Modéliser par une fonction

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1 Modéliser par une fonction Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : a. A ; B - ; C ; D -; - E ;. b. Les abscisses de B, C et A sont : ; et. c. Les ordonnées de A, C et E sont : ; et.. Il représente la température en C en fonction du temps en heure (h) sur une journée.. 4 C, C et environ C.. 4 C à 5 h environ et à 8 h. C à 8 h. 4. Entre et 8 h. c. 4. a. b. f - - c. ; et.. a. g est affine non linéaire. b. x 5/ g(x) 5 4 Activité. Tableau de données et graphiques. y -8. t(s) 5 8 y(n) fois. 4. a. Oui. b. L image de par f est 8. et 8 sont des antécédents de 8 par f. c. Non : par exemple à y -8 correspondent plusieurs valeurs de t. Activité. Programme de calcul et formule A.. 5 ; 8.

2 . Nombre x 8,6 Image de x 5 8,8 9. a. f 6,, 8; f - ; f 5. b. f x x 4 4 B.. Choisir un nombre. L élever au carré. Multiplier par 4. Soustraire.. g - 9 et g ; Les deux antécédents de par g sont et. Activité. Des fonctions partout ou presque. Il s agit d un tableau statistique. Le poids n est pas fonction de la taille ni la taille fonction du poids.. Formule donnant la fréquence en fonction de la tension.. Formule donnant la somme en dollars en fonction de celle en euros. 4. Fonction de variables donnant l IMC en fonction du poids et de la taille. 5. Fonction donnant le nombre de diviseurs d un entier non nul (discret). 6. Fonction donnant la température en fonction de l altitude (représentation contraire aux habitudes). Activité 4. Nombres réels et intervalles..,5 7 d b a c 7. a. ŒÈ Î ; b. - p œ- ] ; -[ c. 6 ŒÈ ; È d. - œ- ] ;-,5] ÎÍ ÎÍ 4. a. Vrai b. Faux c. Faux d. Vrai Activité 5. Aire et fonction A.. D. a. b. x x 5 x 7 imp. x 6 x 6 x - imp x x 4,5 5,75 x C. x 4, ,75 A B Chapitre. Modéliser par une fonction

3 4. a. x doit appartenir à [ ; 6]. b. (A) oui pour x = ; (B) pas obtenu ; (C) pas obtenu ; (D) oui pour x = ou x = ou x = 4,5 ou x = 6. B. x- Æx-4Æ x-4 Æ- x-4 Æ- x-4 6 xæ- x-4 6 x, Aire de AMNP 7 4, y x Bilan (A) x ou x 5. La courbe dit qu il y a solutions et le tableau les donne. (B) Avec la courbe x ª,. (C) Cela n est pas possible. On le voit sur la courbe ou avec la formule - x - 4 6est forcément inférieur ou égal à 6. (D) x Œ ; 6. On utilise la courbe et le tableau. Pour (A), (B) et (C) on peut aussi remonter le programme de calcul. Le tableau ne donne que quelques valeurs mais elles sont exactes. La courbe donne f x pour toutes les valeurs de x de [ ; 6] mais ce sont des valeurs approchées. Le programme de calcul ou la formule permettent de faire des calculs exacts mais sont plus difficiles à manipuler. Activité 6. Relier les points? a. La fonction donne le prix en euros en fonction du nombre de places. La variable est le nombre de places. C est un entier naturel : on choisit donc le premier graphique non relié. b. La fonction donne la température en degrés Celsius ( C), le 8 décembre 9, en fonction de l heure. La variable est l heure. C est un nombre réel de [ ; ] : on choisit le second graphique relié. Activité 7. Ma calculatrice a de la mémoire. Pour x, on a tapé sur touches (y compris «entrée»). Pour x, sur 8 touches.. a. Sur 5 touches en tout. b. Sur touches en tout.. Dans le premier cas, on a économisé 7 touches. Dans le second cas, on a économisé 47 touches.

4 TP. Pour une aire égale à cm. O M M A N N. OM BN ON 5 4,5 4 4,5 4,5. x Œ ; 6 ; ON - x 6 - x 6 x ; ire OMN. x 6 - x 4. a. x ; est définie sur [, 6]. c. On doit les relier : x est un réel de [ ; 6]. d. y B 5. Placer M à environ,5 ou 4,75 cm de O.,5 4,75 x TP. Fabriquer une boîte suffisamment grande A.. a. OK b. OK. a. b. Non : AMŒ,5. B.. et. : OK. a. B : - * A D : A C : B Ÿ E : C * D. b. OK 4. Par exemple x,5 5. a. x AM v x - x x avec x Œ ; 5 b. v x 7 C.. a. antécédents b. x et x ª,4 c. x Œ],4 ; [ Chapitre. Modéliser par une fonction

5 TP. Estimer la profondeur d un puits A.. 5 m. p 5 t avec p profondeur en m et t temps compté en s.. Pour t = s, p = m et pour t = s, p = 45 m. B.. g définie sur [ ; [ par g : pa t p p 4,9. e. Pour s, environ 4,8 m ; pour s, environ 8,5 m ; pour s, environ 4,6 m. TP 4. Comparer des aires A. Voir fichiers sur le site B.. x Œ ; 4. a. GEF rectangle en E car EF // AB et AB ^ AD et GFE GBA 45 donc GEF rectangle isocèle en E. AB EF AE 6- x x EF AG-AE 8 -x. Donc x x - x b. ABCD 4. Comme ABCD ABFE EFCD ABCD ABFE EFCD ABFE c. a un seul antécédent par f : f 8-, c est 8-8- ª,68. On déduit que 8 - est l unique antécédent de par f et donc la valeur de x pour laquelle les trapèzes ABFE et EFCD ont la même aire. TP 5. Faire le point sur la réduction graphique de f(x) = k. a. f ; f 4 ; f - 5. Pour x, f x. Pour x 4, f x. Pour x 5, f x. b. f x signifie que le point de la courbe qui a pour abscisse x a son ordonnée égale à. c. y 4 5 x d. Il y a 4 valeurs de x pour les f x ; 4 ; ; et,8 environ.. Pour trouver tous les nombres tels que f x : je place sur l axe des ordonnées, je repère tous les points de la courbe d ordonnée égale à, je lis les abscisses de ces points : ce sont les solutions. TP 6. Un tour de vis. On mesure L 57 et L ª 5. Donc L 6 et L 8. La vis n est pas conforme.. L en mm L en mm (à, près) 5, 8,7 4 4, 46,7 5 4

6 . a. L L b. Si L Œ[ 8; 6], f L L et si L Œ] 6 ; ], f L L Sur [8 ; 6] f est une fonction linéaire et sur ]6 ; ] f est une fonction affine. On déduit le tracé de f : il est composé de segments de droites. 4. a. D après la figure : longueur filetée d une vis de 5 mm = 7 mm environ, celle d une vis de 5 mm = 9 mm. 5 b. 5Œ 8 ; 6 et f 5 soit environ 6,7 mm. L 5 L L 9 mm. TP 7. D un algorithme de calcul à une fonction A.. n, a, b et c.. Avec le nombre : n a b c 6 6 Avec le nombre 6 : n a b c 6 6 B.. a. Conjecture : le résultat semble être un carré parfait. b. n a b c x x + 4 x(x + 4) x(x + 4) + 4 c. x x 4 4 x 4x 4 x Pour aller plus loin. calc s applique à la variable n. Son image est c. Chapitre. Modéliser par une fonction 5

7 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE a. b. 8 a. 5 b. 8 a. 4 b. a. - 4 b. 5 4 a. b. a. 99 b x - 4 x 6x 4 x x 4. 7 Vrai 4 Faux La rouge car f. ENTRAÎNEMENT cm à la naissance : plus grand que la «normale». 65 cm à 9 mois : plus petit que la «normale».. 7 cm.. Entre 8 et 9 mois. 4. On peut remplacer «dépend de» par «est fonction de» dans la phrase b. Dans les phrases a, c et d. Non. Voir corrigé en fin de manuel.. a. L l 8 b. Pour l Œ ; 8, L 8 l 4 BC AC -6 Celle qui à AC associe BC : x a x 6 définie sur ] ; [. Celle qui à AC associe BC : x a x 6 définie sur ] ; [. Celle qui à BC associe AC : x a x - 6 définie sur ] 4 ; [. 5. À, on associe ; à 5, on associe et à, on associe.. Oui. 6 À 5 : on associe et 5. À : on associe,,, 4, 6 et. On ne définit pas une fonction. 7 a. 6 est l image de par f. b. est antécédent de 6 par f. c. a pour image 6 par f. d. 6 a pour antécédent par f. 8 a. est l image de 5 par f. b. 5 est antécédent de par f. c. 5 a pour image par f. d. a pour antécédent 5 par f. 9 Voir corrigé en fin de manuel.. 5 a A 75 a A 5 a B 5 a B 6.. A x x B x x 9x.. Demander un nombre ; l élever au carré ; multiplier par.. Demander un nombre ; multiplier par et élever au carré. Voir corrigé en fin de manuel.. h : x a x x. h h 8 h - 4 a. f 5 f - f 8 b. f 6 f - 8 f c. f f - f 4 7 d. f 8 f - f 5 f - f f f 4 f f 4 4. f x x f 7 7 f x - 5 x - f x x

8 7 a. Demander un nombre ; l élever au carré ; ajouter. b. Demander un nombre ; ajouter ; élever au carré. c. Demander un nombre ; soustraire ; élever au carré ; ajouter. d. Demander un nombre ; ajouter 5 ; diviser par. e. Demander un nombre ; ajouter 5. f. Demander un nombre ; ajouter ; diviser par le nombre donné au départ. 8. a. T 9 b. Résoudre f T 44 c. f T. Comme f T T et f T 44 alors T 44 T a. b. 9. x,5 4 x f(x) x x,5 4 x f(x) 4,5 6 x x,5 6 x f(x) 8 6 x a. b. 8 c. 64 d. 55. Demander un nombre ; ajouter 5 ; élever au carré ; retrancher le carré du nombre donné, afficher le résultat.. On observe que les coefficients résultats sont des multiples de n 5 -n n 5-n n 5 n 5 n 5 n 5 entier donc n 5 - n multiple de / * B. Dans C / * C Dans E / * E. On obtient le tableau de valeurs de f. 4. / * B nrt 4 a. V b. I U P R T at c. L g d. r 4 p 4 p 4 a. Le côté du carré. b. La durée d utilisation du fer. c. La hauteur de la pyramide.. V t. On peut agir sur la vitesse.. Pour représenter graphiquement les résultats on met v en abscisse et t en ordonnée. 4. t f V où f V V 8, 4,,8 Prix en Nb. de kiwis On ne relie pas ces points car le nombre de kiwis est un entier. Voir corrigé en fin de manuel. 47,5 : a comme antécédent,5. 4 : n a pas d antécédent. : a comme antécédents 6 ; et,8 (environ).,5 : a comme antécédent. : a comme antécédents 5,5 ;,4 et 4. b a. x 4 f(x) 4 x 4 f(x) 49. V P 76 8 Chapitre. Modéliser par une fonction 7

9 . a. On doit relier les points, le volume pouvant prendre toutes les valeurs de l intervalle [76 ; ]. b. Voir figure.. a. 6 environ b. 86 environ Pour une pression de 4 cm de mercure le volume est de 6 cm environ. C est pour une pression de 8 cm de mercure environ que le volume est de 6 cm. 5. Le graphique représente la fonction d, distance balle-capteur en fonction de la variable temps. d est définie sur l intervalle [ ;,6].. a. d, ª,45 b. Après, secondes, la balle a parcouru 45 cm. Sur la chronophotographie, il suffit d observer le e cliché, le er correspondant à s le e à, s, etc. Il est face à,54 ce qui correspond à une distance parcourue de,54 soit,46 m, soit 46 cm.. Au bout de, s. Il s agit de déterminer l antécédent par d de,5. 4. Pour t,45 s, d t m. La balle a touché le sol.. f x si et seulement si x Œ [ ; ]»[ 8; ]. 56. x g(x) a. b. y g 5 Images ou antécédents f(x) = y Courbe C a pour image f() = D( ; ) C est un antécédent de 5 f() = 5 E( ; 5) C est l image de f() = A( ; ) C 5 est un antécédent de f( 5) = F( 5 ; ) C est un antécédent de 4 f() = 4 G( ; 4) C a pour image 4 f( ) = 4 B( ; 4) C 5. f - 6. f. f - 4. f 5 5. f 6. f et f - 5. f - donc A ; - Œ f. f - donc B ; -. f f coupe O y au point C ; 54. f 6. Oui, 5 est une autre valeur de x telle que f x.. a. f x si et seulement si x 7. b. f x - si et seulement si x Œ ;. c. f x si et seulement si x Œ ; 8.. Les réels qui n ont qu un seul antécédent par f sont et. 55. f 4. Les valeurs de x, telles que f x, 5 sont celles de È ÎÍ ; 6.. f x - si et seulement si x Œ] ; [. f(6) g(6) x. a. f x 5 x. b. Voir graphique. c. g 6 f 6. C est donc l artisan le moins cher. d. Pour 4 m et 4 m les prix sont les mêmes chez les deux fournisseurs : f(4) = g(4) = 8 et f(4) = g(4) = AMŒ ; 5. Quand AM 4 l aire de AMNP vaut.. Non : elle vaut exactement. 4. a. f : x a x 5- x La variable est x et l ensemble de définition [ ; 5]. b. f 6 c. f x si et seulement si x ou x 5. d. AMNP a une aire nulle si et seulement si M est en A ou en B. Pour aller plus loin On applique le théorème de Pythagore dans AMN rectangle en M : MN AN -AM 5-AM donc l aire de AMNP est : AM MN AM 5-AM. 8

10 58 59 Voir corrigé en fin de manuel.. x f(x) 6 6. Élever au carré, puis multiplier par et enfin ajouter.. f x -x 6. T = 9 cm N R C = 8 cm P 6. MN x (Thalès) donc MN x 5 5 x x f x 5-x 5 x-. a. La courbe donne le nombre d antécédents et le tableau pour leur valeur : 6 et 9. b. Avec le tableau : f 4 4,667 et f 4,667. c. Avec la courbe : et 5.. a. Ce sont les abscisses des points de la courbe d ordonnée 8. b. ce sont les ordonnées des points de la courbe d abscisses 4 et. c. Ce sont les abscisses des points de la courbe d ordonnée. x F : y -x-7 F : y F : x y 4 F 4 : x y 5 A M B. AM en cm BM en cm T R 8 8 A 6 F F B. p x x et p x 4 -x -4x p F 4 J p F 7 I 7 F 5,7 5. a. Environ 5,7 b. x -4x 4 donc x a. AM 4 MP b. MBP rectangle en M et isocèle (B $ 45 ) donc MP MB 4 -AM.. a. Variable AM, donc f ; 4. b. f x x 4 -x 4. a. L aire de AMPN est égale à cm si AM ou AM. b. L aire de AMPN est égale à cm si AM ª,6 ou AM ª,4. D a. V b. F c. V d. V e. F a. F b. V. V. F. F 4. V a. F b. V c. V C Chapitre. Modéliser par une fonction 9

11 68 Cette courbe ne représente pas une fonction! c. Bénéfice positif si q Œ,7 ;4» 6,8 ou nul. 69 Déterminer l image de 5 par f Déterminer l image de 7 par f Déterminer les antécédents de par f Travail personnel Pour les exercices 7 à 8 : voir corrigés en fin de manuel. APPROFONDISSEMENT Par exemple 84. f 9, f 5 ; f et f - n existent pas et f 8.. Choisir un nombre / Soustraire 5 / Prendre la racine carrée du résultat (quand c est possible).. Si x Œ[ 5 ; [, x - 5 est positif ou nul. 4. ]- ; ] 89. x f(x) Milliers d euros 85 Entrée Affichage, il n a pas d image,4 il n a pas d image il n a pas d image , Pour que le coût de production reste inférieur à, il faut et il suffit que l entreprise fabrique un volume inférieur à 5,75 m (environ). 86. a. V b. F c. V. V : autres valeurs : une négative, une positive.. V 4. F, par exemple f - g n d(n) Pour aller plus loin Pour x Œ 9; 9. 4 cm R h 4 donc R h h V h pr h p R cm p h h 7 h. Les antécédents de sont les nombres premiers. Les antécédents de sont les carrés de nombres premiers. 88. a. 4 milliers d euros. b. 4 tonnes.. a. Coût total (milliers d euros) Nombre de tonnes b. R donc bénéfice de.. h Œ, V (en cm ) p 9, h (en cm)

12 . Le volume du verre plein est de 64 p. Le volume de liquide contenu dans le verre à moitié plein est p. La hauteur du liquide est alors d environ 9,5 cm. 9. OK.. Tous les entiers obtenus sont pairs.. a. n - n. b. n est le nombre total de cases. On retire les n cases de la diagonale (voir figure). Par symétrie, il reste un nombre pair de cases n - n. 9 Elle calcule le volume d un cylindre de rayon r et de hauteur h VARIABLES :, L, S nombres ENTRÉES : Saisir, L TRAITEMENT : S prend la valeur L SORTIE : Afficher S. VARIABLES : T, P, I nombres ENTRÉES : Saisir T, P TRAITEMENT : I prend la valeur P/ T SORTIE : Si I Alors Afficher «maigreur» Sinon Si I 5 Alors Afficher «surcharge pondérale» Sinon Afficher «poids normal» FinSi FinSi. Si x alors h x -x sinon h x x 96. a b ab - a-b b ab b a. b a. Comme a on a : ou a et b 4 soit a et b 4 ou a 4 et b soit a et b ou a 6 et b soit a 4 et b ou a et b soit a et b. Les antécédents de sont ( ; 4), ( ; ), (4 ; ) et ( ; ). 97 ABCD 6 cm Si AE x, ABE x et DCE x a. On résout 5 x 4 - x 8 soit x. b. On résout 5 x 4 - x,6 6 soit x, Si x est le nombre de tee-shirts vendus, le bénéfice est de,7x en euros. Or,7x- x (x entier). L association peut faire un bénéfice d au moins en vendant au moins tee-shirts.. Non! > 55.. On peut vendre le tee-shirt plus cher : 8,5 pièce au moins. 99 a. 4 b. 65 c. 55 d. 5 5 e. 5 5 English Corner. y 95.. y d J O I x J O I d x. The domain of f is - ; 6. f x x - or x or x 4,75 f x x - or x Œ ; 4. f ; f - ; f - ; f -. Chapitre. Modéliser par une fonction