14 Proportionnalité. et géométrie. 1 Commentaires généraux. 2 Objectifs des activités

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1 4 Proportionnalité et géométrie Commentaires généraux Le chapitre 4 traite de certains problèmes de proportionnalité rencontrés en géométrie dans le cadre du programme de 4 e. Une grande partie du chapitre est consacrée à l étude des agrandissements et réductions à l échelle de figures planes. De nombreuses situations permettent à l élève d observer et d utiliser les propriétés de conservation des figures lors d un agrandissement ou d une réduction à l échelle (mesures d angles, parallélisme). Une part importante du contenu est consacrée à des constructions de tels agrandissements ou réductions. La variation d une grandeur en fonction d une autre, dans le cadre des formules d aires et de volumes, offre de nombreuses situations de proportionnalité ainsi que de non proportionnalité. Par ailleurs, les élèves découvrent et utilisent dans ce chapitre la proportionnalité entre, d une part, la longueur d un arc de cercle ou l aire d un secteur angulaire et, d autre part, son angle au centre. Cette étude permet l élaboration d un patron de cône. Pour traiter ce chapitre, il est important que les notions du chapitre 7 soient déjà familières pour l élève, notamment la procédure des «produits en croix». L enseignant trouve ici l occasion d utiliser pleinement les logiciels de géométrie dynamique avec ses élèves. Le site Internet de la collection ( propose un nombre conséquent d illustrations interactives en liaison avec les activités et les exercices de ce chapitre. Objectifs des activités ctivité Faire comprendre à l élève la notion d agrandissement à l échelle. ctivité Faire découvrir la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction. ctivité 3 Faire découvrir une propriété de conservation de parallélisme et d orthogonalité dans un agrandissement / réduction. ctivité 4 Démontrer la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction dans le cas d un triangle rectangle. Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

2 3 vant de démarrer (solutions). c. c C. a D. b E. c 4 Je découvre, j utilise (solutions) 5. HIJ est un triangle rectangle en H. En appliquant le théorème de Pythagore, on a : IJ = HI + HJ IJ = = donc IJ = (en mètres). À l échelle les nouvelles dimensions sont (en cm) : H I = = 8 ; H J = = I J = = cm J 9,5 cm 6 cm 0 cm M N = M P = # 8 = 56 mm et P N =,5 # 8 = 4 mm M H 8 cm I P N km = cm = d où : Floride 8 cm mer des sargasses (OCÉN TLNTIQUE) Îles des ermudes 8 cm 3 8 cm 9 cm C Porto Rico 7,6 cm 5 cm 4 D E = 50 # 0, = 0 cm D F = 9 # 0, = 5,8 cm et F E = 63 # 0, =,6 cm D D 7 m = 00 cm ; 4 m = 400 cm 7 m = 700 cm : 5 Dimensions réelles en cm Dimensions sur le plan en cm ,6 5,6 3, 0,6 E 3, cm tableau porte 0,6 cm 5,6 cm F 9,6 cm Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 3

3 84, 8 = 4, Il s agit de multiplier chaque dimension par 4. M = 4 #,9 = 7,6 cm et F = 4 # = 4 cm 78, = 6,. 3 Il s agit d un agrandissement à l échelle,6. E G =,6 #,5 = 6,5 cm G 7,6 cm 4 cm 6,5 cm M 8,4 cm 6 9 =,. 5 Il s agit de multiplier chaque dimension par,. M P = P N =, # 4,5 = 5,4 cm P F E Distance réelle en km Distance sur le schéma en cm 7,8 cm Londres- erlin erlin- Paris F Paris- Londres ,4 3,7 5,4 cm L 0 cm 3,7 cm 9,4 cm M 6 cm N 0 50 m = cm = 65 8 Il s agit d une réduction à l échelle P Z = E = 50 mm et \ ZE = 45 Z Dimensions réelles en m Dimensions sur le schéma en cm 8 7,,4 4,8 7, cm 45 E 4 U 8 cm 4,8 cm 3,4 cm,4 cm R 4 cm T 4 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

4 5. PSD \ = 0 ; SDO \ = 70 et DOP \ = 0.. À l échelle 3 chaque côté mesure 8 cm et les mesures des angles restent inchangées. O P 6 D 70 0 Ḟ 5 cm 50 K 4 cm. F G =,5 # 5 = 7,5 cm Hauteur :,5 # 4 = 6 cm F 5 cm 50 6 cm K 0 G G S 70 8 cm 7 =, 5 96, C =,5 # 6,8 = 8,5 cm D C =,5 # 8,4 = 0,5 cm \ C = C \ = 79 et \ CD = CD \ = 90 D cm 0,5 cm 79 C H 8,5 cm H 8. a. = # h b. Quand est fixée, et h sont deux quantités proportionnelles (un coefficient de proportionnalité est # ).. On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant. en cm, 5,8 h en cm 3 x 3# 5, 8 x = = 4, Si = 5,8 cm alors h = 4 cm. 9. = # h En multipliant la hauteur par la base qui est fixée, on obtient le volume, donc quand la base est fixée le volume d un cylindre est proportionnel à sa hauteur.. Hauteur en cm 9 Volume en cm 3 7 x # x = 7 # 9 7# 9 63 d où x = = = 55, cm 0 La longueur de l arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l angle au centre. Mesure de l angle au centre en degrés 360 x Longueur de l arc # r 6 en cm On a donc # π # x = 360 # 6 360# 6 d où x =. 48 # r Même raisonnement qu à l exercice # 6, 8 x =. 0 6# r L aire de la portion de disque est proportionnelle à la mesure de l angle au centre. Mesure de l angle au centre en degrés 360 x ire en cm 7 # r 98 On a donc 49r # x = 360 # # 98 d où x =. 9 49# r Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 5

5 3 Même raisonnement qu à l exercice. 360# 8 x = # r 4 Les mesures des arcs sont proportionnelles à celles des angles au centre. Mesure de l angle au centre en degrés Mesure de l arc en cm # r On a donc 360 # = 30 # # r 30# # r d où =. 3,6 cm Les aires sont proportionnelles aux angles au centre. Mesure de l angle au centre en degrés ire en cm 7 # r On a donc 360 # = 80 # 49 # r 80# 49# r d où =. 34, cm Mesure de l angle au centre en degrés 360 x Longueur de l arc # 4 # r 5 en cm On a donc 8 # r # x = 360 # 5 360# d où x = =. 5 8# r r. Mesure de l angle au centre en degrés r ire en cm 4 # r 675 On a donc 360 # = # 6 # r r d où 360 # = 675 # 6 675# 6 = = 30 cm Faire le point en classe (solutions) 7 À l échelle 7 les nouvelles dimensions sont 49 cm ; 56 cm et 70 cm. 8 3 ' 4 = 8. À l échelle un quart, chaque côté mesure 8 cm. 9 Pour obtenir les dimensions finales, on multiplie les dimensions par 0,8 (4 ' 5). On obtient 8 cm ; 4 cm et 5,6 cm. 30 vert et bleu : facteur d agrandissement ou de réduction. orange et rouge : facteur d agrandissement ou de réduction,5. 3 km = cm. Le rectangle de dimensions 5 cm sur 9 cm est une réduction du rectangle de dimensions 5 km sur 9 km à l échelle Si on coupe deux côtés d un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles dont les longueurs des côtés sont proportionnelles. D E DE = =. C C D 6 3. Un facteur de réduction est = = ou 8 4 0, Paul a raison, un facteur de réduction est égal au quotient de la longueur du petit côté par celle du grand côté. 34 Jane a raison, dans une réduction la mesure des angles et la nature des polygones sont conservées. 35 C 4, cm D 8,4 cm P = # r # r On obtient le périmètre d un cercle en multipliant son rayon par le nombre fixe # r, donc le périmètre est proportionnel au rayon.. = r # r # r Pour obtenir l aire d un disque, on multiplie son rayon par le nombre r # r qui n est pas fixe, donc l aire d un disque n est pas proportionnelle au rayon. 6 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

6 37 La mesure de l angle au centre est proportionnelle à la longueur de l arc. 60 a. = ; 360# = Si l arc mesure 60 cm l angle mesure b. = ; 360# = Si l arc mesure 48 cm l angle mesure c. = ; 360# = Si l arc mesure 80 cm l angle mesure a. (d) (d) // () 8 Je m entraîne (solutions) 47. =, # 6 = 7, cm C =, # 5 = 6 cm C =, # 7 = 8,4 cm 7, cm 6 cm b. (d) // () (d) c. (d) // () (d) 8,4 cm. = 0,8 # 6 = 4,8 cm C = 0,8 # 5 = 4 cm C = 0,8 # 7 = 5,6 cm 4,8 cm 4 cm C 6 Calcul mental (solutions) 39 a. 56 ; 7 ; 88 b. 3,5 ; 4,5 ; 5,5 c. 0,7 ; 0,9 ;, 5,6 cm 48. \ RST = 35 ; \ RTS = 48 et S T =,4 # 5 = 7 cm R C 40 7,5 ; ; 0,9 et = ou 0, J évalue mes compétences (solutions) S 7 cm T. \ RST = 35 ; \ RTS = 48 et S T = 0,7 # 5 = 3,5 cm R 4 b. 43 a. 44 b. 45 a. et b. 46 a. (valeur exacte 360# = ) 60 r r S ,5 cm FG 6 49 = =. Le triangle E F G est une FG 4 4 réduction du triangle EFG à l échelle. 4 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 7 T

7 E F = # = 3 cm et EG = # 6 = 4 cm 4 4 E 4 cm 3 cm G 6 cm F 50 a. Échelle 3 SL 36, = = =08, F 46 5 PF 4, 8 4 P 5, 6 4 = = = 08, ; = = =08, L 3 5 S 3 5 Le triangle FP est une réduction du triangle SL à l échelle 0,8.. Dans une réduction, les mesures des angles sont conservées donc : PF \ = SL \ = 4 FP \ = SL \ = 44 La somme des angles d un triangle est égale à 80 donc PF \ = 80 - ( ) = C 6 cm 7,5 cm 3 b. Échelle 5 7 c. Échelle 3 (d) (d) // () (d) // () 4,5 cm. C = 7,5 = 56,5 C + = 6 + 4,5 = ,5 = 56,5 donc C = C +. D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle C est rectangle en. 3. Dans une réduction, la mesure des angles est conservée donc le triangle C est rectangle en. (d) 54. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. DE = C = 45, cm ; FE = =55, cm et DF = C =3 cm.. DF ; DE ; FEC et EDF sont des réductions du triangle C à l échelle 0,5. 5 On peut mesurer les angles du triangle C en construisant un triangle C à l échelle 00. = 0 cm ; C = 8 cm et C = 5 cm. Les angles du triangle C ont les mêmes mesures que ceux du triangle C c est-à-dire : C \. 30 ; C. \ 38 et C \ Si on coupe deux côtés d un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels. (DE) // (C) D E DE 3 = = = = C C 9 3. ED est une réduction de C à l échelle 3. 8 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

8 56. Les trois triangles ont la même hauteur égale à 3,5 cm.. Triangle EFG HIJ MLK Longueur en cm,5 5,4 4, du côté horizontal ire en cm,65 9,45 7,75, , 7, = = =75, 5, 54, 4, Les deux dernières lignes du tableau sont proportionnelles car on passe de la longueur du côté horizontal à l aire en multipliant par,75. = h h # c avec ici h = 3,5 donc = 75,. Le résultat précédent était donc prévisible puisque l on obtient l aire d un triangle en multipliant un de ses côtés par la moitié de la longueur de la hauteur correspondante qui est ici fixe. 57. Les trois quadrilatères sont des parallélogrammes.. Quadrilatère CD EF GM Hauteur relative à [] en cm 4 ire en cm = = =6 3 Les deux dernières lignes du tableau sont proportionnelles. Pour obtenir l aire de chacun de ces parallélogrammes, on multiplie une de ses hauteurs par la longueur du côté correspondant qui ici est fixe. = 6 # h L aire est donc proportionnelle à la hauteur quand le côté est de longueur fixe. 58. ire CD = 3 = 9 cm. ire ED = aire CD + aire CE 3# 3 = 9 + = 3,5 (cm ). ire FD = aire CD + aire CF 6# 3 = 9 + = 8 (cm ). ire GD = aire CD + aire CG 9# 3 = 9 + =,5 (cm ). 9. = 3 3 } 3!, 5. Les aires ne sont pas proportionnelles aux longueurs 3, 5 = 5, des côtés opposés à [] V 3 = # h Si la base est fixée, le volume du cône s obtient en multipliant la hauteur par le nombre fixe 3 donc le volume et la hauteur sont proportionnels.. Volume en cm 3 5 v Hauteur en cm cm 5 4 cm. V = 3 rr # h 8 cm 6 cm Si r = 4 et h = 8, V = r # 4 8 r # 8 =. 34 (cm ) Si r = 6 et h = 8, V = r # 6 88 r # 8 = = 96r. 30,6 (cm ) 3. Volume en cm 3 3r 6r 3 3 Rayon de la base en cm 4 6 3r 6 # = 64r 3 6 r 64r 4 # = 3 3 } Les 6. V 3 = # h On a donc 5v = 5 # 5# d où v = = 60 (cm 5 3 ). produits en croix sont différents donc le tableau n est pas de proportionnalité. Le volume d un cône n est pas proportionnel au rayon de sa base. Si la base est fixe, on obtient le volume en multipliant la hauteur par le nombre fixe donc le 3 volume est proportionnel à la hauteur.. Volume en cm Hauteur en cm 6 h On a donc 5 # h = 0 # 6 0# 6 d où h = = 38,4 cm 50 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 9

9 6 La longueur de l arc et l aire du secteur sont proportionnelles à l angle au centre. ngle en degrés Longueur en cm # r # 4 On a donc 360 # = 50 # # r # 4 400r 0 = = r. 3,5 (cm) ngle en degrés ire en cm r # 4 On a donc 360 # = 50 # 4 # r 800r 0 = = r. 7 (cm ) 63 La longueur de l arc est proportionnelle à la mesure de l angle au centre. ngle en degrés 360 x Longueur en cm # r # 6 On a donc # r # x = # 360 # d où x = =. 0 (en ) r r 64 L aire du secteur est proportionnelle à la mesure de l angle au centre. ngle en degrés 360 x ire en cm r # 7 3 On a donc 49 # r # x = 360 # 3 360# 3 d où x =. 75 (en ) 49r 66 Pour déterminer le format on divise la longueur par la largeur ; puis on compare à 3 et à 3 4. Format argentique 3/ Format numérique 4/3 5 # 34 7 # # # # # 5 04 # # # 75 0 # 5 5 # vec les deux premières colonnes : { 84 # 84 = # 89 = Donc à peu de chose près, ces dimensions ne sont pas proportionnelles a.. 4, ;. 4, ;. 4, , ;. 4, ;. 4, ;.4, b. À un centième près, on obtient le même facteur J approfondis (solutions) Longueur du rectangle initial = 8 (cm) 6 8 Largeur du rectangle initial = 45, (cm) 4 ire du rectangle initial 8 # 4,5 = 8 (cm ) 0 Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

10 68 À l échelle 0 9, pm est représenté par mm donc sur le schéma OH = OH = 96 mm, r = 5 mm et R = 60 mm (l angle \ HOH est inchangé). Représentation de la molécule à l échelle 0 9 : H O H Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

11 69 Périmètre du cercle de gauche de rayon 3 cm : r # 3 = 6r (en cm). La longueur de l arc est proportionnelle à l angle au centre. ngle au centre en degrés 360 x Longueur de l arc r # 4 en cm On a donc 8rx = 360 # 6r 360# 6r d où x = = 70 (en ) 8r 6r 70 La longueur de l arc est proportionnelle à l angle au centre. ngle au centre pour l arc bleu : = 33 Longueur de l arc bleu : # # r# 3= r. 5, (en cm) ngle au centre en degrés Longueur de l arc en cm 360 x r # 5 33r # 33# r On a donc 0rx = = 878r r d où x = = 87, (en ) 0r 7. Si est un point du cercle de base, le triangle SH est rectangle en H. S 3. 5 cm 6 3 cm 7 vec la même démarche qu à l exercice 7. S 5 ngle au centre en degrés Longueur de l arc en cm H,5 3, 5. 5, 6 cm 360 x # 5,6 # r #,5 # r 4 z On a donc x = 5 # r # 360 c 6 (en )., # r H 3. a. y = 3 (cm), c est le rayon de la base. Puisque le triangle SH est rectangle en H, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : z = donc z = 5 (cm). b. L arc rouge et l arc bleu sont de même longueur. c. La longueur de l arc est proportionnelle à l angle au centre. 5,6 cm 6,5 cm ngle au centre en degrés 360 x Longueur de l arc # 5 # r 6r en cm On a donc 0rx = 360 # 6r 360# 6r d où x = = 6 (en ) 0r 73. a. 50 % échelle de réduction de facteur 0,5. b. 00 % échelle d agrandissement de facteur. c. 500 % échelle d agrandissement de facteur , 909 ;, 909., 9= 00 Il faut saisir 9 %. Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

12 74. F D O C E. a. Si on joint un point d un cercle aux deux extrémités d un de ces diamètres on obtient un triangle rectangle. C est rectangle en et DFE est rectangle en F. b. On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles C et DFE. On a : C = + C d où C = C - = 8-4,8 = 40,96 d où C = 6,4 (cm). DE = DF + FE d où FE = DE - DF = - 7, = 9,6 d où FE = 9,6 (cm). DE DF 7, FE 96, 3. = = 5, = = 5, = =5, C 8 48, C 64, En multipliant les dimensions de C par,5 on obtient les dimensions de DFE donc le triangle DFE est un agrandissement du triangle C au facteur,5. # C 36, # 48, 75. ire C = = = 864, (m ) D# C 6x. a. L aire de C est aussi égale à = = 3x. b. On a donc 3 # x = 8, , c. D où x = =,88 soit D =,88 (m) Dans le triangle D rectangle en D, en utilisant le théorème de Pythagore, on a : = D + D d où D = - D D = 3,6 -,88 = 4,6656 D = 4, 6656 =,6 (en mètres) Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 3

13 4. Dd [ C] donc DC = C - D = 6 -,6 = 3,84 (en mètres) 79 Dimensions 3,6 4,8 6 du triangle C en m #0,6 Dimensions,6,88 3,6 du triangle D en m #0,8 Dimensions,88 3,84 4,8 du triangle DC en m D est une réduction de C de facteur 0,6. DC est une réduction de C de facteur 0,8. donc DC = 3,84 cm. 0 Devoirs à la maison (solutions) 76 La hauteur des lettres étant,4 cm, il faut refaire la figure du texte en multipliant les dimensions par 5 (5 #,4 = ). 77 La figure n est pas en vraie grandeur. M D après le codage de la figure on a : (MN) // () (NP) // (C) et (MP) // (C) M est à la même distance de () que de (C) donc M est un point de la bissectrice de C \. La bissectrice de C \ est (M). De même (PC) est la bissectrice de C \ et (N) est celle de C \. Soit I le centre du cercle circonscrit à C. Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels. IM IN MN Dans le triangle I, on a = =. I I IM IP MP Dans le triangle IC, on a = =. I IC C IP IN PN Dans le triangle IC, on a = =. I I P C N C I C MN MP PN Donc = =. C C Les longueurs des côtés du triangle MNP sont proportionnelles à celles du triangle C, le petit triangle est donc une réduction du grand. C 68, 78. = =4 ; E 7, C 84, = =4 E, D 6 et = = 4. DE 5, Le triangle C est un agrandissement du triangle DE à l échelle 4.. Dans un agrandissement, la mesure des angles est conservée, on a donc DE \ = C \. 3. Les angles correspondants DE \ et C \ sont égaux donc les droites (DE) et (C) sont parallèles. Problème ouvert La longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés d un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. À chaque étape les dimensions sont donc divisées par. À la 0 e étape les dimensions sont divisées par 0 c est-à-dire = = (cm) C 0 = = (cm) C 0 = (cm) Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie

14 Documents à photocopier ctivité, p. 48 # 0,6 -,5 Côtés de EFG en cm EF = 8 FG = 5,8 EG = 4, Côtés de HIJ en cm HI =... IJ =... HJ =... Côtés de KLM en cm KL =... LM =... KM =... # Côtés de OPQ en cm OP =... PQ =... QR =... Exercice 38, p. 56 Exercice 50, p. 58 Exercice 56, p. 59 Triangle EFG HIJ MLK Longueur en cm du côté horizontal ire (en cm ) Exercice 57, p. 59 Quadrilatère CD EH GH Hauteur relative à [] (en cm) ire (en cm ) Les Éditions Didier Chapitre 4 Proportionnalité et géométrie 5