PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES

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1 PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire : Formules d addition et de duplication des sinus et cosinus. Connaître et utiliser ces formules sur des exemples simples. À partir des formules de duplication, on obtient les formules de linéarisation de cos a et sin a. La linéarisation d autres puissances n est pas au programme. Nombres complexes : Forme exponentielle re iθ avec r 0 : - relation e iθ e iθ' = e i (θ +θ') ; - produit, quotient et conjugué. Utiliser l écriture exponentielle pour effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes. On fait le lien entre relation e iθ e iθ' = e i (θ +θ') et les formules d addition en trigonométrie. On exploite des situations issues des disciplines technologiques pour illustrer les calculs de produits et de quotients sous forme exponentielle. : Impédances, admittances complexes. I. Produit scalaire : 1 ) rappel : Soient u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0 alors u v = u v = 0 Pour les autres cas, on dispose de plusieurs expressions du produit scalaire : u v. a) Expression à l'aide du cosinus : Pour u 0 et v 0, le produit scalaire est le réel u v= u v cos u; v (1) ou AB AC =AB.AC.cos BAC avec AB et AC des représentants respectifs de u et v (1') b) Expression à l'aide des projections : H désignant le projeté orthogonal de C sur (AB). u v= AB AC= AB AH () c) Expression à l'aide des coordonnées dans un repère orthonormal : Dans le plan muni d'un repère orthonormal O ; i, j, u x y et v x' y ' on a Notation : u v = xx' + yy'. (3) Le carré scalaire du vecteur u est : u u= u = u.

2 ) Formules d'addition : Propriétés : (i) cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b (ii) cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b (iii) sin (a b) = sin a cos b cos a sin b (iv) sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b Preuve : On rappelle cos ( b) = cos b ; sin ( b) = sin b ; cos ( a ) =sin a et sin ( a ) =cos a. Soient A et B deux points du cercle trigonométrique, images respectives des réels a et b. J O a - b a A b B I (i) En utilisant la formule avec le cosinus : OB OA = OB OA cos BOA = cos (a b) (car on rappelle que le cercle trigonométrique a pour rayon 1). (ii) En utilisant la formule avec les coordonnées : OB OA = cos a cos b + sin a sin b. D'où l'égalité : cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b Il suffit de remplacer b par -b dans (i). (iv) cos ( (a+b) = sin (a+b) ) De plus cos ( (a+b) ) = cos ( a b ) = cos (( a ) b ). En utilisant (i) on obtient : cos ( (a+b) ) = cos ( a ) cosb+sin ( a sin b = sin a cos b + cos a sin b. ) (iii) Il suffit de remplacer b par -b dans (iv). sin 1 =sin ( 3 4 ) =sin 3 cos 4 sin 4 cos 3 = 3 1 = 3 ) Formules de duplication et de linéarisation : Propriétés (formules de duplication) : Preuve : (i) cos a = cos a sin a (ii) sin a = sin a cos a. (i) remplacer b par a dans (ii) du ) (ii) remplacer b par a dans (iv) du ) Propriétés (formules de duplication) : (i) cos a = (ii) sin a = 1+cos a 1 cos a

3 Preuve : (i) remplacer b par a dans (ii) du ) (ii) remplacer b par a dans (iv) du ) cos 1+cos 1 = II. Nombres complexes : 1+ 3 = = donc cos 1 = ) Rappel : L'ensemble des nombres complexes, noté C, est l'ensemble des nombres z, tels que z = a + ib, où a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que i = 1. La notation z = a + ib est appelée la notation algébrique, a est la partie réelle et b la partie imaginaire. A tout nombre complexe z on associe un point image M dans un repère orthonormé (O ; u, v) tel que M (a ; b). z est alors appelé l'affixe de M. On appelle module de z, noté z, la distance OM. z = a +b. On appelle argument de z, noté arg(z), toute mesure de l'angle ( u; OM ). On appelle conjugué de z = a + ib le nombre complexe z = a ib. Le point N, image de z est le symétrique du point M, image de z, par rapport à l'axe des abscisses. Im Sur le graphique ci contre, M'(z') b ' i b' ' M(z) et = z et = arg(z) ' = z' et ' = arg(z') a' 0 1 a Re ) Notation exponentielle : Définition : Pour tout nombre réel θ, on pose : cos θ + i sin θ = e iθ. Il existe une fonction appelée fonction exponentielle x e x de R dans R que nous verrons plus tard dans l'année, mais ici, iθ est un nombre complexe et la fonction θ e iθ n est pas au programme de terminale. e 1 = e est un nombre qui a pour valeur approchée, 718.

4 Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module r = z et dont un argument est θ = arg(z). On note ce nombre z sous la forme z = r e iθ. Cette écriture est appelée notation exponentielle de z. On a alors z = r e iθ = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ = a + ib. Différentes écritures des nombres complexes z 1 et z : Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle z 1 1 i ( cos ( 4 ) +i sin ( 4 )) e i 4 z 3 + i ( cos ( ) +i sin ( )) e i Passage de la forme exponentielle à la forme algébrique de z = 4e i 3 4 z = 4 ( cos ( 3 4 ) +i sin ( 3 4 )) z = 4 z = + i. Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle. Pour cela, il suffit de déterminer le module et un argument du nombre complexes. Soit z = 1 + i. z = et arg(z) = 4 (car a = b > 0) donc z = ei 4 3 ) Règles de calcul en notation exponentielle : Propriété : Pour tous θ et θ appartenant à R, tous r et r appartenant à R * et tout n N : r e iθ r e iθ = rr e i(θ+θ ). (r e iθ ) n = r n e inθ. r eiθ r e iθ ' = e i(θ θ ). r e iθ = r e iθ. 1 r e iθ =1 r e iθ.

5 Preuve (de la première) : Soient z = re i et z' = r'e i '. Ensuite zz' = r [cos( ) + i sin( )] r'[cos( ') + i sin( ')] = rr' [cos( )cos( ') + i cos( )sin( ') + i sin( )cos( ') sin( )sin( ')] = rr' {cos( )cos( ') sin( )sin( ') + i [cos( )sin( ') + sin( )cos( ')]}. = rr' (cos ( + ') + i sin ( + ')) = rr e i(θ+θ ). Soit z 1 = e i 3 et z = 3e i. Alors z 1 z = 3e i ( 3 + ) (z ) 4 = ( 3) 4 e i 4 = 144 e i 3. = 4 3e i = 4 3i. z 1 e i 3 = z 3e i = ( 3 ei 3 ) = 1 3 ei = 3 3 ei. Pour les calculs du type "somme" ou "différence", on utilisera la forme algébrique. La forme exponentielle, tout comme la forme trigonométrique, fait apparaître clairement le module et l argument du nombre. On vient de démontrer que lorsque l on multiplie deux nombres complexes les modules se multiplient et les arguments s ajoutent, on préfèrera donc cette forme pour les calculs de produits ou de quotients.