ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

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1 ÉQUATINS ET INÉQUATINS TRIGNMÉTRIQUES Compétences à atteindre Résoudre des équations simples qui servent par eemple à l étude des fonctions et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. Résoudre des inéquations qui servent par eemple à l étude des fonctions et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique., a Dessine un cercle trigonométrique et l angle EM d amplitude égale à radians. b Quel angle a même sinus que l angle de radians? Dessine ces angles. Quel nom donnes-tu à ces deu angles? Montre sur le dessin la propriété des sinus. Résous les équations sin = et sin = Porte sur un cercle trigonométrique les angles solutions de la re équation et sur un autre ceu de la e équation. Quel angle a même cosinus que l angle de radians? Dessine ces angles et nomme les deu angles aant même cosinus. Résous l équation cos = et porte ses solutions sur un cercle trigonométrique. Agis de même avec l équation cos = Quel angle a même tangente que l angle de radians? Dessine ces angles et nommeles. Résous l équation tan =. Cite les conditions d eistence. Porte sur un cercle trigonométrique les valeurs interdites pour ainsi que les solutions trouvées. Confronte-les. Conclus! Agis de même avec l équation tan =. a Pour déterminer les angles d amplitude en radians tels que cos <, trace un cercle trigonométrique C ; sur l ae des abscisses, place le point d abscisse ainsi que les points dont l abscisse est strictement inférieure à ; sur le cercle trigonométrique, sélectionne les angles convenables; écris ensuite l ensemble des solutions. b Agis de même pour résoudre les inéquations sin > et tan > 0.

2 EXERCICES. ÉQUATINS ET INÉQUATINS TRIGNMÉTRIQUES PUR APPLIQUER. Les solutions comprises entre 0 et seront portées sur un cercle trigonométrique. ÉQUATINS ÉLÉMENTAIRES. Résous dans R : sin sin = 0 cos γ sin γ + =0 sin = sin tan z + tan z = 0 cos = cos 9 tan = cot. RÈGLE DU PRDUIT NUL ÉQUATINS DU DEUXIÈME DEGRÉ ÉQUATINS A TRANSFRMER À L AIDE DE FRMULES. Résous dans R : re série cos = tan +tan+=0 cos =sin 7 tan β = cot β 8 + cos α =sinα 9 tan + tan = sin 0 sin = cos sin. DMAINE ET RACINES D UNE FNCTIN CIRCULAIRE. Cherche le domaine de définition et l ensemble des racines des fonctions f : R R : f, telles que f égale. cos + + cos + cos tan cot + tan tan tan tan cos + cos sin cos cos sin sin. Décris, en termes d intervalles de réels, les parties de cercle trigonométrique données dans les figures suivantes : 0 0 e série sin cos = 0 tan cot = cos sin = e série sin γ + sin γ = cos γ cos w + cos w = cos w + cos 7w cos cos sin sin = EXERCICES MÉLANGÉS Certains de ces eercices peuvent être résolus par diverses méthodes. Résous dans R : tan =0 cos + cos + cos = 0 tan ϕ = tan ϕ cos sin = cos sin β + sin β = + cos β sin z cos z + = sin z + cos z

3 . ÉQUATINS ET INÉQUATINS TRIGNMÉTRIQUES EXERCICES. Résous dans R et porte sur un cercle trigonométrique les solutions comprises entre 0 et : cos > tan tan k 0 tan 0 sin sin z 0 7 cos v > 0 sint+< 0 8 cot Détermine le domaine de définition et l ensemble des racines de la fonction f : R R : tan + cos. PUR S AUTCNTRÔLER. 8. Résous dans R : tan + = 0 cos z cos z = 0 sin t = sin t cos = sin cos + cos = 0 tan v + tan v = 0 7 sin k + sin k + =0 8 tan + cot = 0 9 sin =0 0 cos α =+8sinα sin β cos β +=0 sin t + sin t sin t = Détermine le domaine de définition et l ensemble des racines des fonctions f : R R : tan + tan sin. t sin t tan t u w cos w tan w. cos w cot u cos u + cos u 0. Résous dans R : sin < 0 tanz 0 cos < 0 tan t 0 sin sin+< 0.. Détermine le domaine de définition et l ensemble des racines des fonctions f : R R : tan + cos. SLUTINS DES EXERCICES PUR S AUTCNTRÔLER. 8. = +k CE:/= 8 +k z = k ou z = k t = +k ou t = 8 +k α = +k ou α = +k = k v = k 7 CE : v /= 8 +k et v /= +k 7 k = +k 8 = 8 +k ou ou k = +k =0,... +k CE:/= +k et /= k 9 = +k 0 α = +k ou α = +k β =k t = k

4 EXERCICES 9. Domaine { R \ +k { R\ +k { } R\ +k R\{k } Ensemble des racines } { } +k } { k } φ car ± +k sont àécarter, elles. ÉQUATINS ET INÉQUATINS TRIGNMÉTRIQUES n appartiennent pas au domaine. {k } {± } +k { +k } { } { R\ +k } +k { +k }. 0. { R +k< <+k, } { R +k < < +k, } { z R +k < z 7 } 8 +k, { < sin <. R +k< < } { } +k, \ +k tan t ou tan t. {t R +k t } { +k, \ +k }. Domaine Ensemble des racines { R +k < } { +k, } +k { R 8 +k 8 } {± +k, 8 } +k PUR CHERCHER. et. ÉQUATINS méthodes diverses. Résous dans R et porte sur un cercle trigonométrique les solutions comprises entre 0 et tan + tan tan = 0 cos + cos + = sin + sin + sin 9 sin γ sin γ +=0 cos sin + tan = tan + tan 7 tan tan + = 0 tan z + tan z 8 tan z =0 7 sin tan tan sin + = 0 8 sinsin= 9 tan w+sin w= 0 + cos β sin β sin = 8 sin. = +sinβ cos β ÉQUATINS HMGÈNES en sin et cos. Une équation est homogène en sin et cos,de degré n si, pour chacun de ses termes, la somme des puissances de sin et de cos égale n. Pour résoudre une équation homogène en sin et cos dont les termes ne comportent plus aucun facteur commun en cos ou en sin, on divise les deu membres de l équation par la plus haute puissance de cos ou de sin ;onvérifiera que les solutions de cos = 0 ou de sin = 0 ne sont pas des solutions de l équation homogène; on prend ensuite tan ou cot comme inconnue auiliaire ; on résout l équation en tan ou cot obtenue. a Résous dans R les équations suivantes : sin + cos = 0 sin + cos = 0 cos sin cos = 0 cos +sin =cos sin. b Comment pourrais-tu rendre l équation suivante homogène, du second degré, en sin t et cos t : sin t sin t cos t cos t=? Résous-la ensuite.

5 . ÉQUATINS ET INÉQUATINS TRIGNMÉTRIQUES EXERCICES ÉQUATIN DU TYPE a cos + b sin =ca R 0, b R 0. Pour résoudre une équation du tpe a cos + b sin = c, si c=0, l équation est alors homogène en sin et cos, du premier degré voir l eercice ; si c /= 0et a=, Dans cos + b sin = c, on calcule ϕ tel que tan ϕ = b, on remplace ensuite b par même dénominateur; sin ϕ cos ϕ si c /= 0et b=, on fait de même en posant tan ϕ =a; et on réduit au si c /= 0, a /= et b /=, on divise les deu membres par a, on calcule ϕ tel que b = tan ϕ et on poursuit comme dans les cas a précédents. Résous dans R : cos + sin + = 0 sin z + cos z = cos t + sin t = sin α + cos α =. Soit à résoudre dans R l équation cos + sin + = 0 par la méthode de factorisation du premier membre comme dans l eercice ; en substituant cos et sin en fonction de tan La deuième méthode est-elle aussi performante que la première? Pourquoi?. En substituant cos t et sin t en fonction de tan t, résous l équation dans R : cos t sin t + sin t + cos t + = Si It est l intensité en ampères du courant électrique à l instant t en secondes, calcule la plus petite valeur de t pour laquelle It = lorsque It = sin00t. 8. La force de pesanteur varie selon les latitudes. Si α est la latitude, l accélération g due à la pesanteur est donnée, par eemple, par la formule g=9, 8 0, 00 cos α. Calcule la latitude α en laquelle g = 9, 8 m/s. 9. Une masse est suspendue à un ressort. Si elle est tirée de 0 mètres vers le bas et si elle est lâchée avec une vitesse initiale de v 0 m/s, alors la position de cette masse est eprimée par l égalité = 0 cos ωt+ v0 sin ωt ω t étant le temps en secondes, ω une constante positive. a Si ω =, 0 =metv 0 = m/s, factorise l epession de voir eercice 7, page. b Calcule les temps pour lesquels s annule c.-à-d. les temps pour lesquels la masse passe par sa position d équilibre. VENUS D AILLEURS 0. Résoudre et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique : tan cot + = ERM, 00 sin + sin + sin = FPM cos = sin cos UCL, 00 cos + cos + = ULB, 00 cos + cos = + cos 8 ULg, 00. Résoudre les sstèmes et disposer les solutions sur un cercle trigonométrique pour vérifier leur validité : += cos cos = sin = cos sin + sin + cos + 0, 7 = 0 UCL, 00 ULg, 00