Énoncés. Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice 4.45

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1 ) *! N N e orrection d eercices sur l optimisation Énoncés Eercice 4.40 Parmi tous les triangles rectangles d hypoténuse donnée h, quel est celui dont le périmètre est le plus grand? Quel est ce périmètre maimal? Eercice 4.4 Parmi tous les rectangles de périmètre donné p, quel est celui dont l aire est maimale? Quelle est la valeur de cette aire? Eercice 4.4 Un fil de longueur L doit être coupé en deu parties. Avec l une on forme un triangle équilatéral et avec l autre un carré. Où faut-il couper ce fil pour que l aire totale des deu figures construites soit maimale? imale? Eercice 4.44 Déterer les dimensions d une boîte cylindrique sans couvercle, de volume donné, pour que sa construction demande le moins de matériau possible (on négligera l épaisseur des parois et les déchets de construction). Même question pour une boîte avec couvercle. Eercice 4.45 On construit une boîte rectangulaire en découpant quatre carrés au coins d une feuille de carton mesurant cm sur 0 cm. Déterer la hauteur de la boîte de volume maimal. Eercice 4.46 On construit un conteneur de forme cylindrique sans couvercle de volume 648π cm. Le matériau utilisé pour le fond coûte 5 centimes par cm et celui utilisé pour la paroi latérale 5 centimes par cm. Eercice 4.49 Un mur de m de haut, situé à m d une façade, interdit l accès à celle-ci. alculer la longueur de l échelle la plus courte qui s appuie contre la façade et dont le pied est sur le sol, devant le mur. Eercice 4.55 La résistance d une poutre de section rectangulaire est proportionnelle au produit de la largeur par le carré de la hauteur de sa section transversale. Quelle est la forme de la poutre la plus résistante que l on peut ailler dans un tronc d arbre de section circulaire? Eercice 4.59 Un navire doit parcourir 40 km contre un courant de 0 km/h. Il consomme par heure une quantité de carburant proportionnelle au carré de sa vitesse. En supposant qu il navigue à vitesse constante, quelle doit être sa vitesse pour imiser la quantité de carburant consommée? Eercice 4.6 Deu couloirs de largeurs de m et m se rencontrent à angle droit. On transporte une barre rigide AB parallèlement au sol. Quelle est la longueur maimale que peut avoir cette barre si l on veut pouvoir la transporter d un couloir à l autre? Eercice 4.66 Un rectangle ABD est inscrit dans un demi-cercle de diamètre égal à. Déterer le rectangle d aire maimale en prenant l angle θ comme variable. B D O θ A

2 e orrection d eercices sur l optimisation orrection e. 4.4 L o La variable représente le côté du triangle équilatéral, c.-à-d. le tiers de la partie de la ficelle utilisée pour le triangle. La partie restante pour le carré est donc L. aire du triangle équilatéral = h h la hauteur s obtient avec Pythagore : D où, aire du triangle = 4 ( ) L aire du carré = = L 6L ( ) = h + h = 4 h = 4 h = l aire à optimiser est donnée par la fonction suivante définie sur [0, L ] A() = 4 + L 6L+9 6 = ( (4 +9) 6L+L ) parabole tournée vers le haut et D A = [0,L] 6 o A () = ( (4 ) +9) 6L = ( (4 ) +9) L. Epression affine (signe 0 +) 6 8 Points critiques : A () = 0 (4 +9) L = 0 0 L 4 +9 A () 0 + A() 6 L L 6 L (4 +9) = L L = 4 +9 o L aire totale maimale s obtient pour = 0, puisque 6 L > 6 L. est le cas où on forme un carré uniquement sans couper la ficelle ; o l aire totale imale s obtient pour = L 4. Dans +9 ce cas, le périmètre du triangle vaut = 9L et le périmètre du carré L 9L 4 +9 = ( )L 9L 4 +9 = 4 L 4 +9

3 e orrection d eercices sur l optimisation orrection e o La grandeur à imiser est la surface totale le volume de la boîte vaut V = πr h et cette valeur V est fiée ; l aire totale vaut A = πr +πr h (fond de la boìte + surface latérale qui est un rectangle) Puisque A dépend à la fois de r et de h ( variables), il faut se débarrasser de l une d elles : on utilise V = πr h dont on tire que h = V. On a ainsi πr o A(r) = πr V +πr πr = πr + V définie sur ]0, [ r o A (r) = πr V r Points critiques : A (r) = 0 πr = V r r = V π r = V π r = πr h pour comparer r et h, on remplace V par πr h π r = r h puisque r 0 r = h 4 o si la boîte comporte un couvercle, alors A(r) = πr + V r et A (r) = 4πr V. En répercutant cette r modification dans les calculs, on obtient r = h, c.-à-d. que le diamètre est égale à la hauteur. 5 o la valeur trouvée pour r est bien un imum, car la dérivée s annule uniquement en ce point, V r 0 et, est négative avant et positive après. Pour s en π = h rendre compte, on réécrit A (r) = πr V r. A () 0 + Le signe dépend uniquement de l epression πr V qui est une cubique qui s annule en A(r) V h, qui commence par des valeurs négatives et tere par des valeurs positives, avec un «écrasement» en V h. orrection e Le volume de la boîte est donné par la formule : V = ( ) (0 ) e volume dépend bien de, en développant, on a : V() = on cherche la dérivée V V () = V () = 0 si = 0. Les racines de ce polynôme sont données par, = 08±, avec = = 544= = 0 4 et 96 4 = 40 et 4 Le polynôme se factorise ainsi : = ( 40/)( 4) = 4( 40)( 4)

4 e orrection d eercices sur l optimisation 4 40 L () ma L() Les seules valeurs de qui nous intéressent sont celles comprises entre 0 et 0 (car sinon il n y a pas de boîte). Sur cet intervalle, on a un maimum pour = 4 cm orrection e o La quantité à optimiser est le coût des matériau utilisé pour le fond et la surface latérale = πr } {{ 5 } + πr h 5 } {{ } pri du fond pri de la surface latérale ette epression comporte deu variables r et h. Il faut en élier une en utilisant le fait que le volumne V = 648π. 648π = πr h d où h = 648 r r h périmètre du disque = r r o La fonction à optimiser est: (r) = 5πr +0πr 648 r = 5πr +6480π r o D =]0,[ 4 o Points critiques (r) = 0πr 6480π r Points critiques : (r) = 0 0πr = 6480π r = 6480π 0π r = 6 = 6 Nature des points critiques : on dispose de deu méthodes (a) Le tableau de variations r r 0 6 Signe de (r ) Variations de π Pour trouver le signe de la dérivée, on réécrit : (r) = 0πr 6480π r = 0πr 6480π r = 0π r 6 r. Le signe de dépend entièrement de r 6. est une cubique qui s annule en 6 uniquement, qui commence par des valeurs négatives et tere par des valeurs positives, avec un «écrasement» en 6. On peut aussi trouver ces signes, en calculant une valeur de avant et après r = 6 : par eemple, () = 0π 6480π < 0 et (0) = 00π 6,48π > 0 4

5 e orrection d eercices sur l optimisation (b) La deuième dérivée. Pour rappel, si (6) > 0, la fonction est convee en ce point et on a un imum. Si (6) < 0, la fonction est alors concave en ce point et on a un maimum. (r) = 0π 6480π ( ) r = 0π+ 6480π r > 0 (6) > 0 On a ainsi un imum local et absolu, car (r) > 0 pour tout r > 0. orrection e AB = +4 l échelle appuyé sur le mur et contre la façade réalise une configuration de Thalès. on peut en tirer la proportion suivante : d où on tire + = L = + +4 L +4 La longueur L de l échelle dépend donc de (éloignement au mur) A L B D E L() = + on cherche la dérivée L +4 L () = (+) = m = ( +4)+ (+) +4 = 4 +4 L () = 0 si 4 = 0, c est-à-dire si = 4 r 0 4 L () 0 + L() ette valeur est bien un imum. Il reste à calculer la longueur de l échelle L( 4) L() = = 4+ ( 4) +4 = ( ( 4) + 4 ) 4 ( 4) 64 = ( 4+) = ( 4+) (+ 4) = ( 4+) 4,6 m 5

6 e orrection d eercices sur l optimisation orrection e o L énoncé dit que la résistancerd une poutre est proportionnelle au produit de la largeur l par le carré de la hauteur h de sa section transversale : R = k l h. Il faut optimiser cette résistance. Pour le moment, elle dépend de la largeur et de la hauteur. En utilisant Pythagore, il est possible d enlever une des deu variables : D où d = l +h h = d l ( ) R(l) = k l (d l ) h O l d o D R =]0;d[ ( o R (l) = k (d l )+l ( l )) = k(d l ) Points critiques : R (l) = 0 d = l l = d. En substituant dans ( ), on trouve : h = l l = l h = l. Il faut encore juste vérifier que c est bien un maimum. 4 o R (l) = 6kl < 0, en particulier R (d/ ) < 0. La courbe est ainsi concave et on a bien un maimum local et absolu. orrection e La difficulté dans cet eercice se situe au début, au moment de l écriture de la fonction qui représente la quantité de carburant à imiser : on aura besoin de la formule v = d t ou, sous une forme équivalente, t = d v ; la vitesse réelle est de v 0 (contre-courant), donc t = d v 0 ; le temps pour faire le trajet est ainsi : t = d v 0 la quantité o de carburant consommée par heure est proportionnelle au carré de la vitesse : = k v o La consommation totale est la consommation par heure o multipliée par le temps mis pour faire le trajet: = o t = k v d v 0, avec d = 40. est une fonction de la vitesse : (v) = 40k v v 0 o La vitesse doit être supérieure à 0 km/h à cause du contre-courant: D =]0,[ o (v) = 40k v(v 0) v (v 0) = 40k v 0v (v 0) Les points critiques : (v) = 0 v 0v = 0 v(v 0) = 0 v = 0 ou v = 0km/h l epression quadratique v 0v (parabole convee) 4 o Nature des points critiques : tableau de variations Le signe de dépend de v Signe de (v) Variations de k Évidemment, il ne faut considérer que la partie du tableau avec v > 0 : on a un imum local et absolu en v = 0. 6

7 e orrection d eercices sur l optimisation orrection e. 4.6 est presque le même problème que le précédent. ette fois la proportion obtenue avec Thalès est: + = L + On en tire : L() = + + L échelle la plus longue qu il est possible de transporter correspond à la longueur L inférieur à tous les L() obtenus en variant! on cherche la dérivée L L () = 0 si = 0, c est-à-dire si = L () = (+) = = ( +)+ (+) + = + r 0 L () 0 + L() ette valeur est bien un imum. Il reste à calculer la longueur de l échelle L( ) orrection e o Il s agit de maimiser l aire A(θ) = rcos(θ) } {{ } OA + L() = ( ) + ( = + ) ( ) + ( ) 8 = + 4+ ( = + ) ( ) 4 4+ = ( 4+) 4,6 m rsin(θ) = r sin(θ) = sin(θ) (on utilise l identité } {{ } AB trigonométrique sin(α) = sin(α) cos(α) et r = ). o D A =]0,π/[ o A (θ) = cos(θ) 4 o Points critiques : A (θ) = 0 cos(θ) = 0 θ = π/ θ = π/4 5 o A (θ) = 4sin(θ) < 0 pourθ ]0,π/[, en particulier pourθ = π/4 = 45 o. On a donc bien un maimum local et absolu. 7