maîtriser le cours (page 140)

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1 T Si f h(i, k) alors f h I, k Si f r(i, θ) alors f r(i, θ) a) Si f, g alors g f (p 00) On a toujours f (g h) (f g) h Id Si f alors f (p 00) onc est un groupe pour la loi b) On procède de la même manière en vérifiant la conservation des angles orientés c) Non, car la composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe n est pas un groupe pour + car, sauf 0, aucun entier naturel n a d opposé dans est un groupe pour +, mais pas pour la loi multiplication (un entier n est en général pas inversible dans : seuls et le sont) est un groupe pour la loi addition * {0} est un groupe pour la multiplication Mêmes réponses pour et orrigés des exercices maîtriser le cours (page 0) Isométries du plan orrigé dans le manuel La composée g f est une rotation d angle Pour déterminer le centre de la rotation, on cherche les images de deux points g f() g() et g f() g() Le centre de la rotation est à l intersection des médiatrices de [] et [ ] : c est le point insi g f r, g f est une rotation d angle - puisque + - g f() g() ; est un point invariant, c est donc le centre de la rotation, g f r, La composée de deux réflexions est un déplacement, c est-à-dire une translation ou une rotation et omme (Z, E ) 0, le déplacement est une translation de vecteur O I La composée de deux réflexions est un déplacement, c est-à-dire une translation ou une rotation et et (Z, Z) donc f g est une rotation d angle ou encore une symétrie centrale Le centre est le milieu de [] (ou []), c est-à-dire O + - donc g f est une rotation et, donc le centre O de la rotation g f est à l intersection des médiatrices de [] et [ ] (voir la figure ci-après) 0 donc g f est une translation, le vecteur de la translation est I 7 omme dans l exercice, on a f t r r, g s t r r(, ) r, g est une rotation d angle - g() : b, est invariant et g r, f g r, ; r, comme +, f g est une 0 translation g f et g f est une translation de vecteur : I Z orrigé dans le manuel 9 h est un antidéplacement, comme composée d un déplacement et d un antidéplacement h() g f() g() ; h() g f() g() ; h est donc la réflexion d axe () 0 g g est un déplacement comme composée de deux antidéplacements e plus, le point O est invariant par g g : g g est donc une rotation de centre O O SPÉILITÉ HP omposées de similitudes 9

2 g g, l angle de la rotation g g est : (IO, IO) - Soit en définitive g g f e l égalité g g f, on déduit en composant à gauche par g : g g g g f, c est-à-dire g f g, puisque g g Id et que, pour tout f, Id f f g f est donc la réflexion g d axe (O) a) L écriture complexe de f est z iz avec i donc il s agit d une isométrie L écriture n étant pas du type z az + b, f est un antidéplacement b) r : z iz c) σ : z z a) r σ a pour écriture complexe z iz, donc : r σ f b) En appliquant «Pour mieux comprendre», p 9 : r σ σ c) où f r σ σ σ σ σ f(k) r t(k) r(j) K; g(j) t r(j) t(k) J f et g sont des composées d une rotation et d une translation : f et g sont des rotations d angle K et J étant des points invariants : f r K, et g r J, a) f r K, donc g f est la composée de deux rotations omme + 0, g f est une translation b) g f () g(i) d où g f t I θ (d, d ) et, en appliquant «Pour mieux comprendre», p 9, r σ σ On a bien (d ) d et, en appliquant «Pour mieux comprendre», p 9, on obtient t σ σ a) f est la composée de trois antidéplacements donc c est un antidéplacement b) après le, σ σ r O, - r car (IO, IO) c) Pour les mêmes raisons, σ σ r O, - r En définitive, f σ σ σ σ r σ σ σ σ On écrit z e i z + i et s est la symétrie (ou rotation d angle ) et de centre Ω d affixe i L écriture complexe de r est z iz lors s r a pour écriture z iz (c est la rotation de centre Ω ( + i) et d angle ) et r s a pour écriture z iz + i (c est la rotation de centre Ω ( + i) et d angle ) 9 t I omposition d homothéties et de translations g f est la translation de vecteur I g f est l identité (homothétie de centre, de rapport ) g f est la symétrie centrale de centre (homothétie de centre, de rapport ) g f est la translation de vecteur Z orrigé dans le manuel 7 g f est une homothétie de rapport Son centre est le point I tel que RI + RI 0 (voir Pour mieux comprendre, p du manuel) g f est une homothétie de rapport, donc une symétrie centrale Pour obtenir son centre I, on peut chercher l image de, alors I est le milieu de [ ] Or, g f() g(), donc O Z, est le milieu de [] 9 h h est une homothétie de rapport Son centre est le point I tel que RI + ZI 0 (voir Pour mieux comprendre, p du manuel) 0 g f est la translation de vecteur au g f est l homothétie de rapport de centre, le point I défini par ZI - 7 Z 0 g f est l homothétie de rapport, son centre I est défini par ZI Z g f est l homothétie de rapport, de centre I défini par RI Z x x + Pour f : ; pour g : x y + 9 y y + y y T g f est une homothétie de rapport x x + 7 nalytiquement, T : y y 7 Le centre de T a pour coordonnées 7 ; 7 x x + Pour f : x x + ; pour g : y y + y y + x x + T g f est une translation T : y y T est la médiatrice de vecteur au (au av) x x Pour f : ; pour g : x x y y + y y + T g f est une homothétie de rapport x x + T : y y Le centre de T a pour coordonnées ; 0 7 d est la droite passant par ( ; 0), de vecteur directeur aw au + av Par une homothétie ou une translation f, une droite d est transformée en une droite parallèle d

3 d sera donc la parallèle à d passant par f() : (x ) + (y + ) 0 a pour centre Ω(; ), et pour rayon 0 Un cercle (Ω; r) est transformé en un cercle de centre Ω f(ω), et de rayon r k r, k désignant le rapport de l homothétie ou bien, si f est une translation d a pour équation x y + 0 est le cercle de centre Ω ( ; ), de rayon r 0 Une équation de est (x + ) + (y + ) 0 est transformé en ( ; ) d a pour équation x y est le cercle de centre Ω (; ), de rayon 0 d est globalement invariante car J d est le cercle de centre Ω ( 7; 7), de rayon 0 omposition de similitudes L écriture complexe est du type z az + b donc s est une similitude de centre le point invariant O, de rapport k + i et d angle θ arg( + i) z + i et z + i L écriture complexe de s est z az + b avec : s ( ) + i a+ b soit ou a i s ( ) + i ai + b b i Et z ( i) z + i s s a pour écriture complexe : z ( i)( + i) z + i iz + i s s est une similitude directe de centre Ω d affixe i +, de rapport k i et d angle arg( i) s s et s s sont des similitudes de rapport et d angle + a) s s () s () car : (Z, Z) et s s () s () car : (Z, Z) et b) Le centre Ω de la similitude s s est tel que : Ω Ω et (ZΩ, ZΩ), donc Ω I Le centre Ω de la similitude s s est tel que : Ω Ω et (OΩ, OΩ ), donc Ω F Par la rotation, M N MN et (OMN, EM N ) Par l homothétie, EM N EM N où M N MN et (OMN, EM N ) a) h et r sont des similitudes directes, donc h r est une similitude directe b) Son rapport est, son angle est a) z donc z b) L écriture complexe est du type z az + b avec a e i/ i et z az + b, d où a i et b i En définitive, l écriture de f est z iz + ( i) c) Le centre de la similitude est le point invariant de f, soit le point d affixe + i pour apprendre à chercher (page ) vec des homothéties et des translations Les outils : Image d une droite par une translation Image d une droite par une homothétie Les objectifs : Savoir démontrer des alignements de points a) L image de M est alignée avec et M et, de plus, se trouve sur la parallèle à (M) passant par, h(m) K e même, h(q) R b) L image de la droite (MQ) est la droite (KR) a) À l aide des parallélogrammes MPK et MRQ, on peut affirmer que IM IRQ et IM UKP onc t(r) Q et t(k) P b) L image de la droite (KR) par t est la droite parallèle (QP) En définitive, l image de (MQ) par t h est la droite parallèle (QP) c) Les points M, Q et P sont donc alignés 7 émontrer avec les similitudes directes Les outils : Similitude définie par deux points et leurs images omposition de similitudes Les objectifs : Savoir démontrer que des segments sont isométriques en composant des similitudes directes Savoir démontrer que les droites sont perpendiculaires en composant des similitudes directes a) Par s,, Q donc θ ( Z, ZR) - Par s,, R donc k - R b) s s est une similitude directe de rapport et d angle, c est donc une rotation d angle a) est tel que est un triangle rectangle isocèle direct, rectangle en b) après la configuration, s () P En définitive, par la rotation s s, Q a pour image T et a pour image P onc Q RP et (RP) et (Q) sont perpendiculaires θ k ( ZQ, Z) - Q - SPÉILITÉ HP omposées de similitudes 9

4 Ensemble de similitudes Les outils : éfinition analytique d une similitude omposition des expressions analytiques Les objectifs : hercher des similitudes qui commutent σ est la similitude de centre Ω d affixe + i, de rapport, et d angle (σ est donc une rotation) f (f (z)) f (f (z)) a(iz + ) + b i(az + b) + aiz + a + b iaz + ib + Les écritures sont égales pour tout z si et seulement si a + b ib +, soit b( i) a ou b ( + i)( a) Les similitudes qui commutent avec s sont donc celles dont l écriture complexe est z az + ( + i)( a) Prolongement Si a, c est-à-dire si s n est pas l identité, il y a un point invariant, le point Ω d affixe + i Les similitudes directes s et s ont le même centre Ω, donc s s s s sont des éléments de e la même manière, s est une similitude de centre Ω donc appartient à pour progresser (page ) Isométries : écritures complexes 9 orrigé dans le manuel 0 Évident f f : z z +, f f est la translation de vecteur av(; 0) g : z z; g est la symétrie orthogonale d axe (x x) g f f g t v t v d est l axe (x x) et au(; 0) est vecteur directeur de d La composée est commutative car au est vecteur directeur de l axe de symétrie Z e i ; Z e i - ; Z e i7 - ; Z e i ; Z iz, Z iz, Z iz est un carré de centre O, inscrit dans le cercle de centre O, de rayon a) f est la rotation de centre O, d angle ; f est la translation de vecteur au(; ) b) f : z iz + ( + i) c) f transforme (,,, ) en (,,, ),,, sont respectivement les transformés de,,, dans la translation de vecteur au(; ) Isométries : études de figures orrigé dans le manuel R : z iz i; R : z z + i; R : z iz + i T : z z ; translation de vecteur aw( ; 0) ϕ : z iz i; rotation de centre, d angle t( ) donc M t(m) est un point de Le cercle est globalement invariant par la rotation r, donc M f(m ) r(m ) est un point de f(o ) r(o ) O f() r() donc (OO, EO ) d où O équilatéral direct f est un déplacement d angle associé, donc une rotation d angle f(o ) O donc IO IO et (IO, IO ) Le triangle IO O est équilatéral direct (I est image de O dans la rotation de centre O, d angle ) Remarque : f(o ) O et f() ; I est donc l intersection des médiatrices de [O O ] et de [ ] t r est une rotation d angle Son centre Ω est l intersection des médiatrices de [OO ] et [ ] (O est le centre de ) et (Z, O ) onc est équilatéral Une hauteur est ( I) (I milieu de []) e même, (I) () onc est un losange et I est le milieu de [ ] (Z, O ) (Z, Z) + (Z, O ),, sont alignés et r r est la rotation de centre J, d angle 7 Par construction, est un losange M O I O r() r r () r () ; r() r () ; r(i) I (conservation des milieux) r r est une rotation d angle ; c est la symétrie de centre I N O M 9

5 a), cercle de diamètre [], est transformé en, cercle de diamètre [] r( ) r ( ) : cercle de diamètre [r () r ()] [ ] (ou, plus rapidement, r( ) S I ( ), de diamètre [S() S()]) r r b) M N M Si M, alors N ; M ; deux points sont alignés Si M, alors N et M Si M {, }, alors : (INM, ONM ) (INM, ZN) + (ZN, ZN) + (ZN, ONM ) [] avec (INM, ZN), (ZN, ONM ), (ZN, ZN) (IM, IM) ± ans tous les cas, (INM, ONM ) 0 (mod ), donc N, M, M alignés J r () est sur, (Z, ZJ) a) r r est une symétrie centrale de centre Ω b) r r (M ) M et Ω (fixe) est milieu de [M M ] ; r r (J) ; d où Ω milieu de [J] 9 a) r () b) t est la translation de vecteur I c) M M est un parallélogramme (t(m ) M, donc EM M Z) a) M décrit r (Γ) Γ, cercle de diamètre [] b) roite des milieux dans : Oω ω I c) OM I EM M Z Oω ω La translation t de vecteur Oω ω transforme M en I onc I décrit t (Γ ), cercle de centre t (ω ) ω, et de même rayon que Γ : I décrit Γ 0 a) O t r, r (O) b) Par la configuration, (UIO, UI) r r t est une rotation d angle avec de plus r (O) Le centre Ω de cette rotation est tel que ΩO Ω et (ZΩO, ZΩ) Ω est donc le point I a) IPM ZO ZEL onc le milieu de [PL] est le milieu de [ME], soit le point J b) r (L) r t(l) r() ; r (P) r t(p) r(m) N omme la rotation conserve le milieu d un segment, J milieu de [PL] devient K le milieu de [N] lors IK IJ et (zij, UIK), c est-à-dire IJK est un triangle équilatéral a) Le produit des trois rapports vaut onc la composée est une homothétie de rapport, c est-à-dire une symétrie centrale b) Le produit des quatre rapports est égal à onc la composée est une translation a) f(i) I b) f est la symétrie centrale de centre I, donc I est le centre de la symétrie centrale S E S S S S S E (S S ) (S S ) S E t Z t Z S E t Z + Z Il suffit de déterminer le centre I de la symétrie centrale S E t Z + Z Il est défini par UEI (Z + Z) onnaissant I, on peut alors construire le pentagone L image de I par S S S S doit être I Or, S S S S est la translation de vecteur (Z + Z) Une translation de vecteur non nul n admettant pas d invariant, la seule possibilité est Z + Z a0, c est-à-dire parallélogramme lors tout point est invariant, et I peut être choisi arbitrairement () est bissectrice dans le triangle équilatéral, donc (I, I) On déduit (Z, Z), et, par symétrie, (Z, Z) où (O, Z) ans, () est donc hauteur et bissectrice Le triangle est alors isocèle et () est aussi médiane a) S S : rotation r de centre, d angle - S S : rotation r de centre, d angle - b) t est la composée des deux rotations précédentes est un déplacement, dont l angle associé est nul, donc une translation Or, t() r () onc t est la translation de vecteur O ; ; ; (E E ) + E E + Z Z, donc E E Z Z a) Immédiat b) Si M(x; y) dans (O; UOI, UOJ) alors : x OOM UOI et y OOM UOJ M (x ; y ) dans le repère (O ; OO I, OO J ) orthonormal, x EO M O I OM UOI x; de même, y y Si i a pour coordonnées (x i ; y i ) dans, alors G a pour coordonnées α α i x i ; β α i y i ; α i α i i f( i ) a pour coordonnées (x i ; y i ) dans, G f(g) a pour coordonnées (α; β) dans ; donc G est le barycentre des ( i, α i ) a) Une droite () est l ensemble des barycentres de (, t), (, t), quand t décrit Un segment [] est l ensemble des barycentres de (, t), (, t) quand t décrit [0 ; ] parallélogramme équivaut à barycentre de (, ), (, ), (, ) ans chaque cas, il suffit d appliquer la conservation du barycentre b) et c) Immédiat onséquence de la conservation du produit scalaire À l aide de cos () Z Z, par conservation des longueurs et du produit scalaire, conservation du cosinus, donc de l angle géométrique SPÉILITÉ HP omposées de similitudes 97

6 Homothéties Translations h : E; h : E F E E a) Par une homothétie h, l image de la droite () est une droite parallèle passant par E : la droite (EF) e plus, l image de est alignée avec et, d où h () F Par le même raisonnement, h (F) b) h a pour rapport - E - EF, h a pour rapport - -, donc h h donc h h sont des homothéties E FE de rapport, c est-à-dire des symétries centrales h h () h (F) donc h h est la symétrie de centre I, milieu de [] h h (E) h () F donc h h est la symétrie de centre J, milieu de [EF] En menant la parallèle à (E) par F, cette droite coupe () en E (même raisonnement qu au a)) e même, on mène la parallèle à (EE ) par, cette parallèle coupe (E ) en E h h h h s I s J h(i, ) h(j, ) est donc une translation e plus, J J J (avec IJ IJ), donc le vecteur de la translation est UJJ RJI h h (E) h (E ) E donc I est le milieu de [EE ] omme I est le milieu de [], EE est un parallélogramme Le triangle a deux angles dont les mesures sont 0 en degrés : il est équilatéral est donc un point fixe, le triangle est fixe et son centre de gravité G est fixe ans les triangles PG et MG, P M, G G et PG GM, donc PG MG en utilisant la formule d al-kaschi e même, on prouve que MG GQ et G est le centre du cercle circonscrit au triangle MPQ a) f est une translation puisque le produit des rapports est e plus, f() h h () h () avec OG IG Le vecteur de la translation est O IG b) PMQ est un parallélogramme, donc [M] et [PQ] ont le même milieu I autre part, si on note M f(m), on a OMM IG et les segments [M] et [M G] ont encore pour milieu I ans la symétrie de centre O : M, P Q, Q P et G M La symétrie conserve les distances, donc M P M Q M et M est le centre du cercle circonscrit à PQ J E I M t(m) donc l ensemble des centres des cercles circonscrits à PQ est l image du segment [] par la translation t ZG (Réciproque facile puisque la translation est bijective) a) L homothétie transforme une droite en une droite parallèle omme G a pour image E par h, la droite (G) a pour image la droite (FE) Par h, F a pour image H, donc la droite (FE) a pour image la droite (H) insi l image de (G) par h h est (H) b) e la même manière, l image de (F) par h est (GH) et l image de (GH) par h est (E) onc l image de (F) par h h est (E) c) h h h h car il s agit d homothéties de même centre I est l intersection des droites (G) et (F), son image par h h h h est l intersection des droites (H) et (E), c est-à-dire onc, est l image de par l homothétie h h de centre I : () passe par I a) IO (IE + IH) b) I I U c) IO I (IE + IH) (I U) IE I IH U, et, si on note a et b, il vient : IO I ab + ba 0 Les vecteurs sont orthogonaux ou (O) est la hauteur, issue de, dans le triangle Puisque et : a) L angle de s est : θ (I, U) (I, U) + +, le rapport de s est λ k b) L angle de la similitude est, donc s transforme une droite en une droite perpendiculaire () passe par, donc son image par s est la droite (O) (passant par et perpendiculaire à ()) (O) passe par, donc son image par s est la droite () (passant par et perpendiculaire à (O)) c) après la définition de la similitude, si on appelle Ω son centre, (ZΩ, ZΩ) et (ZΩ, ZΩ), soit Ω appartient aux cercles de diamètres [] et [] G Ω es cercles se coupent en et en l intersection des droites (O) et () H I O F E 9

7 Le centre de s ne peut pas être (puisque s() ), donc le centre est Ω intersection de (O) et () 7omme dans l exercice résolu, on cherche à composer des applications de manière à passer de P à I On note G le centre de gravité du triangle, et on considère les homothéties h(m, ) et h(g, ) h(g, ) h(m, ) est une homothétie de rapport ou une symétrie centrale Par cette transformation, P I, Q J, R K et les segments [PI], [QJ] et [RK] ont le même milieu orrigé dans le manuel Similitudes 9 a) r : et f() r r () r () I; f() r r () r () b) La somme des angles est +, donc f est une rotation d angle O est situé à l intersection des médiatrices de [I] et [] La configuration nous assure que O est un losange (() // (O), O O car O a deux angles égaux à ) a) s(o) O et s(), l angle de la similitude est θ (IO, IO) omme (IO, IO), et par s, (IO, O ), le point appartient à la droite (O) b) L image d un segment est un segment et une similitude transforme le milieu d un segment en le milieu du segment image, donc s([o]) [O] et H est le milieu de [O] La similitude transforme deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires, (H) (O) devient ( H ) (O) ( H) et ( H ) sont des droites perpendiculaires à [] et [O] en leur milieu, elles sont médiatrices du triangle O et est le centre du cercle circonscrit à ce triangle I 0 f est une isométrie + cos θ + i sin θ cos θ cos θ θ ; - f θ : z cos θ e iθ z + + i; H H O f θ + f θ : z cos θ e iθ ( cos θ e iθ z + i) + + i cos θ cos θ e i(θ θ ) z + c, c e i(θ θ ) z + c (cos θ cos θ ) e i( + θ θ ) z + c Rotation d angle + θ θ a) Ω a pour affixe ω + i b) Le rapport est + i a) L écriture complexe de h est z ( + i) (z ( + i)) et celle de h est z ( + i) (z ( + i)) lors l écriture complexe de s h est : z ( + i) ( z ( i) ) + i + 0i + i z + - i b) s h (Ω) Ω car Ω est invariant par s et h z zi et z + i i + i i, donc : s h () c) s h est une similitude ayant deux points invariants, elle n est pas l identité, donc s h σ, où σ est la réflexion d axe (Ω) En composant à droite par h, il vient s σ h On vérifie que h σ s z + i z + - i + ( i) ( + i)z + 0i a) I, d affixe z x + iy, est invariant signifie que : x + iy i(x iy) + i, soit x 0 et y I a pour affixe i b) Le rapport est i a) Écriture complexe de h : z z + i, de h : z z i b) Écriture complexe de f h : z i + i iz + i z + i Points invariants de f h : x + iy i(x iy) + i, soit la droite d d équation x y 0 σ est une similitude, distincte de l identité, ayant deux points invariants (sur d) : c est la réflexion d axe d e σ f h on déduit, en composant à droite par h, que σ h f h h f (on vérifiera que h σ f) L égalité x + iy i(x iy) + + i conduit au système x y qui n a pas de solution x + y a) z, z + i, z H + i, z H + i b) Écriture complexe de t : z z + + i, de t : z z i a) f t : z i(z + i) + + i iz + i b) L ensemble des points invariants de σ est la droite d d équation x y 0 σ est donc une similitude ayant une droite d invariants : c est la réflexion d axe d e σ f t on déduit σ t f t t f (On vérifie que t σ f) SPÉILITÉ HP omposées de similitudes 99

8 L écriture complexe est du type z az + b avec a, donc il s agit d antidéplacements a) Invariants de s : la droite d d équation x y Invariants de s : la droite d d équation x y b) s et s sont donc les réflexions d axes respectifs d et d L écriture complexe de s s est : z i i + i z + + i + i z + i s s est la rotation de centre, d affixe, et d angle L écriture complexe de s s est : z k k e i(θ + θ ) z + k e iθ b + b a) s s est une translation lorsque k k ou θ + θ 0 b) s s est une rotation lorsque k k c) s s est une homothétie lorsque θ + θ 0 ou θ + θ a) s s Ω,,, s, donc s s t au s Ω,, b) s s Ω,,, s, donc s s h(ω, ) s Ω,, c) s s,,, s, donc s s h(ω, ) s,, f() t s() t(); f() t s() t() ; Z i, d où () et ( + i) f est la composée d une réflexion et d une translation : c est un antidéplacement On a z az + b avec f() et f() : ia + b a i - soit + i ( + i)a+ b b i Soit z - i z + i La recherche des points invariants équivaut à la résolution du système qui n a pas de solution x + y - x + y f n est donc pas une réflexion a) I a pour affixe + i, donc a pour vecteur directeur un vecteur colinéaire au vecteur au d affixe i (I au 0) omme Z a pour affixe + i, les droites et () sont parallèles après «Pour mieux comprendre», p 9, on peut affirmer que s s est une translation de vecteur I b) f s t s s t Z t Z t I t En composant à droite par s, il vient f s s t s, soit f t s 7 f est une similitude de rapport et d angle 0, donc f est une translation a) f(s) s s (S) s () R f(p) s s (P) s () Q b) Le vecteur de la translation est ZSR ou ZPQ et PQRS est un parallélogramme omme s(o) et s() J, alors : θ (IO, UI) et k I O On note s() omme (IO, IO), on aura (O, zi) e plus, O lors Une similitude conserve le milieu, donc I, milieu de [O], devient K, milieu de [], soit s(i) K a) f s s est une similitude de rapport et d angle +, c est donc une homothétie de rapport, dont le centre est celui de s puisqu on compose deux fois la même similitude b) f(o) s s(o) s() et f() s s() s(i) K Le centre de l homothétie est à l intersection des droites (K) et (O) z ; z i a) L écriture complexe de s est z az + b s( O) b a i s( ) I ia + b b z iz + b) Le point invariant a pour affixe ω - + i 9 a) z I, z I + i; z O 0, z O i; z J i, z J + i; z + i, z i b) Une similitude transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles et multiplie les longueurs par k, ( k + i ) OIJ est un carré, donc O I J est un carré a) Par r : O I, I, J et J O, f s r est donc une similitude, car composée de deux similitudes directes, transformant le carré OIJ en O I J b) L écriture complexe de la rotation r est z iz + + i onc celle de f est : z i(( + i) z + i) + + i ( + i) z + + i f est une similitude de rapport k + i, d angle θ arg( + i) - et de centre Ω, d affixe ω 7 + i Vrai ou faux? 0 Vrai L ensemble des invariants est la droite (O) d équation y x, (x + iy ix + y) omme f n est pas l identité, f est la réflexion d axe (O) Vrai L écriture complexe de t UJ est z z + onc t f a pour écriture complexe z z : comme UJ dans l exercice précédent, t f est la réflexion d axe UJ (OI) lors t UJ f s et, en composant à gauche (OI) par t UJ, on obtient f t UJ s (OI) 00

9 Vrai f est une homothétie de rapport On note Ω le centre de f On peut remarquer que f(o) On a aussi ZΩ ZΩO et Ω est le centre de gravité du triangle IJ Faux La somme des angles est nulle, donc r r est une translation e plus, r r () r () Le vecteur de la rotation est I Z, c est-à-dire r r t Z problèmes de synthèse (page 0) L image du carré OI est le carré O avec conservation des angles orientés O a) vec la configuration, σ(), σ(i) et σ(), avec milieu de [ ] b) Les points, I, sont alignés, donc leurs images par σ sont alignées onc est un élément de () a), I et sont alignés, donc, et sont alignés b) Les angles (ZOI, ZO) et (ZO, OO ) sont égaux et ( ) : on peut alors construire le point a) Équation de droite (I) : y x + b) x m, donc y m + et l affixe de est : a m + i( m) c) L écriture complexe de la similitude est z αz + β (α *, β ) e s(o) O et s(i), on déduit β 0 et α a et l écriture complexe est z az d) z a ; z a( + i) (m + i im)( + i) (m ) + i a) z a [m + ( m )i] (m ) + m( m) i b) z E (m m + )i, ce qui prouve que ( ) et () sont orthogonales () donc est le projeté orthogonal de sur () I O (m ) + m ( m) m m + m m + ; (m m + ) m m + m m + c) y m m x +, x + x - + qui est l équation d une parabole e plus, m ]0; [ ]; + [, donc : x m ]; [ ]; + [ onc il s agit de la partie de la parabole pour x > et x a) Immédiat b) f est un antidéplacement x + y 0 c) M(x; y) invariant x y + 0 Équations incompatibles : pas de point invariant a) Paramétrage de, passant par le point ( ; 0) et dirigée par uau ( ; ) M( (t ); t) a pour image M t et ; t + M b) av au c) z + i est l écriture complexe de z + i s f t Si on cherche l ensemble des invariants de s, on obtient la droite d équation x y s est donc une similitude, distincte de l identité, ayant deux points invariants distincts : c est la réflexion d axe e f t s, on déduit f s t puis on vérifie que f t s SPÉILITÉ HP omposées de similitudes 0

10 pour chercher plus (page 0) Soit r la rotation de centre, d angle ; r ( ), r (R), r ( ) La translation t de vecteur Z transforme (,, ) en (,, Q) En effet : O O Z; Q, et (E, O Q) (E, E ) + (I, O Q) 0 onc E O Q lors : R r t Q Q R P t r est une rotation r d angle, donc R Q et (O Q, OR ) ou (O Q, O R) onc R est image de Q dans la rotation r de centre, d angle r transforme (, P, Q) en (,, R), donc R PQ et (ZPQ, ZR) onc (R) est hauteur du triangle PQR Par deux raisonnements analogues, on montrerait (Q) (PR) et (P) (RQ) Les droites (P), (Q) et (R) sont donc les hauteurs du triangle PQR 7 a) T t h t ; T est une homothétie de rapport k (celui de h) Son centre J est l unique invariant : il est défini par rij au b) T h t h ; T est une translation Le vecteur de cette translation est RV EMT (M), M quelconque En prenant M I, les calculs se simplifient légèrement On obtient RV kau a) Élémentaire b) Toute homothétie de centre O, transmuée par t au, devient une homothétie de centre O tel que OOO au (d après a)) Réciproquement, toute homothétie h de centre O est la transmuée d une homothétie h de centre O, et de même rapport, par t au h t h t h t h t onc est l ensemble des homothéties de centre O est un groupe commutatif pour la loi 0