2. u(t) = 3 2 e t/2( 1 e t/2) 2

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1 Probabilités : Chapitre 4 Exercices Exercices : Variables aléatoires à densité Exercice : Déterminer si les fonctions suivantes sont des densités de probabilité et si oui déterminer la fonction de répartition de la VAR associée à cette densité. si t <. g(t) = 4te 2t si t si t < 3. f(t) = e t ln(+e t ) si t Exercice 2: si t < 2. u(t) = 3 2 e t/2( e t/2) 2 si t On pensera au changement de variable u = e t. si t / ];2] Soit f la fonction définie sur R par : f(t) = a si t ];2] t Déterminer a pour que f soit une densité de probabilité Exercice 3: Déterminer si les fonctions suivantes sont les fonctions de répartition d une variable à densité. Si oui, en donner une densité. si x <. F(x) = ( + x 2e x si x 2) 2. x R, F(x) = +e x Exercice 4: Soit X une VAR dont la fonction de répartition F est définie par : F(x) = Montrer que X est une variable à densité et déterminer une densité de X. Exercice 5: Calculer, si elle existe, l espérance de la variable X dont une densité est : si t < si t <. g(t) = 4te 2t si t 2. h(t) = 4lnt si t t 3 Exercice 6: 4 On considère la fonction f définie par : f(x) = 3 ( x)/3 si x sinon. Montrer que f est la densité d une variable aléatoire Y. si x < e x2 /2 si x 2. Déterminer la fonction de répartition F de la variable Y. Construire sa représentation graphique dans un repère orthonormal. 3. Calculer l espérance de la variable Y. 4. Calculer la probabilité de l événement [,488 < Y,2] Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page Variables aléatoires à densité

2 Exercice 7: Reprendre l exercice 5 et calculer, si elle existe, la variance de la variable aléatoire associée aux densités données. Exercice 8: Soit X une VAR qui suit une loi uniforme sur [a;b]. Montrer que X admet une variance et la calculer. Exercice 9: On suppose que la distance en mètres parcourue par un javelot suit une loi normale. Au cours d un entrainement, on constate que : % des javelots atteignent plus de 75 mètres. 25% des javelots parcourent moins de 5 mètres. Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l écart-type de cette longueur. On donne au dos la table de valeurs de la fonction de répartition de la loi N(,). Exercice : Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(λ).. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y = X. 2. Déterminer une densité de X Déterminer une densité de X 3. Exercice : Soit X une variable aléatoire à densité dont la fonction de répartition F est strictement croissante. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y = F(X). Exercice 2: Soit X une variable aléatoire dont une densité est la fonction f définie sur R par : e x si ln2 x ln2 f(x) = sinon. Déterminer la fonction de répartition F de X. 2. On pose Y = X. Déterminer la fonction de répartition G de Y puis montrer que Y est une variable à densité et donner une densité de Y. Exercice 3: Soit X une VAR admettant une densité f. On suppose que X prends ses valeurs dans R +. Soit Y = [X] (partie entière de X). Déterminer la loi de Y. 2. a) Montrer que E(Y) existe si et seulement si E(X) existe. b) Montrer que si E(X) existe alors : E(Y) E(X) E(Y)+. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 2 Variables aléatoires à densité

3 Exercice 4: Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire T dont une densité de probabilité est donnée par la fonction f définie par : xe x si x f(x) = si x <. Rappeler la définition d une densité de probabilité d une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ =. Donner la valeur de l espérance et de la variance de X. 2. Utiliser la question précédente pour vérifier que f est bien une densité de probabilité, puis montrer que T admet une espérance que l on déterminera. Quel est le temps moyen de passage en caisse? 3. a) Démontrer que la fonction de répartition de T, notée F T est définie par : si x < F T (x) = (x+)e x si x b) Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu il est supérieur à une unité est égale à 2e 3. 2e 4. Un jour donné, trois clients A, B, C se présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, C décide de laisser passer A et B et de prendre la place du premier d entre eux qui aura terminé. On suppose que les variables T A et T B correspondant au temps de passage en caisse de A et B sont indépendantes. a) M désignant le temps d attente du client C exprimer M en fonction de T A et T B. b) Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire M est donnée par : P(M t) = si t < (+t) 2 e 2t si t c) Prouver que M est une variable à densité et expliciter une densité de M. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 3 Variables aléatoires à densité

4 Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 4 Variables aléatoires à densité

5 Exercice : Correction. (i) On remarque tout d abord que g est bien une fonction positive car et pour t, 4te 2t. (ii) La fonction nulle est continue sur ] ;[ et par produit de fonctions continues, la fonction t 4te 2t est continue sur ];+ [. Donc g est continue sur R. De plus lim g = = lim g = g() donc g est en fait continue sur R. + (Dans notre théorème il suffit que la fonction soit continue sauf éventuellement en un nombre fini de points donc nous ne sommes pas obligés de vérifier la continuité de g en.) (iii) Comme g est nulle sur ];[, l intégrale Sur [; + [, g est continue donc l intégrale Soit A >, par intégration par parties : g(t)dt est convergente et vaut. g(t)dt ne pose problème qu en +. 4te 2t dt = [ 2te 2t] A + 2e 2t dt = 2Ae 2A e 2A + Or lim A + 2Ae 2A e 2A + = donc l intégrale En conclusion g est une densité de probabilité. g(t)dt est convergente et vaut. g(t)dt est convergente et vaut. Soit X une VAR de densité g. Notons G sa fonction de répartition. Par définition G(x) = Si x < alors G(x) = Si x alors G(x) = dt =. dt+ refaire le calcul, il a été fait dans le point (iii).) si x < G(x) = (2x+)e 2x si x g(t) dt. 4te 2t dt = 2xe 2x e 2x + = (2x+)e 2x. (Inutile de 2. (i) On remarque tout d abord que u est bien une fonction positive car et pour t, 3 2 e t/2( e t/2) 2. (ii) La fonction nulle est continue sur ] ;[ et par produit de fonctions continues, la fonction t 3 2 e t/2( e t/2) 2 est continue sur ];+ [. Donc u est continue sur R. De plus lim u = = lim u = u() donc u est en fait continue sur R. + (iii) Comme u est nulle sur ];[, l intégrale Sur [; + [, u est continue donc l intégrale Soit A > : u(t)dt est convergente et vaut. u(t)dt ne pose problème qu en e t/2( e t/2) 2 dt = [ ( e t/2 ) 3] A = ( e A/2 ) 3 Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 5 Variables aléatoires à densité

6 Or lim A + ( e A/2 ) 3 = donc l intégrale En conclusion u est une densité de probabilité. u(t)dt est convergente et vaut. u(t)dt est convergente et vaut. Soit X une VAR de densité u. Notons U sa fonction de répartition. Par définition U(x) = Si x < alors U(x) = Si x alors U(x) = dt =. dt+ il a été fait dans le point (iii).) si x < U(x) = ( e x/2 ) 3 si x u(t) dt. 3 2 e t/2( e t/2) 2 dt = ( e x/2 ) 3. (Inutile de refaire le calcul, 3. (i) On remarque tout d abord que f est bien une fonction positive car et pour t, e t ln(+e t ). (ii) La fonction nulle est continue sur ] ;[ et par produit de fonctions continues, la fonction t e t ln(+e t ) est continue sur ];+ [. Donc f est continue sur R. f est donc continue sur R. (iii) Comme f est nulle sur ];[, l intégrale Sur [; + [, f est continue donc l intégrale f(t)dt est convergente et vaut. f(t)dt ne pose problème qu en +. Soit A >, grâce au changement de variable u = e t (qui nous donne t = ln(u) et donc dt = u du) : e t ln(+e t )dt = = = e A e A ( uln + ) e A du = ln u u (ln(+u) ln(u)) du ( ) +u du u [(+u)ln(+u) (+u) uln(u)+u]e A ( (+e A )ln(+e A ) e A ln(e A ) + ) = Or lim (+e A )ln(+e A ) A + et vaut. En conclusion f est une densité de probabilité. = (+e A )ln(+e A ) Ae A f(t)dt est convergente et vaut. Ae A = donc l intégrale Soit X une VAR de densité f. Notons F sa fonction de répartition. Par définition F(x) = Si x < alors F(x) = dt =. f(t)dt est convergente f(t)dt. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 6 Variables aléatoires à densité

7 Si x alors F(x) = dt+ de refaire le calcul, il a été fait dans le point (iii).) si x < F(x) = (+e x )ln(+e x ) Exercice 2: e t ln(+e t )dt = (+e x )ln(+e x ) xe x si x xe x. (Inutile (i) On remarque tout d abord que pour que f soit bien une fonction positive il faut que a car a et pour t ];2], a. t (ii) La fonction nulle est continue sur ];] ]2;+ [ et la fonction t pour toute valeur de a. Quelle que soit la valeur de a, f est continue sur R\;2}. (iii) Comme f est nulle sur ];] ]2;+ [, les intégrales et valent. Sur ]; 2], f est continue donc l intégrale Soit < A 2, : 2 A 2 Or lim 2a 2a A = 2a donc l intégrale A En conclusion f(t)dt et a t est continue sur ];2] f(t)dt ne pose problème qu en. a dt = [ 2a t ] 2 = 2a 2a A t A 2 f(t)dt est convergente et vaut 2a. Pour que f soit une densité de probabilité il faut donc que a = 2. f(t)dt est convergente et vaut 2a. 2 f(t) dt sont convergentes Exercice 3:. (i) La fonction nulle est continue sur ] ;[ et par produit de fonctions continues, la fonction ( x + x 2e 2) x est continue sur ];+ [. Donc F est continue sur R. De plus lim F = = lim F = F() donc F est en fait continue sur R. + (ii) Pour les même raisons que la continuité sur R, F est de classe C su R. (iii) Sur ];[, F est constante donc croissante. ( Sur ];+ [, F (x) = + x ) ( e x + + x ) 2e x = x ( + x ) e x. Donc pour x >, F (x) et donc F est croissante sur ];+ [. F est croissante sur ];[ et sur ];+ [ et comme F est continue sur R, F est croissante sur R. ( + x 2e 2) x = donc (iv) lim F(x) = lim = et grâce aux croissances comparées, lim x x x + F(x) =. lim x + F est bien la fonction de répartition d une variable à densité X. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 7 Variables aléatoires à densité

8 si x < Une densité de X est par exemple f(x) = x ( + x ) e x si x. 2 2 Il suffit de prendre la dérivée de F pour obtenir une densité. 2. (i) La fonction x +e x est de classe C sur R et ne s annule pas sur R. Donc F est de classe C sur R et donc en particulier continue sur R. (ii) Pour les même raisons que la continuité sur R, F est de classe C su R. (iii) Pour tout réel x, F e x (x) = (+e x ) 2. Donc pour x R, F (x) et donc F est croissante sur R. (iv) lim F(x) = lim = = et lim F(x) = =. x x +ex x + F est bien la fonction de répartition d une variable à densité X. Une densité de X est par exemple f(x) = Exercice 4: e x (+e x ) 2. (i) La fonction nulle est continue sur ] ;[ et par produit de fonctions continues, la fonction x e x2 /2 est continue sur ];+ [. Donc F est continue sur R. De plus lim F = = lim F = F() donc F est en fait continue sur R. + (ii) La fonction nulle est de classe C sur ] ;[ et par produit de fonctions de classe C, la fonction x e x2 /2 est de classe C sur ];+ [. Donc F est de classe C sur R. X est donc une variable à densité. Pour obtenir une densité il suffit de dériver F là où F est dérivable. si x < Une densité de X est par exemple f(x) = xe x2 /2 si x. Exercice 5:. Comme t t g(t) est nulle sur ];[, l intégrale. Sur [;+ [, t t g(t) est continue donc l intégrale Soit A >, par intégration par parties : t g(t) dt = Dans l exercice on a calculé : Donc t g(t) dt est absolument convergente et vaut t g(t) dt ne pose problème qu en +. 4t 2 e 2t dt = [ 2t 2 e 2t] A + 4te 2t dt = 2A 2 e 2A + 4te 2t dt = 2Ae 2A e 2A + t g(t) dt = 2A 2 e 2A 2Ae 2A e 2A +. Or lim A + 2A2 e 2A 2Ae 2A e 2A + = doncl intégrale et vaut. En conclusion t g(t)dt est absolument convergente et vaut. X admet donc une espérance et E(X) =. 4te 2t dt t g(t) dt est absolument convergente Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 8 Variables aléatoires à densité

9 2. Comme t t h(t) est nulle sur ];[, l intégrale. Sur [;+ [, t t h(t) est continue donc l intégrale Soit A >, par intégration par parties : t h(t) dt = Or lim 4ln(A) A + A 4 +4 = 4 donc l intégrale A 4. En conclusion t h(t) dt est absolument convergente et vaut t h(t) dt ne pose problème qu en +. [ 4ln(t) dt = 4ln(t) ] A 4 + dt = 4ln(A) t 2 t t2 A 4 A +4 t h(t) dt est convergente et vaut 4. X admet donc une espérance et E(X) = 4. t h(t) dt est absolument convergente et vaut Exercice 6:. (i) Pour x [;] on a f(x) = et si x [;], ( x) donc f(x). f est bien une fonction à valeurs positives. (ii) f est bien continue sur ];[ et sur ];+ [ car f est la fonction nulle sur ces intervalles. Sur ];[ f est la composée de fonction continues donc f est continue. f est donc continue sur R\;}. (iii) Les intégrales f(x)dx et et ces intégrales valent. Sur [;] la fonction f est continue donc l intégrale Donc f(x)dx est convergente et f est bien une densité de probabilité. 2. Par définition F(x) = Si x <, F(x) = Si x, F(x) = Si x >, F(x) = f(t)dt. dt =. f(t)dt+ f(t)dt+ si x < F(x) = ( x) 4/3 si x si x > f(x)dx sont convergentes car f est nulle sur ces intervalles f(x)dx = [ ( x) 4/3] = f(t)dt+ f(t)dt = f(x)dx = f(t)dt = f(x)dx est convergente. De plus : 4 3 ( t)/3 dt = ( x) 4/ ( t)/3 dt =. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 9 Variables aléatoires à densité

10 Pour les mêmes raisons qu à la question, l intégrale Y admet une espérance et : E(Y) = xf(x)dx = 4 3 x( x)/3 dx = [ x( x) 4/3] + ( x) 4/3 dx = xf(x) dx est absolument convergente donc [ 3 ] 7 ( x)7/3 = 3 7 E(Y) = P(,488 < Y,2) = F(,2) F(,488) = +(,488) 4/3 = (,52) 4/3 =,496 Exercice 7:. On a déjà vu que X admet une espérance et que E(X) =. Montrons maintenant que X admet un moment d ordre 2. t t 2 g(t) est nulle sur ];[, l intégrale Sur [;+ [, t t 2 g(t) = t 2 g(t) est continue donc l intégrale qu en +. Soit A >, par intégration par parties : t 2 g(t)dt = On a déjà calculé dans l exercice 5 : Donc t 2 g(t)dt est absolument convergente et vaut. 4t 3 e 2t dt = [ 2t 3 e 2t] A + 6t 2 e 2t dt = 2A 3 e 2A t 2 g(t)dt ne pose problème 4t 2 e 2t dt = 2A 2 e 2A 2Ae 2A e 2A +. t 2 g(t)dt = 2A 3 e 2A 3A 2 e 2A 3Ae 2A 3 2 e 2A Or lim A + 2A3 e 2A 3A 2 e 2A 3Ae 2A 3 2 e 2A = 3 2. Donc t 2 g(t)dt converge absolument et E(X 2 ) = 3 2. On a donc V(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 3 2 = 2 4t 2 e 2t dt Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page Variables aléatoires à densité

11 2. On a déjà vu que X admet une espérance et que E(X) = 4. Montrons maintenant que X admet un moment d ordre 2. Comme t t 2 h(t) est nulle sur ] ;[, l intégrale vaut. Sur [;+ [, t t 2 h(t) = t 2 h(t) est continue donc l intégrale qu en +. Soit A > : t 2 h(t)dt = Or lim A + 2(ln(A))2 = + donc l intégrale 4ln(t) t t 2 h(t)dt est absolument convergente et dt = [ 2(ln(t)) 2] A = 2(ln(A))2 t 2 h(t)dt est divergente. X n admet donc pas de moment d ordre 2 et donc X n admet pas de variance. t 2 h(t)dt ne pose problème Exercice 8: On rappelle qu une densité d une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur [a;b] est : si x [a;b] f(t) = b a sinon On sait déjà que X admet une espérance et que E(X) = a+b 2. Montrons que X admet un moment d ordre 2. t t 2 f(t) est nulle sur ];a[ et sur ]b;+ [ donc les intégrales convergentes et valent. De plus t t 2 f(t) est continue sur [a;b] donc X admet donc un moment d ordre 2 et : b a a t 2 f(t)dt est convergente. t 2 f(t)dt et b t 2 f(t)dt sont E(X 2 ) = b a t 2 b a dt = b a [ t 3 car b 3 a 3 = (b a)(b 2 +ab+a 2 ) (division euclidienne). X admet donc une variance et V(X) = E(X 2 ) E(X 2 ) = b2 +ab+a 2 3 ] b 3 = 4(b2 +ab+a 2 ) 3(a 2 +2ab+b 2 ) 2 = (b a)2 2 a = b3 a 3 3(b a) = b2 +ab+a 2 3 (a+b)2 4 = a2 2ab+b 2 2 Exercice 9: Notons X la VAR égale à la distance parcourue par le javelot. D après l énoncé, X suit une loi normale de paramètres m et σ. Le but de cet exercice est de trouver m et σ. L énoncé nous dit que : P(X > 75) =, et P(X < 5) =,25 Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page Variables aléatoires à densité

12 On sait d après le cours que lorsque X suit une loi normale de paramètres m et σ alors X = X m σ suit une loi normale de paramètres et. ( X m Or P(X > 75) = P(X m > 75 m) = P > 75 m ) ( = P X > 75 m ) = ( ) σ σ σ 75 m Φ. σ ( ) ( ) 75 m 75 m On a donc Φ =, Φ =,9. σ σ D après la table de valeurs on a donc 75 m,28. ( ) σ 5 m De même P(X < 5) = Φ =,25. σ Dans la table( on ne trouve ) pas la valeur,25 ( donc) on va utiliser une ( petite) astuce : Φ( t) = Φ(t). 5 m m 5 m 5 On a donc Φ =,25 Φ =,25 Φ =,75. σ σ σ On déduit de la table de valeur que m 5,67. σ Il nous faut donc maintenant résoudre le système : 75 m σ m 5 σ,28,67 75 m,28σ m 58,59 m 5,67σ σ 2,82 La longueur moyenne parcourue par le javelot est 58,69 et l écart type est 2,82. Exercice : On rappelle que la fonction de répartition d une VAR X qui suit un loi exponentielle de paramètre λ est donnée par : F(x) = si x < e λx si x. Notons G la fonction de répartition de Y. Par définition G(x) = P(Y x) = P( X x). Si x <, P( X x) =. Si x, P( X x) = P(X x 2 ) = F(x 2 ) = e λx2 si x < On a donc G(x) = e λx2 si x. On montre facilement que G est continue sur R et de classe C sur R donc G est la fonction de répartition d une variable à densité et une densité de Y est par exemple : si x < g(x) = 2λxe λx2 si x 2. On pose Z = X 2 et on note H la fonction de répartition de Z. Par définition H(x) = P(Z x) = P(X 2 x). Si x <, P(X 2 x) =. Si x, P(X 2 x) = P( x X x) = F( x) F( x) = e λ x car F( x) =. si x < On a donc H(x) = e λ x si x. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 2 Variables aléatoires à densité

13 H est continue sur R et de classe C sur R donc Z est une variable à densité et une densité de Z est par exemple : si x h(x) = λ 2 x x e λ si x > 3. On note T la fonction de répartition de X 3. Par définition T(x) = P(X 3 x). Si x <, P(X 3 x) =. Si x, P(X 3 x) = P(X x /3 ) = F(x /3 ) = e λx/3. si x < On a donc T(x) = e λx/3 si x. T est continue sur R et de classe C sur R donc X 3 est une variable à densité et une densité de X 3 est par exemple : si x t(x) = λ si x > 3x 2/3e λx/3 Exercice : F est strictement croissante d après les hypothèses de l énoncé et est continue sur R car c est la fonction de répartition d une variable à densité. Donc d après le théorème de bijection monotone, F réalise une bijection de R sur ]lim F;lim F[=];[. + On note G fonction de répartition de la VAR Y = F(X). Par définition G(x) = P(Y x) = P(F(X) x). Si x < alors G(x) = (il est impossible d avoir F(X) < ) Si x > alors G(x) = car l événement [F(X) ] est certain. Si x alors G(x) = P(X F (x)) = F(F (x)) = x. si x < On a donc G(x) = x si x. si x > On reconnait ici la fonction de répartition d une VAR qui suit une loi uniforme sur [;]. F(X) suit une loi uniforme sur [;]. Exercice 2:. Par définition F(x) = P(X x) = Si x < ln2 alors F(x) = Si ln2 x < alors Si x ln2 alors F(x) = ln2 Si x > ln2 alors F(x) = dt+ ln2 F(x) = ln2 dt+ dt =. ln2 e ( t) dt+ ln2 dt+ f(t)dt. e ( t) dt+ ln2 e ( t) dt = [ e t] x = ln2 ex 2 e t dt = [ e t] ln2 +[ e t] x = 2 e x + = 3 2 e x ln2 e t dt+ ln2 dt = [ e t] ln2 +[ e t] ln2 = Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 3 Variables aléatoires à densité

14 si x < ln2 e x si ln2 x < On a donc F(x) = e x si x ln2 si x > ln2 2. Par définition G(x) = P(Y x) = P( X x). Si x < alors G(x) = Si x alors P( X x) = P( x X x) = F(x) F( x). Donc si x > ln2, G(x) = = et si x ln2 alors G((x) = 3 2 e x e x + 2 = 2( e x ) si x < On a donc G(x) = 2( e x ) si x ln2. si x > ln2 On montre facilement que G est une fonction continue sur R et de classe C sur R\,ln2}. Y est donc bien une variable à densité et une densité de Y est par exemple 2e x si x [;ln2] g(x) = sinon Exercice 3:. Y(Ω) = N et pour tout N : P(Y = ) = P([X] = ) = P( X < +) = + f(t)dt 2. a) On a ici une équivalence à démontrer donc on va montrer les deux implications. : Si E(Y) existe alors On veut montrer que + tf(t)dt est convergente et vaut. Or on remarque que s il y a convergence : que + + = tf(t) dt est convergente. f(t) dt est convergente. tf(t)dt est convergente car on sait que f est nulle sur ];[ donc tf(t)dt = + + = On a t [; + ], tf(t) ( + )f(t) = f(t) + f(t) donc + f(t)dt. Onsaitque + tf(t) dt. Montrons donc plutôt + tf(t)dt f(t)dtconvergeetdeplus + f(t)dtconvergecar et vaut. Donc + tf(t)dt est convergente et ainsi tf(t) dt est convergente. + f(t)dt + f(t)dtconverge Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 4 Variables aléatoires à densité

15 X admet donc une espérance. : Si E(X) existe alors + tf(t) dt est convergente. Or on a + une espérance. f(t)dt + tf(t)dt donc + b) Supposons que E(X) existe (alors E(Y) existe). On a vu que = f(t)dt + f(t)dt tf(t)dt + + = E(Y) E(X) E(Y)+ + tf(t)dt f(t)dt est convergente et ainsi Y admet f(t)dt = f(t)dt f(t)dt+ + + = f(t)dt Exercice 4: ECRICOME 27. Une densité d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre est si x < g(t) = e x si x De plus on a E(X) = et V(X) =. 2. La fonction f est nulle sur ];[ donc sur cet intervalle c est une fonction continue et positive. Sur ];+ [ f est le produit de deux fonction continue sur ce même intervalle donc f est continue sur ];+ [. De plus sur cet intervalle x est positif et l exponentielle est toujours positive, donc f est positive sur cet intervalle. De plus lim f = lim f = = f() donc f est continue en. + Ainsi f est une fonction continue et positive sur R. Il nous reste à étudier la convergence et la valeur de l intégrale l intégrale f(x)dx = f(x)dx. Or on remarque que xg(x)dx et comme on sait que X admet un espérance on peut affirmer que f(x)dx est convergente et vaut E(X) =. Donc f est bien une densité de probabilité. Si E(T) existe, on a E(T) = xf(x)dx = x 2 g(x)dx. Comme on sait que X admet une variance, on peut donc dire que X admet un moment d ordre 2 et donc T admet une espérance. D après la formule de Kœnig, E(T) = E(X 2 ) = V(X)+E(X) 2 = 2 Ainsi le temps moyen de passage en caisse est de deux unités de temps. 3. a) Par définition de la fonction de répartition F T (x) = Si x <, F T (x) = dt = f(t)dt. Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 5 Variables aléatoires à densité

16 Si x, F T (x) = f(t) dt = dt+ On a donc bien b) On veut calculer F T (x) = te t dt = [ te t ] x + F t (x) = te t dt. Donc si x < (x+)e x si x e t dt = xe x e x + P([T ] [T 2]) P [T ] (T 2) = P(T ) P( T 2) = P(T ) = F T(2) F T () F T () = 3e 2 +2e = 2e 3 en multipliant en haut et en bas par e 2 2e 2e 4. a) Le client C pourra passer en caisse dès que le plus rapide de A ou B aura fini. Donc le temps d attente de C correspond au plus petit temps de passage entre A et B : M = min(t A,T B ) b) Les temps de passage T A et T B n étant jamais négatifs, lorsque t ];[, P(M t) =. Si t R +, alors P(M t) = P(M > t) = P([T A > t] [T B > t]) Dons on a bien = P([T A > t]) P([T B > t]) car les temps de passage des clients sont indépendants = ( F TA (t))( F TB (t)) = (t+)e t (t+)e t = (t+) 2 e 2t P(M t) = si t < (t+) 2 e 2t si t c) Notons H la fonction de répartition de M. (H(t) = P(M t)) Il nous faut montrer que H est une fonction continue sur R et C sur R sauf peut être en un nombre fini de point pour pouvoir affirmer que M est une variable à densité. Sur ] : [, H est la fonction nulle donc c est une fonction C. Sur ];+ [, les fonction t ( + t) 2 et t e t sont C donc H est de classe C sur cet intervalle. Il nous reste à étudier la continuité en. On a lim H = et lim H = = = H() donc + H est bien continue en. Ainsi H est une fonction continue sur R et de classe C sur R. M est donc bien une variable à densité. Pour obtenir une densité de M, il faut dériver H et compléter aux points oùh n est pas dérivable. Une densité de M est donc le fonction suivante : h(t) = si t < 2t(+t)e 2t si t Probabilités : Chapitre 4 Exercices Page 6 Variables aléatoires à densité