Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points)

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1 Correction du brevet blanc Eercice 1 (5 points) 3 Quelle est l'epression 1 5 développée de (5 3)? ( )( ) L'équation a pour solutions : Quelle est la valeur eacte de : 0+ 80? Quelle est la forme factorisée de 100? ( ) Partie 1 : Activités numériques (1 points) est égal à? et,5,5 et , ( 10) ( 10)( + 10) ( 50) ( + 50)( 50) , , 10 0,001 8 Eercice ( points) On donne un programme de calcul :. Choisir un nombre ;. Lui ajouter 6 ;. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi ;. Ajouter 9 à ce produit ;. Ecrire le résultat. 1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que, si l on fait fonctionner ce programme avec le nombre 3, on obtient ( 3) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est a. Faire deu autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d un autre nombre entier ² ² b. En est-il toujours ainsi lorsqu on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse. Appliquons ce programme à un nombre + 6 ( + 6) ( + 6) + 9 développons : ( + 6) + 9 ² ² ² on reconnaît a² + ab + b² (a + b)² donc ( + 6) + 9 ( + 3)² Conclusion : si est un nombre entier alors le nombre obtenu est le carré de + 3 qui est lui aussi un nombre entier.

2 . On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ? Il suffit de résoudre l équation : ( + 3)² 1 cette équation a deu solutions : ( + 3) 1 ou ( + 3) ou ou 1 3 ou Partie : Activités géométriques (1 points) Eercice 1 Démontre, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant les informations fournies. Figure 1 Figure Figure 1 [BC] est le plus grand côté BC² 50 ² 500 BA² + AC² 30² + 0² donc BC² BA² + AC² D après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A Figure 3 Figure L angle ABC est alterne-interne avec l angle de 0. Les droites (d) et (d ) sont parallèles donc ces deu angles sont de même mesure. ABC 0 La somme des angles d un triangle est égale à 180 ABC+ ACB+ BAC 180 ( ) BAC 180 ABC + ACB BAC 180 ( ) BAC BAC 90 Donc ABC est rectangle en A Figure 3 Si deu droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. (AC) // (DE) (AD) (DE) donc (AD) (AC) ABC est rectangle en A

3 Eercice On considère la figure ci-dessus, qui n'est pas réalisée en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire. On donne : AC 5 cm, AD 9 cm et ABC. a) Calculer la longueur CD ; en donner la valeur eacte, puis l'arrondi au mm. ACD est rectangle en C donc d après le théorème de Pythagore : AD² AC² + CD² 9² 5² + CD² CD² CD² 81 5 CD² 56 CD 56 CD,5 cm b) Calculer la longueur BA ; arrondir au mm. ABC est rectangle en C donc AC sin ( ABC) AB 5 sin( ) AB sin( ) 5 1 AB 5 1 AB sin ( ) AB,5 cm c) E est le symétrique de C par rapport à A. Calculer la mesure de l'angle EDC ; arrondir à l unité. EDC est rectangle en C donc CE CD EDC tan 56 EDC 53 CE CD 10, EDC tan,5 EDC 53

4 Eercice 3 On considère la figure ci-dessus, qui n'est pas réalisée en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire. Les points A, M et P sont alignés, ainsi que les points B, M et N. Les droites (AB) et (NP) sont parallèles. On donne : MN 1 cm, NP 10 cm et MP cm. On pose AM. BM AB a) Montrer que puis eprimer BM et AB en fonction de Par hypothèse, A (MP) B (MN) et (AB) // (PN) d après le théorème de Thalès AM BM AB MP MN PN BM AB BM donc BM 1 10 AB donc AB 10 b) Démontrer que le périmètre du triangle ABM est 9. p AB+ BM + AM 10 1 p p p 9 p c) Déterminer sachant que le périmètre du triangle ABM est égal à 58 cm cm

5 Partie 3 : Problème (1 points) C est un cercle de centre O et rayon 6 cm. [AB] est un diamètre du cercle C. N est le point du segment [OB] tel que BN cm. M est un point tel que NM, cm et BM 3, cm. 1. a) Faire une figure, que l'on complètera au fur et à mesure. b) Montrer que le triangle BMN est rectangle. Par hypothèse [BN] est le plus grand côté BN² ² 16 MN² + MB²,² + 3,² 5,6 + 10, 16 donc BN² MN² + MB² D après la réciproque du théorème de Pythagore, MBN est rectangle en M. c) Calculer la mesure de l'angle MBN ; arrondir au degré près. MBN est rectangle en M donc BM cos( MBN ) BN 3, cos( MBN ) 1 3, MBN cos MBN 3

6 d) Calculer l'aire du triangle BMN. base hauteur relative àcette base NM BM, 3, 3,8cm. La droite (BM) recoupe le cercle C en P. a) Montrer que le triangle BPA est rectangle. P appartient au cercle de diamètre [AB] donc ABP est rectangle en P b) Montrer que les droites (AP) et (MN) sont parallèles. Les droites (AP) et (MN) sont perpendiculaires à une même troisième (BP) donc (AP) et (MN) sont parallèles. c) Montrer que BP 9,6 cm. C est un cercle de rayon 6 cm, donc AB 6 cm 1 cm P (BM) A (BN) nous avons montré que (AP) // (MN) d après le théorème de Thalès BM BN BP BA 3, BP 1 3, 1 BP BP 9,6cm 3. Soit E le milieu de [BN]. a) Montrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles. BN cm E est le milieu de [BN] donc BE cm BE 1 BO 6 3 BM 3, BP 9, Par hypothèse, B, M, E, P et O sont cinq points distincts B, M et P sont alignés dans le même ordre que B, E et O nous avons montré que BM BE BP BO d après la réciproque du théorème de Thalès, (ME) et (PO) sont parallèles. b) Que représente la droite (ME) pour le triangle MNB? (ME) est une médiane du triangle MNB. La droite (PO) recoupe le cercle C en K. Déterminer la nature du quadrilatère APBK. [PK] et [AB] sont deu diamètre du cercle C donc [PK] et [AB] sont de même longueur et se coupent en leurs milieu. Les diagonales du quadrilatère APBK sont de même longueur et se coupent en leurs milieu donc APBK est un rectangle.

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