Fonctions. Chapitre IV. Généralités

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1 Chapitre IV Fonctions IV.a. Généralités En termes vagues, une fonction f associe à tout élément x un ensemble A au plus un élément f (x) un ensemble B. Plus formellement, on éfinit une fonction comme ceci : Définition 35 (fonction) Une fonction f e A ans B est un triplet (A, B, G), où A et B sont es ensembles et G est une partie e A B, tel que (x, y) G, (x, y ) G, x = x = y = y. Les ensembles A, B et G sont respectivement appelés ensemble e épart, ensemble arrivée et graphe e f. L ensemble {x A y B, (x, y) G} s appelle l ensemble e éfinition (ou le omaine e éfinition) e f et sera noté om f. On appelle image e x A tout élément y e B tel que (x, y) G. Tout x A a au plus une image, notée f (x) si elle existe : une si x om f, aucune si x A \ om f. On note f (A ) { f (x) x A om f } l image un ensemble A A. Tout x tel que y = f (x) est un antécéent e y. On note f ({y}) l ensemble es antécéents e y ; pour un ensemble B B, f (B ) { f ({y}) y B }. Si l antécéent e y existe et est unique, on peut le noter f (y). Remarques On utilisera la notation f : A B, x expression(x) ou f : x A expression(x) B pour éfinir une fonction f e A ans B ont la valeur en x est expression(x), ou f : A B si on ne s intéresse qu aux ensembles e épart et arrivée. Inversement, pour iniquer, sans les préciser, que les ensembles e épart et arrivée sont inclus ans es ensembles E et F, nous écrirons f : E F, par exemple f : R R pour une fonction [à valeur] réelle une variable réelle. Pour faire référence à une fonction éjà éfinie, on écrira simplement «f». Bien souvent, les ensembles e épart et arrivée seront implicitement R. On pourra alors se contenter écrire f : x expression(x), voire x expression(x) si on ne veut pas onner e nom à la fonction. Même s il nous arrivera e ire abusivement «la fonction f (x) = expression(x)», attention à istinguer la fonction, f, e sa valeur en x, f (x). Une fonction est onc le plus souvent éfinie par un ensemble e épart, un ensemble arrivée et, au lieu un graphe, par une procéure ou expression (une «formule» typiquement, ou plusieurs formules entre lesquelles on choisit selon la valeur e x) permettant e calculer f (x) à partir e x. Une fonction ne se réuit cepenant pas à une formule : une même formule appliquée à es ensembles e épart ou arrivée ifférents éfinit es fonctions ifférentes ; et même si elles ont le même graphe, elles n ont pas nécessairement les mêmes propriétés et oivent être notées ifféremment. Par exemple, f : [ π/, π/] [, ], x sin x, est bijective, mais pas g: [ π/, π/] R, x sin x. 35

2 L appellation «sinus» et la notation «sin» sont onc génériques : le sinus est bien éfini pour tout nombre complexe, mais il n y a pas e fonction «sinus» tout court : il y a les fonctions f, g, x R sin x R, x C sin x C, etc. Il est onc nécessaire e préciser les ensembles e épart et arrivée ès qu il y a ambiguïté. Pour une fonction éfinie par une formule, l ensemble e éfinition est l ensemble es points e l ensemble e épart pour lesquels la formule a un sens ans l ensemble arrivée. Une fonction est éfinie en un point x si x om f ; elle est éfinie sur un ensemble H si H om f (ce qui ne veut pas ire que H = om f ) : bien istinguer «un ensemble où f est éfinie» e «l ensemble e éfinition e f». On note souvent en physique e la même manière une quantité et la fonction permettant e la calculer à partir e certaines variables, par exemple U = U(S, V, n) au lieu e U = f (S, V, n), où U est l énergie interne, S l entropie, V le volume et n le nombre e moles. Si S est une fonction e la température T, e V et e n, on notera encore U = U(T, V, n) au lieu e U = g(t, V, n), bien qu il ne s agisse pas e la même fonction. Cette notation est acceptable tant que les variables sont apparentes. En revanche, si x est la valeur e S ou T, il faut écrire U(S = x, V, n) pour f (x, V, n) et U(T = x, V, n) pour g(x, V, n), non U(x, V, n). De même pour une érivée partielle e U, l expression U/ V est ambiguë et peut ésigner soit f / V, soit g/ V. Pour les istinguer, on met les autres variables en inice : ( U/ V) S, n pour f / V et ( U/ V) T, n pour g/ V. Prenons un autre exemple en mécanique : le vecteur position r un point M peut être exprimé en fonction e l abscisse curviligne s le long e la trajectoire, r = f (s), ou en fonction u temps t, r = f (g[t]) si s = g(t). On écrit souvent r t = r s s t au lieu e f (g[t]) t = f g (s[t]) s t (t). Définition 36 (application) Une application est une fonction qui associe à chaque élément e l ensemble e épart une et une seule image ans l ensemble arrivée. Remarques D après la éfinition 35, une fonction associe au plus une image à tout élément e l ensemble e épart. Pour certains auteurs, une «fonction» (partial function en anglais) est en fait une application (total function ou simplement function en anglais). Même si l étue une fonction hors e son omaine e éfinition n a pas e sens, cette ientification oblige à connaître le omaine e éfinition une fonction avant même sa éfinition... D autres écrivent «f : A B» pour iniquer que A om f et non que A est l ensemble e épart, ce qui est source e confusion quan on s intéresse aux valeurs e f hors e A (par exemple pour calculer la ite e f en un point e l ahérence e A). Nous utiliserons la notation f F (A, B) pour une fonction f telle que A om f et f (A) B. Définition 37 (bijection, fonction réciproque) Une fonction f : A B est bijective (ou inversible) si y B,! x A, f (x) = y. réciproque, f : B A, éfinie par f (y) = x si f (x) = y. Une application bijective est appelée une bijection. f amet alors une fonction Théorème 44 Soit f une fonction réelle une variable réelle. Si f est strictement monotone, elle est inversible.. L appellation fonction inverse et la notation f, toutes eux usuelles, sont naturelles en algèbre linéaire. En effet, si f et g sont eux applications linéaires et Φ et Γ les matrices associées, la matrice corresponant à la composition f g est le prouit matriciel Φ Γ. En particulier, la matrice associée à la réciproque e f, si elle existe, est Φ (inverse matriciel e Φ). Nous éviterons cepenant cette appellation et cette notation ans ce cours en raison u risque e confusion avec la fonction / f : x / f (x). En particulier, par cohérence avec la notation traitionnelle sin x (sin x) sin(sin x), on ne notera pas sin l application réciproque e x [ π/, π/] sin x [, ], mais arcsin ; e même pour les autres fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques (avec «arg» au lieu e «arc» pour ces ernières : argsh, etc.). 36

3 Définition 38 (restriction) Soient f une application e A ans B et H une partie e A. On appelle restriction e f à H et on note f H l application f H : H B, x f (x) La restriction une fonction à son omaine e éfinition en fait ainsi une application. Chaque fois que l on emane étuier les ites, la continuité ou la érivabilité une fonction, on sous-enten l étue e l application obtenue en restreignant la fonction à son omaine e éfinition. Ainsi, la fonction x R /x R est bien continue, car elle est continue sur om f = R. Définition 39 (prolongement) Soient f une application e A ans B et g une application e H ans B. g est un prolongement e f à H si et seulement si A H et x A, g(x) = f (x). g est éviemment un prolongement e g A. IV.b. IV.b.. Limite une fonction Définitions La éfinition suivante généralise celle éjà onnée pour une suite. Définition 40 (ite [pointée] une fonction : éfinition générale) Soient (E, ) et (F, δ) es espaces métriques, A une partie e E, B une partie e F et f une application e A ans B. f converge ans (F, δ) en un point a e ah (E, ) A s il existe un élément l F, appelé «ite e f en a ans (F, δ)», tel que ɛ > 0, η > 0, x A, (a, x) η = δ( f [x], l) ɛ. () On note ceci a f = l, x a f (x) = l ou f (x) x a l. Remarques Les inégalités larges ans (a, x) η et δ( f [x], l) ɛ peuvent être remplacées par es inégalités strictes. En revanche, les inégalités ans ɛ > 0 et η > 0 oivent être strictes. Il n est pas nécessaire que f soit éfinie en a : il faut seulement que a appartienne à l ahérence ah A une partie A sur laquelle f est éfinie. Par exemple, bien que la fonction x sin x/x ne soit pas éfinie en 0, sa ite en 0 existe ( x 0 (sin x/x) = ). En revanche, si a A et que f amet une ite finie en a, on a nécessairement x a f (x) = f (a). La ite est unique, mais elle épen e l ensemble e épart e l application. Exemple 7 Soit l application f : R R, 0 si x Q, x si x R \ Q. On a 0 ah Q = ah(r \ Q) = R. La ite e f en 0 n est pas éfinie et f, f Q et f R\Q sont es applications ifférentes. Définition 4 La ite épointée est 0 f Q = 0 0 f R\Q =. f (x) f H(x), x a, x a x a où H = A \ {a}. Cette ite est qualifiée «épointée» par opposition à la ite, parfois ite «pointée», e la éfinition

4 Si A R, la ite à gauche en a est f (x) f H(x), x a, x<a x a où H = A ], a[. Elle est aussi notée x a f (x) ou f (a ). Si A R, la ite à roite en a est f (x) f H(x), x a, x>a x a où H = A ]a, + [. Elle est aussi notée x a + f (x) ou f (a + ). Comme on oit avoir a ah H, les ites épointées, à gauche et à roite, ne peuvent être éfinies si a est un point isolé e A. Par exemple, si A = {0} ], + [, a = 0 et H = A \ {a} = ], + [, alors a ah H = [, + [ et x 0, x 0 ne peut être éfinie. Si B R, on it que f converge vers l par valeurs supérieures en a, ce que l on note a f = l +, si ɛ > 0, η > 0, x A, (x, a) η = l f (x) l + ɛ. Si B R, on it que f converge vers l par valeurs inférieures en a, ce que l on note a f = l, si ɛ > 0, η > 0, x A, (x, a) η = l ɛ f (x) l. Dans le cas où E et F sont es espaces vectoriels normés, la éfinition générale pren la forme suivante : Définition 4 Soient (E, E ) et (F, F ) es espaces vectoriels normés, A une partie e E, B une partie e F et f une application e A ans B. f amet une ite l F en un point a e ah (E, E ) A si ɛ > 0, η > 0, x A, x a E η = f (x) l F ɛ. () Le cas que nous rencontrerons le plus souvent est celui où A R et B R. Réécrivons onc la éfinition générale ans le cas où E et F sont l espace vectoriel (R, ) ou l espace métrique (R, ). Outre le cas une ite finie en un point à istance finie, application irecte e la éfinition générale, on peut éfinir es ites infinies ou à l infini. Définition 43 (ite finie en un point à istance finie) Soient A et B es parties e R et f une application e A ans B. f amet une ite (finie) l R en un point a e ah (R, ) A (onc à istance finie) si ɛ > 0, η > 0, x A, x a η = f (x) l ɛ. (3) Exemple 8 La fonction x x a pour ite 4 quan x. En effet, x 4 = (x ) (x + ), qui est inférieur à 5 x ès que x + 5 (comme x, il suffit e prenre x tel que x ) : 5 x peut onc être renu aussi petit que l on veut quan x. Exemple 9 x f (x) = sin(/x) n a pas e ite quan x 0 : f (x) oscille e plus en plus vite entre et. Définition 44 (ite infinie en un point à istance finie) Soient A et B es parties e R et f une application e A ans B. f ten vers + en un point a e ah (R, ) A si On note ceci x a f (x) = + ou f (x) x a f ten vers en un point a e ah (R, ) A si M R, η > 0, x A, a x η = f (x) M. (4) +. M R, η > 0, x A, a x η = f (x) M. (5) Exemple 30 La fonction tangente est éfinie ans les intervalles ouverts ]( n ) π/, ( n + ) π/[ ; tan x + quan x ( n + ) π/ par valeurs inférieures ; tan x quan x ( n + ) π/ par valeurs supérieures. 38

5 Définition 45 (ite finie en un point à l infini) Soient A une partie non majorée e R, B une partie e R et f une application e A ans B. f amet une ite (finie) l R quan x ten vers + si On note ceci x + f (x) = l ou f (x) x + l. ɛ > 0, X R, x A, x X = f (x) l ɛ. (6) Remarque. La conition «A est une partie non majorée e R» équivaut à + ah (R, ) A. Exercice Définir e manière analogue les ites suivantes : x f (x) = l ; x + f (x) = + ; x + f (x) = ; x f (x) = + ; x f (x) =. Exemple 3 Nous avons x ( + e x ) =, tanis que x ( + e x ) = +. IV.b.. Propriétés es ites Théorème 45 (ites finies) Soient (E, ) un espace métrique, (F, ) un K-espace vectoriel normé, A E, B F et a ah (E, ) A ; soient également f et g eux applications e A ans B, e ites (finies) l et l ans (F, ) quan x a, et λ K. On a les propriétés suivantes : λ f (x) λ l ; x a (7a) f (x) + g(x) l + l ; x a (7b) si F = K, f (x) g(x) l l ; x a (7c) si F = K et l 0, f (x) x a l ; (7) si F = R et l = 0 + (resp. 0 ), f (x) x a + (resp. ). (7e) Théorème 46 (ites infinies) Si F = R, les propriétés énoncées pour les ites finies sont encore valables si l ou l = ± ans les cas où les opérations sont bien éfinies ans R (cf. éf. ). Ces propriétés ne permettent pas e couvrir tous les cas et on rencontre parfois une «forme inéterminée» (voir section IV.e). Par exemple, ( x ( )) π x + + sin =, (8a) x 0 ( x ( )) π x + tan =, (8b) x ( ) x = 0??? (8c) x 0 tan(π x/) 0 IV.b.3. Encarement Théorème 47 («théorème es genarmes») Soient f, g et h es applications e A ans B R telles que x A, g(x) f (x) h(x) et a ah A. Si g et h ont la même ite (finie ou infine) quan x a, alors f a aussi cette ite en a. 39

6 Figure IV.. La fonction x sin(/x), encarée par les fonctions ± x, ten vers 0 quan x 0. Exemple 3 Soit f (x) = x sin(/x), g(x) = x, h(x) = x pour x ]0, ]. Le théorème nous it que x 0 f (x) = 0. Voir figure IV.. Exemple 33 De même pour x > 0, f (x) = sin x/x, g(x) = /x, h(x) = /x. Le théorème nous it que x f (x) = 0. IV.c. Continuité une fonction Définition 46 (continuité) Soient E et F es espaces métriques et f : A E B F une application. f est continue en a A si x a f (x) = f (a). Elle est continue sur A si elle l est en chaque point a e A. Exemple 34 Les fonctions usuelles, puissances, polynômes, trigonométriques, exponentielle, logarithme, etc., sont continues en tout point e leur ensemble e éfinition. Définition 47 (continuité à roite, à gauche) Soit f : A R B F une application. f est continue à roite (resp. à gauche) en a A si x a + f (x) = f (a) (resp. x a f (x) = f (a)). Remarques Une fonction continue à roite et à gauche en a est continue en a. Bien istinguer «continuité à roite en a» et «continuité à roite e a». Exemple 35 La partie entière est l application E: R Z, x E(x) = max{n Z n x} Pour tout x R, on a E(x) x < E(x) +. La partie entière e x est également notée x. La fonction partie entière a une ite en tout point non entier et y est continue, mais est iscontinue en tout point entier. En effet, si n Z, x n E(x) = n, mais x n + E(x) = n. La fonction E est continue à roite et iscontinue à gauche. Remarque La continuité en un point épen e l ensemble e épart : la fonction E [0, [ n est pas continue en, mais les fonctions E [0, [ et E [, [ le sont. Sauf si A et H sont es ouverts, Exemple 36 La fonction est continue en 0 mais ne l est nulle part ailleurs. f A continue et f H continue = f A H continue. R R, x si x Q, x 0 si x R \ Q 40

7 Théorème-éfinition (prolongement par continuité) Soit f : A E B F une application continue sur A et H une partie e E telle que A H ah A. Si x H \ A, f amet une ite en x ans F, alors la fonction g: H F, f (x) si x A, x ξ x f (ξ) si x H \ A est continue sur H. On l appelle le prolongement par continuité à H e f. Exemple 37 La fonction f : x sin x/x est éfinie et continue sur A = R. Sa ite en 0 est finie et vaut. La fonction est onc le prolongement par continuité e f à R. g: R R, f (x) si x 0, x si x = 0 Théorème 48 (théorème es valeurs interméiaires) Soit f : I R R une application continue. Si I est un intervalle, f (I) est un intervalle. Si I est un intervalle fermé, f (I) est un intervalle fermé. Si I est un intervalle fermé [a, b], le maximum et le minimum e f sont atteints : f ([a, b]) = [c, ], où c min [a, b] f et max [a, b] f. Donc, pour tout y [c, ], il existe x [a, b] tel que y = f (x). Théorème 49 Soit f : I R une application continue et strictement monotone. Alors l application g: I f (I), x f (x) est bijective et sa réciproque g est continue, strictement monotone et e même sens e variation que f. IV.. Dérivation une fonction Définition 48 (Dérivée une fonction une variable réelle) Soient F un R-espace vectoriel normé, f : A R B F une application et a A un point accumulation e A. f est ite érivable en a si et seulement si x a, x a f (x) f (a) x a existe ans F. Cette ite est appelée érivée (première) e f en a et est notée f (a) ou f x. x=a La fonction f : x A f (x) F est appelée fonction érivée ou simplement érivée e f. Remarques Par commoité, on écrit souvent et abusivement es expressions telles que sin x au lieu e x sin x. Il est onc assez naturel utiliser la notation (sin x) au lieu e (x sin x) pour ésigner la fonction érivée e x sin x, voire sa valeur en x, ( sin t/t)(t = x). Pour une fonction amettant un symbole usuel, p. ex. sin, il est plus correct écrire sa érivée sin x, mais attention : (sin( x)) = (x sin( x)) = cos( x) tanis que sin ( x) = ( sin t/t)(t = x) = cos( x). S il y a plusieurs variables, le symbole ésigne traitionnellement la érivation par rapport à la variable x : on a ainsi (sin(a x)) = a cos(a x). S il n y a pas e x ans l expression, il y a ambiguïté : par exemple, les symboles a et t ésignant généralement une constante et une variable respectivement, on peut supposer que (sin a) = 0 et (sin t) = cos t, mais il vaurait mieux écrire (x sin a) et (t sin t). Ne jamais écrire (sin 0) = cos 0, car sin 0 est un nombre, pas une fonction, onc (sin 0) = 0. En revanche, on a bien sin 0 = (sin x) (x = 0) = cos 0. (9) 4

8 La ite oit être ans F. On ne ira onc pas que f est érivable en a si la ite u taux accroissement ( f (x) f (a))/(x a) est ±. Si f est une fonction vectorielle e A ans R p, c.-à-. si f = ( f,..., f p ), où les f i sont es fonctions e A ans R, f est érivable si et seulement si f i est érivable pour tout i, p. On a alors f = ( f,..., f p). De même, si f est à valeurs complexes, f = (Re f ) + i (Im f ). Comme x a 0 quan x a, il est nécessaire (mais non suffisant) que f (x) f (a) pour que la érivée existe, c.-à-. que f soit continue en a. La érivabilité en un point épen e l ensemble e épart : la fonction f : R R, x x n est pas érivable en x = 0, mais f R + et f R le sont. Remarquer que f A érivable et f H érivable = f A H érivable. L implication est en toutefois vraie si A et H sont es ouverts, raison pour laquelle on éfinit souvent la érivée en un point appartenant à un ouvert inclus ans om f. La formulation plus génerale que nous avons aoptée nous permet e ériver aux bornes un intervalle fermé, ce ont nous aurons besoin pour éfinir les fonctions C k par morceaux. Comme on peut iviser par un nombre complexe, cette éfinition est généralisable au cas une fonction une variable complexe : si A est un ouvert e C, f : A B F une application e A et F un C-espace vectoriel normé F, la érivée e f en un point z 0 A est le nombre f (z) f (z 0 ), z z 0, z z 0 z z 0 si cette ite existe ans C. Cette éfinition est bien plus contraignante que ans le cas une variable réelle : il faut que la ite existe et soit la même quelle que soit la irection u plan complexe selon laquelle z se rapproche e z 0. En contrepartie, si f existe sur un ouvert e C, f possèe alors e nombreuses propriétés intéressantes : elle est infiniment érivable, éveloppable en série entière, etc. Si f est érivable en a, f (a + h) = f (a) + f (a) h + o(h). L application ( f ) a : R F, h f (a) h est une application linéaire et porte le nom e ifférentielle e f en a. Ce concept peut être généralisé au cas où l ensemble e épart e f n est pas compris ans R ou C. On it qu une application f : A E B F, où E et F sont es espaces vectoriels normés, est ifférentiable en a A si il existe une application linéaire continue L e E ans F 3 telle que f (a + h) = f (a) + L(h) + o( h ) si a + h A. L application L s appelle la ifférentielle e f en a et est notée ( f ) a. Si f est une fonction e n variables réelles (x = (x,..., x n )) et est ifférentiable en a, les érivées partielles (voir infra) ( f / x i ) x=a e f en a existent pour tout i, n et p ( ) f ( f ) a (h) = h i, x i où h = (h,..., h n ), ce que l on note souvent ( f ) a = i= p ( ) f i= où x i est la fonction x i : h h i. En revanche, il ne suffit pas que les érivées partielles e f en a existent pour que f soit ifférentiable en a. x i x=a x=a x i,. En revanche, f érivable sur A et f érivable sur H = f érivable sur A H. 3. Si E est e imension finie, une application linéaire e E ans F est nécessairement continue. 4

9 La fonction f : E L(E, F), a ( f ) a, où L(E, F) est l ensemble es applications linéaires e E ans F, s appelle la ifférentielle e f (tout court). Si f est une fonction une variable réelle, on peut parfois éfinir es érivées à roite et à gauche en a, même quan f (a) n existe pas. Définition 49 (Dérivées à roite et à gauche) Soient F un R-espace vectoriel normé, f : A R B F une application et a A. f est érivable à roite en a si la quantité f (a) ( f A [a, + [ ) (a) existe et est finie ; f (a) porte le nom e érivée à roite. On éfinit e même la érivée à gauche, f g(a), en remplaçant [a, + [ par ], a]. Théorème 50 Une fonction f une variable réelle est érivable en un point a appartenant à l intérieur e son omaine e éfinition si ses érivées à roite et à gauche en a existent et sont égales. On a alors f (a) = f (a) (= f g(a)). Notations Les érivées successives (si elles existent) se notent f (a) = f x,..., f (k) (a) = k f x=a x k, x=a.... (0) En physique, la notation f est souvent réservée à une érivation par rapport à une cooronnée espace, tanis qu une érivée par rapport au temps est notée par un point suscrit :. f (t) = f t,.. f (t) = f, etc. () t S il y a plusieurs variables (par exemple es cooronnées espace et e temps, ou es variables e pression et e température), on utilise les notations e érivée partielle. Par exemple, pour une fonction f épenant es variables u et v, f u(u, v) f u h 0, h 0 f (u + h, v) f (u, v) h, f v(u, v) f v, f u, v(u, v) f u v ( ) f. () u v Théorème 5 Si f et g sont toutes eux érivables en x, et si λ R, on a les règles suivantes : ( λ f ) = λ f ; (3a) ( f + g ) = f + g ; (3b) si f et g sont à valeurs ans K, ( f g ) = f g + f g ; (3c) ( ) f si f et g sont à valeurs ans K et g(x) 0, = f g f g. (3) g g Théorème 5 Si g est érivable en x et f est érivable en y = g(x), alors f g est érivable en x et ( f g) = g f ( ) g, c.-à-. x f [g(x)] (x) = g (x) f (g[x]). (4) Théorème 53 Si f est bijective, érivable en y = f (x) et que f (y) 0, alors f est érivable en x et ( f ) = f f, c.-à-. ( x f (x) ) (x) = f ( f [x]). (5) 43

10 Ces règles écoulent e la éfinition 48. Les érivées e quelques fonctions élémentaires sont onnées à l appenice IV.. Définition 50 (fonction C k ) Soient k N et F un R-espace vectoriel normé. Une fonction f : A R B F est ite (e classe) C k sur un intervalle I A (ce qu on notera f C k (I B)) si elle est continue sur I et si toutes ses érivées jusqu à l orre k inclus existent et sont continues sur I. Si elle est inéfiniment érivable, on it qu elle est C. Une fonction C 0 est onc simplement une fonction continue. Définition 5 (subivision finie) Soient n N, (a, b) R et (x 0,..., x n ) R n+. (x 0,..., x n ) est une subivision finie e [a, b] si et seulement si x 0 = a < x <... < x n = b. Définition 5 (fonction C k par morceaux) Une fonction f est ite C k par morceaux sur un intervalle I (ce qu on notera f C k m(i B)) si pour tout intervalle [a, b] inclus ans I, il existe une subivision finie (x 0,..., x n ) e [a, b] telle que i 0, n, f ]xi, x i+ [ soit prolongeable en une fonction C k sur [x i, x i+ ] 4. Une fonction C 0 m (continue par morceaux) sur un intervalle [a, b] est onc une fonction continue sur [a, b], sauf en un nombre fini e points, et ont les iscontinuités en ces points sont finies. IV.e. Formes inéterminées On rencontre souvent es situations où la ite se présente sous une forme inéterminée. On appelle ainsi es expressions e la forme «0/0», «/», «0»,,, «0 0», «0», etc. Exemple 38 Quelles sont les ites pour x 0 e sin x/x, x ln x, ln x + /x, ( + x) /x, x x? On va montrer plus bas qu on peut se ramener au cas «0/0». Consiérons onc un rapport f (x)/g(x) où f (x) et g(x) tenent vers 0 quan x a. Il existe plusieurs procéés analyse une telle forme inéterminée. Tout abor, après la éfinition e la érivée une fonction f en a comme x a ( f (x) f (a))/(x a), on a le théorème suivant : Théorème 54 (règle e l Hospital) Si f (a) = g(a) = 0, si les érivées e f et g existent en a et si leur rapport est fini, on a x a f (x) g(x) = f (a) g (a). (6) Preuve En effet, x a ( f (x) f (a) f (x) f (a) g(x) g(a) = x a x a ) x a. (7) g(x) g(a) Si le rapport f (a)/g (a) est toujours inéterminé et si les érivées orre supérieur existent, on a le roit itérer la règle e l Hospital, c.-à-. examiner f (n) (a)/g (n) (a) pour n =, 3,..., jusqu à l obtention une forme éterminée. 4. f ]xi, x i+ [ est prolongeable e manière continue sur [x i, x i+ ] si les ites e f en x + i est alors la fonction f i éfinie par x ]x i, x i+ [, f i (x) = f (x) ; f i (x i ) = x + f ; i f i (x i+ ) = x i+ f. f est onc C k m si i 0, n, f i est C k sur [x i, x i+ ]. et x i+ sont finies. Le prolongement e f ]xi, x i+ [ 44

11 C O x x H A D sin x tan x B Figure IV.. Interprétation géométrique e () : OB = OC = ; BH = HC = sin x ; BD = DC = tan x. On a BC arc(bc) BD + DC, onc sin x x tan x. Exemple 39 Que vaut x 0 (( + x )/x)? Première méthoe. On multiplie et ivise par la «quantité conjuguée», c.-à-. qu on écrit + x + x = x ( + x + ) x = + x + x 0. (8) Secone méthoe. On utilise la éfinition e la érivée : ( ) + x = x = x 0 x x x= = x x=. (9) Troisième méthoe. On utilise la règle e l Hospital. f (x) = /( + x ) et g (x) =. + x x 0 x On pose f (x) = + x et g(x) = x, soit = f (0) g (0) =. (0) Exemple 40 Un résultat important est que sin x =. () x 0 x En effet, la ite est par éfinition la érivée e x sin x en 0, soit cos x évalué en 0, c.-à-.. L interprétation géométrique e ce résultat est aussi importante à garer en tête : sur un cercle e rayon unité, sin x est la longueur e la core corresponant à un angle e x raians. Pour e petits angles, la longueur e la core vaut approximativement celle e l arc : rigoureusement, sin x x quan x 0 (voir figure IV.). Une autre iée est utiliser es majorations ou minorations (comme ans le théorème es genarmes) pour se ramener à autres formes inéterminées ont la ite est plus aisément calculable. Ainsi, ans l exemple précéent e sin x/x, on a sin x x tan x (la core BC est plus courte que celle e l arc BAC, lui-même plus court que la ligne brisée BDC), où l encarement cos x sin x/x. Exemple 4 Quan x, ln x ten vers plus lentement que x α, pour tout α > 0. Quan x 0, ln x ten vers plus lentement que x α, pour tout α > 0. Pour voir cela, partons e l inégalité ln x < x. Pour émontrer cette inégalité, étuions la fonction f (x) = ln x x. Sa érivée, f (x) = ( x )/( x), est négative pour x > 4, positive pour 0 < x < 4. La fonction f est onc maximale en x = 4 et son maximum vaut f (4) = (ln ) = ln(/e) < 0. La fonction f est onc toujours négative. On en éuit que 0 < ln x/x < x /x, onc que + (ln x/x) = 0 et, plus généralement, par changement e variable, que ln x α > 0, = 0 et x xα x 0 (xα ln x) = 0, () où l on passe e la première assertion à la secone par le changement e variable x /x. 45

12 Exemple 4 En utilisant le résultat précéent, on émontre que pour tout α R, Il suffit e prenre le logarithme : x xα e x = 0. ln(x α e x ) = x + α ln x = x ( + α ln x ) x }{{} 0 x. Quan toutes les méthoes précéentes ont échoué, parce que la érivée e f ou e g n existe pas, ou que f /g est encore u type 0/0, et qu aucun encarement n a pu être trouvé, une iscussion plus serrée s impose. Si on a eux fonctions f et g ont le rapport f (x)/g(x) 0/0 quan x a (fini), on peut remplacer chacune elles par un équivalent asymptotique (on parle aussi e partie principale). En particulier, si f (x) a p (x a) p (on it alors que f est un infiniment petit orre p) et g(x) b q (x a) q, f (x) g(x) a p (x a) p q x a + b q x a + 0 si p > q, a p /b q si p = q, sgn(a p /b q ) 5 si p < q. De même, si x + et que f (x) a p x p (on it alors que f est un infiniment gran orre p) et g(x) b q x q, sgn(a f (x) a p /b q ) si p > q, p x p q a p /b q si p = q, g(x) x + b q x + 0 si p < q. Exemple 43 Trouver la ite e (x sin x)/(x tan x) quan x 0. En utilisant les éveloppements ités (cf. IV.g), on calcule x sin x x 3 /3!, x tan x x 3 /3, onc le rapport ten vers /. Exercice Calculer e même la ite e ( x + ln x)/( cos( x)) quan x. Finalement, es formes inéterminées e la forme 0, /,, etc., peuvent se ramener au cas 0/0 par passage à l inverse, exponentiation, etc. Ainsi, si f 0 et g, le prouit f g a une forme inéterminée 0 mais f /(/g) est e la forme 0/0. De même, si f, g, f g = exp(ln f /(/g)) et l argument e l exponentielle est à nouveau e la forme 0/0. Exemple 44 Calculons x 0 (( + x) /x ). Cette ite est e la forme. On a ( + x) /x = exp(ln( + x)/x). Comme x 0 (ln( + x)/x) = et que exp x est une fonction continue, on a x 0 (( + x) /x ) = e. Exemple 45 Calculons x 0 ( x ln(+x) ). Cette ite est e la forme 0 0. On a x ln(+x) = exp(ln( + x) ln x ). Quan x 0, ln( + x) x et x ln x 0, onc x 0 ( x ln(+x) ) =. IV.f. IV.f.. Fonctions élémentaires Fonctions trigonométriques L interprétation géométrique e cos θ et sin θ est onnée sur la figure I.. Le rapport tan θ = sin θ/cos θ (anciennement noté tg θ) représente la pente e la roite (OM). On utilise parfois cot θ = /tan θ. 5. La fonction sgn («signe» e x) est éfinie sur R, C ou R e la manière suivante : sgn 0 = 0 ; sgn x = x/ x si x Cont (onc sgn x = + si x R + et sgn x = si x R ) ; sgn(+ ) = + et sgn( ) =. 46

13 Les ientités trigonométriques écoulent toutes e sin( a) = sin a, cos( a) = cos a, sin a + cos a =, sin(π/ a) = cos a, cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b, ont l interprétation géométrique oit être claire (la ernière, par exemple, est obtenue en calculant le prouit scalaire e eux vecteurs unitaires faisant respectivement un angle a et un angle b avec l axe es abscisses). À partir e ces ientités, on peut retrouver les ientités e l appenice IV.. IV.f.. Fonctions trigonométriques réciproques Dans un intervalle où elles sont monotones, on peut «inverser» les fonctions sin x, cos x et tan x. On éfinit la fonction arcsin x comme la fonction réciproque e sin x ans l intervalle [ π/, π/] : arcsin x est éfinie pour x [, ] ; elle y est croissante et pren ses valeurs ans [ π/, π/] : x 0 arcsin x π 0 La solution générale e x = sin y est y = arcsin x + k π ou y = π arcsin x + k π, où k est un entier arbitraire. De même, arccos x est éfinie pour x [, ] ; elle y est écroissante et pren ses valeurs ans [0, π] : x 0 π arccos x π 0 La solution générale e x = cos y est y = ±arccos x + k π. On a arcsin x + arccos x = π/, ce que l on peut éuire soit e l inversion e x = cos y = sin(π/ y), soit u calcul e la érivée e arcsin x + arccos x. Enfin, la fonction arctan x est éfinie pour tout x R ; elle est croissante et pren ses valeurs ans ] π/, π/[ : x 0 + arctan x π La solution générale e x = tan y est y = arctan x + k π. Les érivées es fonctions trigonométriques réciproques sont IV.f.3. (arcsin x) = x, (arccos x) = Fonctions exponentielles et logarithmes 0 π π x, (arctan x) = + x. Il s agit e e x, ou plus généralement a x pour a > 0. Leur propriété caractéristique est (3a) (3b) (3c) (3) (3e) a x a y = a x+y (4) (et onc aussi (a x ) y = a x y ). La fonction réciproque e a x est le logarithme e base a, log a x. La fonction log e x est notée ln x. Pour (x, y) R R +, on a On a en outre et y = e x x = ln y, y = a x x = log a y, a x = e x ln a log a x = ln x ln a. (5a) (5b) (5c) (5) e i x = cos x + i sin x. (6) 47

14 IV.f.4. Fonctions hyperboliques Les cosinus, sinus et tangente hyperboliques, notés ch x ou cosh x, sh x ou sinh x, et th x ou tanh x, sont éfinis e la manière suivante : ch x = ex + e x Ces fonctions obéissent aux relations, sh x = ex e x, th x = sh x ch x. (7) ch( x) = ch x, sh( x) = sh x, ch x sh x =, (ch x) = sh x et (sh x) = ch x. (8) Les fonctions hyperboliques sont reliées aux fonctions trigonométriques par ch(i x) = cos x et sh(i x) = i sin x. (9) Les propriétés e symétrie et le comportement à l infini es fonctions hyperboliques sont illustrées sur la figure IV on a Figure IV.3. Graphes es fonctions hyperboliques ch x, sh x et th x. Les fonctions réciproques e sh x, ch x et th x sont respectivement argsh x, argch x et argth x. Comme x = sh(argsh x) = eargsh x e argsh x = y x y = 0, avec y = e argsh x, argsh x = ln(x + x + ). On obtient e même que argch x = ln(x + x ) et argth x = ( ) + x ln. x On a IV.g. (argsh x) = x +, (argch x) = x, (argth x) = Développements ités et asymptotiques x. Un éveloppement ité orre p une fonction f au voisinage e 0 est un éveloppement ans lequel les termes successifs sont es infiniment petits orre entier croissant : où l on rappelle que le ernier terme signifie que f (x) = c 0 + c x + c x + + c p x p + o(x p ), (30) f (x) (c 0 + c x + c x + + c p x p ) x 0 x p = 0 (on trouve aussi ans les livres la notation ε(x p )). Plus généralement, un éveloppement ité e f au voisinage un point a est un éveloppement e la forme IV.g.. f (x) = c 0 + c (x a) + c (x a) + + c p (x a) p + o((x a) p ). (3) Développements e Taylor Une façon pratique e construire e tels éveloppements ités est utiliser la formule e Taylor. Celle-ci est une généralisation une propriété connue es fonctions continues et érivables sur un intervalle [a, b] : on peut écrire, pour x [a, b], f (x) f (a) = (x a) f (a) + o(x a) (et on it que f (a) + (x a) f (a) est la meilleure approximation affine e f (x)). Le théorème suivant généralise ceci : 48

15 Théorème 55 (Taylor-Young) Si la fonction f (x) est e classe C n sur [a, b] et si f (n) (a) existe en a, on peut, pour tout x [a, b], écrire le éveloppement e Taylor-Young f (x) = f (a) + (x a) f (a) + + (x a)n n! f (n) (a) + o((x a) n ). (3) Preuve (ébauche) La formule e Taylor-Young se émontre par récurrence, en l appliquant à l orre n à la fonction f et en intégrant le éveloppement ité obtenu, ce qu on montre être légitime. Il existe une autre formule e Taylor (Taylor-Lagrange) qui onne une autre forme u reste : Théorème 56 (Taylor-Lagrange) Si la fonction f (x) est e classe C n sur [a, b] et si f (n+) existe ans ]a, b[, pour tout x [a, b], il existe ξ(x) ]a, x[ tel que f (x) = f (a) + (x a) f (a) + + (x a)n n! f (n) (a) + (x a)n+ (n + )! f (n+) (ξ). (33) En pratique, la formule e Taylor-Lagrange avec son reste explicite est utile pour trouver es majorations ou minorations une fonction (si on connaît le signe u reste). La formule (3) est utile pour fournir es éveloppements ités. IV.g.. Développements ités en 0 e fonctions classiques Les fonctions classiques qu on va consiérer sont inéfiniment érivables en 0 ; on éuit onc aisément e la formule e Taylor les éveloppements suivants en 0 : Exercice e x = + x + x! + + xn n! + o(xn ) ; (34a) sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( )n x n+ ( n + )! + o(x n+ ) ; (34b) cos x = x! + x4 4! + + ( )n x n ( n)! + o(x n ) ; (34c) tan x = x + x3 3 + o(x3 ) ; (34) ( + x) α α (α ) = + α x + x α (α ) (α n + ) + + x n + o(x n ) ;! n! (34e) ln( + x) = x x + x3 xn + + ( )n 3 n + o(xn ). Calculer en particulier les éveloppements e + x et e ( x). Ce ernier est particulièment simple et pouvait être eviné a priori. Pourquoi? IV.g.3. Opérations sur les éveloppements ités On peut effectuer es opérations aition, e multiplication et e ivision, e composition et intégration e éveloppements ités, à conition effectuer ces éveloppements à es orres cohérents avec l orre ésiré pour le résultat final. Ces manipulations sont usage très courant pour le physicien! Exemple 46 Calculons le éveloppement e tan x à l orre 3 en 0. On écrit (34f) sin x = x x3 6 + o(x3 ), (35a) cos x = x + o(x ), (35b) 49

16 qu on inverse en utilisant le éveloppement e /( u), avec u = x / o(x ), où sin x cos x = x ( ) ( ) x3 /6 + o(x 3 ) x / + o(x ) = x x 6 + o(x ) + x + o(x ) ( ) = x + x 3 + o(x ) = x + x3 3 + o(x3 ). IV.g.4. Développements ités en a 0 ou asymptotiques à l infini On peut obtenir le éveloppement ité une fonction f au voisinage un point a 0 grâce à la formule e Taylor (3), mais au prix u calcul es érivées successives en a e la fonction f. Pour les fonctions usuelles, un changement e variable permet souvent se ramener aux éveloppements connus au voisinage e 0. Exemple 47 Développons sin x au voisinage e a. Posons u = x a. On a sin x = sin(a + (x a)) = sin a cos u + cos a sin u et on utilise les éveloppements vus précéemment e sin u et cos u au voisinage e 0. Exemple 48 Calculons e même un éveloppement ité e ln x au voisinage e a > 0. On a ln x = ln(a + x a) = ln(a [ + (x a)/a]) = ln a + ln( + u) avec u = (x a)/a. Il suffit onc utiliser le éveloppement e ln( + u) au voisinage e 0. On peut aussi calculer es éveloppements asymptotiques quan x ± : on se ramène au cas un éveloppement ité en 0 par un changement e variable tel que x u = /x. Exemple 49 Calculons le éveloppement asymptotique 6 e ( + x ) / quan x. On a ( + x ) / = x ( + x ) / = x ( + u) / avec u = x. Il suffit onc e connaître le éveloppement ité e ( + u) / au voisinage e 0. Annexe IV.. Ientités trigonométriques Elles écoulent toutes e cinq ientités fonamentales : sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, (36a) (36b) sin x + cos x =, (36c) ( ) π cos x = sin x, (36) cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y. Par exemple, (36c) implique pour tan x = sin x/cos x et cot x = /tan x que IV..a. et Décalage e l argument + tan x = sin x + cos x cos x + cot x = sin x + cos x sin x Les propriétés fonamentales e périoicité sont sin(x + π) = sin x, cos(x + π) = cos x, tan(x + π) = tan x. = cos x = sin x. (36e) (37a) (37b) (38a) (38b) (38c) 6. Il ne s agit pas un éveloppement ité car on n obtient pas un polynôme. 50

17 On a également et ( sin x + π ( cos x + π ( tan x ± π ( sin(x + π) = cos x + π ) = sin x, (39a) ( cos(x + π) = sin x + π ) = cos x (39b) ) ( ) π = sin ( x) = cos( x) = cos x, (40a) ) ( ) π = cos ( x) = sin( x) = sin x, (40b) ) = cot x. (40c) IV..b. Formules aition Inversement, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. (4a) ( ) π sin(x + y) = cos x y = sin x cos y + cos x sin y. (4b) tan(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos x cos y sin x sin y = tan x + tan y tan x tan y. (4c) cos x cos y = sin x sin y = ( cos(x + y) + cos(x y) ), (4a) ( cos(x y) cos(x + y) ), (4b) ou encore IV..c. Formules e oublement sin x cos y = ( ) sin(x + y) + sin(x y), (4c) ( ) ( ) a + b a b cos a + cos b = cos cos, etc. (43) cos( x) = cos x sin x = cos x = sin x = sin( x) = sin x cos x = tan x cos x = tan( x) = Noter que cos x, sin x et tan x sont es fractions rationnelles e tan(x/). + tan x = tan x + tan x. (44a) tan x + tan x. (44b) tan x tan x. (44c) 5

18 Annexe IV.. Dérivées es fonctions élémentaires x xα = α x α. x ex = e x. x ax = ln a a x. x ln x = x. sin x = cos x. x (45e) cos x = sin x. x (45f) x tan x = + tan x. x arcsin x =. x x arccos x = x. (45a) (45b) (45c) (45) (45g) (45h) (45i) x arctan x = + x. (45j) sh x = ch x. x (45k) ch x = sh x. x (45l) x th x = th x. (45m) 5