GÉOMÉTRIE I. LES DEUX PREMIERS CAS D'ÉGALITÉ DES TRIANGLES QUELCONQUES

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1 GÉOMÉTRIE Première leçon I. LES DEUX PREMIERS S D'ÉGLITÉ DES TRINGLES QUELONQUES I. Premier cas. Lorsque deu triangles ont un côté égal adjacent à deu angles respectivement égau, ils sont égau. Transportons le calque du triangle ''' et faisons coïncider '' avec son égal en amenant ' en, ' en et ' du même côté de que le point L'angle ''' coïncide alors avec son égal et de même ''' avec son égal. Le point ' se place donc à la fois sur et, soit au point. Les deu triangles coïncident. 2. Deuième cas. Lorsque deu triangles ont un angle égal compris entre deu côtés respectivement égau, ils sont égau. Faisons coïncider l'angle ''' avec son égal en mettant '' sur et '' sur. omme '' = et '' =, le point ' se place en et ' en. Les deu triangles coïncident. 3. Remarque. Lorsqu'on indique l'égalité de deu triangles, il faut énoncer les sommets correspondants dans le même ordre. es sommets sont des homologues. Si les triangles et DEF sont égau, on peut ainsi écrire, sans figure, les si relations : Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 1/77 '

2 = D ; = E ; = F = EF ; = FD ; = DE Il est commode d'écrire l'un sous l'autre DEF les angles égau et les côtés égau se correspondent ainsi verticalement. D'autre part : deu angles égau sont opposés deu côtés égau, et à deu côtés égau sont opposés deu angles égau. II. TRINGLE ISOÈLE 4. Propriété des angles à la base. Dans tout triangle isocèle, les angles opposés au côtés égau sont égau. Menons dans le triangle isocèle la bissectrice de l'angle au sommet. Elle coupe la base au point D. Les deu triangles D et D ont : = ; D commun, et D = D ; ils sont donc égau (2e cas), et les angles et sont égau. D 5. orollaire. L'égalité des deu triangles D et D permet en outre d'écrire que : D = D : D est milieu de, et D est médiane ; D = D = 1 D car ces deu angles sont égau et supplémentaires ; D est donc hauteur et médiatrice ; si on plie le triangle suivant D, les deu parties coïncident, D est donc un ae de smétrie du triangle. Dans tout triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet est en même temps médiane, hauteur, médiatrice et ae de smétrie. De plus, cette droite partage le triangle isocèle en deu triangles rectangles égau. 6. Réciproque. Lorsqu'un triangle a deu angles égau, il est isocèle. alquons le triangle et retournons le calque '''. On peut faire coïncider par glissement les deu triangles en mettant ' en, et ' en. '', calque de, coïncide alors avec. Donc, =. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 2/77

3 III. PPLITIONS 7. ondition nécessaire et suffisante. Nous avons démontré que : 1 Si un triangle est isocèle, il a deu angles égau. 2 Si un triangle a deu angles égau, il est isocèle. On énonce simultanément ces deu propriétés en disant : Pour qu'un triangle soit isocèle, il faut et il suffit qu'il ait deu angles égau. ette forme d'énoncé permet de remplacer, sous forme plus condensée, l'énoncé d'un théorème et celui de sa réciproque. L'epression "il faut" correspond au théorème direct (condition nécessaire), et l'epression "il suffit" correspond au théorème réciproque (condition suffisante). 8. Propriété caractéristique d'une figure. Pour démontrer qu'un triangle est isocèle, nous pouvons indifféremment démontrer : 1 que ce triangle a deu côtés égau, 2 que ce triangle a deu angles égau. L'égalité de deu angles permet donc, aussi bien que l'égalité de deu côtés, de caractériser un triangle isocèle. 'est pourquoi nous disons que : l'égalité de deu angles est une propriété caractéristique du triangle isocèle. En général, on appelle propriété caractéristique d'une figure toute propriété qui équivaut à la définition. 9. Triangle équilatéral. Pour qu'un triangle soit équilatéral, il faut et il suffit qu'il ait ses trois angles égau. L'application au triangle équilatéral de la propriété caractéristique des angles à la base d'un triangle isocèle montre : 1 qu'un triangle équilatéral a ses trois angles égau, 2 qu'un triangle aant ses trois angles égau est équilatéral. L'égalité des trois angles est donc une propriété caractéristique du triangle équilatéral. 10. Médiatrice d'un segment. Pour qu'un point soit situé sur la médiatrice d'un segment, il faut et il suffit qu'il soit équidistant des etrémités de ce segment. M H 1 Soit M un point de la médiatrice de ; celle-ci est perpendiculaire à en son milieu H. Les Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 3/77

4 deu triangles MH et MH ont MH = MH = 1 D, MH en commun, et H = H, ils sont donc égau (2e cas), et M = M. 2 Si M est équidistant de et, le triangle M est isocèle, et la médiatrice de passe par le sommet M du triangle isocèle. utrement dit : Les points de la médiatrice d'un segment ont pour propriété caractéristique d'être équidistants des etrémités du segment. EXERIES 1. Soit un triangle isocèle de sommet. On prolonge d'une longueur D =. 1 Démontrer que le triangle D est isocèle. 2 Montrer que l'un des angles du triangle D est égal à la somme des deu autres. 2. Dans un triangle, la bissectrice etérieure de l'angle rencontre en D le prolongement de. On prolonge d'une longueur E =. 1 Que représente D pour le triangle E? 2 Que représente D pour le triangle DE? 3. On prolonge, dans le même sens de parcours, les trois côtés d'un triangle équilatéral d'une même longueur ; on obtient les points D sur, E sur et F sur. 1 omparer entre eu les triangles tels que EF. 2 Montrer que DEF est un triangle équilatéral. 4. Soit un quadrilatère convee D dans lequel = et =. 1 Montrer que D = D. 2 Que représente D pour le segment et les angles et D? 5. Soit un angle O. On porte sur les côtés deu longueurs égales O et O. Soit M un point de la bissectrice de cet angle. 1 omparer les triangles OM et OM. onséquences? 2 Que représente OM pour l'angle M et pour le segment? 6. Soit un angle O. Un cercle de centre O coupe O en et O en et un second cercle de même centre coupe O en et O en D. D et se coupent en I. 1 omparer les triangles OD et O. onséquences? 2 omparer les triangles I et ID, ainsi que les segments I et I. 3 omparer les triangles OI et OI. Que représente la droite OI pour l'angle O? 7. Démontrer que si dans un triangle l'une des conditions suivantes est remplie, le triangle est isocèle : - la bissectrice D est en même temps hauteur, - la hauteur H est en même temps médiane, - le triangle admet un ae de smétrie. 8. Soit un triangle dans lequel la médiane M est en même temps bissectrice de l'angle. On prolonge M d'une longueur MD = M. 1 omparer les triangles M et DM. onséquences? Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 4/77

5 2 Montrer que le triangle D est isocèle. omparer et. 3 En déduire le théorème relatif à un triangle dans lequel une bissectrice est en même temps médiane. 9. Dans un triangle isocèle de base on mène les médianes M et N. Soit G leur point de rencontre. 1 omparer les triangles M et N et les longueurs des deu médianes. 2 Montrer que les triangles G et GMN sont isocèles et que G est sur la médiane relative à. 10. On considère un triangle isocèle de sommet. Soient D et E les bissectrices intérieures relatives au sommets et. Elles se coupent en I. 1 omparer les deu triangles D et E et les longueurs des deu bissectrices. 2 Montrer que les triangles IDE et DE sont isocèles. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 5/77

6 Deuième leçon I. LE TROISIÈME S D'ÉGLITÉ DES TRINGLES 11. Théorème. Lorsque deu triangles ont leurs trois côtés respectivement égau, ils sont égau. ' ' ' ' ' ' Transportons le calque du triangle ''' en amenant ' en, ' en, et ' du côté opposé à par rapport à la droite. Le point est alors équidistant de et ', et le point également. Les points et sont donc sur la médiatrice de ', cette médiatrice est la droite, ae de smétrie de chacun des triangles isocèles ' et '. En pliant la figure suivant, ' vient en et les deu triangles et ' (ou ''') coïncident. II. ÉGLITÉ DES TRINGLES RETNGLES 12. Triangle rectangle et triangle isocèle. Tout triangle rectangle peut être, de deu façons différentes, considéré comme la moitié d'un triangle isocèle. D Prolongeons le côté de l'angle droit du triangle rectangle d'une longueur D =. Le côté est la médiatrice de D et par suite = D. Le triangle D est isocèle et la hauteur Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 6/77

7 le partage en deu triangles rectangles égau. On obtiendrait de même un second triangle isocèle en prolongeant le côté d'une longueur égale à lui-même. Or, l'angle est la moitié de l'angle saillant D. et angle étant inférieur à deu droits, sa moitié est inférieure à un angle droit. Dans un triangle rectangle, les angles autres que l'angle droit sont des angles aigus. Il en résulte que les deu angles égau d'un triangle isocèle sont aigus. 13. Premier cas d'égalité des triangles rectangles. Lorsque deu triangles rectangles ont l'hpoténuse égale et un angle aigu égal, ils sont égau. Soient et DEF deu triangles rectangles tels que = EF et = F F D E G D omplétons les triangles isocèles D et EFG ainsi que précédemment. es deu triangles ont : = EF = D = FG ; D = EFG. Ils sont donc égau d'après le 2e cas d'égalité des triangles quelconques. Leur superposition entraîne celle de leurs moitiés et DEF. 14. Deuième cas d'égalité des triangles rectangles. Lorsque deu triangles rectangles ont l'hpoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, ils sont égau. Soient et DEF deu triangles rectangles tels que = EF et = DE. La même construction que précédemment nous donne deu triangles isocèles D et EFG qui ont = EF = D = FG et D = EG. Ils sont égau d'après le troisième cas d'égalité des triangles quelconques. leur superposition entraîne celle de leurs moitiés et DEF. III. PPLITIONS 15. Utilisation des cas d'égalité des triangles. 1 Les deu théorèmes précédents permettent de démontrer l'égalité de deu triangles rectangles. Il ne faut pas oublier que l'on peut utiliser à cet effet les cas d'égalité des triangles quelconques. 2 Pour démontrer l'égalité de deu segments, ou de deu angles, il est souvent commode de rechercher deu triangles dont les segment ou les angles soient des éléments, et essaer de prouver l'égalité de ces triangles. 3 Lorsqu'on effectue les mêmes constructions sur deu figures égales, les éléments homologues Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 7/77

8 ainsi construits sont égau. En effet, tout se passe comme si ces constructions avaient été faites simultanément sur la figure unique obtenue par superposition des figures. insi : Lorsque deu triangles sont égau, les médianes, les hauteurs, les bissectrices homologues sont égales. Il est d'ailleurs possible dans chaque cas d'en faire la démonstration en utilisant les cas d'égalité. 16. issectrice d'un angle. Pour qu'un point soit situé sur la bissectrice d'un angle, il faut et il suffit qu'il soit équidistant des côtés de cet angle. N D O 1 2 M Soient un angle O et M un point situé à l'intérieur de cet angle. 1 Si le point M est situé sur la bissectrice de l'angle, les deu triangles rectangles MO et MO ont l'hpoténuse MO commune et les angles aigus O1 et O2 égau. Ils sont égau (n 13) et il en résulte que M = M. 2 Si un point M est tel que M = M, les deu triangles rectangles MO et MO ont l'hpoténuse MO commune et les côtés de l'angle droit M et M égau, Ils sont donc égau (n 14) et O1 = O2, M est sur la bissectrice de O. 17. orollaire. Pour qu'un point soit équidistant de deu droites concourantes, il faut et il suffit qu'il soit situé sur l'une ou l'autre des deu droites perpendiculaires, bissectrices des angles définis par ces deu droites. Rappelons en effet que les bissectrices de deu angles adjacents supplémentaires forment un angle droit, et que par suite les bissectrices des quatre angles formés par deu droites concourantes déterminent deu droites perpendiculaires. EXERIES 11. Dans un triangle, on prolonge la médiane M d'une longueur MD = M. 1 omparer les triangles MD et M. Evaluer les côtés du triangle D par rapport à, et M. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 8/77

9 2 Que peut-on dire de deu triangles qui ont deu côtés égau chacun à chacun ainsi que la médiane relative au troisième? 12. Par le milieu O d'un segment, on mène une droite quelconque. Puis on mène à cette droite les perpendiculaires et D. 1 omparer les triangles O et OD. 2 Que peut-on dire des distances de et à? 13. Soit un triangle isocèle O de base. On mène les hauteurs ' et ' qui se coupent en H. 1 omparer les triangles ' et ', puis les segments ' et '. 2 Montrer que le triangle H est isocèle. Que représente OH pour le segment? 3 Que peut-on dire, réciproquement, d'un triangle qui a deu hauteurs égales? 14. On considère un triangle isocèle dans lequel la médiatrice coupe le prolongement de la base au point D. On joint D que l'on prolonge d'une longueur E = D. 1 Montrer que le triangle D est isocèle. onséquences? 2 Que peut-on dire du triangle DE? 15. On prend sur les côtés d'un angle deu points et ( ). La bissectrice de et la médiatrice de se coupent en D. 1 omparer D et D puis les distances DE et DF au côtés de. 2 omparer les triangles DE et DF puis les angles D et EDF. 3 Montrer que E et F sont égau à la demi-différence de et. 16. Deu triangles et ''' ont un côté égal = '' ainsi que les hauteurs H et 'H', et les médianes M et 'M'. 1 omparer les triangles MH et 'M'H'. 2 On superpose ces deu triangles. En déduire l'égalité des triangles et '''. 17. Soit un triangle isocèle, dans lequel la base est inférieure au côtés égau et.. On prolonge et de longueurs D et E égales à la différence -. 1 Montrer que E =. 2 omparer les triangles E et ED. 1 3 Montrer que DE = ( ED + ) Soient deu points et équidistants d'une même droite. On désigne par M et N les pieds des perpendiculaires menées de et sur et par O le milieu de MN. 1 omparer les triangles OM et ON. onséquences? 2 On suppose que et sont de part et d'autre de ; montrer que O milieu de MN est le milieu de. 3 On suppose maintenant que et sont du même côté de ; Montrer que la médiatrice de est la médiatrice de MN. 19. Dans un triangle rectangle, l'angle aigu est le double de l'angle. 1 Montrer que ce triangle est la moitié d'un triangle équilatéral. 2 omparer le côté et l'hpoténuse. Enoncer la réciproque. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 9/77

10 Troisième leçon PRLLÈLES 18. Définition. Rappelons que deu droites distinctes d'un plan ont au plus un point commun. Dans ce cas elles sont dites sécantes ou concourantes. On appelle droites parallèles deu droites d'un même plan qui n'ont pas de point commun. 19. Théorème. Lorsque deu droites distinctes sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles. D1 D2 En effet, si les droites D1 et D2 perpendiculaires à étaient concourantes, on pourrait par leur point commun mener deu perpendiculaires à la même droite. ela est impossible et par suite D1 et D2 n'ont pas de point commun. On écrit en abrégé D1 D Par un point etérieur à une droite on peut mener une parallèle à cette droite. Soit à mener par la parallèle à. Traçons perpendiculaire à, puis perpendiculaire à. et étant perpendiculaires à, sont parallèles. 21. Postulat d'euclide. Il est impossible de démontrer que la parallèle ainsi construite est la seule passant par le point. ette propriété, uniquement vérifiée par l'epérience, constitue un postulat, mis en évidence pour la première fois par Euclide (géomètre grec, IIIe siècle av. J). Par un point etérieur à une droite on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite. 22. orollaire 1. Deu droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. Soient X et Y deu droites parallèles à Z. Si X et Y étaient concourantes, on pourrait par leur point Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 10/77

11 d'intersection mener deu parallèles à Z, ce qui est impossible. Y X Z 23. orollaire 2. Lorsque deu droites sont parallèles, toute droite qui coupe l'une, coupe l'autre. Soient D et E deu droites parallèles, et F une droite qui coupe D en I. D étant la seule parallèle à E I D F E passant par I, la droite F n'est pas parallèle à E, et par suite elle la coupe. 24. orollaire 3. Lorsque deu droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. (fig. du n 19). Soit D1 et D2 deu parallèles et une perpendiculaire à D1 en. La droite coupe donc D2 en un point. La perpendiculaire en à est parallèle à D1, et par suite elle est confondue avec D Définitions. 1 Direction d'une droite. On eprime que plusieurs droites sont parallèles en disant qu'elles ont même direction. 2 Segments, demi-droites parallèles. Deu segments ou deu demi-droites sont parallèles lorsque les droites illimitées qui les contiennent sont parallèles. 3 Notion de bande. On appelle bande la portion de plan comprise entre deu parallèles. Les deu parallèles sont les bords de la bande. 26. ngles formés par deu droites et une sécante. Lorsqu'on coupe deu droites X et Y par une sécante on forme huit angles. On appelle : X Y ngles alternes internes : deu angles non adjacents, situés de part et d'autre de la sécante et entre les deu droites : 3 et 1 sont alternes internes. 2 ngles correspondants : deu angles non adjacents, situés d'un même côté de la sécante, l'un entre les deu droites, l'autre à l'etérieur : 1 et 1 sont correspondants. 3 ngles intérieurs d'un même côté : deu angles situés entre les deu droites, d'un même côté de la sécante. 4 et 1 sont intérieurs d'un même côté. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 11/77

12 27. Propriétés angulaires caractéristiques des parallèles. Pour que deu droites soient parallèles, il faut et il suffit qu'elles forment avec une sécante : - soit deu angles alternes internes égau, - soit deu angles correspondants égau, - soit deu angles intérieurs d'un même côté supplémentaires. M D O E N F 1 Soient D et EF deu droites coupées par la sécante. Par le milieu O de, menons la perpendiculaire MN à D : a) Si nous supposons D et EF parallèles, MN est aussi perpendiculaire à EF. Les deu triangles rectangles OM et ON ont l'hpoténuse égale, O = O, et un angle aigu égal, en O, opposés par le sommet. Ils sont donc égau, et nous avons O = OF. Par suite OD = OE comme suppléments des précédents : deu angles alternes internes sont égau. b) Si nous supposons égau deu angles alternes internes, les deu triangles OM et ON ont O = O ; OM = ON et OM = ON. Ils sont donc égau (1er cas) et ON = OM = 1 D. Les deu droites D et EF sont donc parallèles comme étant toutes deu perpendiculaires à MN. 2 X Y Les angles 1 et 3 sont égau comme opposés par le sommet. Pour que les angles alternes internes 3 et 1 soient égau, il faut et il suffit que les angles correspondants le soient. 3 Les angles 3 et 4 sont supplémentaires ; pour que les angles alternes internes 3 et 1 soient égau il faut et il suffit que les angles intérieurs du même côté 4 et 1 soient supplémentaires. EXERIES 20. Démontrer que pour que deu droites soient concourantes, il suffit : 1 que l'une soit perpendiculaire et l'autre oblique par rapport à une troisième, Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 12/77

13 2 qu'elles soient perpendiculaires au côtés d'un angle saillant, 3 qu'elles forment avec une sécante des angles intérieurs d'un même côté non supplémentaires. 21. Etant données deu parallèles coupées par une sécante, montrer que : 1 les bissectrices de deu angles alternes internes ou correspondants sont parallèles, 2 les bissectrices de deu angles intérieurs du même côté sont perpendiculaires. Enoncer les réciproques de ces propriétés. 22. Sur les côtés d'un angle de sommet O on porte deu longueurs égales O = O. Puis etérieurement à cet angle on construit deu angles égau O et O et on porte sur et deu longueurs égales = D. 1 omparer les triangles O et OD. 2 Montrer que les angles O et OD ont même bissectrice. 3 omparer les directions de et D. 23. On considère deu angles adjacents supplémentaires O et O et leurs bissectrices O et O. Par le point on mène la parallèle à qui coupe O en M et O en N. 1 omparer M et O, puis N et O. 2 Que représente le point pour le segment MN? 24. Par le point de rencontre I des bissectrices intérieures des angles et du triangle, on mène la parallèle à qui coupe en D et en E. 1 omparer D et DI puis E et EI. 2 Montrer que DE = D + E. 25. Soit un triangle rectangle en. Sur la perpendiculaire en à, on porte des segments D et E égau à. 1 omparer les directions de et DE. 2 Que représentent D et E pour l'angle? 26. Soit un triangle. On mène les bissectrices intérieures des angles et qui coupent en D et E la parallèle menée par à. 1 omparer D et, puis de même E et. 2 Montrer que DE = +. 3 Reprendre le problème avec les bissectrices etérieures des angles et. 27. Soit un triangle. On mène par le milieu D de la perpendiculaire à la bissectrice intérieure de l'angle. ette perpendiculaire coupe en E et en F. EF coupe la parallèle menée par à en G. 1 Montrer que les triangles EF et EG sont isocèles. 2 omparer les triangles DG et DF. 3 Démontrer l'égalité des segments E et F. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 13/77

14 Quatrième leçon I. NGLES À ÔTÉS PRLLÈLES OU PERPENDIULIRES 28. Définition. Deu demi-droites ou deu segments parallèles M et N sont de même sens s'ils sont situés d'un même côté de la droite. Ils sont de sens contraires s'ils sont situés de part et d'autre de. 29. Théorème. 1 Lorsque deu angles ont leurs côtés parallèles et de même sens, ils sont égau. 2 Lorsque deu angles ont leurs côtés parallèles et de sens contraire, ils sont égau. 3 Lorsque deu angles ont deu côtés parallèles et de même sens et les deu autres de sens contraires, ils sont supplémentaires. Par le point, menons les parallèles u'u et v'v au côtés de l'angle. Les demi-droites et v ou leurs prolongements se coupent en. 1 Les angles et uv à côtés parallèles et de même sens sont séparément égau à v v u' u v' comme correspondants, ils sont donc égau. 2 Les angles et u ' v ' à côtés parallèles et de sens contraires sont aussi égau car u ' v ' et uv sont opposés par le sommet. 3 Les angles et u ' v ont deu côtés parallèles et de même sens et deu parallèles et de sens contraires. Ils sont supplémentaires car u ' v étant le supplément de uv l'est aussi de. ' 30. Théorème. Lorsque deu angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, ils sont égau ou ' supplémentaires. Ils sont égau s'ils sont tous deu aigus ou tous deu obtus ; ils sont supplémentaires si l'un est aigu et l'autre obtus. v Soient et uv deu angles à côtés respectivement perpendiculaires. Par le point menons les perpendiculaires à et. Les angles et ' ' ont le même complément ' : ils sont donc égau. D'autre part, ' et u perpendiculaires à sont parallèles, et de u Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 14/77

15 même ' et v. Les angles ' ' et uv sont donc égau ou supplémentaires et par suite il en est de même de et uv. La deuième partie du théorème résulte du fait que deu angles aigus (ou obtus) ne peuvent être que égau, tandis qu'un angle aigu et un angle obtus ne peuvent être que supplémentaires. II. Somme des angles d'un triangle 31. Théorème. La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à deu droits. E D Soit un triangle. Prolongeons de D et menons E parallèle et de même sens que. L'angle intérieur et l'angle E sont égau comme alternes internes. L'angle intérieur et l'angle DE sont égau comme correspondants. La somme des trois angles du triangle est donc égale à la somme des trois angles formés en, soit à deu droits : + + = 2 D 32. orollaire. Un angle etérieur d'un triangle est égal à la somme des deu angles intérieurs non adjacents à cet angle. Il résulte de ce qui précède que D = pplications. 1 Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires. En particulier, les angles aigus d'un triangle rectangle isocèle valent chacun Les angles d'un triangle équilatéral valent chacun 60 : 3 Lorsque deu triangles ont deu angles respectivement égau, ils ont leurs trois angles égau. 4 Un triangle ne peut avoir plus d'un angle droit ou d'un angle obtus, sinon la somme dépasserait deu droits. III. Somme des angles d'un polgone convee Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 15/77

16 34. Théorème. La somme des angles d'un polgone convee est égale à autant d'angles plats que ce polgone a de côtés moins deu. E Soit un polgone DE, et désignons par n le nombre de ses côtés. En menant les diagonales issues de, nous décomposons le polgone en autant de triangles qu'il a de côtés autres que et E, soit donc en (n - 2) triangles. La somme S des angles du polgone est égale à celle des angles de tous ces triangles et par suite à (n - 2) angles plats : S = 2 D (n - 2) = 2n D - 4 D D 35. La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère convee est égale à 4 droits. On le voit en faisant n = 4 ou directement en décomposant en deu triangles orollaire. La somme des angles etérieurs d'un polgone convee est égale à quatre droits. E La somme de l'angle intérieur et de l'angle etérieur relatifs à chacun des n sommets est 2 D. La somme des angles intérieurs et etérieurs est donc égale à 2n D. ette somme surpasse de 4 D la somme des angles intérieurs (égale à 2n D - 4 D). La somme des angles etérieurs est donc dans tous les cas égale à 4 D. D EXERIES 28. Soient deu triangles et ''' aant leurs côtés respectivement parallèles. '' coupe les droites et en D et E. 1 omparer les angles des triangles et DE, puis ceu des triangles DE et '''. 2 Enoncer la propriété qui en résulte pour deu triangles qui ont leurs côtés parallèles. 1 La présente éditrice fait remarquer que ce résultat est vrai aussi pour un quadrilatère concave, aisément décomposable en deu triangles. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 16/77

17 29. Soient deu demi-droites et situées d'un même côté de la droite, et ' et ' les demi-droites opposées. On suppose + < 2 D. 1 Montrer que les droites ' et ' sont concourantes et que les demi-droites ' et ' n'ont pas de point commun. 2 En déduire que et se coupent en un point et énoncer la condition pour que deu demidroites aient un point commun. 30. Soit un triangle. On désigne par a, b, c les valeurs des angles du triangle. 1 Evaluer en fonction de b et c l'angle de la hauteur ' et de la bissectrice intérieure D. 2 Evaluer en fonction de a l'angle I des bissectrices intérieures des angles et. 3 Evaluer en fonction de a l'angle H des hauteurs issues de et. pplication numérique : b = 57 et c = Soit un triangle dans lequel >. On mène la bissectrice de l'angle qui coupe en D, puis la perpendiculaire E à D. Evaluer en fonction des angles et du triangle : 1 Les angles D et D. 2 Les angles E et ED. pplication numérique : = 68, = Dans un triangle la bissectrice de l'angle coupe en I la hauteur issue de et en D la perpendiculaire en à. 1 Evaluer en fonction de l'angle du triangle les angles I, ID et DI. 2 omparer les segments I et D. 33. Montrer que si l'un des angles aigus d'un triangle rectangle est égal à 30, le côté opposé à cet angle est égal à la moitié de l'hpoténuse. Enoncer et démontrer la réciproque. 34. On considère un cercle O et un diamètre de ce cercle. D'un point M du cercle tel que OM < 45, on mène MH perpendiculaire à et on construit le point de tel que H = OH. La droite M recoupe le cercle en. 1 Montrer que les triangles MO et OM sont isocèles. 2 alculer OM et O en fonction de O. 35. Soit un triangle rectangle en. On prolonge d'une longueur D = et sur la perpendiculaire en à, on porte du côté de une longueur E =. 1 alculer en fonction de les angles D, E et E. 2 Evaluer l'angle DE et montrer que D,, E sont alignés. 36. Soit un triangle rectangle isocèle. Par le sommet de l'angle droit, on mène, etérieurement au triangle, une droite puis les perpendiculaires M et N à, ainsi que la hauteur H du triangle. 1 Montrer que H = H = H. 2 omparer les triangles M et N. Que représente MN pour HM et N? 3 omparer les triangles HM et HN et montrer que le triangle MHN est rectangle isocèle. 37. On mène la hauteur H issue du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, puis les bissectrices intérieures des angles H et H qui coupent l'hpoténuse en D et E. 1 Evaluer la valeur de l'angle DE. 2 Montre que les triangles E et D sont isocèles. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 17/77

18 3 omparer DE à la longueur Soit un triangle. On prolonge de deu longueurs D = et E =. 1 Que représente DE pour le triangle? 2 alculer les angles D et E du triangle DE en fonction des angles et. 3 omparer deu triangles aant leurs angles respectivement égau et même périmètre. 39. Dans un triangle l'angle aigu est le double de l'angle. La médiatrice de coupe en D. 1 Montrer que D partage en deu triangles isocèles. 2 omparer l'angle etérieur à l'angle dans le triangle. 40. Dans un triangle, l'angle est le triple de l'angle. La médiatrice de coupe coupe en D. 1 Montrer que D partage en deu triangles isocèles. 2 omparer l'angle etérieur à l'angle dans le triangle. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 18/77

19 inquième leçon PRLLÉLOGRMME 37. Définition. Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deu à deu. D On obtient un parallélogramme en coupant deu parallèles par deu sécantes parallèles entre elles. Le quadrilatère D est convee, car il est tout entier situé du même côté de chacune des quatre droites précédentes. 38. Théorème. Dans tout parallélogramme : Propriétés des angles. deu angles consécutifs sont supplémentaires ; deu angles opposés sont égau. Dans le parallélogramme D, les deu angles consécutifs et occupent la position d'intérieurs du même côté de la sécante pour les parallèles D et. Ils sont donc supplémentaires. Les deu angles opposés et ont le même supplément, donc ils sont égau. 39. Réciproque. Lorsqu'un quadrilatère convee a ses angles opposés égau deu à deu, c'est un parallélogramme. Si dans le quadrilatère D nous avons = et = D, la somme + vaut la moitié de la somme des quatre angles. ette somme étant égale à 4 D, nous avons + = 2 D. es angles occupant la position d'intérieurs du même côté de la sécante pour les droites D et, ces droites sont donc parallèles. Il en va de même pour les deu autres, le quadrilatère D est donc un parallélogramme. Propriétés des côtés. 40. Théorème. Dans tout parallélogramme, les côtés opposés sont égau deu à deu. 2 1 D 2 1 Soit un parallélogramme D. Menons la diagonale et comparons les triangles et D. Ils ont le côté en commun, les angles 1 et 1 égau comme alternes internes et de même 2 = 2. Ils sont donc égau (1er cas) et par suite : = D et D =. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 19/77

20 41. Réciproque 1. Lorsqu'un quadrilatère convee a deu côtés à la fois égau et parallèles, c'est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère D ait les côtés et D égau et parallèles. Les deu triangles et D ont le côté commun, = D (hpothèse), et 1 = 1 comme alternes internes, ils sont donc égau (2e cas). Les angles alternes internes 2 et 2 sont par suite égau, et les côtés D et sont donc parallèles. Le quadrilatère est un parallélogramme. ette réciproque permet de construire facilement un parallélogramme sur du papier quadrillé. 42. Réciproque 2. Lorsqu'un quadrilatère convee a ses côtés opposés égau deu à deu, c'est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère D ait = D, et D =. Le quadrilatère étant convee, la diagonale est intérieure. Les triangles et D ont deu côtés égau et le troisième commun, ils sont donc égau (3e cas). Les angles alternes internes 1 et 1 sont par suite égau, et et D sont parallèles. De même 2 = 2, et par suite D et sont parallèles. Le quadrilatère est donc un parallélogramme. Propriété des diagonales. 43. Théorème. Dans tout parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu. O D Soit O le point de rencontre des diagonales. étant parallèle et égal à D, les triangles O et OD ont = D, = comme alternes internes et de même = D. Ils sont donc égau et par suite O = O et O = OD. Le point O est le milieu de chacune des diagonales. 44. Réciproque. Lorsque les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est un parallélogramme. Supposons que le quadrilatère D ait été obtenu en portant sur deu droites sécantes en O, des segments O = O sur l'une et O = OD sur l'autre. Les angles O et OD sont égau comme opposés par le sommet, les triangles O et OD sont égau (2e cas). Les angles O et OD sont donc égau et par suite les côtés et D sont à la fois égau et parallèles. Le quadrilatère D est donc un parallélogramme. 45. entre d'un parallélogramme. Il résulte du théorème précédent que le point de concours des diagonales est un centre de smétrie du parallélogramme. e point est appelé le centre du parallélogramme. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 20/77

21 pplications 46. Reconnaître un parallélogramme. L'étude précédente montre qu'un quadrilatère convee est un parallélogramme s'il possède l'une quelconque des propriétés caractéristiques suivantes : 1 Ses côtés sont parallèles deu à deu, 2 Ses angles opposés sont égau deu à deu, 3 Deu de ses côtés sont à la fois égau et parallèles, 4 Ses côtés opposés sont égau deu à deu, 5 Ses diagonales se coupent en leur milieu. 47. Généralisation. Les portions de parallèles comprises entre deu parallèles sont égales. X d ' ' Les segments parallèles ', ', etc compris entre les parallèles X et X' sont égau comme côtés opposés des parallélogrammes tels que ''. X' 48. Distance de deu parallèles. En particulier si les segments égau sont perpendiculaires au deu parallèles X et X', on voit que tous les points de l'une sont à la même distance de l'autre. D'où la définition : On appelle distance de deu parallèles la longueur du segment qu'elles découpent sur une perpendiculaire commune quelconque. ette distance est la largeur de la bande (X,X') définie par les parallèles X et X'. EXERIES 41. Soit un parallélogramme D. Par le sommet on mène la parallèle à la diagonale D qui coupe en E et F les prolongements de et D. 1 omparer les côtés et les angles du triangle EF à ceu du triangle D. 2 Que représentent,, et D pour les segments EF, E et F? 42. On mène deu segments et D parallèles, égau et de même sens, puis de même deu autres segments E et F parallèles, égau et de même sens. 1 omparer les segments D et EF en grandeur et en direction. 2 omparer de même les segments E et DF. 43. On mène deu segments et D parallèles, égau et de sens contraires, puis les segments E et F de même. 1 Montrer que les segments D et EF ont même milieu. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 21/77

22 2 omparer les segments E et DF en grandeur et en direction. 44. Soient M et N les milieu des côtés D et du parallélogramme D de centre O. 1 Montrer que MN est parallèle et égal à et D. 2 Montrer que le centre O est le milieu de MN. 3 Que peut-on dire des distances de M et N au côtés et D? 45. Dans un triangle on mène par un point E de les parallèles à et qui coupent en D et en F. On suppose que E = F. 1 Quelle est la nature du triangle ED? 2 Que représente D pour le triangle? En déduire la construction du point E. 46. Soit un triangle. Les hauteurs issues de et de se coupent en H. On mène les perpendiculaires en à et en à : elles se coupent en D. 1 Quelle est la nature du quadrilatère HD? 2 Que représente pour HD le milieu M de? 47. D'un point D de la base d'un triangle, on mène les parallèles au côtés et. Elles coupent respectivement en E et F la parallèle à menée par le point. 1 omparer les triangles et DEF. 2 omparer les segments E et F en grandeur et en direction. 3 La figure obtenue admet-elle un centre de smétrie? 48. D'un point M de la base d'un triangle isocèle, on mène les parallèles au côtés et. Elles coupent ces côtés en N et P. 1 omparer la somme MN + MP au côté. 2 Que peut-on dire du périmètre du quadrilatère PMN lorsque M décrit le segment? 3 Si M est sur le prolongement de, que représente pour MN et MP? 49. Soit un triangle isocèle. D'un point M de la base on mène les perpendiculaires MH et MK au côtés et. MK rencontre en I la parallèle à menée par. 1 omparer les triangles MI et MH. onséquences? 2 Montrer que la somme MH + MK est indépendante du point M. omparer sa valeur à la hauteur D du triangle. 3 omment modifier le 2 si le point M est sur le prolongement de? 50. Par un point M intérieur à un triangle équilatéral, on mène les parallèles DE à, FG à et HI à. 1 omparer les segments déterminés sur les trois côtés du triangle. 2 omparer la somme DE + FG + HI à l'un des trois côtés du triangle. 3 omparer la somme des distances du point M au trois côtés du triangle à la hauteur de ce triangle. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 22/77

23 Siième leçon I. RETNGLE 49. Définition. Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit. Il en résulte que : Les quatre angles sont droits. Réciproquement : Un quadrilatère qui a ses angles droits est un rectangle, car deu côtés opposés sont alors respectivement perpendiculaires au deu autres, et par suite parallèles. omme dans tout parallélogramme, les côtés opposés d'un rectangle sont égau et les diagonales se coupent en leur milieu. D 50. Théorème. Les diagonales d'un rectangle sont égales. Les deu triangles et D ont = D = 1 D, le côté commun, et = D, côtés opposés du rectangle. Ils sont égau (2e cas), et par suite = D. 51. Réciproque. Lorsqu'un parallélogramme a ses diagonales égales, c'est un rectangle. Les deu triangles et D ont alors commun, = D et = D par hpothèse. Ils sont égau (3e cas). les angles et du parallélogramme sont donc égau ; comme ils sont aussi supplémentaires, chacun d'eu est droit. 52. ercle circonscrit, aes de smétrie du rectangle. ' D ' O Les diagonales d'un rectangle étant égales, le milieu O de ces diagonales est équidistant des quatre sommets, et par suite il est centre d'un cercle passant par les quatre sommets : c'est le cercle circonscrit au rectangle. Les quatre triangles tels que OD sont isocèles. La droite ' bissectrice de OD et O est donc médiatrice de D et. De même ' est médiatrice de et D. Il en résulte que ' et ' sont deu aes de smétrie du rectangle. II. PROPRIÉTÉ RTÉRISTIQUE DU TRINGLE RETNGLE 53. Théorème. Dans tout triangle rectangle la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hpoténuse. D M Soit un triangle D rectangle en D. Prolongeons la médiane DM d'une longueur égale M. Le quadrilatère D est un parallélogramme car ses diagonales ont même milieu, et un rectangle puisque D = 1 D. La demi-diagonale DM est donc la moitié de. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 23/77

24 54. Réciproque. Lorsqu'une médiane d'un triangle est égale à la moitié du côté correspondant, ce triangle est rectangle. La construction précédente donne un parallélogramme qui a des diagonales égales, c'est-à-dire un rectangle. 55. ercle circonscrit à un triangle rectangle. Il en résulte que : Le cercle aant pour diamètre l'hpoténuse d'un triangle rectangle passe par le sommet de l'angle droit. Et réciproquement : Lorsqu'on joint un point d'un cercle au etrémités d'un diamètre, on obtient un angle droit. O III. LOSNGE 56. Définition. Un losange est un parallélogramme qui a deu côtés consécutifs égau. D Les côtés opposés d'un parallélogramme étant égau deu à deu, il en résulte que les quatre côtés d'un losange sont égau. Réciproquement, un quadrilatère qui a ses quatre côtés égau est un losange, car, ses côtés opposés étant égau, c'est un parallélogramme qui a deu côtés consécutifs égau. omme dans tout parallélogramme, les angles opposés d'un losange sont égau et les diagonales se coupent en leur milieu. D 2 1 O 57. Théorème. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et bissectrices des angles du losange. Soit un losange D de centre O. Dans le triangle isocèle D, la médiane O est en même temps hauteur et bissectrice de l'angle. Donc est perpendiculaire à D et bissectrice des angles et du losange. 58. Réciproque 1. Lorsqu'un parallélogramme a ses diagonales 1 2 perpendiculaires, c'est un losange. Les diagonales du parallélogramme D se coupant en leur milieu, sont alors médiatrices l'une de l'autre. a est équidistant de et D, et par suite = D. 59. Réciproque 2. Lorsqu'une diagonale d'un parallélogramme est bissectrice d'un de ses angles, ce parallélogramme est un losange. Si dans le parallélogramme D la diagonale est bissectrice de l'angle, nous avons 1 = 2. or, 2 = 2 comme alternes-internes et par suite 1 = 2. le triangle aant deu angles égau est isocèle et =. 60. es de smétrie du losange. Les diagonales d'un losange sont des aes de smétrie du Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 24/77

25 losange. En effet, les diagonales du losange D sont médiatrices l'une de l'autre. En pliant le losange suivant la diagonale D par eemple, les deu parties D et D coïncident. IV. RRÉ 61. Définition. Le carré est un rectangle qui a deu côtés consécutifs égau, ou un losange qui a un angle droit. Le carré possède donc toutes les propriétés du rectangle et du losange : 62. Dans un carré, les quatre côtés sont égau, les quatre angles sont droits, et les diagonales sont égales, perpendiculaires et bissectrices des angles du carré. L'angle formé par un des côtés et une diagonale est donc égal à 45, et le centre du carré est le centre du cercle circonscrit au carré. Le carré possède quatre aes de smétrie : les médiatrices des côtés et les diagonales. EXERIES 51. Deu cercles inégau de centres O et O' passent par deu points et. On mène les diamètres O et O'D. 1 Evaluer les angles et D. 2 omment sont disposés les points,, D? 52. Soit un triangle. On mène la hauteur H et on joint les milieu M et N des côtés et. 1 omparer les triangles MN et HMN et montrer que MN est médiatrice de H. 2 On mène les hauteurs MI et NJ des triangles MH et NH. Quelle est la nature du quadrilatère MNJI? 3 omparer MN et en grandeur et en direction. 53. Deu droites parallèles ' et ' sont coupées en et par une sécante. Les bissectrices des angles intérieurs formés en et se coupent en M et N. 1 Quelle est la nature du quadrilatère MN? omparer et MN. 2 Montrer que MN est parallèle à ' et ' et équidistant de ces deu droites. 54. On mène les bissectrices intérieures des angles et d'un parallélogramme D tel que < D. es bissectrices coupent et D en E et F et se coupent en M. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 25/77

26 1 Quelle est la nature du quadrilatère EF? omparer à la différence D -. 2 Les bissectrices des angles et D se coupent en N. omparer les triangles EMF et ND. 3 omparer MN, en grandeur et en direction, au côtés du parallélogramme. 55. vec un même raon on trace des arcs de cercles de centres et se coupant en I. Puis on trace le cercle de centre I passant par et, et les diamètres E et F de ce cercle. F et E coupent respectivement en D et les deu premiers arcs. 1 Montrer que les angles E et F sont droits. 2 Quelle est la nature du quadrilatère D? 3 omment faut-il choisir le raon initial pour obtenir un carré? 56. Soit un cercle de diamètre et un point de ce cercle. On désigne par I et J les intersections du demi-cercle avec les médiatrices de et. 1 omparer les directions de ces médiatrices et des côtés de l'angle. 2 Que représentent I et J pour le triangle? 3 I' et J' étant diamétralement opposés à I et J, que représentent de même I' et J'? 57. Soit un triangle rectangle en. On mène la médiane M et la hauteur H (on supposera H entre et M). 1 omparer les angles H et à l'angle. onséquences? 2 omparer ensuite les angles H et M et montrer que les angles et HM ont même bissectrice. 58. Un triangle a ses sommets sur le cercle de diamètre. Soit D l'intersection du demicercle qui ne contient pas avec la médiatrice de. On mène DE et DF perpendiculaires à et. 1 omparer les segments D et D et les angles DE et DF. 2 omparer les triangles DE et DF. onséquences pour DE et DF? 3 Quelle est la nature du quadrilatère EDF? Montrer que D est bissectrice de l'angle. 59. Dans un triangle rectangle en, la médiatrice de coupe en D. Soit E le point smétrique de D par rapport à. 1 omparer les angles E et du triangle E. 2 La médiane M du triangle coupe E en F. omparer EF et E. 3 omparer les segments F et. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 26/77

27 Septième leçon I. TRPÈZE 63. Définition. Un trapèze est un quadrilatère convee qui a deu côtés parallèles. es deu côtés sont les bases, et les deu autres les côtés obliques. Si le trapèze n'est pas un parallélogramme, les bases sont inégales et les côtés obliques ne sont pas parallèles. Il résulte de la définition que : deu angles adjacents à un même côté oblique sont supplémentaires ; cette condition est suffisante pour qu'un quadrilatère soit un trapèze. 64. Trapèzes particuliers. Un trapèze rectangle a un côté perpendiculaire au bases, il a donc deu angles droits. Un trapèze isocèle a des côtés non parallèles égau. D 65. Théorème. Pour qu'un trapèze soit isocèle, il faut et il suffit que les angles adjacents à une E même base soient égau. Dans le trapèze D, terminons le parallélogramme DE. Nous avons = ED et = ED comme correspondants. 1 L'égalité des côtés et D entraîne celle de D et ED. Le triangle DE est isocèle et par suite D = ED =. Les angles et du trapèze sont donc égau. Il en est de même de leurs suppléments et D. 2 L'égalité des angles et D (ou et ) du trapèze entraîne celle de DE et DE. Le triangle DE est donc isocèle, le côté D est égal à ED et par suite à. 66. e de smétrie ; cercle circonscrit au trapèze isocèle. M D J O D J I I Prolongeons les côtés non parallèles du trapèze D jusqu'en M. Les triangles M et MD ont Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 27/77

28 des angles à la base égau : ils sont isocèles. La bissectrice de l'angle M est médiatrice de et D et par suite ae de smétrie du trapèze isocèle. La médiatrice du côté oblique coupe cet ae en un point O. Donc O = O = O, et O = OD, le point O est équidistant des quatre sommets. 'est le centre du cercle circonscrit au trapèze isocèle. II. PRLLÈLES ÉQUIDISTNTES. 67. Théorème. Lorsque des parallèles déterminent des segments égau sur une première sécante, elles déterminent des segments correspondants égau sur toute autre sécante. ' I E ' J ' K D F D' L X Soient deu segments égau et D déterminés par des parallèles sur la sécante X. Pour comparer les segments correspondants '' et 'D' déterminés sur Y, remplaçons-les par les segments parallèles E et F. Nous avons E = '' et F = 'D' comme côtés opposés de parallélogrammes. Les deu triangles E et DF ont = D, les angles et égau comme correspondants et de même = D. Ils sont donc égau (1er cas). E et F sont, par suite, égau, et par conséquent '' = 'D'. Y 68. Parallèles équidistantes. Si tous les segments consécutifs déterminés sur la première sécante sont égau, il en est de même des segments déterminés sur une sécante perpendiculaire à ces parallèles, qui sont donc équidistantes. Il en est ainsi des lignes d'une feuille de papier réglé ou de celles d'un guide-lignes. Remarque. La propriété précédente montre que les bandes consécutives définies par des parallèles équidistantes sont égales et déterminent des segments égau sur toute sécante. III. PPLITIONS 69. Partage d'un segment en parties égales. Soit à partager un segment en cinq parties égales. Portons à partir de sur une demi-droite auiliaire cinq segments consécutifs égau. Joignons l'etrémité du dernier au point et par les points de division de menons les parallèles à. es parallèles sont équidistantes. Elles partagent donc en cinq segments égau. On peut aussi Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 28/77

29 reporter sur le bord d'une bande de papier et placer cette bande sur du papier réglé de façon à intercaler cinq intervalles entre et. 70. Droite des milieu des côtés dans un triangle. Théorème. Le segment qui joint les milieu de deu côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égal à sa moitié. M P N Soient un triangle et M, N, P les milieu des côtés, et. Par M menons la parallèle à. D'après la construction précédente, cette parallèle passe par N. utrement dit, MN est parallèle à. De même NP est parallèle à. Dans le parallélogramme MNP, nous avons MN = P, soit MN = 1/ ase moenne d'un trapèze. Théorème. Le segment qui joint les milieu des côtés obliques d'un trapèze est parallèle au bases et égal à leur demi-somme. D Menons dans le trapèze D la parallèle au bases passant par le milieu M de D. Elle passe par le milieu P de D et le milieu N de M P N. autrement dit MN est parallèle au bases. D'autre part, d'après le théorème précédent, MP = 1/2 et PN = 1/2 D Par suite, MN = MP + PN = 1/2 + 1/2 D, ou D MN = 2 EXERIES 60. Soient dans un cercle de centre O, deu arcs égau et de même sens et D. 1 Montrer que les angles OD et O ont même bissectrice. omparer les directions de D et. 2 omparer les triangles O et OD. Quelle est la nature du quadrilatère D? 61. Soit un trapèze isocèle D de bases et D. 1 omparer les triangles et D. onséquences? 2 Montrer que les diagonales et D sont égales et qu'elles forment des angles égau avec chacune des bases et avec les côtés non parallèles. 62. Dans un trapèze rectangle la base est double de D et égale au côté oblique. 1 Montrer que =. Quelle est la nature du triangle? 2 Evaluer les angles du trapèze. 63. Dans un trapèze isocèle D, la petite base D est égale au côtés obliques D et. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 29/77

30 1 Montrer que la diagonale est bissectrice de l'angle. 2 alculer les angles du trapèze en supposant =. 3 Même calcul en supposant perpendiculaire à. 64. Dans le quadrilatère convee D les côtés et D sont parallèles et les côtés D et sont égau. On mène les segments E et F perpendiculaires à D. 1 omparer les triangles DE et F. 2 Quelle est la nature du quadrilatère D suivant que F et DE sont de même sens ou de sens contraires? 65. Soit un triangle. On désigne par M le milieu de et par D et E les points qui divisent en trois segments égau : D, DE et E. Le segment D coupe M en I. 1 omparer EM et D puis DI et EM. 2 Que représente le point I pour le segment M et pour le segment D? 66. Soient un triangle et DE le segment qui joint les milieu des côtés et. Montrer que la médiane M du triangle et le segment ED se coupent en leur milieu. 67. Soient M et N les milieu des côtés et d'un triangle. On mène par et M les perpendiculaires à la bissectrice intérieure de l'angle. es perpendiculaires coupent en D et P. 1 Montrer que D est isocèle et que D =. D 2 Montrer que P = et comparer NP et Soient X et Y deu parallèles coupées en et par une sécante. Soit O le milieu de. On mène les bissectrices de chacun des angles formés en et. 1 Montrer que ces bissectrices se coupent en M et N sur la parallèle à X et Y équidistante de ces droites. 2 Montrer que O est le milieu de MN et que OM = ON = Dans un parallélogramme on mène les bissectrices intérieures (ou etérieures). 1 Montrer qu'elles forment un rectangle. 2 Utiliser les résultats de l'eercice précédent pour comparer la longueur et la direction de ses diagonales au côtés du parallélogramme. 3 Dans quel cas obtient-on un carré? 70. On joint les milieu des côtés consécutifs d'un quadrilatère D. 1 Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ obtenu? omparer la longueur et la direction de ses côtés à celles des diagonales et D. 2 quelles conditions obtient-on un rectangle, un losange, un carré? 3 Montrer que le segment RS qui joint les milieu de et D a même milieu que MP et NQ. 71. Soit un trapèze D. On désigne par M et N les milieu des côtés non parallèles, P et Q les milieu des bases, et R et S les milieu des diagonales. 1 Montrer que RS est porté par la base moenne MN, qu'il a le même milieu qu'elle, et que RS est égal à la demi-différence des bases. 2 On suppose le trapèze isocèle. Montrer que les deu quadrilatères MNPQ et PQRS sont des losanges. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 30/77

31 72. Soit un quadrilatère qui admet un ae de smétrie. 1 Montrer que si deu sommets consécutifs sont smétriques ce quadrilatère est un trapèze isocèle convee ou croisé. 2 Montrer que si deu sommets opposés sont smétriques la diagonale qui les joint admet l'autre diagonale pour médiatrice. Etudier les formes possibles de ce quadrilatère, convee ou concave. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 31/77

32 Huitième leçon DROITES ONOURNTES DNS UN TRINGLE 72. Théorème. Lorsque deu droites sont respectivement perpendiculaires à deu droites concourantes, elles sont elles-mêmes concourantes. Soient les droites ' et ' perpendiculaires au côtés de l'angle. es droites ne peuvent être parallèles sans que les trois points,, soient sur une même droite perpendiculaire à leur direction commune. omme ce n'est pas le cas, ' et ' sont concourantes. ' ' ' ' Théorème. Pour que deu demi-droites soient concourantes, il faut et il suffit qu'elles forment, avec la droite qui joint leurs origines, deu angles intérieurs du même côté aant une somme inférieure à deu droits. Soient ' et ' deu droites coupées par la sécante. 1 Si et se coupent en, nous avons = 2 D - et par suite < 2 D. 2 Si nous supposons < 2 D, les deu droites ' et ' ne sont pas parallèles, et par suite concourantes. omme la somme des angles intérieurs en et en est égale à 4 D, nous avons > 2 D. Les demi-droites ' et ' ne peuvent se couper d'après le 1, ce sont donc et qui sont concourantes. 74. Médiatrices. O onsidérons dans le triangle les médiatrices des côtés et. es médiatrices sont perpendiculaires au côtés de l'angle et se coupent donc en un point O. e point, étant sur la médiatrice de, est équidistant de et : O = O. Etant sur la médiatrice de, il est équidistant de et : O= O. Il en résulte que O = O = O. Le point O étant équidistant de et, est sur la médiatrice de, qui passe donc par O. Théorème. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes. Le point de concours O est le centre du cercle circonscrit au triangle. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 32/77

33 75. Hauteurs. F ' ' H ' D E Menons par les trois sommets du triangle les parallèles au côtés opposés. Nous obtenons un triangle DEF. Dans les parallélogrammes F et E nous avons = F et = E, par suite F = E. La hauteur ' perpendiculaire à est aussi perpendiculaire à EF, en son milieu : ' est médiatrice de EF. De même ' et ' sont les médiatrices de FD et ED, elles sont concourantes dans le triangle DEF. Les hauteurs du triangle sont donc concourantes. Théorème. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Le point H commun au trois hauteurs est l'orthocentre du triangle. 76. Médianes. N G D P M E onsidérons dans le triangle, les médianes M et N. Les points et M étant de part et d'autre de N, ces deu médianes se coupent en un point G situé à l'intérieur du triangle. Le segment MN est parallèle à et égal à sa moitié. Le segment DE qui joint les milieu de G et G est lui aussi parallèle à et égal à sa moitié. MN et DE sont donc égau et parallèles, et le quadrilatère MNDE est un parallélogramme de centre G. Il en résulte que MG = GD = D. La médiane N coupe donc M au point G situé au point G situé au tiers de M à partir de M. Il en est de même de la médiane P, qui passe donc aussi par G. Théorème. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Le point de concours G qui se nomme le centre de gravité du triangle, est situé au tiers de chaque médiane à partir du côté correspondant. 77. issectrices intérieures. onsidérons dans le triangle, les bissectrices intérieures ' et '. et ' étant situés de part et d'autre de ', ces deu bissectrices se rencontrent en un point I situé, entre et ', à l'intérieur du triangle. Le point I, étant sur la bissectrice de, est équidistant de et, d'où ID = IF. Etant sur la bissectrice de, il est équidistant de et, d'où ID = IE. Il en résulte que ID = F I D E Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 33/77

34 IE = IF. Le point I étant équidistant de et, se trouve sur la bissectrice intérieure de l'angle. Théorème. Les trois bissectrices intérieures d'un triangle sont concourantes. Le point de concours est équidistant des trois côtés du triangle. 78. issectrices etérieures. onsidérons dans le triangle les bissectrices u et v des angles etérieurs en et. Les angles formés avec sont aigus car ce sont des moitiés d'angles J v u saillants. Leur somme est inférieure à 2 D. Les demi-droites u et v se coupent, en un point J de la portion de plan intérieure à l'angle. En raisonnant comme précédemment, nous voons que ce point J est équidistant de, et, et se trouve sur la bissectrice intérieure de. D'où : Les bissectrices etérieures de deu angles et la bissectrice intérieure du troisième angle sont concourantes. L K I J Nous obtiendrions de même les points K et L sur les bissectrices intérieures des angles et. Il eiste ainsi quatre points I, J, K, L équidistants des trois côtés d'un triangle. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 34/77

35 EXERIES 73. Soit D l'orthocentre du triangle. Quel est l'orthocentre de chacun des triangles D, D, et D? 74. Dans un triangle le cercle de diamètre recoupe les côtés et en E et F. 1 Evaluer les angles E et F. 2 E et F se coupent en H. Montrer que H est perpendiculaire à. 75. Soit un cercle de centre O. On considère les milieu M, N, P des cordes, et. 1 Quel est l'orthocentre du triangle MNP? 2 Montrer que les deu triangles et MNP ont même centre de gravité. 76. Soit un parallélogramme D et un point M etérieur. 1 Montrer que les triangles M et MD ont en commun la médiane issue de M. 2 Que peut-on dire de leurs centres de gravité? 77. Trois cercles égau passent par un même point et se recoupent en,, D. Soient M, N, P les points diamétralement opposés à. 1 Montrer que,, D sont les milieu des côtés du triangle MNP. 2 Que représente le point pour chacun des triangles MNP et D? 3 omparer le cercle circonscrit à D avec les trois cercles initiau. 78. Soit un triangle dont les sommets sont sur un cercle de centre O. on appelle D le point diamétralement opposé au point, H l'orthocentre de et G son centre de gravité. 1 Montrer que les segments et HD ont même milieu. 2 Montrer que les triangles et HD ont la médiane issue de commune. En déduire que G est le centre de gravité de HD. 3 Quelle est la position de G par rapport à H et O? 79. Soit un triangle dont l'orthocentre est H. On désigne par M, N, P les milieu des côtés, Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 35/77

36 ,, et par D, E, F les milieu de H, H, H. 1 Montrer que les trois segments MD, NE et PF sont égau et ont le même milieu. 2 On trace le cercle de diamètre MD. Montrer qu'il passe par le pied ' de la hauteur issue de. 3 ompter le nombre de points remarquables situés sur le cercle précédent. (ercle des 9 points du triangle). 80. Soit un quadrilatère convee D dans lequel = = 1 D et > 1 D. On construit les smétriques de par rapport à et qui se coupent en E. 1 Montrer que D est la bissectrice intérieure de l'angle E. 2 et D se coupent en F et D et se coupent en G. Montrer que FG est perpendiculaire en E à D. 81. Soit D le pied de la hauteur issue de dans le triangle. On prend les smétriques M et N de D par rapport à et. MN coupe en F et en E. 1 Que représentent, et D pour le triangle DEF? 2 Montrer que D, E et F sont concourantes. Que représente le point de concours pour chacun des triangles et DEF? 82. On prolonge la médiane M d'un triangle d'une longueur MD égale au tiers de M. Soit d'autre part G le centre de gravité de. 1 omparer les côtés du triangle GD au médianes du triangle. 2 omparer les médianes de GD au côtés du triangle. 83. Soit un quadrilatère convee D. On désigne par M et N les milieu de et D, par G le centre de gravité de, et par E le milieu de DG. 1 omparer EN à G et à MG. 2 Quelle est la position du milieu I de MN par rapport à D et à G? 3 Y a-t-il d'autres segments analogues à MN ou DG passant par I? Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 36/77

37 Neuvième leçon INÉGLITÉS DNS LE TRINGLE 79. onvention. Soit un triangle ; nous conviendrons dans ce qui suit, de désigner par a, b, c les mesures des côtés du triangle respectivement opposées à,,. D c a b E 80. Théorème. Nous admettrons sans démonstration le théorème suivant : Un segment de droite est plus court que toute ligne brisée aant mêmes etrémités. 2 insi on a : < + D + DE + E 81. Théorème. Dans un triangle, un côté quelconque est inférieur à la somme des deu autres. ppliquons le théorème précédent au triangle : nous avons < +, soit a < b + c On démontrerait de même que b < a + c et c < b + a. 82. orollaire. Dans un triangle, un côté quelconque est supérieur à la différence des deu autres. Supposons que dans le triangle on ait a > b > c. D'après le théorème précédent, on a : a + c > b Retranchons c au deu membres de cette inégalité, nous obtenons : a > b - c De même, en retranchant c ou b au deu membres de l'inégalité b + c > a, nous obtenons : b > a - c et c > a - b En définitive : dans un triangle, un côté quelconque est compris entre la somme et la différence des deu autres côtés : b - c < a < b + c 83. Théorème. Lorsqu'un triangle a deu angles inégau, les côtés opposés à ces angles sont inégau, au plus grand angle est opposé le plus grand côté. Hpothèse : > onclusion : a > b. Soit le triangle dans lequel on a : > >. 2 La présent éditrice signale que cette propriété et la suivante sont dans la théorie actuelle présentées comme l'aiome de l'inégalité triangulaire, et s'étonne que les auteurs de ce livre, si attentifs d'ordinaire à la distinction des aiomes et des théorèmes, qualifient ainsi l'inégalité triangulaire. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 37/77

38 onstruisons un angle égal à l'angle, de façon que la demidroite soit à l'intérieur de l'angle, ce qui est possible d'après l'hpothèse. coupe donc en un point D situé entre et. D'autre D part, D est isocèle, on a D = D. Dans le triangle D, nous avons < D + D soit < D + D ou b < a Il en résulte que les côtés d'un triangle sont dans le même ordre de grandeur que les angles qui leur sont opposés. Les inégalités > > entraînent les suivantes : a > b > c. 84. Réciproque. Lorsqu'un triangle a deu côtés inégau, les angles opposés à ces côtés sont inégau ; au plus grand côté est opposé le plus grand angle. Hpothèse : a > b. onclusion : > Dans le triangle on a : b > c. Supposons =, on aurait b = c, supposons <, on aurait b < c, supposons >, on a b > c. insi à l'inégalité b > c, ne peut correspondre que l'inégalité >, car nous avons fait toutes les suppositions possibles sur l'ordre de grandeur de ces deu angles. Il en résulte que les angles d'un triangle sont dans le même ordre de grandeur que les côtés opposés à ces angles : les inégalités a > b > c entraînent les suivantes : > >. 85. Théorème. La somme des segments qui joignent un point intérieur à un triangle au deu etrémités d'un côté est inférieure à la somme des deu autres côtés. Hpothèse : M intérieur à onclusion : D M M + M < + M étant intérieur au triangle, la demi-droite M est intérieure à l'angle et coupe en un point D situé entre et. D'autre part, M est entre et D. Dans le triangle D, on a : M + MD < + D Dans le triangle MD, on a : M - MD < D joutons ces inégalités membre à membre, il vient : M + M < + D + D, soit M + M < + Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 38/77

39 EXERIES 84. On donne un point M intérieur au triangle. 1 Montrer que M + M est compris entre et +. 2 En déduire que M + M + M est compris entre le demi-périmètre et le périmètre du triangle. 85. Soit O le point d'intersection des diagonales du quadrilatère convee D. 1 Montrer que chaque diagonale est inférieure au demi-périmètre du quadrilatère. 2 Montrer que + D est supérieure à chacune des sommes + D et D +. 3 En déduire que la somme des diagonales est comprise entre le demi-périmètre et le périmètre du quadrilatère. 86. Démontrer que la médiane M d'un triangle est comprise entre la demi-différence et la demi-somme des côtés et. (on prolongera M d'une longueur égale à elle-même). 87. Soit un point et un cercle de centre O. Le diamètre passant par coupe le cercle en et. Soit M un point quelconque du cercle. 1 omparer M à la somme et à la différence entre O et OM. 2 Montrer que M est compris entre et. 88. Deu points et sont d'un même côté d'une droite. Trouver sur cette droite un point M tel que la somme M + M soit la plus petite possible (on utilisera le smétrique ' de par rapport à ). 89. Deu points et sont de part et d'autre d'une droite. Trouver sur cette droite un point M tel que la différence des distances M et M soit la plus grande possible. 90. On donne un angle O inférieur à 60 et deu points et intérieurs à cet angle. Trouver un point M sur O et un point N sur O tels que la longueur de la ligne brisée MN soit la plus petite possible. 91. On considère un triangle et la bissectrice etérieure de l'angle. 1 Montrer que le smétrique ' de par rapport à cette bissectrice se trouve sur et que ' =. 2 Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a : M + M > On considère un triangle et la bissectrice intérieure de l'angle. 1 Montrer que le smétrique ' de par rapport à cette bissectrice se trouve sur et que ' =. 2 Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a : M - M < Soit un triangle et G son centre de gravité. 1 omparer G + G + G au demi-périmètre du triangle. 2 En déduire que la somme des médianes d'un triangle est supérieure au trois quarts du périmètre. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 39/77

40 Diième leçon I. PERPENDIULIRES ET OLIQUES 86. Définition. Rappelons que, d'un point situé hors d'une droite, on peut mener une seule perpendiculaire à cette droite. Toute autre droite passant par et coupant se nomme oblique par rapport à. 87. Théorème. Si, d'un point situé hors d'une droite on mène à cette droite la perpendiculaire et diverses obliques : 1 La perpendiculaire est plus courte que toute oblique. 2 Deu obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales, et réciproquement deu obliques égales s'écartent également du pied de la perpendiculaire. 3 De deu obliques, celle qui s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire est la plus longue, et réciproquement, si deu obliques sont inégales, c'est la plus longue qui s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire. 1 Soit H la perpendiculaire menée de sur et une oblique quelconque. Prolongeons H d'une longueur H' égale à H. Le triangle ' est isocèle car appartient à la H médiatrice de '. Nous avons D ' < + ' ou 2 H < 2 soit H < ' 2 onsidérons les obliques et, telles que H = H, nous disons qu'elles s'écartent également du pied de la perpendiculaire. H est médiatrice du segment, donc =. Réciproquement, si =, la hauteur H du triangle isocèle est aussi médiane ; donc H = H. 3 onsidérons les obliques D et qui s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire et supposons HD > H. Le point est intérieur au triangle D', on a donc + ' < D + D' Les triangles ' et D' sont isocèles puisque et D appartiennent à la médiatrice de ' ; l'inégalité précédente devient 2 < 2 D, soit < D Réciproquement, supposons D >, et montrons qu'on doit avoir HD > H. En effet, si HD = H, il faut = D, ce qui est contraire à l'hpothèse. Si HD < H, il faut D <, ce qui est aussi contraire à l'hpothèse. On a donc HD > H. Remarque : pour comparer les obliques et D, on peut remplacer par qui lui est égale. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 40/77

41 88. orollaire. Il résulte de la première partie de ce théorème que : Dans un triangle rectangle un côté de l'angle droit est inférieur à l'hpoténuse. Dans le triangle H, on a H <. ela résulte aussi de de que les angles non droits d'un triangle rectangle étant aigus, le côté opposé à l'angle droit est le plus grand. II. RÉGIONS SÉPRÉES PR L MÉDITRIE D'UN SEGMENT 89. Soit un segment et la médiatrice de ce segment. Elle sépare le plan en deu demi-plans I et II qui contiennent l'un le point, l'autre le point. 1 Pour tout point de la région I, on a M < M. M M étant dans le demi-plan qui contient, M coupe en, et on a =. Dans le triangle M, on a M < + M M < + M M < M On démontrerait de même que pour tout point de la région II, on a M < M. Réciproquement, si M < M, le point M est dans la région I. M ne peut pas être sur, sans quoi on aurait M = M M ne peut pas être dans la région II, puisqu'on aurait M > M. Il est donc dans la région I. On démontrerait de même que si M < M, M est dans la région II. onclusion. La condition nécessaire et suffisante pour qu'on ait M < M, est que le point M soit du même côté que le point par rapport à la médiatrice de. III. TRINGLES YNT DEUX ÔTÉS ÉGUX 90. Théorème. Si deu triangles ont deu côtés respectivement égau et les angles compris entre ces côtés inégau, les troisièmes côtés sont inégau et au plus grand angle est opposé le plus grand côté. Soient deu triangles et ''' où l'on a = '', = '' et > '. Transportons ''' en D, de façon que '' coïncide avec et que D se place à l'intérieur de l'angle, ce qui est possible puisque ' <. On a donc D = et D = ''. Traçons la bissectrice de D, qui coupe en un point E situé entre et. Les triangles DE et E ont E commun, D = et D = E, ils sont égau (2e cas), donc DE = E. Dans le triangle DE, on a :D < E + ED, soit D < E + E, ou D < donc '' < Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 41/77

42 EXERIES 94. Soit un triangle rectangle en, un point ' sur, un point ' sur. omparer les segments '' et au segment '. En déduire que '' <. 95. Démontrer que dans un triangle rectangle la hauteur relative à l'hpoténuse est inférieure ou égale à la moitié de l'hpoténuse. 96. Soit un triangle et la hauteur H. 1 omparer H et, puis H et. En déduire que H est inférieure à la demi-somme des côtés et. 2 Montrer que la somme des hauteurs d'un triangle est inférieure à son périmètre. 97. Soit un triangle rectangle en. La bissectrice intérieure de coupe en D et on mène DE perpendiculaire en E à. 1 omparer D et DE. 2 Démontrer l'inégalité D < D. 98. Soit un trapèze isocèle D dont les bases sont D et ; soit H la perpendiculaire à D. Montrer que H est égale à la demi-somme des bases du trapèze, que DH est égale à leur demidifférence. En déduire : 1 Que la diagonale d'un trapèze isocèle est supérieure à la demi-somme des bases. 2 Que les côtés non parallèles sont supérieurs à la demi-différence des bases. 99. Soit un angle O, sa bissectrice Oz, un point M intérieur à l'angle zo, M et M les perpendiculaires à O et O. 1 M coupe Oz en ; mener D perpendiculaire à O ; comparer M et MD puis MD et M. 2 Démontrer l'inégalité M < M Démontrer que si deu triangles ont deu côtés respectivement égau et les troisièmes inégau, les angles opposés à ces côtés sont inégau, et au plus grand côté est opposé le plus grand angle Soit un triangle dans lequel > ; soit M la médiane issue de ; démontrer l'inégalité M > M (on pourra utiliser l'eercice précédent) Soit un angle O et Oz sa bissectrice ; on porte deu longueurs égales O et O sur O et O. Montrer que pour tout point M intérieur à zo, on a M > M Deu triangles isocèles O et PD de bases et D sont tels que O = P et O > PD. 1 omparer et D. 2 Soient OH et PK les hauteurs des deu triangles. omparer H et K. En déduire que si deu triangles rectangles ont même hpoténuse, les côtés de l'angle droit sont dans le même ordre de grandeur que les angles opposés Deu triangles isocèles O et PD de bases et D sont tels que O = P et > D. 1 omparer les angles O et PD. 2 Soient OH et PK les hauteurs des deu triangles. omparer OH et PK. En déduire que si deu triangles rectangles ont même hpoténuse les angles aigus sont dans le même ordre de grandeur que les côtés opposés. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 42/77

43 Onzième leçon ERLE. DROITE ET ERLE 91. Définitions. Rappelons les définitions suivantes : Le cercle est une courbe plane formée par tous les points situés à une même distance d'un point du plan appelé centre du cercle. Le segment O qui joint le centre O à un point du cercle est un raon. Toute droite passant par O coupe le cercle en deu points et. Le segment est un diamètre. O M d < R O M d > R M' N Si nous plions autour de, un point M du cercle vient se placer en M'. omme on a OM = OM', M' est sur le cercle. Donc : Tout diamètre d'un cercle est un ae de smétrie pour ce cercle. 92.Positions relatives d'un point et d'un cercle. Le cercle O partage le plan en deu régions ; celle qui contient le centre est dite intérieure au cercle ; l'autre est dite etérieure au cercle. ppelons R le raon du cercle. Soit un point intérieur au cercle ; la demi-droite O coupe le cercle en M et on a O < OM ou O < R. Soit un point etérieur au cercle ; la demi-droite O coupe le cercle en N et on a O > ON ou O > R. Soit d la distance d'un point au centre O. Nous obtenons le tableau suivant : point intérieur au cercle point du cercle point etérieur au cercle d < R d = R d > R Il en résulte que si l'on a d < R, le point considéré ne peut être qu'intérieur au cercle, de même que si l'on a d > R, il ne peut être qu'etérieur. En définitive : Pour qu'un point soit intérieur (ou etérieur) à un cercle, il faut et il suffit que sa distance au centre soit inférieure (ou supérieure) au raon du cercle. 93. ercles passant par deu points. Pour qu'un cercle O passe par deu points donnés et, il faut que l'on ait O = O, c'est-à-dire que O appartienne à la médiatrice de. Lorsque cette condition est remplie, tout cercle de centre O passant par passe aussi par. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 43/77

44 Il eiste donc une infinité de cercles passant par deu points donnés. 94. ercle passant par trois points. Pour qu'un cercle O passe par trois points donnés,,, il faut que l'on ait O = O = O, le point O appartient donc au médiatrices des segments, et. 1 Si,, ne sont pas en ligne droite, ces médiatrices sont concourantes ; un seul cercle répond à la question (voir médiatrices dans un triangle). 2 Si,, sont alignés, les médiatrices sont parallèles, il n'eiste pas de cercle passant par,,. insi : Par trois points non en ligne droite il passe un cercle et un seul. Il en résulte que : Une droite et un cercle ont au plus deu points communs : s'ils en avaient 3, il eisterait un cercle passant par 3 points en ligne droite. Deu cercles ont au plus deu points communs. S'ils en avaient trois, ils seraient confondus. POSITIONS RELTIVES D'UNE DROITE ET D'UN ERLE 95. I. Droite etérieure. Définition : une droite est etérieure à un cercle lorsque tous ses points sont etérieurs au cercle. Théorème. Si la distance du centre d'un cercle à une droite est X supérieure au raon, cette droite est etérieure au cercle. M onsidérons le cercle O et la droite X. Le diamètre perpendiculaire à X la coupe en ; puisque O > R, est etérieur au cercle. Pour tout O point M de X, on a OM > O, donc OM > R. Tout point M de X est etérieur au cercle. 96.II. Tangente. Définition : une droite est tangente à un cercle lorsqu'elle n'a avec lui qu'un point commun. e point est appelé point de contact de la tangente. Théorème. Si la distance du centre d'un cercle à une droite est égale au raon, cette droite est tangente au cercle. Soit O perpendiculaire à X ; est sur le cercle ; pour tout autre point M de la droite X on a OM > O, donc OM > R. La droite X n'a donc qu'un point commun avec le cercle. O M X 97. III. Sécante. Définition. Une droite est sécante à un cercle lorsqu'elle le coupe en deu points. Théorème. Si la distance du centre d'un cercle à une droite est inférieure au raon, la droite est Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 44/77

45 sécante au cercle. E Soit O perpendiculaire à. On a O < R. Lorsqu'un point M parcourt la demi-droite, l'oblique OM augmente M depuis la valeur O < R jusqu'à une valeur aussi grande qu'on le veut. Il eiste donc un point de cette demi-droite tel que O = R : ce point O est commun à la droite et au cercle ; il en eiste de même un second sur la demi-droite. La droite et le cercle ont donc deu points F communs et ne peuvent en avoir d'autre. Le segment est une corde qui sous-tend les arcs E et F. Le diamètre O étant un ae de smétrie pour la figure, les arcs F et F sont eu-mêmes smétriques par rapport à O, donc égau. insi : Tout diamètre perpendiculaire à une corde passe par le milieu de cette corde et par les milieu des arcs qu'elle sous-tend. 98. onclusion. Nous avons obtenu les résultats suivants, en désignant par d la distance du centre à la droite D : d > R d = R d < R D etérieure au cercle D tangente au cercle D sécante au cercle La lecture de ce tableau montre que les réciproques sont vraies. insi, lorsqu'une droite est tangente à un cercle on doit avoir d = R car si on supposait d > R ou d < R, la droite serait soit etérieure soit sécante. En définitive : Pour qu'une droite soit etérieure, tangente ou sécante à un cercle, il faut et il suffit que sa distance au centre soit supérieure, égale ou inférieure au raon. En particulier : la propriété caractéristique de la tangente à un cercle est d'être perpendiculaire à un raon en son etrémité. EXERIES 105. onstruire un cercle de raon 3 cm, tangent à une droite en un point de cette droite onstruire un cercle de centre donné, tangent à une droite donnée onstruire un cercle de raon donné, tangent à une droite donnée, sachant que son centre est sur une droite donnée ou sur un cercle donné onstruire une tangente à un cercle, parallèle à une direction donnée Soit un triangle, rectangle en ; l'angle vaut 60, l'hpoténuse mesure 10 cm. 1 Quel doit être le raon d'un cercle de centre pour qu'il soit tangent à ou pour qu'il coupe? 2 Entre quelles valeurs doit être compris le raon du cercle pour qu'il coupe les deu autres côtés du triangle? Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 45/77

46 110. Soit un triangle isocèle de base et de hauteur H. 1 Entre quelles valeurs doit être compris le raon d'un cercle de centre pour qu'il coupe le côté? 2 Même question lorsque le triangle est quelconque Soit un cercle et une droite etérieure D. Le diamètre perpendiculaire à D coupe le cercle en et et la droite D en H. Montrer que la distance d'un point quelconque M du cercle à la droite D est comprise entre H et H Sur la tangente en à un cercle O, on porte deu longueurs égales et. omparer O et O Sur les tangentes en et en à un cercle O, on porte deu longueurs égales ' et '. omparer O' et O' Les tangentes en deu points et d'un cercle se coupent en. 1 omparer et. 2 Montrer que le diamètre passant par est la bissectrice de Soit un cercle de centre O et un diamètre ; une tangente quelconque coupe les tangentes en et en deu points et D. 1 Montrer que D = + D. 2 Montrer que le triangle OD est rectangle Un quadrilatère D convee a ses côtés tangents à un cercle O. Montrer que + D = D Démontrer que deu sécantes parallèles déterminent entre elles sur un cercle deu arcs égau. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 46/77

47 Douzième leçon POSITIONS RELTIVES DE DEUX ERLES 99. Figure formée par deu cercles. La figure formée par deu cercles est déterminée par la position des centres O et O', et par la valeur des deu raons R et R'. Dans ce qui suit nous désignerons par d la distance OO' des centres et nous supposerons R > R'. Notons aussi que, tout diamètre d'un cercle étant un ae de smétrie pour ce cercle, la droite des centres OO' est un ae de smétrie pour la figure formée par l'ensemble des cercles O et O'. Nous avons vu que deu cercles ont au plus deu points communs. Le nombre des points communs à deu cercles peut donc être deu, un ou zéro. Nous allons étudier ces trois cas ercles sécants. Définition. Deu cercles sont sécants lorsqu'ils ont deu points communs. Théorème. Lorsque deu cercles ont un point commun en dehors de la droite des centres, ils en ont un second smétrique du premier par rapport à la droite des centres, et n'ont pas d'autre point commun. T T' O O' O et O' ont en commun le point. Le smétrique de par rapport à OO' appartient au deu cercles. es deu cercles se coupent donc en et, ils ne peuvent avoir d'autre point commun sans être confondus. Le segment est la corde commune au deu cercles. Il résulte des propriétés de la smétrie que OO' est médiatrice de et bissectrice des angles O et O '. L'angle aigu TT ' des tangentes au deu cercles au point s'appelle l'angle des deu cercles. On sait que tout côté d'un triangle est compris entre la différence et la somme des deu autres côtés. Dans le triangle OO', on a donc O - O' < OO' < O + O' soit R - R' < d < R + R' Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 47/77

48 101. II. ercles tangents. Définition. Deu cercles sont tangents lorsqu'ils ont un seul point commun. Théorème. Lorsque deu cercles ont un point commun sur la droite des centres, ils n'ont pas d'autre point commun, et ils ont même tangente en ce point. T T O O' O O' T' T' onsidérons les cercles O et O' ci-dessus qui ont un point commun sur la droite des centres. Ils ne peuvent avoir d'autre point commun en dehors de OO', sans quoi ils en auraient un autre ' smétrique de, et ils auraient trois points communs et seraient confondus. Ils ne peuvent avoir un autre point commun sur OO', sans quoi ils auraient un diamètre commun et seraient confondus. Les deu cercles O et O' sont donc tangents en, et la tangente TT' en au deu cercles est la perpendiculaire menée en ce point à la droite des centres. Dans le cas de la figure de gauche les cercles sont dits tangents etérieurement, on a : OO' = O + O' soit d = R + R' Dans le cas de la figure de droite, les cercles sont dits tangents intérieurement, on a : OO' = O - O' soit d = R - R' 102. III. ercles etérieurs. ercles intérieurs. Définitions. Deu cercles sont etérieurs lorsque tous les points de l'un sont etérieurs à l'autre. Deu cercles sont intérieurs lorsque tous les points de l'un sont intérieurs à l'autre. 3 O O' ' O ' O' 3 La présente éditrice s'étonne de la parfaite similitude des deu phrases, alors que la situation n'est pas égale : deu cercles etérieurs le sont chacun à l'autre, la position est smétrique, mais pour les cercles dits intérieurs, le petit est intérieur au grand, et le grand est etérieur au petit. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 48/77

49 Dans le cas des cercles etérieurs, on a : OO' = O + ' + O'' ou d = R + R' + ' donc d > R + R' Dans le cas des cercles intérieurs, on a : OO' = O - O'' - ' ou d = R - R' - ' donc d < R - R' 103. onclusion. En définitive, les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant : cercles etérieurs cercles tangents etérieurement cercles sécants cercles tangents intérieurement cercles intérieurs d > R + R' d = R + R' R - R' < d < R + R' d = R - R' d < R - R' hacune de ces relations est caractéristique de la position correspondante des cercles O et O'. insi si l'on a d = R + R', les cercles sont tangents etérieurement. La lecture du tableau montre en effet qu'ils ne peuvent être ni etérieurs, ni sécants, etc. La relation d = R + R' eprime donc la condition nécessaire et suffisante pour que les deu cercles soient tangents etérieurement. De même, pour que deu cercles soient sécants, il faut et il suffit que que la distance de leurs centres soit comprise entre la différence et la somme des raons. EXERIES 118. Quelle est la position relative de deu cercles O et O', de raons R et R', dans les cas suivants : 1 d = 7 cm, R = 6 cm, R' = 5 cm. 2 d = 41 mm, R = 57 mm, R' = 16 mm. 3 d = 12 cm, R = 4,5 cm, R' = 3,7 cm. 4 d = 2 cm, R = 9 cm, R' = 6 cm. 5 d = 25 mm, R = 13 mm, R' = 12 mm Quelle est la condition pour que deu cercles de même raon R = 5 cm soient sécants? 120. Quelle est la condition pour que deu cercles de raons R = 10 cm et R' = 5 cm soient sécants? 121. onstruire un cercle de raon donné, tangent à un cercle donné en un point donné onstruire un cercle tangent à un cercle donné en un point donné, sachant que son centre est sur une droite donnée ou un cercle donné On connaît les points communs à deu cercles et leurs raons. onstruire ces cercles onstruire un cercle de raon donné, passant par un point donné et tangent à un cercle donné Deu cercles O et O' sont tangents en ; une droite passant par coupe ces cercles en et '. Montrer que les raons O et O'' sont parallèles ; on eaminera le cas des cercles tangents Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 49/77

50 etérieurement et tangents intérieurement Deu cercles sécants se coupent en et. Par on mène la parallèle à la droite des centres OO', soient et D les intersections avec les cercles. 1 Montrer que, O et sont alignés de même que, O' et D. 2 Montrer que D = 2 OO' onstruire un cercle tangent à un cercle O en un point donné et passant par un point donné Soit un cercle O, de raon 5 cm, et une droite dont la distance à O est 7 cm. onstruire un cercle de raon 3 cm, tangent à la droite et au cercle O. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 50/77

51 Treizième leçon ONSTRUTIONS FONDMENTLES 104. Remarques générales. Si la solution d'un problème de construction géométrique n'est pas immédiate, il faut opérer de la manière suivante : 1 Supposer la figure construite et en étudier les propriétés. 2 Déduire de cette étude la construction demandée et utiliser à cet effet seulement la règle et le compas. 3 Discuter le problème : c'est-à-dire se demander comment doivent être choisies les données pour que la construction soit possible. Nous allons voir dans cette leçon les constructions élémentaires suivantes : 105. Médiatrice d'un segment. Soit à construire la médiatrice du segment : il suffit d'en déterminer deu points, donc de construire deu triangles isocèles O D et D de base. onstruction. Tracer de et comme centres deu cercles de même raon. Soient et D leurs points communs. D est la médiatrice cherchée. Discussion. Les points et D n'eistent que si l'on a, R désignant la valeur commune des deu raons, R - R < < R + R. La première inégalité est réalisée. la seconde donne 2R >, soit R > / onstruire la perpendiculaire à une droite en un point de cette droite. Soit à construire la perpendiculaire en O à. Si nous pouvons trouver deu points et de tels que O = O, la médiatrice de est la perpendiculaire cherchée. onstruction. Tracer un cercle de centre O qui coupe en et, puis construire la médiatrice de. O 107. onstruire la perpendiculaire à une droite en un O point situé hors de la droite. Soit à construire de O la perpendiculaire à. Si nous pouvons construire un triangle isocèle O, dont la base soit portée par, la médiatrice de est la perpendiculaire cherchée. onstruction. onstruire un cercle de centre O qui coupe en et. onstruire ensuite la médiatrice de. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 51/77

52 108. onstruction d'un angle droit. O Soit une demi-droite. Pour construire l'angle droit, la construction suivante est préférable à celle du n 107, lorsqu'on ne peut prolonger au-delà de. D'un point O comme centre, tracer le cercle de raon O qui coupe en. Mener le diamètre. L'angle est l'angle cherché : on sait en effet qu'en joignant un point d'un cercle au etrémités d'un diamètre, on obtient un angle droit issectrice d'un angle. Soit l'angle O. Si nous pouvons construire un triangle isocèle O dont les côtés égau O et O soient portés par les demi-droites O et O, la médiatrice de est la bissectrice cherchée. onstruction. onstruire un cercle de centre O qui coupe les côtés de l'angle en et ; construire ensuite la médiatrice de. O 110. onstruire un angle égal à un angle donné. Soit à construire un angle égal à O. Donnons-nous l'un des côtés de l'angle cherché, soit O''. Nous allons construire deu triangles égau tels que l'un contienne l'angle O et l'autre l'angle O ' cherché. onstruction. Traçons deu cercles de centres O et O' et de ' même raon. Le premier coupe les côtés de O en et, le second coupe O'' en '. Puis mesurons avec le compas et traçons, de ' comme centre, un cercle de raon O' égal à. O ' Il coupe le cercle de centre O', de raon O'', en '. Les deu triangles O et O''' sont égau d'après le 3e cas d'égalité des triangles. Donc O = ' O ' ' Tracé des parallèles. Soit à mener par un point la parallèle à la droite. Il suffit de mener une sécante et de construire en l'angle v égal à l'angle. es deu angles égau occupant la position d'alternes internes, uv et sont parallèles. onstruction. De comme centre, tracer un arc de cercle coupant en. De comme centre, avec le même raon, tracer l'arc. Puis avec comme raon, et de comme centre, tracer un arc qui coupe D Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 52/77

53 le premier arc tracé en D. La droite D est parallèle à ; les angles et D sont égau d'après la construction précédente. EXERIES 129. onstruire le centre du cercle circonscrit à un triangle. On eaminera les 3 cas suivants : 1 les 3 angles sont aigus, 2 l'angle est droit, 3 l'angle est obtus onstruire un cercle passant par deu points donnés, sachant que son centre appartient à une droite donnée ou à un cercle donné Est-il possible de construire un cercle passant par 4 points donnés? onstruire tous les cercla passant par 3 de ces points onstruire les hauteurs d'un triangle. Eaminer les cas suivants : les 3 angles sont aigus, un angle est droit, un angle est obtus Partager un segment en 2, 4, 8 parties égales Partager un angle en 4, 8 angles égau. Diviser un cercle en 4, 8 arcs égau Deu segments et D ont même médiatrice. onstruire un cercle passant par les 4 points,,, D onstruire un parallélogramme D sachant que = 60, = 5 cm et = 3 cm onstruire un rectangle D connaissant = 5 cm et D = 3 cm onstruire un losange D connaissant = 8 cm et D = 3 cm onstruire un trapèze D connaissant la base = 4 cm, D = 60, = 45 et sachant que la hauteur mesure 1,5 cm. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 53/77

54 Quatorzième leçon ONSTRUTION DE TRINGLES 112. onstruire un triangle connaissant un côté et les deu angles adjacents à ce côté. Les données sont : = a et la valeur des angles et. onstruisons, puis en un angle égal à l'angle donné, puis en un angle égal à l'angle donné, de sorte que les demi-droites et soient dans un même demiplan limité par. Soit le point commun à ces demi-droites. Le triangle est le triangle demandé. Tout autre triangle répondant à la question est égal à (1er cas d'égalité). Discussion. La construction est possible si les demi-droites et se coupent, c'est-à-dire si + < onstruire un triangle connaissant deu côtés et l'angle qu'ils forment. Les données sont : = c, = b, et la valeur de. onstruisons un angle égal à l'angle donné. Portons sur un segment = c, et sur un segment = b. Le triangle est le triangle demandé. La construction est toujours possible si < onstruire un triangle connaissant ses trois côtés. Les données sont = a, = b, et = c. Nous supposons a > b > c. onstruisons un segment = a. Le troisième sommet appartient : au cercle de centre, de raon c, et au cercle de centre, de raon b. 'est donc un de leurs points d'intersection. Soit l'un de ces points. Le triangle est le triangle demandé. Tout autre triangle répondant à la question est égal au triangle : 3e cas d'égalité. Discussion : le point eiste si les deu cercles de centres et sont sécants, ce qui nécessite : - < < + ou b - c < a < b + c La première condition b - c < a est réalisée puisque a est le plus grand côté : étant supérieur à b et à c, il l'est à leur différence. La condition de possibilité se réduit à : a < b + c. Donc, Pour que trois longueurs soient les côtés d'un triangle, il faut et il suffit que la plus grande soit inférieure à la somme des deu autres. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 54/77

55 115. onstruire un triangle rectangle connaissant l'hpoténuse et un angle aigu. D Les données sont = 90, = a et la valeur de l'angle. onstruisons un angle égal à l'angle aigu donné. Portons sur un segment = a. De menons la perpendiculaire à. Le triangle est le triangle demandé. Tout autre triangle répondant à la question est égal au triangle, d'après le 1er cas d'égalité des triangles rectangles. e problème est toujours possible. En effet, soit D la perpendiculaire en à. lui est parallèle ; étant aigu, et sont du même côté par rapport à D. coupe donc et non son prolongement onstruire un triangle rectangle connaissant l'hpoténuse et un côté de l'angle droit. Les données sont : = 90, = a, et = b. onstruisons un segment = a. Le sommet de l'angle droit appartient : 1 au cercle de diamètre ; le centre de ce cercle est son milieu O ; 2 au cercle de centre, de raon b. Soit l'un des points d'intersection de ces deu cercles. Le triangle est le triangle demandé. Tout autre triangle répondant à la question est égal au triangle (2e cas d'égalité des triangles rectangles). Discussion : est intérieur au cercle de centre et de raon b. Pour que le cercle de diamètre coupe le premier, il faut et il suffit que soit à l'etérieur du cercle de centre, c'est-à-dire que l'on ait : a > b 117. Remarque. On constate que dans toutes les constructions précédentes, trois données suffisent à déterminer un triangle. Il en est toujours ainsi : Pour construire un triangle, il faut se donner trois éléments, parmi lesquels figure au moins une longueur. EXERIES onstruire un triangle rectangle connaissant : 140. un côté de l'angle droit et un angle aigu un côté de l'angle droit et la hauteur relative à l'hpoténuse l'hpoténuse et la hauteur relative à l'hpoténuse la médiane et la hauteur relatives à l'hpoténuse l'hpoténuse et la somme des côtés de l'angle droit (soient et les côtés de l'angle droit, prolonger d'une longueur D =, construire le triangle D). Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 55/77

56 145. l'hpoténuse et la différence des côtés de l'angle droit (soient et les côtés de l'angle droit, porter sur une longueur D =, construire le triangle D) un angle aigu et la somme des côtés de l'angle droit un angle aigu et la différence des côtés de l'angle droit. onstruire un triangle isocèle connaissant : 148. l'angle au sommet et la hauteur relative à la base la longueur des côtés égau et la hauteur relative à la base l'angle à la base et la hauteur relative à la base la base et la hauteur relative à la base la base et le raon du cercle circonscrit. onstruire un triangle connaissant : 153. deu côtés et la médiane relative à l'un d'eu deu côtés et la médiane relative au troisième (prolonger celle-ci d'une longueur égale) un côté et les médianes relatives au deu autres un côté, la médiane relative à ce côté et une autre médiane les trois médianes (soit M l'une d'elles, G leur point commun, prolonger GM d'une longueur égale à lui-même) deu côtés et l'angle opposé à l'un d'eu un côté, un angle adjacent à ce côté, et la somme des deu autres côtés, ou leur différence un côté, l'angle opposé à ce côté et la somme des deu autres côtés, ou leur différence : on mettra en évidence la somme ou la différence donnée, et on étudiera la figure obtenue un côté, un angle adjacent à ce côté, et la hauteur issue du sommet de cet angle deu côtés et la hauteur relative à l'un d'eu un côté, un angle adjacent à ce côté, et la hauteur relative à ce côté deu côtés et la hauteur relative au troisième un angle, la hauteur et la bissectrice intérieure issues du sommet de cet angle un côté, un angle adjacent à ce côté, et le raon du cercle circonscrit deu côtés et le raon du cercle circonscrit. onstruire un parallélogramme connaissant : 168. un côté et les deu diagonales un côté, un angle et une diagonale la longueur des côtés et une hauteur. onstruire un rectangle connaissant : 171. un côté et la diagonale le plus grand côté et l'angle des diagonales la diagonale et le périmètre. onstruire un quadrilatère connaissant : 174. un angle et les quatre côtés une diagonale et les quatre côtés. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 56/77

57 Quinzième leçon ONSTRUTIONS RELTIVES UX TNGENTES 118. Par un point donné, construire les tangentes à un cercle donné. onsidérons le cercle O et le point. Supposons qu'on ait construit une tangente au cercle O, et soit le point où elle touche le cercle. Le triangle O est rectangle en. O Nous en connaissons l'hpoténuse O, et un côté de l'angle droit O. On en déduit la construction suivante : Tracer le cercle de diamètre O, qui coupe le cercle donné en et. Les tangentes cherchées sont et. Discussion. Le cercle de diamètre O passe par O, intérieur au cercle donné. Les deu cercles ne peuvent être que intérieurs, tangents intérieurement ou sécants. 1 Ils sont intérieurs si est intérieur au cercle O. Le problème, dans ce cas, n'admet pas de solution. 2 ils sont tangents intérieurement si O = R. Le problème admet une solution, la tangente en au cercle donné. 3 ils sont sécants si est etérieur au cercle. Le problème admet alors deu solutions, les tangentes et. Les points et sont smétriques par rapport à O. et sont donc des segments égau et O est bissectrice de. insi : Par un point etérieur à un cercle on peut construire deu tangentes à ce cercle.es tangentes sont égales et le diamètre passant par leur point commun est bissectrice de leur angle onstruire les tangentes à un cercle, parallèles à une direction donnée. Soit O le cercle donné et la direction donnée. Supposons que la tangente T menée en soit une tangente cherchée. Le raon O perpendiculaire à T l'est aussi à. On en déduit la construction suivante : onstruire le diamètre perpendiculaire à ; les tangentes en et sont les tangentes cherchées. e problème admet toujours deu solutions. T' T 120. ercles tangents au deu côtés d'un angle. Soit un cercle O tangent au deu côtés de l'angle en deu points et. Puisqu'on O = O, le point O appartient à la bissectrice de l'angle. Réciproquement, si O est un point de la bissectrice, en menant O et O perpendiculaires à et, on a O = O, le cercle de centre O et de raon O répond à la question. Il eiste donc une infinité de cercles tangents au deu côtés d'un angle. Leurs centres sont sur la bissectrice de cet angle. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 57/77

58 O 121. ercles tangents à trois droites. onsidérons le triangle. herchons s'il eiste des cercles tangents au trois droites ; et. 1 Les bissectrices intérieures du triangle sont concourantes en un point I. D'après ce qui précède, ce point I est le centre I d'un cercle tangent au trois côtés du triangle. e cercle se nomme cercle inscrit au triangle. 2 Les bissectrices etérieures de deu angles d'un triangle et la bissectrice intérieure du troisième angle sont J concourantes. Soit J le point commun au bissectrices etérieures de et de et à la bissectrice intérieure de, ce point est le centre d'un cercle tangent au côté et au prolongements des côtés et. e cercle se nomme cercle e-inscrit au triangle dans l'angle. Tout triangle possède un cercle inscrit et trois cercles e-inscrits respectivement dans les angles,, onstruire une tangente commune à deu cercles. 1 Etude de la figure. Soient deu cercles O et O', de raons R et R' (R > R') et ' une tangente commune telle que O et O' soient du même côté ' de ' : nous disons que ' est une tangente commune etérieure au deu cercles. Les raons O et O'' perpendiculaires à ' sont parallèles. Menons par O' la perpendiculaire à O qui coupe O en. O O' Le quadrilatère 'O' est un rectangle, puisqu'il a trois angles droits, on a O = O - = O - O'' = R - R' Le cercle de centre O et de raon R - R' est tangent à O' en. 2 onstruction. onstruire le cercle de centre O et de raon R - R'. Mener de O' la tangente à ce cercle ; joindre O qui coupe le cercle O en ; mener en la perpendiculaire à O, on obtient ainsi la tangente cherchée. Le problème admet une seconde solution, la tangente ' smétrique de ' par rapport à OO'. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 58/77

59 3 Discussion. Pour que de O' on puisse mener la tangente au cercle de centre O, de raon R - R', il faut et il suffit que O' soit etérieur à ce cercle, soit OO' > R - R'. Toutes les autres constructions sont alors possibles ; la condition précédente eprime que les cercles O et O' sont etérieurs ou sécants ou tangents etérieurement. On pourra étudier de la même façon la construction d'une tangente commune intérieure à deu cercles, c'est-à-dire d'une tangente telle que O et O' soient de part et d'autre de cette tangente. On remplacera le cercle de raon R - R' par le cercle de raon R + R'. EXERIES onstruire un triangle connaissant : 176. le cercle inscrit (ou un cercle e-inscrit) et les points où il touche les 3 côtés du triangle le cercle inscrit (ou le cercle e-inscrit dans l'angle ), la position du sommet, et la direction du côté le cercle inscrit ou un cercle e-inscrit et la direction des trois côtés Démontrer 1 que si dans un quadrilatère convee les bissectrices de trois angles sont concourantes, il eiste un cercle inscrit dans le quadrilatère. 2 la réciproque est-elle vraie? 180. Démontrer 1 que s'il eiste un cercle inscrit à un parallélogramme, ce parallélogramme est un losange. 2 qu'il eiste un cercle inscrit à un losange. onstruire un losange connaissant : 181. le côté et le raon du cercle inscrit un angle et le raon du cercle inscrit une diagonale et le raon du cercle inscrit onstruire un cercle de raon donné, tangent à deu droites données. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 59/77

60 Seizième leçon I. ORDES ET RS SOUS-TENDUS Les théorèmes suivants ramènent, dans un même cercle ou dans deu cercles égau, la comparaison de deu arcs à la comparaison des cordes qui les sous-tendent. Rappelons qu'une corde sous-tend deu arcs. Dans ce qui suit, il ne sera question que des arcs inférieurs à un demi-cercle Théorème. Dans un même cercle ou dans deu cercles égau, 1 deu arcs égau sont sous-tendus par deu cordes égales. ; 2 deu arcs inégau sont sous-tendus par des cordes inégales ; le plus grand arc est sous-tendu par la plus grande corde. Hpothèse : arc = arc '' ' onclusion : = ''. 1 Deu arcs égau sont superposables ; lorsque le calque de l'arc '' coïncide avec l'arc, les cordes et '' coïncident, elles sont O ' donc égales. E 2 onstruisons un arc = DE, de façon que soit à l'intérieur de l'arc D, ce qui est possible puisque <. Les cordes et DE sont égales. O Les angles au centre O et O sont dans le même ordre de grandeur que les arcs qu'ils interceptent. Donc O > O. les deu triangles O et O ont deu côtés égau (O commun, O = O) mais les angles formés par ces côtés sont inégau, les troisièmes côtés sont inégau dans le même ordre. Donc >, et par suite > DE Réciproque. Dans un cercle ou deu cercles égau, 1 deu cordes égales sous-tendent des arcs égau ; 2 deu cordes inégales sous-tendent des arcs inégau, et la plus grande corde soustend le plus grand arc. 1 Si = '', on doit avoir arc = arc ''. En effet, si ces arcs étaient inégau, les cordes seraient inégales, ce qui est contraire à l'hpothèse. 2 Si > DE, on doit avoir arc > arc DE. En effet, on ne peut avoir arc < arc DE, sans quoi on aurait < DE, ce qui est contraire à l'hpothèse. Donc arc > arc DE. II. ORDES ET DISTNES U ENTRE Les théorèmes suivants ramènent la comparaison de deu cordes d'un même cercle ou de deu cercles égau, à celle de leurs distances au centre. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 60/77

61 125. Théorème. Dans un même cercle ou deu cercles égau, 1 Deu cordes égales sont équidistantes du centre. 2 Deu cordes inégales sont inégalement distantes du centre, la plus grande est la plus proche du centre. Hpothèse : = D OM M N ON D onclusion : OM = ON O D 1 Soient deu cordes égales et D ; OM et ON les distances du centre à ces deu cordes. Les triangles isocèles O et OD ont O = O = O = OD, et = D, ils sont égau (3e cas). Leurs hauteurs homologues sont égales. Donc OM = ON. 2 Hpothèse : D > EF E ON D H OH EF F onclusion : ON < OH I M onstruisons une corde = EF, de façon que soit à l'intérieur de l'arc D, ce qui est possible puisque l'arc = l'arc EF, donc l'arc < l'arc D. Soit OM la distance de O à la corde, on a OM = OH. O N D Les points O et sont de part et d'autre de D ; il en est de même des points O et M. OM coupe D en I, entre O et M ; on a donc : ON < OI et OI < OM donc ON < OM et par suite ON < OM 126. Réciproque. Dans un même cercle ou dans deu cercles égau, 1 deu cordes équidistantes du centre sont égales, 2 deu cordes inégalement distantes du centre sont inégales, et la plus proche du centre est la plus grande. Si OM = ON, on doit avoir = D. En effet, si les cordes étaient inégales, il en serait de même de OM et ON (théorème direct). Si ON < OH, on doit avoir D > EF. En effet, on ne peut pas avoir D < EF, sans quoi on aurait ON > OH, ce qui est contraire à l'hpothèse. III. ORDES PRLLÈLES 127. Théorème. Deu cordes parallèles d'un cercle interceptent entre elles deu arcs égau. Soit dans le cercle O deu cordes parallèles et D. Le diamètre MN perpendiculaire à l'est aussi à D. Il passe au milieu de ces cordes et au milieu des arcs qu'elles sous-tendent. On a donc arc M = arc DM arc M = arc M, Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 61/77

62 donc M - M = DM - M ou arc = arc D Il en résulte que les cordes et D sont égales. Le quadrilatère D est un trapèze isocèle, dont MN est l'ae de smétrie. Remarque. Le théorème reste eact dans le cas où l'une des droites, par eemple, devient tangente au cercle. M O D EXERIES N 191. Soit un cercle O et un diamètre. On mène par et par deu cordes parallèles et D. 1 omparer et D. 2 Montrer que, O et D sont alignés Deu cordes et D d'un même cercle sont parallèles. omparer les cordes et D, puis les cordes D et Soit une corde dans un cercle O. omparer à la somme O + O. En déduire que toute corde est inférieure à un diamètre Par un point intérieur à un cercle O, on mène la corde perpendiculaire au diamètre passant par, et une corde quelconque MN. 1 omparer les distances de O à ces deu cordes. 2 Quelle est la plus petite corde passant par? quelle est la plus grande? 3 Montrer que les milieu de toutes les cordes passant par sont sur un cercle de diamètre O Une sécante coupe deu cercles concentriques, le premier en et, le second en ' et '. 1 omparer ' et '. 2 Etudier le cas où la sécante est tangente à l'un des cercles Soit un cercle de centre O, de raon 5 cm. On considère toutes les cordes de ce cercle dont la longueur est 6 cm. 1 Montrer que les milieu de toutes ces cordes sont sur un cercle de centre O, dont on construira le raon. 2 Montrer que toute corde aant son milieu sur ce cercle a pour longueur 6 cm. 3 Par un point, construire une sécante qui coupe le cercle donné en deu points et, tels que = 6 cm Soit un cercle O et une corde. Par deu points ' et ' équidistants du milieu de, on construit les perpendiculaires à, qui coupent le cercle en, D et en E, F. Démontrer que les cordes D et EF sont égales Deu cordes d'un cercle, et, ont une etrémité commune ; on suppose que le diamètre passant par est la bissectrice de ; démontrer que = Soient et les deu points communs à deu cercles sécants O et O'. Une droite passant par coupe les cercles en et D. 1 Soient M et N les pieds des perpendiculaires menées de O et O' à la droite D. Démontrer que MN = D/2. On eaminera le cas où est entre et D et le cas où est etérieur à D. Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 62/77

63 2 onstruire la droite D de façon que le segment D ait une longueur donnée 2a. Montrer qu'en général il eiste deu droites répondant à la question et qu'elles font des angles égau avec Deu cercles de centres O et O' se coupent en et ; par on construit une sécante qui coupe les cercles en et D ; soit M le milieu de, N le milieu de D et I le milieu de MN. 1 Montrer que la perpendiculaire en I à D coupe OO' en son milieu K. 2 onstruire la sécante D de façon que en soit le milieu (montrer que le milieu de MN est alors en ). Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 63/77

64 Di-septième leçon L'NGLE INSRIT 128. ngle au centre. Rappelons la définition de l'angle au centre et ses propriétés. On appelle angle au centre un angle aant son sommet au centre du cercle. La portion du cercle située à l'intérieur de l'angle au centre O est appelée l'arc intercepté par cet angle au centre. O Nous avons vu que : pour que deu angles au centre soient égau, il faut et il suffit qu'ils interceptent sur un cercle deu arcs égau. Nous en avons déduit que l'angle au centre et l'arc qu'il intercepte sur un cercle sont mesurés par le même nombre de degrés ou de grades. O 129. ngle inscrit. On appelle angle inscrit à un cercle un angle dont les côtés sont deu cordes issues d'un point de ce cercle. 'est le cas des angles des figures ci-dessus. La portion du cercle située à l'intérieur de cet angle est l'arc : c'est l'arc intercepté par l'angle inscrit. chaque angle inscrit correspond l'angle au centre interceptant le même arc que lui sur le cercle. et angle peut être saillant, plat ou rentrant. Le théorème suivant permet de comparer l'angle inscrit à l'angle au centre correspondant Théorème. Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant. Hpothèse : et sont deu cordes. O onclusion : = 2 Reconstruire l'école Lebossé Hémer 4e 64/77