Les puissances 1. A) Décomposition d un nombre en puissances positives d un autre nombre.

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1 Les puissances A) Décomposition d un nombre en puissances positives d un autre nombre. Un entier naturel n est premier si n > et s'il a exactement deux diviseurs positifs et n. Il y a une infinité de nombres premiers. Jusqu'à 50, ce sont :,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, 7. Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers distincts. Pour décomposer un nombre en produits de nombres premiers, il faut trouver tous les nombres premiers qui divisent ce nombre. Pratiquement on part du plus petit () et on cherche les différents diviseurs jusqu'à obtenir. Exemple : décomposons 0 en nombres premiers 0 0 est pair, donc divisible par. Le résultat de la division est est pair, donc divisible par. Le résultat de la division est est un nombre premier. La décomposition est finie car le résultat est. On écrit alors : 0 = x x 5 = ² x 5 Autre exemple : décomposons en nombres premiers est pair est divisible par car ++ = est divisible par 77 7 On écrit : = x x 7 x B) Calculs avec des puissance Si a est un réel non nul et n un entier naturel différent 0 Pour tout réel a 0 a 0 = Pour tout réel a non nul, a existe et est appelé inverse de a. On le note a- : a - = a Remarque : Cohérence avec ce qui a déjà été étudié : a. a = a.a- = a - = a 0 = Cette nouvelle notion nous permet d introduire des exposants négatifs. En effet : a -n = (a n ) - = a n Les règles de calculs étudiées dans le cadre des exposants entiers positifs restent valables pour les exposants entiers négatifs.

2 Les puissances Si a et b sont des réels non nuls ; si p et q sont des entiers relatifs a p a q = a p+q (a p ) q = a pq a p a q = a p q (ab) p = a p b p p a b = a p b p Exemples :. -5 = -5 = - = = ( - ) - = (-)(-) = = = 5 -(- ) = 5 5 = 5 (.) - = -. - =. = 9. = C) Calculs avec des puissances de 0 Une puissance naturelle (non nulle) de 0 désigne un nombre plus grand ou égal à 0 n 0 = = avec n IN * ( IN \{0}) nfacteurs nzéros Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de grands nombres. Une puissance à exposant entier négatif (non nul) de 0 désigne un nombre compris entre 0 et n 0 = = = 0, n avec n IN * nchiffres nfacteurs Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de petits nombres. Exemples : 0 = 0,000 0 = = = 0, Noms des puissances de 0 Les scientifiques donnent des noms aux puissances de 0 usuelles Puissances de 0 Préfixes Symboles 0 téra T 9 0 giga G 0 méga M 0 kilo k 0 hecto h 0 déca da

3 Les puissances 0 déci d 0 centi c 0 milli m 0 micro µ 9 0 nano n 0 pico p Exemples : gigawatt = watts micromètre = millionième de mètre mégaoctet = octets nanoseconde = milliardième de seconde Pour les curieux : gogol = 0 00 Nombre à l origine de GOOGLE (organiser l immense volume d informations disponibles sur le web) Notation scientifique d un nombre Un nombre en notation scientifique est un nombre écrit sous la forme d un produit de deux facteurs : le premier est un nombre décimal dont la valeur absolue est un élément de [ ;0[. le deuxième facteur est une puissance de 0 Cette notation présente un double avantage : une écriture plus «courte» des nombres ayant un très grand nombre de chiffres par exemple 7 5 7,05 7, (en notation scientifique on se contente généralement d indiquer ou 5 chiffres après la virgule) cette écriture donne un ordre de grandeur du nombre. Ainsi, 7, est de l ordre de 7 milliards. Exemples : Nombre en notation scientifique Ecriture décimale 7, chiffres 5, , 0000 { 78 5ème -8, { chiffres -5, ,00 5{ 07 ème,5. 0 {,5 chiffres Nombre Ordre de grandeur

4 Les puissances 7, millions 5,78. 0 cent-millièmes -8, mille -5, millièmes,5. 0 centaines D) Racine carrée Pour tout réel x positif : Pour tout réel positif x : x = x + x x = x = x x = x = x = x Toutes les propriétés rappelées ci-dessus pour les exposants entiers relatifs restent valides pour des exposants rationnels. a p a q = a p+q (a p ) q = a pq a p a q = a p q (ab) p = a p b p p a b = a p b p Exemples : (7 ) = 7 = 7 = = E) Etude d un exemple concret de croissance exponentielle Placement à intérêts composés 5 =5 Une banque propose, pour un placement d un montant de 500 euros fait le er janvier 0, un taux d intérêt composé annuel de 5 %. Cela signifie qu à la fin de chaque année la somme en banque augmente de 5%. On nomme C 0 le capital initial versé le er janvier 0, C le capital disponible au bout d un an, C le capital disponible au bout de ans, a) Calculer C, C et C. b) Que représentent C n + et C n? c) Etablir la relation entre C n + et C n. d) Etablir la relation entre C 0 et C n. e) Si on laisse pendant 0 ans le compte sans retirer d argent alors combien aura-t-on au bout de 0 ans? f) A l aide de la calculatrice déterminer au bout de combien d années le capital aura doublé?

5 Les puissances 5 F) Croissance linéaire croissance exponentielle Une population de mille individus passe à 8 mille individus au bout de an. Pour étudier la suite de son évolution, il y a deux modèles possibles : le modèle additif le modèle multiplicatif. Lorsqu on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la croissance est linéaire : On connaît le terme initial u 0 et on calcule les suivants par u n+ =u n +r, où r est un nombre constant. Lorsqu on passe d un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre, la croissance est exponentielle. On connaît le terme initial u 0 et on calcule les suivants par u n+ =u n..q, où q est un nombre constant, u 0 u u u u u u 0 u u u u u 5,5,5,5,5,5 u = u 0 + u = u 0,5 Pour une croissance linéaire, le terme général est : Pour une croissance exponentielle, le terme u n = u 0 + n r général est : u n = u + (n ) r u n = u 0 q n (n ) u n = u p + (n p) r u n = u q terme cherché =terme donné +(différence des rangs) raison La croissance est linéaire lorsque la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante. On parle aussi de «progression par différence». Représentation graphique : croissance linéaire Ce sont des points alignés C est une fonction de type «affine», autrement dit une droite. u n = u p q (n p ) (différence des rangs) terme cherché =terme donné raison La croissance est exponentielle lorsque le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constante. On parle aussi de «progression par quotient». Représentation graphique : croissance exponentielle Ce sont des points. C est une fonction de type «exponentiel», nous aurons donc une courbe.

6 Les puissances Puissances (exercices) Exercice : Exercice : Calculer Calculer en utilisant les propriétés des puissances : ( ) (7 ).(7 ) ( ) ( ) 0.( ) 5.9 Exercice : Ecrire sous la forme d une puissance de = = 0,000 = 0,00000 = Exercice : Ecrire sous la forme d un nombre décimal 0 =.0 = 8 0 =.0 = =,.0 = 0 0. =,0. 0 = Exercice 5 : Utiliser la notation scientifique pour écrire chacun des nombres suivants : = 0,00000 = 0,000 = 57 = milliards = 59, millions = 0, = trois millièmes = 0 = un millionième =

7 Les puissances 7 Exercice : Calculer, sans calculatrice, les expressions suivantes. Donner le résultat en notation scientifique = 0, ,000 = ,00005 = = 0,0000 Exercice 7 : Ecrire sous la forme: a n. b m, avec m et n entiers relatifs a ( ab) ( b ) a b (a b ) a 5 (b ) x y x x.y ab a b 7ab a b 8 a b x x x Exercice 8 : a. Donner l'écriture scientifique des nombres suivants : = 0,000 5 = 0,00000 = = b. Donner l'écriture décimale des nombres suivants :, 0 =, 0 5 = 0 8 = 5,0 0 = = c. Simplifier les calculs suivants (on donnera les résultats en écriture scientifique) 0 ( 0²) = 0 7 ( - ) 0 = Exercice 9 : Donner l écriture décimale des nombres :, 0 N = 0, 0 O = P = Exercice 0 : En remarquant que 0 = 000, calcule ( tu donneras le résultat en écriture scientifique).

8 Les puissances 8 Avec la calculatrice Exercice : Calculer dans une feuille de calcul Exercice :. x 5 y 7 x y x Calculer en utilisant les propriétés des puissances Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en notation scientifique = 0, ,000 = 7 x y = 0 ( 0²) = ; y Exercice Une population de bactéries augmente de 0% toutes les heures. Il y a 00 bactéries au départ. Calculer le nombre de bactéries au bout de 8 h en arrondissant à l unité. Au bout de combien d heures dépassera t on million de bactéries?

9 Les puissances 9 A PARTIR DE L EXERCICE 5 : Utiliser toutes Les fonctionnalités ( feuilles de calcul et tableur) de la calculatrice. Exercice 5 : Un échiquier comporte cases. Sur la première case, on pose b = grain de blé Sur la deuxième case, on pose b = grains de blé Sur la troisième case, on pose b = grains de blé et ainsi de suite jusqu à la ième case en doublant à chaque fois le nombre de grains déposés sur chaque nouvelle case. Déterminer b 5 ; b ; b 7 ; b soit le nombre de grains de blé qu il y a respectivement sur la 5 ième ; la ième ; la 7 ième et la ième case.. Déterminer le nombre total de grains de blé qu il y a sur l ensemble de l échiquier ; (on appliquera la formule + a + a + a +..+ a n = -an+ -a ) Exercice : Une compagnie de téléphone demande 5 euros par mois et cents par minute d utilisation. Calculer la somme demandée pour un mois sachant que le nombre de minutes utilisées est respectivement de 0 ; 00 ; 50 Exprimer la formule de la somme à payer par mois avec une utilisation de n minutes. Cela m a coûté 5 euros pour le mois, combien de temps ai-je utilisé mon téléphone? Exercice 7 : Une feuille de papier a 0, mm d épaisseur. On la plie en deux, l épaisseur est maintenant de 0, mm. On recommence ainsi et on la plie 0 fois. Quelle est l épaisseur du papier obtenu? Exercice 8 : L unité d intensité du son utilisée est le décibel (symbole db). Une source sonore émet un son d intensité 00 db. On appelle U n (n entier naturel) l intensité du son mesurée après la traversée de n plaques d isolation phonique, sachant que chaque plaque d isolation absorbe 0 % de l intensité du son qui lui parvient.. Calculer U, U, U c est-à-dire l intensité du son après la traversée de plaque, de plaques, de plaques.. Déterminer la relation entre U n + et U n, puis exprimer U n en fonction de U 0 et de n.. Combien de plaques le son doit-il traverser pour que son intensité soit inférieure à 50 db. Exercice 9 : Une fabrique de vêtements réalise une étude de marché concernant les vestes. En 008, la production annuelle est de 5000 vestes. Chaque année, la production doit augmenter de %. a) Calculer la production prévue en 009. b) En déduire le coefficient multiplicateur q qui permet de calculer directement la production d une année à l autre. c) Calculer les productions en 00 puis en 0. d) Calculer, en fonction de q et de la production en 008, la production prévue pour 08. Exercice 0: La dépréciation annuelle d une machine est de 5 % de sa valeur au début de l année. Si sa valeur initiale est de 5000, quelle est sa valeur après ans?

10 Les puissances 0 Exercice : La vieille citerne d eau au fond de mon jardin perd chaque jour % de son eau. Entièrement remplie lorsque je suis partie en vacances (la jauge indique 00 litres), combien resterat-il d eau à mon retour jours plus tard? Exercice : Jean a placé un ficus dans son salon. Le plafond est à,50m et le ficus mesurait,50m le er août 00. La hauteur d un ficus croit de 0% par an. A l aide de la calculatrice déterminer le nombre d années pour que le ficus atteigne le plafond. Exercice : Lola a placé un capital C 0 pendant ans à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Elle a ainsi acquis un capital de 88,. Calculer C 0 en arrondissant à l unité. Exercice : Lucile a placé 500 le er janvier 009 à intérêts composés. Le er janvier 0 son capital est de 5,5. Quel est le taux du placement? Exercice 5 :.Déterminer b 5 ; b ; b 7 ; b soit le nombre de grains de blé qu il y a respectivement sur la 5 ième ; la ième ; la 7 ième et la ième case. Feuille de calcul ou tableur Déterminer le nombre total de grains de blé qu il y a sur l ensemble de l échiquier ; Feuille de calcul ou tableur

11 Les puissances Exercice :...Calculer la somme demandée pour un mois sachant que le nombre de minutes utilisées est respectivement de 0 ; 00 ; 50 Exprimer la formule de la somme à payer par mois avec une utilisation de n minutes. Cela m a coûté 5 euros pour le mois, combien de temps ai-je utilisé mon téléphone? Feuille de calcul et tableur Exercice 7 : Une feuille de papier a 0, mm d épaisseur. On la plie en deux, l épaisseur est maintenant de 0, mm. On recommence ainsi et on la plie 0 fois. Quelle est l épaisseur du papier obtenu? Tableur Exercice 8 :

12 Les puissances Calculer U, U, U c est-à-dire l intensité du son après la traversée de plaque, de plaques, de plaques. Déterminer la relation entre U n + et U n, puis exprimer U n en fonction de U 0 et de n. Combien de plaques le son doit-il traverser pour que son intensité soit inférieure à 50 db. Exercice 9 : Calculer la production prévue en 009. Calculer les productions en 00 puis en 0. Calculer, en fonction de q et de la production en 008, la production prévue pour 08. Exercice 0:

13 Les puissances La dépréciation annuelle d une machine est de 5 % de sa valeur au début de l année. Si sa valeur initiale est de 5000, quelle est sa valeur après ans? Exercice : Lola a placé un capital C 0 pendant ans à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Elle a ainsi acquis un capital de 88,. Calculer C 0 en arrondissant à l unité. Exercice : Lucile a placé 500 le er janvier 009 à intérêts composés. Le er janvier 0 son capital est de 5,5. Quel est le taux du placement?