Correction Baccalauréat S - Obligatoire Métropole - Jeudi 20 Juin 2013

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1 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 Corrction Baccalauréat S - Obligatoir Métropol - Judi 0 Juin 0 Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité maths Ercic. 4 points Commun à tous ls candidats. a. Construir un arbr pondéré traduisant la situation. P H (C ) = 80% C H 5% P H (F ) = 0% F P H (C ) = 50% C 5% H P H (F ) = 50% F 40% P H (C ) = 0% C H P H (F ) = 70% F b. Calculr la probabilité qu l arbr choisi soit un conifèr achté chz l horticultur H. On chrch à calculr P (H C ). P (H C ) = P H (C ) P (H ). P (H C ) = 0% 40%. P (H C ) = %. c. Justifir qu la probabilité d l évènmnt C st égal à 0,55. Ls trois évènmnts H, H t H formnt un partition d l univrs donc d après la formul ds probabilités totals on a : P(C ) = P (H C ) + P (H C ) + P (H C ) P(C ) = P H (C ) P (H ) + P H (C ) P (H ) + % P(C ) = 80% 5% + 50% 5% + % P(C ) = 8% +, 5% + % P(C ) = 5,5% La probabilité d l évènmnt C st égal à 0,55 soit P(C ) = 5,5%. d. L arbr choisi st un conifèr. Qull st la probabilité qu il ait été achté chz l horticultur H? On arrondira à 0. On chrch donc P C (H ). P C (H ) = P (H C ) = P H (C ) P (H ) P(C ) P(C ) 80% 5% P C (H ) = 5,5% P C (H ) = 8% 5,5% 5,% On a donc, à 0 près, P C (H ) 5,% /

2 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0. On choisit au hasard un échantillon d 0 arbrs dans l stock d ctt jardinri. On suppos qu c stock st suffisammnt important pour qu c choi puiss êtr assimilé à un tirag avc rmis d 0 arbrs dans l stock. On appll X la variabl aléatoir qui donn l nombr d conifèrs d l échantillon choisi. a. Justifir qu X suit un loi binomial dont on précisra ls paramètrs. On répèt un suit d 0 périncs aléatoirs d Brnouilli (succès/échc) indépndants, où l succès st l fait d choisir un conifèr. On sait qu P(C ) = 5,5% donc X la variabl aléatoir qui donn l nombr d conifèrs d l échantillon choisi suit donc un loi binomial d paramètrs n = 0 t p = P(C ) = 5, 5%. b. Qull st la probabilité qu l échantillon prélvé comport actmnt 5 conifèrs? On arrondira à 0. On a X B(n = 0 ; p = 5,5%) donc P(X = k) = C k n pk ( p) n k P(X = 5) = C 5 0 0,555 (0,475) 5 On obtint alors P(X = 5) 0,4. c. Qull st la probabilité qu ct échantillon comport au moins du arbrs fuillus? La probabilité dmandé st cll d l événmnt X 8, qui st l événmnt contrair d la réunion ds événmnts disjoints X = 9 t X = 0. On a alors : P(X 8) = P(X = 9) P(X = 0) 0,984. La probabilité qu ct échantillon comport au moins du arbrs fuillus st d 98,4% à 0 près. Ercic. 7 points Commun à tous ls candidats On dispos ds informations suivants : ls points A, B, C ont pour coordonnés rspctivs (, 0), (, ), (0, ) ; la courb C pass par l point B t la droit (BC) st tangnt à C n B ; il ist du réls positifs a t b tls qu pour tout rél strictmnt positif ; f () = a + b ln. a. En utilisant l graphiqu, donnr ls valurs d f () t f (). L imag d par f st f () = ; La tangnt à la courb au point d absciss st horizontal donc f () = 0. b. Vérifir qu pour tout rél strictmnt positif, f (b a) b ln () =. La fonction f st d la form u avc u() = a + b ln t v() =. Donc f st dérivabl sur ]0 ; + [ v comm quotint d fonctions qui l sont sur ct intrvall. On a donc f () = u ()v() u()v () v(), avc u () = b t v () =. b (a + b ln ) f () = = b a b ln. Donc ]0 ; + [, on a : f () = (b a) b ln. c. En déduir ls réls a t b. f () = donc f () = a + b ln = soit a = ; f () = 0 donc f (b a) b ln () = = 0 d où b = 0. On a d c fait a = = b. /

3 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 On a donc : f () = + ln t f () = ln. a. Justifir qu pour tout rél appartnant à l intrvall ]0 ; + [, f () a l mêm sign qu?ln. Sur ]0 ; + [, f () = ln donc f () st du sign d ln donc d ln. b. Détrminr ls it d f n 0 t n +. Limit d f n 0. f () = + ln Donc n 0 + Limit d f n +. f () = + ln Donc + ln = n 0 + = ( + ln ) or n 0 + = + f () =, C présnt un asymptot vrtical d équation = 0 ; or = 0 ln = 0 d après l théorèm ds croissancs comparés f () = 0, C présnt un asymptot horizontal d équation y = 0 n +. c. En déduir l tablau d variations d f. On a montré qu sur ]0 ; + [, f () st du sign d ln. Donc f () st positif sur ]0 ; [, nul n, t négatif sur ] ; + [. 0 + f () + 0 f 0. a. Démontrr qu l équation f () = admt un uniqu solution α sur l intrvall ]0 ; ]. La fonction f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall ]0 ; ] ; L imag par f d l intrvall ]0 ; ] st ] ; ] d après l tablau d variations. L rél k = appartint à l intrvall imag ] ; ]. Donc, d après l corollair du théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f () = k = admt un solution uniqu α sur l intrvall ]0 ; ]. Non dmandé. Pour avoir un ncadrmnt d α, on put utilisr la fonction TABLE d la calculatric. { f (0,4) 0,4 < Avc un pas d = 0, on obtint :, donc 0,4 α 0,5. f (0,5), > { f (0,46) 0,97 < Avc un pas d = 0,0 on obtint :, donc 0,46 α 0,47. f (0,47),04 > b. Par un raisonnmnt analogu, on démontr qu il ist un uniqu rél β d l intrvall ] ; + ], tl qu f (β) =. Détrminr l ntir n tl qu n < β < n +. Pour avoir un ncadrmnt d β, on put utilisr la fonction TABLE d la calculatric. { f (5),04 Avc un pas d = on obtint : f (6) 0,9, donc 5 β 6. D c fait, l ntir n tl qu n < β < n + st n = 5. /

4 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 4. On donn l algorithm si dssous. Variabls : a, b t m sont ds réls. Initialisation : Affctr à a la valur 0 Affctr à b la valur Traitmnt : Tant qu b a > 0, Sorti : Affctr à m la valur (a + b) Si f (m) < alors Affctr à a la valur m Sinon Affctr à b la valur m Fin d Si Fin d tant qu Affichr a Affichr b a. Fair tournr ct algorithm n complétant l tablau ci-dssous qu l on rcopira sur la copi. étap étap étap étap 4 étap 5 a 0 0 0,5 0,75 0,475 b 0,5 0,5 0,5 0,5 b a 0,5 0,5 0,5 0,065 m 0,5 0,5 0,75 0,475 Sorti car b a < 0, b. Qu rprésntnt ls valurs affichés par ct algorithm? Ct algorithm prmt d trouvr un ncadrmnt d α d amplitud infériur à 0, par la méthod dit d dichotomi. L étap 5 prmt d trouvr qu : 0, 475 < α < 0, 5. c. Modifir l algorithm ci-dssus pour qu il affich ls du borns d un ncadrmnt d β d amplitud 0,. On { pourrait l intégrr dans l algorithm mais plus simplmnt, on choisit ls borns d départs ainsi : f () = >, donc on sait qu a = < β < 0 = b. f (0) 0,66 < Attntion, la fonction f st décroissant sur [ ; 0] donc il va falloir invrsr l tst Si f (m) >. Cla donn : Variabls : a, b t m sont ds réls. Initialisation : Affctr à a la valur Affctr à b la valur 0 Traitmnt : Tant qu b a > 0, Sorti : Affctr à m la valur (a + b) Si f (m) > alors Affctr à a la valur m Sinon Affctr à b la valur m Fin d Si Fin d tant qu Affichr a Affichr b 4/

5 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 5. L but d ctt qustion st d démontrr qu la courb C partag l rctangl OABC n du domains d airs égals. a. Justifir qu cla rvint à démontrr : f () d =. Montrons déjà qu : La courb C partag l rctangl OABC n du partis. L imag d ]0 ;] par f st ] ; ] donc la courb C st sous la droit (BC) ; La fonction f s annul un sul fois sur ]0 ;], n car f () = 0 + ln = 0 = ( ) ; La courb C coup donc l a ds abscisss n un point E ; 0. Sur l intrvall rctangl OABC ; Sur l intrvall ] 0 ; ], la courb C st n dssous d l a (O), ll n st donc pas inclus dans l [ ] ; 0, la courb C st donc strictmnt inclus dans l rctangl OABC ; La courb C partag donc l rctangl OABC n partis. Air sous la courb. f st bin positiv sur l intrvall Air du rctangl. L rctangl OABC a un air d = u.a. [ ] ; 0. L air sous la courb C vaut donc n u.a. : f () d. Conclusion On vut partagr ctt air n airs égals. Il faut donc qu chacun d ntr-ll ait un air d u.a. Cla rvint donc à démontrr : f () d = b. En rmarquant qu l prssion d f () put s écrir f () = + ln trminr la démonstra- tion. f () d = f () d = ( + ln d + ) d, t par linéarité d l intégral on obtint ln d Or un primitiv d, st ln ; Or un primitiv d ln, st (ln ). On a donc : f () d = [ ln + (ln ) ] = ( ln + (ln ) ) = ( + ) = On a bin montré qu domains d airs égals. f () d = t donc qu la courb C partag l rctangl OABC n du 5/

6 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 Ercic. 4 points Commun à tous ls candidats Pour chacun ds propositions suivants, indiqur si ll st vrai ou fauss t justifir la répons choisi. Il st attribué un point par répons act corrctmnt justifié. Un répons non justifié n st pas pris n compt. Un absnc d répons n st pas pénalisé.. Proposition : VRAIE. Dans l plan muni d un rpèr orthonormé, l nsmbl ds points M dont l affi z vérifi l égalité z ı = z + st un droit. Si on considèr ls points M(z), A(ı) t B(), l équation proposé s traduit n distancs par : AM = B M t donc l nsmbl ds points M(z) dont l affi z vérifi l égalité z i = z + AM = B M, st la médiatric du sgmnt [AB]. C st bin un droit.. Proposition : FAUSSE. L nombr compl ( + i ) 4 st un nombr rél. L écritur ponntill d ( + i ) st i π donc : ( ) 4 ( ) + i = i π 4 = 4 i 4π Du argumnts au choi pour conclur : L argumnt d 4 i 4π st 4π 0 + kπ, k Z. L argumnt n st pas congru à 0 modulo π, donc l nombr n st pas un rél. On put aussi écrir la form algébriqu du nombr. 4 i 4π = 6 ( cos ( ( ) ) ( 4π + isin 4π )) = 6 8 i R. Proposition : VRAIE. Ls droits (EC) t (BG) sont orthogonals. L pièg ici st d confondr prpndicularité t orthogonalité dans l spac. Rappl d cours - On dit qu du droits sont prpndiculairs (donc sécants) lorsqu lls s coupnt n formant un angl droit. Rmarqu : du droits prpndiculairs sont sécants, donc coplanairs. - On dit qu du droits sont orthogonals si l un d lls st parallèl à un droit prpndiculair à l autr. Rmarqu : du droits prpndiculairs sont orthogonals. Calculons l produit scalair ds vcturs EC t d BG. EC BG = ( EA + AB + BC ) ( ) BF + FG Or EA st orthogonal à FG car (FG) st prpndiculair au plan (AEFB) ; AB st orthogonal à BF t FG car (AB) st prpndiculair au plan (BCGF) ; BC st orthogonal à BF. Donc il n rst qu du produit scalairs non nuls après dévloppmnt : EC BG = EA BF + BC FG D plus EA = BF ; BC = FG. Donc EC BG = BF + BC EC BG = 0 car BF = BC Ls droits (EC) t (BG) sont bin orthogonals. L spac st muni d un rpèr orthonormé. Soit l plan P d équation cartésinn + y + z + 4 = 0. On not S l point d coordonnés (, -, -). 6/

7 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 4. Proposition 4 : VRAIE. La droit qui pass par S t qui st prpndiculair au plan P a pour rprésntation paramétriqu : = + t y = + t z = + t, t R Un vctur normal au plan st un vctur dirctur d la droit. D après l équation cartésinn du plan, un vctur normal st n ( ; ; ). Un rprésntation paramétriqu d la droit d vctur dirctur n ( ; ; ) t passant par l point S(,, ) s obtint n écrivant qu pour M(, y, z), on a SM ( ; y + ; z + ) = k n ( ; ; ) k R. Donc un équation d la droit st : Soit = k y + = k z + = k = + k y = + k z = + k, k R, k R Par la suit, n prnant k = + t on obtint bin l équation paramétriqu proposé. = + t y = + t z = + t, t R 7/

8 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 Ercic 4. 4 points Soit la suit numériqu (u n ) défini sur N par : Candidats n ayant pas suivi la spécialité u 0 = t pour tout ntir naturl n, u n+ = u n + n +.. a. Calculr u,u,u t u 4. On pourra n donnr ds valurs approchés à 0 près. u 0 = u = u , u = u + +,89 u = u + +,59 u 4 = u + + 4,40 b. Formulr un conjctur sur l sns d variation d ctt suit. La suit (u n ) smbl êtr croissant.. a. Démontrr qu pour tout ntir naturl n, u n n +. Démontrons la propriété (P n ) : u n n + par récurrnc. Initialisation. Pour n = 0, on a u 0 = 0 + = la propriété st vrai au rang n = 0. Hérédité. Supposons la propriété vrai au rang n : u n n +. Alors pour n ntir naturl : u n+ = u n + n + u n+ (n + ) + n + u n+ n + + n + = n + u n+ (n + ) + = n + 4 Donc la propriété st vrai au rang n +. Conclusion. La propriété st vrai au rang 0. En la supposant vrai au rang n, ll st ncor vrai au rang suivant. Donc pour tout ntir naturl n, u n n +. b. Démontrr qu pour tout ntir naturl n, u n+ u n = (n + u n). Pour tout ntir naturl n on a : u n+ u n = ( u n + ) n + u n u n+ u n = u n + n + u n u n+ u n = ( u n + n + ) Donc n N, u n+ u n = (n + u n) 8/

9 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 c. En déduir un validation d la conjctur précédnt. On a montré qu pour tout ntir naturl n, u n+ u n = (n + u n) t donc qu u n+ u n st du sign d (n + u n ). Or d après la qustion a., 0 (n + u n ) t donc pour tout ntir naturl n, u n+ u n 0. La suit (u n ) st bin croissant.. On désign par (v n ) la suit défini sur N par v n = u n n. a. Démontrr qu la suit (v n ) st un suit géométriqu d raison. Pour tout ntir naturl n, v n+ = u ( n+ (n + ) v n+ = u n + ) n + n v n+ = u n n v n+ = (u n n) v n+ = (v n) On a donc montré qu pour tout ntir naturl n, v n+ = v n t donc qu la suit (v n ) st un suit géométriqu d raison. ( ) n b. En déduir qu pour tout ntir naturl n, u n = + n La suit (v n ) st un suit géométriqu d raison q = t d prmir trm v 0 = u 0 0 =, donc v n = v 0 q n soit : ( n N, v n = c. Détrminr la it d la suit (u n ). Puisqu u n = v n + n d la qustion précédnt on put primr u n n fonction d n soit ) n ( ) n n N, u n = + n On sait qu pour < q < on a qn = 0. ( ) ( ) n n Donc = 0 t = 0 n = +, d c fait u n = + 4. Pour tout ntir naturl non nul n, on pos : S n = a. Eprimr S n n fonction d n. S n = u k = u 0 + u u n u k = u 0 + u u n t T n = S n n. or u n = v n + n donc 9/

10 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 S n = (v k + k) t donc S n = v k + k Or La suit (v n ) st un suit géométriqu d raison q = donc la somm ds (n+) prmirs trms st donné par la formul : nombr d trms q v k = v 0 q La somm ds (n+) prmirs ntirs corrspond à la somm ds (n+) prmirs trms d un suit arithmétiqu (w k ) (avc w k = k) d raison r =, soit : Donc nombr d trms (prmir trm + drnir trm) k = ( ) n+ ( ) n+ ( ( ) n+ ) v k = v 0 = = 6 On a donc montré qu : n = n(n + ) ( n N, S n = 6 ( ) n+ ) n(n + ) + Rmarqu du corrctur : Ctt qustion t la suivant smblnt anormalmnt difficils pour ds élèvs qui n ont pas choisi la spécialité, c st étrang. L barèm d corrction dvrait n rndr compt. b. Détrminr la it d la suit (T n ). On a pour tout ntir naturl non nul n : t donc ( S n = 6 ( ) n+ ) n(n + ) + ( ( ) n+ ) T n = S 6 n n = n + n(n + ) D un part on rmarqu qu : On sait qu pour < q < on a qn = 0. ( ( ) ( ) n+ ) n Donc = 0 t 6 = 6, d c fait 6 n = 0 n ( ( ) n+ ) 6 n = 0 D autr part on rmarqu qu : Pour tout ntir naturl non nul n, n(n + ) n = n + n n = + n n = + n 0/

11 Corrction Bac S Obligatoir - Métropol - 0 Juin 0 Or n = 0 Et donc Pour conclur on a montré qu : n(n + ) n = T n = /