 9,00% Commission de plus fort découvert 0,05% par mois Commission de dépassement 0,25% par mois Commission de tenue de compte 0,025% HT par trimestre (appliquée aux mouvements débiteurs au sens bancaire) Commission d arrêté de compte 5 HT par trimestre Plafond de découvert Calculer le montant des agios prélevés par la banque. 2- Quel est le taux réel de l opération de découvert? La société LAPALME dispose en portefeuille fin septembre d un effet d un montant de , échéant le 31 octobre (présent dans les prévisions précédentes en date de valeur du 3 novembre). Les conditions de banque appliquées à l escompte sont les suivantes : - Taux de l escompte (dont commission d endos) 9,50% - Commission de service (propre à l escompte) 4 HT - our de banque 2 - Date de valeur des effets remis à l encaissement Date de valeur des effets remis à l escompte Après avoir calculé le total des agios prélevés par la banque lors de l opération d escompte, préciser s il est opportun de porter cet effet à l escompte? Problème n 4 Une entreprise acquiert un matériel qui sera livré deux mois après la commande. Le fournisseur lui propose de choisir entre deux modes de règlement : - soit au comptant le jour de la livraison ; - soit en 3 versements : à la commande ; au moment de la livraison ; trois mois après la livraison. Sur la base d un taux mensuel de 0,50%, en raisonnant en intérêts composés, à quelle condition est-il préférable d accepter le paiement comptant? Problème n 5 On veut rééchelonner une dette de que l'on doit en principe verser dans 1 an. Cette dette est remplacée par 5 trimestrialités égales, la première dans 2 ans 6 mois. Au taux annuel de 7%, calculer le montant de la trimestrialité.

3 Corrigé Note sur 21 (bonus 1 point) Problème n 1 ( 2 points) On retiendra la banque dont le montant de l agio prélevé est le plus faible avec les hypothèses suivantes : - la TVA étant supposée récupérée, elle n entre pas dans la calcul du coût, - seules les commissions propres à l escompte sont retenues, les autres commissions ne correspondant pas à la rémunération d un opération de crédit. Soit V, la valeur d un effet, n le nombre de jours séparant la date de négociation de la date d échéance de l effet, calculons les agios hors taxes des deux banques, compte tenu des hypothèses précédentes. Société Générale de Banque Agio = [ V. (n+1). 0,071 / 360 ] + 5 Crédit Marseillais Agio = [V. (n+2). 0,074 / 360 ] La Société Générale de Banque est préférable si l agio est le plus faible soit : [ V. (n+1). 0,071 / 360 ] + 5 < V. (n+2).0,074 / 360 Après simplification, on obtient : V > / (3.n + 77) Problème n 2 ( 6 points) 21- Bordereau de remise à l'escompte Taux de l'escompte : 9,00% Commission de service 4,00 Date de l'escompte 15-oct ours de banque 1 Bordereau de remise à l'escompte ours Échéance ours réels décomptés Intérêt Agio HT TVA Agio TTC Net ,00 31-oct ,75 67,75 0,78 68, , ,00 30-nov ,50 262,50 0,78 263, ,72 322,25 330,25 1,56 331, , Calcul du taux de revient des deux effets Pour ces calculs nous retiendrons les hypothèses suivantes : - la TVA supposée récupérée est donc exclue du calcul, - l'année civile est de 365 jours, - la commission de service qui n'est pas un élément de la rémunération du crédit est exclue, - le nombre de jours réels est calculé en retenant les dates de valeurs des bordereaux de remise à l'escompte et à l'encaissement, - le calcul des dates de valeur est réalisé par simplification en jours calendaires. Somme prêtée Date de valeur de l'encaissem ent Date de valeur de l'escompte ours réels retenus Agio retenu P (a) (b) =(a)-(b) A , ,47 3/11 16/ , , ,72 3/12 16/ ,50 322,25 Taux de revient A. 365 / P / 8,6576% 9,0431%

4 23- Calcul du taux de revient global Les hypothèses précédentes restent valables. Soit T le taux réel. Nous avons : P 1. T. 1 P 2. T Après simplification, nous obtenons : = Σ A k T = Σ A k. 365 Σ P k. k Somme prêtée ours réels retenus Agio retenu P A , , , , , ,50 322,25 Problème n 3 ( 9 points) 31- Calcul des agios P , , ,02 Taux de revient Σ A k. 365 Σ P k. k 8,9642% Date Opération Mouvement Solde Nombre de de valeur Débit Crédit Débiteur Créditeur jours Nombres 30 septembre Solde débiteur (positif) 500, octobre Virements émis , , ,00 20 octobre Remise de chèques 2 500, , ,00 03 novembre Effet encaissé , , ,00 15 décembre Effets domiciliés , , ,00 31 décembre Solde avant agios , ,00 Intérêt x 9% / 360 = 170,50 Plus fort découvert - octobre ,00 - novembre ,00 - décembre ,00 Total ,00 Commission de plus fort découvert x 0,05% = 29,25 Plus fort dépassement - octobre 4 500,00 - novembre 2 000,00 - décembre 0,00 Total 6 500,00 Commission de dépassement 6500 x 0,25% = 16,25 Somme des mouvements débiteurs (au sens bancaire) ,00 Commission de tenue de compte x 0,025% = 8,75 Commission d'arrêté 5,00 Agio HT 229,75 Base TVA 8, = 13,75 TVA 13,75 x 19,6% = 2,70 Agio TTC 232,45

5 32- Calcul du taux réel du découvert Nous retiendrons comme éléments de la rémunération du crédit la charge d intérêt et les commissions de plus fort découvert et de dépasssement. Soit T le coût réel du découvert. Nous avons : x T / 365 = 170, , ,25 => T = 11,5601% 33- Recours à l escompte Taux de l'escompte : 9,50% Commission de service 4,00 Date de l'escompte 15-octobre afin de disposer des fonds le 16 octobre ours de banque 2 Bordereau de remise à l'escompte ours Échéance ours réels décomptés Intérêt Agio HT TVA Agio TTC Net ,00 31-oct ,00 99,00 0,78 99, ,22 La charge propre à l'escompte est de 99,00. Il convient de comparer cette charge à l'économie d'agios sur découvert. Economie d'agios sur découvert Charge d'intérêt Diminution ,22 x 9% x 18 / ,55 (du 16 octobre au 3 novembre) Augmentation -99,78 x 9% x 58 / 360-1,45 (du 3 novembre au 31 décembre) Plus fort découvert Avant Après Variation - octobre , ,78 - novembre , ,78 - décembre , ,78 Total , , ,66 Commission de plus fort découvert 39700,66 x 0,05% = 19,85 Commission de dépassement 16,25 Total des économies 124,20 Le recours à l escompte dont le coût est de 99,00 (précompté) est largement inférieur aux économies de charges de découvert de 124,20 (post compté à trimestre civil échu). Le recours à l escompte est opportun en terme de coût. De plus en évitant de dépasser le plafond de découvert autorisé, il est de nature à rassurer le banquier de l entreprise. Vérification (non demandée) La nouvelle échelle d intérêt et le nouveau tickets d agios sont présentés à la page suivante. On peut contrôler la variation de l agio HT : 105,55 229,75 = - 124,20

6 Echelle d'intérêt et ticket d'agio en cas de recours à l'escompte Date Opération Mouvement Solde Nombre de de valeur Débit Crédit Débiteur Créditeur jours Nombres 30 septembre Solde débiteur (positif) 500, octobre Effet escompté , , octobre Virements émis , , ,12 20 octobre Remise de chèques 2 500, , ,68 15 décembre Effets domiciliés , , ,48 31 décembre Solde avant agios , ,28 Intérêt ,28 x 9% / 360 = 82,40 Plus fort découvert - octobre 4 599,78 - novembre 2 099,78 - décembre ,78 Total ,34 Commission de plus fort découvert 18799,34 x 0,05% = 9,40 Plus fort dépassement - octobre 0,00 - novembre 0,00 - décembre 0,00 Total 0,00 Commission de dépassement 0 x 0,25% = 0,00 Somme des mouvements débiteurs (au sens bancaire) ,00 Commission de tenue de compte x 0,025% = 8,75 Commission d'arrêté 5,00 Agio HT 105,55 Base TVA 8, = 13,75 TVA 13,75 x 19,6% = 2,70 Agio TTC 108,25 Problème n 4 ( 2 points) Calculons la valeur actuelle du paiement en 3 versements au moment de la livraison : x 1, x 1,005-3 = 9 741,78 Le paiement comptant est préférable si le montant à régler est inférieur à 9 741,78. Problème n 5 ( 2 points) Le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 7% est de 1,07 1/4 1 = 1,70585% noté par la suite i. Soit T la trimestrialité. Nous avons : = T x 1 (1+i) -5 x (1+i) -5 i T = ,34