Pression atmosphérique en fonction de l'altitude

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Violette Alain
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1 Pression atosphérique en fonction de l'altitude 1. Forule baroétrique (atosphère isothere) 1.1 Poser l'équation différentielle altitude z h z Notons Ρ la asse voluique oyenne de l'air entre les altitudes z et z+h. D'après la loi de la croissance de la pression, la pression à l'altitude z est d' Passons à la liite h 0 p z p z h Ρ g h p z h p z h dz Ρ z g Ρ g Ρ(z) désigne la densité de l'atosphère à l'altitude z. Calculons Ρ en supposant qu'il s'agit dun gaz parfait et que l'atosphère est isothere p V n Ρ V p n 1 p M M n désigne la asse olaire de l'air. L'équation différentielle avec condition initiale de la fonction z p z s'écrit alors dz p p 0 p 0 constante et p 0 est donné 1.2 Résoudre l'équation différentielle

D'après la loi de la croissance de la pression, la pression à l'altitude z est d' Passons à la liite h 0 p z p z h Ρ g h p z h p z h dz Ρ z g Ρ g Ρ(z) désigne la densité de

2 2 pression-altitude.nb 1.2 Résoudre l'équation différentielle L'équation différentielle est de la fore p' a p a est constant. Il s'agit donc d'une équation différentielle du preier ordre linéaire hoogène à coefficient constant. On utilise la éthode de la séparation des variables. Sous l'hypothèse p 0, dz 1 p p ln p p z z k la constante d'intégration k est déterinée à partir de la condition initiale (pour z 0, on a p p 0 ) En substituant la valeur de k, on obtient ln p 0 k ln p ln p 0 p exp ln p 0 p z p 0 z z z p 0 z L'hypothèse T=constante (15 C) étant peu réaliste, la forule baroétrique ne peut être utilisée que pour de petites valeurs de z. Pour ieux tenir copte des conditons actuelles et locales, dans le cas on connaît la pression actuelle p 1 en un lieu proche d'altitude z 1, on utilise de préférence la forule p z p 1 z z 1 Valeurs nuériques des constantes et unités p pression en pascals z altitude en ètres p Pa; M kg ol 1 ; g s 2 ; R J ol 1 K J kg 2 s 2 ; T K; p z Pa z 1.3 Pression atosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en ]

Sous l'hypothèse p 0, dz 1 p p ln p p z z k la constante d'intégration k est déterinée à partir de la condition initiale (pour z 0, on a p p 0 ) En substituant la valeur de k, on obtient ln p 0 k ln

3 pression-altitude.nb Pression atosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en ] Clear p ; p z : z ; forat p : sp : ToString Round p ; sl : StringLength sp ; Do sp " " sp, i, sl, 8 ; StringTake sp, 1, sl 3 " " StringTake sp, 3 TableFor Table forat Round p i j, i, 0, 1000, 1000, j, 0, 900, 200, TableHeadings Map forat, Range 0, 1000, 1000, Map forat, Range 0, 900, Modèle d'atosphère standard avec gradient de tepérature constant Forule du nivelleent baroétrique 2.1 Hypothèse du gradient de tepérature constant La tepérature diinue avec l'altitude. Malheureuseent, le gradient de tepérature varie selon les conditions cliatiques et étéorologiques. Dans ce odèle, on considère que la tepérature T décroît linéaireent avec l'altitude z T z a z et on choisit un gradient de tepérature typique, par exeple a K 1 On décrit ainsi un état oyen de l'atosphère, sans tenir copte de son état réel. 2.2 Intégration de l'équation différentielle En substituant T dans l'équation différentielle avec condition initiale on obtient En séparant les variables dz p p 0 p 0 dz p R a z 1 p p R 1 a z z Sous l'hypothèse p 0, ln p R 1 a ln a z k ln a z k la constante d'intégration k est déterinée par la condition initiale (pour z 0, on a p p 0 ) En substituant la valeur de k ln p 0 ln k k ln p 0 ln

200, TableHeadings Map forat, Range 0, 1000, 1000, Map forat, Range 0, 900, 200 0 200 400 600 800 0 101 325 98 922 96 576 94 286 92 050 1 000 89 867 87 736 85 655 83 624 81 641 2.

4 4 pression-altitude.nb En substituant la valeur de k ln p ln a z ln p 0 ln p 0 ln a z ln ln p 0 ln p 0 ln ln a z ln a z p z p 0 a z p z p 0 1 a z Cette dernière forule, appelée Forule du nivelleent baroétrique, peut être utilisée, avec prudence, jusque vers environ d'altitude. Pour ieux tenir copte des conditons actuelles et locales, dans le cas on connaît la pression actuelle p 1 en un lieu proche d'altitude z 1, on utilise de préférence la forule p z p 1 1 a z z Valeurs nuériques des constantes et unités p pression en pascals z altitude en ètres p Pa; a K ; K; a M kg ol 1 ; g s 2 ; R J ol 1 K 1. J kg 2 s 2 ; Nuériqueent, p z z Clear p ; p z : z 5.255

être utilisée, avec prudence, jusque vers environ 12 000 d'altitude.

5 pression-altitude.nb Table nuérique de la pression atosphérique oyenne en hpa, en fonction de l'altitude de -500 à tabelle TableFor Table PaddedFor p i j, 8, 2, i, 500, , 500, j, 0, 400, 100, TableHeadings Map PaddedFor, 5 &, Range 500, , 500, Map PaddedFor, 7 &, Range 0, 400, 100, TableSpacing 1, 3 ; Export "pression at.htl", tabelle ; tabelle Liens hypertextes vers Wikipedia Pour des copléents d'inforation sur la Forule du nivelleent baroétrique, voir vers la page ère: Tables nuériques de l'atosphère en fonction de l'altitude Physique dans la culture générale > Tepérature, pression et asse voluique de l'atosphère, tepérature d'ébullition de l'eau http : // vers: Modèle du nivelleent baroétrique Applications des athéatiques > Tepérature, pression et asse voluique de l'atosphère, tepérature d'ébullition de l'eau

Map PaddedFor, 5 &, Range 500, 12 000, 500, Map PaddedFor, 7 &, Range 0, 400, 100, TableSpacing 1, 3 ; Export "pression at.htl", tabelle ; tabelle 0 100 200 300 400 500 1074.76 1062.23 1049.81 1037.

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