GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE EXERCICES CORRIGES

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1 EMETRIE NLYTIQUE NS L ESPE EXERIES RRIES Exercice n. Un cube EFH est représenté ci-contre : Les quadruplets de points suivants déterminent-ils un repère de l'espace? e repère est-il orthonormal? ) a) (,,,H) b) (,,,H) c) (,,F,H) d) (,,H,E) e) (,,,) f) (,,,F) g) (,,,H) h) (,,,E) Exercice n. onsidérons le cube ci-cont re, d arête égale à n considère le repère ( ; ; ; ). ) onner les coordonnées des sommets du cube. ) Quelles sont les coordonnées du milieu de [E] ) Quelles sont les coordonnées du centre I du carré EF? 4) Quels sont les points de coordonnées respectives ;; ; ; ; ; ; ;? Exercice n. EFH est un pavé droit.. ==. E= I est le milieu de [H] alcule les coordonnées de chacun des huit sommets dans chacun des repères suivants : ) ( H ; ; ; ) ) ( I ; ; ; ) Exercice n 4. n considère un repère orthonormal ( IJK ; ; ; ) ) est le point de coordonnées ( ; ;). a) Quelle est la nature du quadrilatère IJ? b) alcule ) est le point de coordonnées ( ; ;). c) Quelle est la nature du quadrilatère JK? d) alcule Exercice n 5. Les points et ont pour coordonnées respectives (;5;-) et (4;-;). ) alculer les coordonnées du vecteur. ) alculer les coordonnées du point I, milieu de []. Exercice n 6. jk alculer la norme du vecteur ans un repère orthornormé ( i ; ; ; ) Exercice n 7. ) Les vecteurs u ( ; 6;) et v (; 4;8) sont ils colinéaires? ) Quelles sont les coordonnées du vecteur u+ v? ) Quelles sont les coordonnées du vecteur u 5v?, on considère les points (,4,-7) et (-,,-). Exercice n 8. Soient (- ; ;) ; (- ; ;-) et le point tel que =5 i +4j k. éterminer les coordonnées du vecteur u = 4 +. Page /

2 Exercice n 9. ans le cube ci-dessous, on considère le repère orthonormal ( i ; ; jk ; ) tel que = i, = j et = k éterminer les coordonnées des points E,F,,H,L et K définis vectoriellement par E = K = + E et L = F Exercice n. ans le repère ( i ; ; jk ; ), on considère les points : (;;) (;5;) et (;;4). alcule les coordonnées du point centre de gravité du triangle. Exercice n. ans un repère orthonormal ( i ; ; jk ; ), on considère les points (;;) (4;-;5) et (4;;-7) ) Montre que les points, et ne sont pas alignés. ) alcule les coordonnées des points : a) tel que + = b) E est le milieu de [] c) F est le centre de gravité du triangle. d) vérifie = Exercice n. Soient (- ;- ;-), ( ; ;) et ( ;4 ;5). Montrer que les points, et sont alignés. Exercice n. Soient ( ; ;5), parallélogramme. ;; et ( ;-5 ;). éterminer les coordonnées du point pour que () soit un Exercice n 4. Soient ; ;. (- ;4 ;), ( ; ;) et ( ;4 ;). Montrer que les points,, et sont coplanaires. Exercice n 5. Le plan P a pour équation : x+ y + 7= ) onner un vecteur normal à P ) a) onner les coordonnées d'un point M de P. b) Le point L(;-;) appartient-il au plan P? c) éterminer le réel pour que le point N(;5;) appartienne au plan P. Exercice n 6. Le plan P a pour équation : x+ y+ = 6 ) onner un vecteur normal à P ) a) éterminer les coordonnées du point, intersection du plan P avec l'axe des abscisses (x). b) éterminer les coordonnées des points et, intersections respectives du plan P avec les axes (y) et (). ) ans un repère de l'espace, placer les points, et. Tracer les droites (), () et (), traces du plan P sur les plans de coordonnées Exercice n 7. ans un repère ( i ; ; jk ; ), on considère les points (-;4;6) (;;) (;;) et (6;;-) ) alcule les coordonnées des vecteurs, et ) a) Les vecteurs et sont ils colinéaires? b) Justifie que les droites () et () sont parallèles Page /

3 ) n considère l'équation (E) x+ 5y+ = et le point F(;;) a) Vérifie que les coordonnées des points,, et vérifient cette équation. b) étermine les coordonnées de S tels que, et S soient alignés et x S = 7 c) étermine les coordonnées du point P vérifiant l'équation (E) et tel que,f et P soient alignés. Exercice n 8. éterminer un vecteur normal n pour chacun des plans suivants : P : x+ y+ = P :x y = P :y = P :x + = 4 Exercice n 9. éterminer une équation du plan P passant par le point et de vecteur normal n ) (;-;5) et ; ; ) (4;-;) et 5;; n n n ) (;;) et ( ; ;) Exercice n. n considère le plan P d'équation : x y+ 6 8= ) onner un vecteur normal n au plan P ) éterminer une équation du plan P' parallèle au plan P passant par le point (6;-4;-4). Exercice n. n considère les plans P et P' de l'exercic récédent. e p éterminer le point du plan P tel que et n soient colinéaires. En déduire la distance entre les plans parallèles P et P'. Exercice n. ans chacun des cas suivants, préciser si les plans P et P' sont parallèles : a) P d'équation x+ y = 5 et P' d'équation x+ y = 7 b) P d'équation x+ y 5 =4 et P' d'équation x 9y+ 5 = 6 c) P d'équation x+ y =8 et P' d'équation 4x y+ 8 = Exercice n. n considère les points (;;), (;;) et (;;). n cherche à déterminer une équation du plan () de la forme ax + by + c = d, par deux méthodes différentes. ) a) onner les coordonnées des vecteurs et. Vérifie que les points, et définissent un pla n. b) éterminer un vecteur normal n a; b; c au plan (). (on pourra écrire que n = et n =, et choisir a=) c) En déduire une équation du plan () ) En écrivant que chacun des points, et appartient au plan (), déterminer une équation de ce plan (n sera amené à choisir une valeur pour l'un des nombres a, b, c ou d.) Exercice n 4. jk Soient les deux plans P et P' d'équations respectives dans un repère orthonormal ( i ; ; ; ) Pour P : (cos t) x + (sin t) y = Pour P' : (cos t) x + (sin t) y + = où t représente un paramètre réel. ) P et P' sont-ils perpendiculaires? Justifier. ) Pour quelles valeurs de t l'axe x est-il parallèle à P? ) onner un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans. 4) alculer la distance de (cos t, sin t, -) au plan P. Page /

4 EMETRIE NLYTIQUE NS L ESPE RRETIN Exercice n Le quadruplet (,,,H) détermine un repère orthonormal de l espace car les vecteurs, et H ne sont pas coplanaires et sont même orthogonaux deux à deux Le quadruplet (,,,H) détermine un repère de l espace ca r les vecteurs, et H ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs et ne sont pas orthogonaux Le quadruplet (,,F,H) ne détermine pas un repère de l espace car le vecteur F s exprime à l aide de et H (en effet F H = + = + H Le quadruplet (,,H,E) détermine un repère de l espace car les vecteurs, H et E ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs H et E ne sont pas orthogonaux Le quadruplet (,,,) détermine un repère de l espace ca r les vecteurs, et ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs et ne sont pas orthogonaux Le quadruplet (,,,F) détermine un repère de l espace car les vecteurs, et F ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs et ne sont pas orthogonaux Le quadruplet (,,,H) détermine un repère de l espace car les vecteurs, et H ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs et ne sont pas orthogon au x Le quadruplet (,,,E) détermine un repère de l espace car les vecteurs, et E ne sont pas coplanaires. En revanche ce repère n est pas orthonormal car les vecteurs et ne sont pas orthogonaux Exercice n ) Le poi ra ( ; ;) nt étant l origine du repère, on au Puisque = + +, on aura ( ; ;). Puisque = + +, on aura ( ; ;) Puisque = + +, on aura ( ; ;). Puisque = + +, on aura ( ; ;) Puisque E = + +, on aura E( ; ;). Puisque F = + +, on aura F( ; ;) Puisque = + +, on aura ( ; ;) x + xe y + ye + E ) Le milieu de [E]aura pour coordonnées = ; = ; = ) Le centre I du carré EF est le milieu de chacune de ses diagonales, donc a pour coordonnées x + xf y + yf + F = ; = ; = 4) Le point de coordonnées ;; est le milieu de []. Le point de coordonnées ; ; est le milieu de []. Le point de coordonnées ; ; est le milieu de [F]. Exercice n ) ans le repère ( H ; ; ; ) : Le point étant l origine du repère, on aura ( ; ;) Puisque = + + H, on aura ( ; ;). Puisque = + + H, on aura ( ; ;) Puisque = + + H, on aura ( ; ;). Puisque E = + + H, on aura E( ; ;) Puisque F = + + H, on aura F( ; ;). Puisque = + + H, on aura ( ; ;) Puisque H = + + H, on aura H( ; ;) ans le repère ( I ; ; ; ) : Le point étant l origine du repère, on aura ( ; ;) Puisque = + + I, on aura ( ; ;). Puisque = + + I, on aura ( ; ;) Puisque = + + I, on aura ( ; ;). Puisque E = + + I, on aura E( ; ;) Puisque F = + + I, on aura F( ; ;). Puisque = + + I, on aura ( ; ;) Puisque H = + + I, on aura H( ; ;) Page 4/

5 Exercice n 4 ) a) Puisque est le point de coordonnées ( ; ;), cela signifie que = I + J + K = I + J. Le quadrilatère IJ est donc un parallélogramme., on a ( x x ) ( y y ) ( ) b) ans le repère orthonormal ( IJK ; ; ; ) = + + = + = ) a) Puisque est le point de coordonnées ( ; ;), cela signifie que = I + J + K = J + K. Le quadrilatère JK est donc un parallélogramme. b) ans le repère orthonormal ( IJK ; ; ; ), on a ( x x ) ( y y ) ( ) = + + = + = Exercice n 5 x + x 7 xi = = x x = y + y ) y y = 8. ) Si I est le milieu de [], alors yi = = = + I = = Exercice n 6 = = x x + y y + = = 6 Exercice n 7 ) Les vecteurs u ( ; 6;) et v (; 4;8) sont colinéaires car v= u ) Le vecteur u+ v a pour coordonnées u+ v ( 5;; ) ) Le vecteur u a pour coordonnées u ( 6;;4). Le vecteur 5v a pour coordonnées 5v ( ;;4). En soustrayant les coordonnées des deux vecteurs u et 5v, le vecteur u 5v aura donc pour coordonnées u 5v 4; 8; 6 Exe ce n rci 8 Si =5 i +4 j k alors les coordonnées de sont (5 ;4 ;-) Le vecteur Le vecteur x x = a donc pour coordonnées y y = donc a pour coordonnées a donc pour coordonnées = x x = 7 y y = 4 8 donc 4 a pour coordonnées 4 = 44 En additionnant les coordonnées des deux précédents vecteurs, le vecteur u = 4+ aura donc pour coordonnées + 8= 6 u = 4+ + = Exercice n = 68 jk ans le repère orthonormal ( i ; ; ; ) ( ; ;). insi, et, les coordonnées de sont ( ; ;), celles de ( ; ;) et celles de Puisque = +, les coordonnées de donc celles de, sont ;;. insi ( ; ;) Page 5/

6 Le vecteur E = + a donc pour coordonnées 5 le point E a pour coordonnées E ( 5;4; ) Notons L( x; y; ). une part les coordonnées de L sont E = 5; = 4; =, donc 5 Puisque F = +, les coordonnées de F donc celles de F, sont F ( ;;). insi F( ; ;) Puisque = + +, les coordonnées de donc celles de, sont ( ;;). insi ( ; ;) Puisque H = +, les coordonnées de H donc celles de H, sont H ( ;;). insi H( ; ;) 6 Puisque K = + E, les coordonnées de K donc celles de K, sont K 7 5 5; 4 ; = + = + =. insi K 5; ; x x = x L y y = y. autre part, les coordonnées de ( x x) ( xf x) = ( ) = F sont F ( y y) ( yf y) = = ( ) ( F ) = = x = 9 e l égalité L = F, on déduit y =. Le point L a donc pour coordonnées L( ; ;-5) 5 = 5 Exercice n ; ; ; ; ;. insi = ère méthode Le point centre de gravité du triangle est le barycentre du système x + x + x x = = = + + y + y + y 5 y = = = = + + ème méthode : Le point vérifie l égalité vectorielle = I où I est le milieu de [] x + x y + y 5 + Le point I a pour coordonnées = ; = ; = Le vecteur I 5 4 a donc pour coordonnées ; ; xi x = yi y = I = x x = x y y = y. Notons ( x; y; ). une part les coordonnées de sont = x = L égalité = I implique y =. n retrouve bien les corodonnée de ; ; 4 = Page 6/ { }

7 Exercice n ) n calcule les coordonnées des vecteurs ) a) Notons ( xy ; ; ). lors x x = x y y = y donc = x y x = y = et = x x = y y = = pas colinéaires car il n existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions sont donc pas alignés. ( x x) ( ) ( ) x x = x 6 = 4 y y = y. omme y y = 4 = 4 x = x x = 4+ x 6= 7 et y y =, l égalité + = entraîne 4+ y = y=. insi ; ;. = = 7 = x + x y + y + b) Les coordonnées du milieu E de [] sont xe = = 4; ye = = ; E = = ( ) = 9. Les vecteurs et ne sont k = k =. Les points, et ne k = { } c) ère méthode : Le point F centre de gravité du triangle est le barycentre du système ( ;);( ;);( ;) insi x y F F F x + x + x = = + + y + y + y = = = = + + ème méthode : n aurait pu utiliser l égalité vectorielle d) Notons ( ; y; ) x x = x x. lors y y = y donc ( ) ( y) ( ) x x = 8 x y = y. Enfin = = x x = x 4 y y = y = + 7 F = E vérifiée par le point F. x x = 6 x y y = y. e plus ( ) ( ) = 9. 6 x ( 8 x) = x 4 x = x = 7 e l égalité =, on déduit y ( y) = y y = 7 y =. insi 9 ( ) = + 7 = 8 = 4 Exercice n n calcule les coordonnées de x y x = y = et = 4 colinéaires, donc les points, et sont alignés. = 8 x x = 4 x y y = y donc = 5 7 ; ; 4 x x = 4 y y = 6. Puisque =, les vecteurs et sont Page 7/

8 Exercice n est un parallélogramme si et seulement si =. x x = Les coordonnées de sont y y = x x= x y y = 5 y = Les coordonnées de sont donc Exercice n 4. L égalité = = 9. Si on note ( xy ; ; ), les coordonnées de x= x = entraîne donc 5 y = y = = = 5 ; 4; sont n calcule les coordonnées des vecteurs ) Un vecteur normal au plan P est le vecteur ( ;; ) ) Notons ( x ; y ; ). Si appartient à l axe des abscisses x y x = y = = = = après leur coordonnées, on constate que = +, ce qui implique que le point appartient au plan formé par les trois autres points,,, donc que,, et sont coplanaires Exercice n 5 n x, alors y = =. Si de plus appartient au plan P, ses coordonnées vérifient l équation de P, à savoir x y 6 x 6 x, x x = y y = et x x = y y = ) Un vecteur normal au plan P est le vecteur n( ;; ) ) a) Un point M de P est, par exemple M ( ;;7) b) Le point L(;-;) appartient au plan P si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation du plan P. x + y + 7= + ( ) + 7= n calcule. Les coordonnées de L ne vérifiant pas l équation du plan P, L L L le point L n appartient pas à P c) Le point N(;5;) appartient au plan P si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation du plan P, donc si et seulement si x y Le point N est donc N ;5;4 Exercice n = + + = = N N N b) Notons ( x ; y ; ). Si appartient à l axe coordonnées vérifient l équation de P, à savoir x y 6 y 6 c) Notons ( x ; y ; ). Si appartient à l axe coordonnées vérifient l équation de P, à savoir x y 6 6 ) figure ci après + + = = =. insi ( ;;) y, alors x = =. Si de plus appartient au plan P, ses + + = =. Le point est donc ( ;6;), alors x = y =. Si de plus appartient au plan P, ses + + = =. Le point est donc ( ;;6) Page 8/

9 Exercice n 7 ) n calcule les coordonnées des vecteurs x y x = 5 x y =, y = 5 x = 4 y = et = y x x = 5 y = = 5 5k = 4 ) a) et ne sont pas colinéaires car il n existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions k = 5k = b) la lecture de leur coordonnées, on constate que =, donc que ()//() ) a) n calcule : x + 5y + = = = puis x + 5y + = = =, x + 5y + = = + 5+ = x + 5y + = = + =. Les coordonnées de,, et vérifient donc cette équation. b) Si, et S sont alignés, alors les vecteurs et S sont colinéaires. Il existe donc t tel que S = t xs x = x+ x+ = 5t x= 5t Notons S( x; y; ). lors S ys y = y 4, et de l égalité S = t on déduit y 4= t y = t+ 4 S = 6 6 5t = = 5t+ 6 t S ( 7;; 4) Mais puisque x S = 7, on aura alors 5t = 7 =. Le point S est donc c) Si,F et P sont alignés, alors les vecteurs F et P sont colinéaires. Il existe donc t tel que P = tf. Notons xp x = x x lors P y y = y et F y P P = F F F x = = P( x; y; ). y =. e l égalité P = tf x = t on déduit y = t = t 5 Mais puisque le point P vérifie l équation de (E) on doit avoir t+ 5t+ t = t = =. insi 8 P ; ; Page 9/

10 Exercice n 8 Un vecteur normal au plan P : x+ y+ = est le vecteur n ;; Un vecteur normal au plan P :x y = est le vecteur n ; ; Un vecteur normal au plan P :y = est le vecteur n ( ;;) Un vecteur normal au plan P :x + = 4 est le vecteur n 4 ;; Exercice n 9 ) Si n (; ;) est un vecteur normal au plan P, celui-ci a une équation de la forme P :x+ y+ + d = n utilise les coordonnées du point (;;) pour déterminer d. d = =. L équation de P est donc P :y+ = n utilise les coordonnées du point (;-;5) pour déterminer d. x + y + + d = d = x y, c està-dire d = 5= 5. L équation de P est donc P :x+ y+ 5= ) Si (5;; est un vecteur normal au plan P, celui-ci a une équation de la forme P :5x+ y+ + d = n ) x y d d x y n utilise les coordonnées du point (4;-;) pour déterminer d = = 5, c est-à-dire d = 5 4 = 6. L équation de P est donc P :5 x+ y+ 6 = ) Si n (; ;) est un vecteur normal au plan P, celui-ci a une équation de la forme P :y+ + d = y + + d = d = y, c est-à-dire Exercice n ) Un vecteur normal au plan P d'équation : x y+ 6 8= est n ( ; ;6 ) ) Si le plan P' est parallèle au plan P, alors n (; ;6 ) est aussi un vecteur normal à P' qui aura donc une équation de la forme x y+ 6+ d =. n détermine d grâce aux coordonnées du point (6 ;-4 ;-4) : x y d = d = x + y 6 =. L équation de P' est donc x y+ 6 = Exercice n x y. Si et n sont colinéaires, il existe t tel que = tn Notons ( ; ; ) x x = 6 x t 6 x = t x= 6 t n calcule y y = 4 y et tn t. e l égalité = tn, on déduit 4 y = t y = t 4 = 4 6t 4 = 6t = 4 6t Mais si est un point du plan P, ses coordonnées vérifient l équation de P, à savoir x y + 6 8=,donc 8 6 ( t) ( t 4) + 6( 4 6t) 8= 49t = 8 t = 49 8 x = 6 = Le point est donc y = 4= = 4 6 = La distance entre les plans parallèles P et P' est donnée par = = x x + y y = = + + = = = Page /

11 Exercice n ) Un vecteur normal du plan P d'équation x y 5 + = est n ( ) ;;. Un vecteur normal du plan P' d'équation x+ y = 7 est n ; ;. Les vecteurs n ( ; ; ) et n ; ; n étant pas colinéaires (il n existe k = pas de réel k unique satisfaisant à la fois k = ), les deux plans P et P' ne sont pas parallèles ( ) k = ) Un vecteur normal du plan P d'équation x+ y 5 =4 est n ( ; ; 5). Un vecteur normal du plan P' d'équation x 9y+ 5 = 6 est n ( ; 9;5). Puisque n = n, les vecteurs n et n sont colinéaires, donc les deux plans P et P' sont parallèles. ) Un vecteur normal du plan P d'équation x+ y =8 est n ( ; ; ). Un vecteur normal du plan P' d'équation 4x y+ 8 = est n ( 4; ;8). Puisque n = 4n, les vecteurs n et n sont colinéaires, donc les deux plans P et P' sont parallèles Exercice n x x = x ) n calcule les coordonnées des vecteurs y y =, y x = y = = = Les vecteurs et ne sont pas colinéaires car il n existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions k = k =. Les points, et ne sont donc pas alignés, donc définissent un plan (). k = a b) Notons nb les coordonnées d un vecteur normal à () c Puisque n =, on a a+ ( ) b+ c= a b+ c= Puisque n, on a a+ b+ c= a+ b= = a b+ c= Le système de deux équations à trois inconnues admettant une infinité de solutions, on doit «fixer a + b = arbitrairement» une valeur pour l une quelconque des inconnues. L énoncé nous conseille de choisir a= a= a= Le système devient alors b+ c= c= b =. Un vecteur normal à () est donc n. + b= b= c) Une équation du plan () est alors x+ y+ + d =. n détermine d en utilisant les coordonnées de l un des points de ce plan, par exemple ( ; ;). n obtient Une équation du plan () est alors x+ y+ 5=. x + y + + d = d = x y = = 5 ) Une équation de () étant de la forme ax + by + c = d, les coordonnées de, et vériant cette équation de plan, nous permettent de dresser le système de trois équations à 4 inconnues : ax + by + c + d = a+ b+ c+ d = ax + by + c + d = a + c + d = ax by c d = b+ c+ d = Page /

12 e système admettant une infinité de solutions, on doit «fixer arbitrairement» une valeur pour l une quelconque des inconnues. n fixe par exemple a = Le système devient : b+ c+ d = L b+ c+ d = L b+ c+ d = L b= c d = L c+ d = L c+ d = L c+ d = L d = c= 5 L b c d L c d 4 L4 L L c L4 L + + = = = = + c= L4 + L n retrouve alors l équation x+ y+ 5= Exercice n 4 ) P et P admettent pour vecteurs normaux les vecteurs n ( cos t ;sin t ; ) et n ( cos t;sin t ; + ) Le produit scalaire n n ( t)( t) ( t)( t) ( t) ( t) = cos cos + sin sin + = cos + sin = = nous permet d affirmer que les plans P et P' sont perpendiculaires. n cos t ;sin t ;, vecteur normal à P sera ) l axe x est parallèle à P pour toutes les valeurs de t pour lesquelles orthogonal à tout vecteur directeur de l axe x. Un vecteur directeur de l axe x est ( ; ; ) π t = [ π ], n u = cost =, donc l axe x est parallèle à P. u. Le produit scalaire n u. = cost + sin t + = cost. Pour cost x+ sin t y = cost x+ sin t y+ = ) Les coordonnées des points de la droite intersection des deux plans vérifient le système ( cost) x+ ( sin t) y+ = ( cost) x+ ( sin t) y = soit, par soustraction des deux lignes,. = = x = λ π Si t = [ π ], puisque cost = et si n t =, le système est équivalent à y =, λ. Un vecteur directeur de la droite = v ; ; intersection des deux plans est π Si t [ π ] est v tan x= λ tant ( cost) x+ ( sin t) y =, y = λ, λ Un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans = = ( ( t) ;; ) 4) La distance de (cos t, sin t, -) au plan P vaut ( t)( t) ( t)( t) cos cos + sin sin = = = + ( cost) + ( sin t) + ( ) Page /