PREMIERS PAS DANS L ESPACE

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1 REMIERS AS DANS L ESACE I - Généralités La géométrie élémentaire e l espace est née u souci étuier les propriétés e l espace ans lequel nous vivons. Les objets élémentaires e cette géométrie sont les points, les roites et les plans. On consière ces notions comme es notions premières, c est-à-ire suffisamment familières pour ne pas les éfinir. our leur étue il sera nécessaire amettre un certain nombre e propriétés e base. Un point ésigne un enroit précis. On le représente par un point (.) ou une croix ( ), et on lui onne un nom. Mais il faut bien comprenre qu il ne s agit que une représentation e l objet théorique, «point», qui n a pas étenue. Une roite est un ensemble e points, qu on représente par un «segment», et auquel on onne un nom. il faut bien comprenre qu il ne s agit que une représentation e l objet théorique, «roite», qui n a pas e largeur, et qui est illimité ans les eux sens. Un plan est un ensemble e points. La feuille e papier est une bonne représentation un plan. Lorsque l on veut représenter plusieurs plans e l espace, on représente chacun entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en «perspective». Il ne s agit là que une représentation e l objet théorique «plan» qui n a pas épaisseur et illimité ans tous les sens. ropriété1 Les résultats e géométrie u plan sont applicables ans chaque plan e l espace. II - Axiomes incience Les axiomes inciences e la géométrie ans l espace sont es axiomes qui fournissent es relations entre les points, les roites et les plans e cette géométrie. 1. ar eux points istincts e l espace il passe une et une seule roite. Cette roite peut-être notée (AB). 2. ar trois points non alignés, A,B et C passe un et un seul plan. Ce plan peut-être noté (ABC). 3. Si A et B sont eux points un plan, tous les points e la roite (AB) appartiennent au plan. Il en résulte qu un plan peut être éterminé par l une es conitions suivantes : trois points non alignés eux roites sécantes une roite et un point extérieur à celle-ci A C B A III - ositions relatives e roites et plans 1. et sont eux roites e l espace. Il n existe que eux possibilités :

2 REMIERS AS DANS L ESACE 2 a) il n existe aucun plan contenant ces eux roites, elles sont ites non coplanaires, A b) il existe un plan contenant ces eux roites, elles sont ites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles ans ce plan). 2. est une roite et un plan e l espace. Il n existe que trois possibilités : a) la roite et le plan n ont qu un point commun, la roite et le plan sont its sécants (voir la figure précéente), b) la roite est incluse ans le plan, c) la roite et le plan n ont aucun point commun. 3. et sont eux plans e l espace. Il n existe que trois possibilités : a) les plans ont un point commun et sont istincts, alors ils sont sécants suivant une roite passant par ce point, (ainsi eux plans istincts qui ont eux points communs sont sécants suivant la roite éfinie par ces eux points) b) les plans sont confonus, c) ils n ont aucun point commun. IV - arallélisme ans l espace La liste es propriétés n est pas exhaustive...certaines propriétés "évientes" concernant le parallélisme ans l espace n apparaissent pas ans cette section. a. Définitions Définition 1 Deux roites sont parallèles lorsqu elles sont coplanaires et non sécantes. Il en est ainsi e eux roites confonues ou bien coplanaires et sans point commun. Deux plans sont parallèles lorsqu ils ne sont pas sécants. Il en est ainsi e eux plans confonus ou sans point commun. Une roite et un plan sont parallèles lorsqu ils ne pas sécants. Il en est ainsi une roite incluse ans un plan ou une roite et un plan sans point commun. Remarques : Le fait que eux roites n aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure, ans l espace, qu elles sont parallèles. Deux roites strictement parallèles éfinissent un plan. Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,

3 REMIERS AS DANS L ESACE 3 b. arallélisme entre roites Théorème 1 Deux roites parallèles à une même troisième roite sont parallèles entre elles. Théorème 2 Si et sont eux plans parallèles, alors tout plan qui coupe coupe aussi et les roites intersection sont parallèles. Théorème 3 Si une roite est parallèle à eux plans sécants alors elle est parallèle à leur roite intersection. Théorème 4 "Théorème u toit" et sont eux roites parallèles. est un plan contenant et un plan contenant. Si, en outre, les plans et sont sécants, alors la roite intersection e ces plans est parallèle à et. Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,

4 REMIERS AS DANS L ESACE 4 c. arallélisme entre plans Théorème 5 Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux. Théorème 6 Si eux roites sécantes un plan sont respectivement parallèles à eux roites sécantes un plan, alors les plans et sont parallèles arallélisme entre roite et plan Théorème 7 Si une roite est parallèle à une roite, alors la roite est parallèle à tout plan contennant la roite. V - Orthogonalité ans l espace a. Définitions Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,

5 REMIERS AS DANS L ESACE 5 Définition 2 Deux roites et (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces eux roites menées par un point I quelconque sont perpeniculaires. ( Nous amettrons alors que les parallèles à et passant par n importe quel autre point sont également perpeniculaires) I Exemple : ABCDEFGH est un cube alors (AD) (HG). Remarques : Deux roites orthogonales ne sont pas nécessairement perpeniculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En revanche la réciproque est vraie par éfinition e roites orthogonales. Deux roites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. (facile à voir ans un cube) Définition 3 Une roite est orthogonale à un plan lorsqu elle est orthogonale à toutes les roites e ce plan. b. Orthogonalité une roite et un plan Théorème 8 our qu une roite soit orthogonale à un plan il suffit que soit orthogonale à eux roites sécantes e. Théorème 9 Deux plans orthogonaux à une même roite sont parallèles. Si eux plans sont parallèles, toute roite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,

6 REMIERS AS DANS L ESACE Théorème 10 Si eux roites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. Deux roites orthogonales à un même plan sont parallèles. c. Orthogonalité e eux roites e l espace Théorème 11 Si eux roites sont parallèles, toute roite orthogonale à l une est orthogonale à l autre.. lans perpeniculaires Définition 4 Un plan est perpeniculaire à un plan ( ), si il existe une roite e orthogonale à. (Dans ce cas on a aussi ). Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,

7 REMIERS AS DANS L ESACE 7 Remarques : l exemple qu il faut avoir en tête est celui un cube : eux faces quelconques non parallèles sont perpeniculaires. Si alors toute roite e l un n est pas orthogonale à l autre, c est vrai pour l une entre elles.( Dans un cube ABCDEFGH les faces ABFE et ABCD sont perpeniculaires mais la roite (AF) n est pas orthogonale à la face ABCD car elle n est pas orthogonale à (AB)) Si et alors et ne sont pas nécessairement parallèles (facile à voir ans un cube avec les faces). Cette relation e perpenicularité e plans est onc moins souple que celle e perpenicularité e roites. Théorème 12 Si et, eux plans sécants, sont perpeniculaires à un même plan, alors leur intersection est orthogonale à. Théorème 13 Si, toute roite e l un, qui est orthogonale à leur intersection, est orthogonale à l autre. (voir la figure e la éfinition précéente) Merci à Davi NIVAUD Guillaume Connan, 2 ne 8 - JEAN ERRIN,