Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points)

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1 Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln 00-0 Eercice ( Pondichér 0) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; 8] par f() = 30 ln() n admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [ ; 8] et on note f sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel de l intervalle [ ; 8], f 30 0 () =.. Étudier le signe de f () sur l intervalle [ ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant. (n arrondira les résultats au diième) f(),6 4. Représenter la fonction f dans un repère orthononné. Unités graphiques : cm pour unité. Chaque jour un artisan fabrique objets ( étant compris entre et 8). Le bénéfice, en dizaines d euros, réalisé pour la vente de ces objets est égal à f(). 5. Combien faut-il produire d objets pour que le bénéfice soit maimal? Que vaut ce bénéfice maimal à un euro près? 6. Déterminer à partir de quelle quantité d objets l artisan travaille à perte. Eercice (Polnésie 009) ( 4 points) Soit f la fonction définie sur [0, 5 ; 6] par f() = 3 4 ln().. n appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (ci-dessous).. Montrer que la dérivée f vérifie f ( ) () =.. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f. 3. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d abscisse. n la note T. Donner une équation de la droite T. 4. En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l équation f() = 0 admet une unique solution notée 0 dans l intervalle [ ; 6]. Donner, à l aide d une calculatrice, l arrondi de 0 à 0, 0 près. 5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse. Dans le repère, tracer les tangentes T et T à la courbe C lcée Bertran de Born - Périgueu

2 Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln 00-0 Eercice 3 (Nouvelle Calédonie) Une entreprise fabrique tonnes d un certain produit, 0. Le bénéfice, eprimé en milliers d euros, pour produire tonnes est modélisé par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; ] par f() = 0, ln( + 3).. f désigne la dérivée de f. Calculer f (). Vérifier que f ( )( 8) () =. ( + 3). Étudier, à l aide d un tableau, le signe de f () dans l intervalle [0 ; ]. 3. En déduire le tableau de variations de f dans l intervalle [0 ; ]. Eercice 4 (Pondicher 00) n considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0, 5 ; 5] par f() = ln( + ). Dans le repère ci-dessous, la courbe (C f ) est sa courbe représentative. n admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [ 0, 5 ; 5] et on note f sa fonction dérivée. Partie A Avec la précision permise par le graphique, répondre au questions suivantes :. Déterminer f(0) et f (0).. Donner le nombre de solutions de l équation : f() =, 5. Partie B. Calculer f ().. Vérifier que f ( 5)( ) () = En remarquant que ( + ) est strictement positif sur l intervalle [ 0, 5 ; 5], et à l aide d un tableau de signes déterminer le signe de f () puis les variations de f sur ce même intervalle. 4. Déterminer l équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d abscisse (T) C f lcée Bertran de Born - Périgueu

3 Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln 00-0 CRRECTIN Eercice Pondichér 0-5 points. n a f () = =.. Comme est supérieur à zéro, le signe de f () est celui du numérateur : 30 0 = 0(3 ) qui est du signe de 3. Donc : si < 3, f () > 0 ; la fonction f est donc croissante sur [ ; 3[ ; f (3) = 0 ; si 3 < 8, f () < 0 ; la fonction f est donc décroissante sur ]3 ; 8] = f() f() Le maimum de la fonction correspond à = 3, soit pour 3 objets fabriqués, un bénéfice de 3 dizaines d euro soit 30 euros. 5. n constate qu à partir de 7 objets produits le bénéfice devient négatif (7 euros de perte). Eercice. f () = 4 = 4 ( ) =.. Comme > 0, le signe de f () est celui de. f () > 0 > 0 > f () < 0 < 0 <. Le signe de f donne les variations de f, donc la fonction f est croissante sur [ ; 6] et décroissante sur [0,5 ; ]. 3. n vient de voir que f () = 0 : le coefficient directeur de la tangente à la courbe C est égal au nombre dérivé f () = 0 ; donc la tangente au point d abscisse est horizontale. Une équation de T est = f ()( ) + f() = 3 4 ln() = 4 ln(). 4. Sur [ ; 6], la fonction croît de f(), 77 à f(6), 833. Conclusion : l équation f() = 0 n a qu une seule solution 0 sur l intervalle [ ; 6]. La calculatrice donne : f(4, 5) 0, 0 et f(4, 6) 0,, donc 4, 5 < 0 < 4, 6. f(4, 5) 0, 005 et f(4, 5) 0, 006 donc 4, 5 < 0 < 4, 5. f(4, 54) > 0 et f(4, 55) > 0 donc 4, 54 < 0 < 4, 55. Donc la valeur arrondie à 0 est 0 4, 5. lcée Bertran de Born - Périgueu

4 Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln f() = et f () =. Une équation de T est = f ()( ) + f() = ( ) = +. = f() T T Eercice 3. f () = 0, ( 3)( + 3) + 55 = 3 + = = = r ( )( 8) = = Donc f ( )( 8) () =. ( + 3). Comme, > 0, donc le signe de f () est celui de son numérateur que l on trouve en faisant un tableau de signes : 8 ( )( 8) Signe de f () Le signe de la dérivée donne les variations de f : Signe de f () 8 3 Variations de f lcée Bertran de Born - Périgueu

5 Terminale STG ANNALES de bac sur la fonction ln 00-0 Eercice 4. n lit sur le graphique : f(0) = 0. Le nombre dérivé f (0) est le coefficient directeur de la tangente au point, on lit sur le graphique : f (0) = 5.. n trace la droite d équation =, 5. Elle coupe la courbe (C f ) en trois points dont les abscisses sont à peu près : 0,6 ;,7 et 3,. Donc l équation f() =, 5 a trois solutions. Partie B. f () = f ( 9)( + ) + 4 () = = = r ( 5)( ) = = 7 + 5, donc f ( 5)( ) () = n a 0, 5 5 0, 5 + 6, donc + > 0 et le signe de f () est celui du numérateur. n trouve le signe du produit ( 5)( ) grâce à un tableau de signes. 5 ( 5)( ) Signe de f () Variations de f Une équation de la droite (T) est : = f (0)( 0) + f(0) = donc une équation de (T) est = (T) C f lcée Bertran de Born - Périgueu