CQP 208. Chapitre 2 Dérivée des fonctions algébriques. Olivier Godin. 22 octobre Université de Sherbrooke. Limite et continuité 1 / 103

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1 CQP 208 Chapitre 2 Dérivée des fonctions algébriques Olivier Godin Université de Sherbrooke 22 octobre 2015 Limite et continuité 1 / 103

2 Plan du chapitre 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité 5 Premières formules de dérivation Limite et continuité 2 / 103

3 Plan du chapitre 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 3 / 103

4 Taux de variation moyen Taux de variation moyen 1 Taux de variation moyen Variation d une fonction Droite sécante et taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 4 / 103

5 Variation d une fonction Taux de variation moyen Variation d une fonction 1 Taux de variation moyen Variation d une fonction Droite sécante et taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 5 / 103

6 Variation d une fonction Taux de variation moyen Variation d une fonction La notion de limite introduite au chapitre précédent s est avérée un excellent moyen pour mieux comprendre le concept de fonction. Par exemple, elle nous a permis d identifier les asymptotes présentes dans le graphique d une fonction de même que de formaliser la définition de la continuité d une fonction. Dans le présent chapitre, nous allons introduire une autre notion relative aux fonctions qui mettra, une fois de plus, à contribution le concept de limite. Il s agit de la notion de dérivée d une fonction. La dérivée est un outil mathématique visant à mesurer la variation d une fonction, c est-à-dire de déterminer le changement de la valeur de la variable dépendante suite à la modification de la valeur de la variable indépendante. Limite et continuité 6 / 103

7 Variation d une fonction Taux de variation moyen Variation d une fonction La variation d une fonction continue f (x) sur l intervalle [a, b], notée f, est la différence entre la valeur de la fonction à la fin de l intervalle et la valeur de la fonction au début de l intervalle. C est donc dire que f = f (b) f (a). La variation de la variable indépendante x sur l intervalle [a, b], notée x, est la longueur de l intervalle. C est donc dire que x = b a. Limite et continuité 7 / 103

8 Variation d une fonction Taux de variation moyen Variation d une fonction Limite et continuité 8 / 103

9 Variation d une fonction Taux de variation moyen Variation d une fonction Limite et continuité 9 / 103

10 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen 1 Taux de variation moyen Variation d une fonction Droite sécante et taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 10 / 103

11 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Une droite sécante est une droite qui coupe une courbe en un ou plusieurs points. Le taux de variation moyen d une fonction f sur un intervalle [a, b] où a < b est défini par f x f (b) f (a) =. b a Le taux de variation moyen d une fonction f sur un intervalle [a, b] correspond à la pente de la sécante à la courbe de f (x) passant par le points (a, f (a)) et (b, f (b)). Limite et continuité 11 / 103

12 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Limite et continuité 12 / 103

13 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Partant du principe que x = b a, on a que b = a + x. On peut donc reformuler la définition du taux de variation moyen : f x f (b) f (a) = b a f (a + x) f (a) = x Limite et continuité 13 / 103

14 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Limite et continuité 14 / 103

15 Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen Limite et continuité 15 / 103

16 Taux de variation instantané Taux de variation instantané 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite normale Autres applications du taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 16 / 103

17 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite normale Autres applications du taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 17 / 103

18 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané La tangente à la courbe C en un point P de la courbe est l unique droite dont la position correspond à la limite des sécantes passant par P et Q i lorsque Q i s approche de P par la gauche et des sécances passant par P et R i lorsque R i s approche de P par la droite. Limite et continuité 18 / 103

19 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la fonction f en un point (a, f (a)) en calculant successivement la pente des sécantes à la courbe passant par P et Q i lorsque Q i tend vers P par la gauche et des sécances passant par P et R i lorsque R i tend vers P par la droite. Autrement dit, la pente de la tangente est donnée par lim x 0 f (a + x) f (a). x On appelle cette valeur le taux de variation instantané. Limite et continuité 19 / 103

20 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Limite et continuité 20 / 103

21 Taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite tangente 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite normale Autres applications du taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 21 / 103

22 Taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite tangente L équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f (x) au point (a, f (a)) est donnée par y = m(x a) + f (a), où si cette limite existe. m = lim x 0 f (a + x) f (a), x Limite et continuité 22 / 103

23 Taux de variation instantané Équation de la droite normale Équation de la droite normale 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite normale Autres applications du taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 23 / 103

24 Taux de variation instantané Équation de la droite normale Équation de la droite normale La droite normale à la courbe décrite par une fonction f (x) en un point (a, f (a)) est la droite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe f (x) en ce point. Son équation est donnée par y = 1 m (x a) + f (a), où m = lim x 0 si cette limite existe et est différente de 0. f (a + x) f (a), x Limite et continuité 24 / 103

25 Taux de variation instantané Équation de la droite normale Équation de la droite normale Limite et continuité 25 / 103

26 Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané Équation de la droite tangente Équation de la droite normale Autres applications du taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 26 / 103

27 Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané Limite et continuité 27 / 103

28 Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané Limite et continuité 28 / 103

29 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée en un point et fonction dérivée 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d une fonction en un point Fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 29 / 103

30 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d une fonction en un point Dérivée d une fonction en un point 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d une fonction en un point Fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 30 / 103

31 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d une fonction en un point Dérivée d une fonction en un point La dérivée d une fonction en un point correspond au taux de variation instantanné de cette fonction en ce point. Ainsi, la dérivée d une fonction f au point (a, f (a)), notée f (a) ou df dx, peut être définie de la façon suivante : x=a f (a) = df f (a + x) f (a) dx = lim, x=a x 0 x lorsque la limite existe. Lorsque f (a) existe, nous dison que f est une fonction dérivable en x = a et f (a) est égale à la pente de la tangente à la courbe de f au point (a, f (a)). Limite et continuité 31 / 103

32 Fonction dérivée Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d une fonction en un point Fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 32 / 103

33 Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée Fonction dérivée Selon la fonction, le calcul de la dérivée en plusieurs points suppose la répétition du calcul de limites similaires, ce qui peut être long et fastidieux. Pour cette raison, il est possible de trouver une fonction qui nous donne la dérivée de la fonction de départ en tout point. C est ce que nous appellerons la fonction dérivée, ou plus simplement la dérivée. Soit une fonction y = f (x). La fonction dérivée de f (x), notée f (x), df dx, dy dx ou simplement y, est donnée par f (x) = df dx = dy dx = y = lim x 0 f (x + x) f (x). x Limite et continuité 33 / 103

34 Fonction dérivée Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée Attention! Il ne faut pas voir dy dx comme un quotient. Il faut plutôt considérer d dx comme un opérateur qui indique qu il faut dériver la fonction par rapport à x. Limite et continuité 34 / 103

35 Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée Limite et continuité 35 / 103

36 Dérivée et continuité Dérivée et continuité 1 Taux de variation moyen 2 Taux de variation instantané 3 Dérivée en un point et fonction dérivée 4 Dérivée et continuité Limite et continuité 36 / 103

37 Dérivée et continuité Dérivée et continuité Dans cette section, nous verrons les liens qui existent entre les notions de domaine, de continuité et de dérivabilité d une fonction. Nous avons vu qu une fonction est dérivable en x = a si et seulement si la limite suivante existe : lim x 0 f (a + x) f (a). x La relation entre la dérivabilité et la continuité d une fonction en x = a est donnée par le théorème suivant : Limite et continuité 37 / 103

38 Dérivée et continuité Dérivée et continuité Le théorème précédent nous permet de comprendre que la dérivabilité d une fonction implique sa continuité : dérivabilité = continuité Par contre, une fonction continue n est pas nécessairement dérivable : continuité dérivabilité Par ailleurs, par la contraposée de ce théorème, on a que si une fonction n est pas continue, alors elle n est pas dérivable : non continuité = non dérivabilité Limite et continuité 38 / 103

39 Dérivée et continuité Dérivée et continuité Limite et continuité 39 / 103

40 Dérivée et continuité Dérivée et continuité Limite et continuité 40 / 103

41 Premières formules de dérivation Premières formules de dérivation 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 41 / 103

42 Premières formules de dérivation Premières formules de dérivation Nous avons utilisé la définition de la dérivée pour calculer les dérivées de fonctions définies par des formules. Cette notion étant aquise, nous verrons maintenant quelques règles qui nous permettront de trouver les dérivées sans avoir à toujours utiliser la définition. Cependant, il sera nécessaire de démontrer la plupart de ces règles. Pour y arriver, il faudra faire appel à la définition de la dérivée. Limite et continuité 42 / 103

43 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée d une fonction constante 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 43 / 103

44 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée d une fonction constante Limite et continuité 44 / 103

45 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité Dérivée de la fonction identité 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 45 / 103

46 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité Dérivée de la fonction identité Limite et continuité 46 / 103

47 Premières formules de dérivation Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée du produit d une constante par une fonction 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 47 / 103

48 Premières formules de dérivation Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée du produit d une constante par une fonction Limite et continuité 48 / 103

49 Premières formules de dérivation Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée du produit d une constante par une fonction Limite et continuité 49 / 103

50 Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 50 / 103

51 Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Limite et continuité 51 / 103

52 Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Les formules 3, 4 et 5 peuvent être regroupées en une seule appelée propriété de linéarité : d (au ± bv) = adu dx dx ± b dv dx Limite et continuité 52 / 103

53 Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 53 / 103

54 Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Limite et continuité 54 / 103

55 Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Limite et continuité 55 / 103

56 Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Attention! Il ne faut pas commettre l erreur suivante : la dérivée du produit de deux fonctions n est pas égale au produit des dérivées des deux fonctions. C est donc dire que ( ) ( ) d du dv dx (uv). dx dx Limite et continuité 56 / 103

57 Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 57 / 103

58 Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Limite et continuité 58 / 103

59 Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Attention! Comme pour la dérivée d une produit, il faut se rappeler que la dérivée du quotient de deux fonctions n est pas égale au quotient des dérivées des deux fonctions. C est donc dire que d ( u ) dx v du dx. dv dx Limite et continuité 59 / 103

60 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance Dérivée de la fonction puissance 5 Premières formules de dérivation Dérivée d une fonction constante Dérivée de la fonction identité Dérivée du produit d une constante par une fonction Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dérivée du produit de deux fonctions Dérivée du quotient de deux fonctions Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 60 / 103

61 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 61 / 103

62 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 62 / 103

63 Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance Dérivée de la fonction puissance Limite et continuité 63 / 103

64 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation géométrique du signe de la dérivée 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Interprétation du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 64 / 103

65 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Interprétation du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 65 / 103

66 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Nous savons que la valeur de la dérivée d une fonction f (x) au point (a, f (a)) correspond à la pente de la droite tangente à f (x) à ce même point. Pouvons-nous tirer davantage d information du calcul de la dérivée? Limite et continuité 66 / 103

67 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée La dérivée de f (x) étant elle même une fonction, on peut en tracer le graphique : Plutôt que d évaluer la valeur de la dérivée à certains points de la fonction, essayons de dégager certaines informations plus générales. Limite et continuité 67 / 103

68 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Limite et continuité 68 / 103

69 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Interprétation du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 69 / 103

70 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Nous allons maintenant formellement relier la croissance et la décroissance d une fonction au signe de sa dérivée. Cette relation est exprimée dans le théorème suivant, que nous accepterons sans démonstration. Soit f, une fonction continue sur [a, b] telle que f existe sur ]a, b[. On a que si f (x) > 0 sur ]a, b[, alors f est croissante sur [a, b] ; si f (x) < 0 sur ]a, b[, alors f est décroissante sur [a, b] ; De plus, si c Dom f, nous dirons que c est un nombre critique de f si f (c) = 0 ou si f (c) n existe pas. En particulier, on appellera le point (c, f (c)) point stationnaire de f si f (c) = 0. Limite et continuité 70 / 103

71 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Limite et continuité 71 / 103

72 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Limite et continuité 72 / 103

73 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Limite et continuité 73 / 103

74 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée Limite et continuité 74 / 103

75 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction Tableau des signes d une fonction 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d une fonction et celui de sa dérivée Interprétation du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 75 / 103

76 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction Tableau des signes d une fonction Puisque nous souhaitons faire l étude du signe de la dérivée, nous introduisons ici un outil indispensable : le tableau des signes d une fonction. Limite et continuité 76 / 103

77 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction Tableau des signes d une fonction Considérons la fonction P(x) = 2x 2 5x 3 = 2(x + 1 )(x 3) 2 On lui associe le tableau des signes suivant : Limite et continuité 77 / 103

78 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction Tableau des signes d une fonction Une fois rempli, on obtient le tableau La fonction P(x) est donc positive sur l intervalle ], 1 2[ ]3, [ négative sur l intervalle ] 1 2, 3[ nulle en x = 1 2 et x = 3. Limite et continuité 78 / 103

79 Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d une fonction Tableau des signes d une fonction Limite et continuité 79 / 103

80 Dérivée d ordre supérieur Dérivée d ordre supérieur 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 80 / 103

81 Dérivée d ordre supérieur Dérivée d ordre supérieur Nous avons vu que, lorsque nous dérivons une fonction, le résultat est également une fonction qui peut, à son tour, être dérivée. C est ce que nous nommons la dérivée seconde, qui est notée d 2 f dx 2 = f (x) = f (2) (x). Évidemment, rien n empêche de dériver à nouveau la dérivée seconde pour obtenir la dérivée troisième : d 3 f dx 3 = f (x) = f (3) (x). On peut continuer ainsi tant et aussi longtemps qu il est possible de le faire. On définit donc la dérivée d ordre n, où n N : d n f dx n = f (n) (x). Limite et continuité 81 / 103

82 Dérivée d ordre supérieur Dérivée d ordre supérieur Si le signe de la dérivée première nous renseigne sur la croissance et la décroissance d une fonction f (x), le signe de la dérivée seconde nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction f (x). Quelle interprétation pouvons-nous donner à cela? Limite et continuité 82 / 103

83 Dérivée d ordre supérieur Dérivée d ordre supérieur Limite et continuité 83 / 103

84 Dérivée d ordre supérieur Dérivée d ordre supérieur Limite et continuité 84 / 103

85 Dérivation des fonctions composées Dérivation des fonctions composées 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée d une fonction composée 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 85 / 103

86 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée d une fonction composée 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 86 / 103

87 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Souvenons-nous du théorème 2.8, où il était question d une règle pour la dérivation d une puissance de x : Dans cette section, on souhaite généraliser ce résultat pour des puissances d une fonction, c est-à-dire des fonctions de la forme y = (u(x)) n. Limite et continuité 87 / 103

88 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Considérons la fonction f (x) = (3x + 1) 2. Si on souhaite évaluer f (x), on commence par développer l expression initiale pour obtenir puis on trouve que f (x) = (3x + 1) 2 = 9x 2 + 6x + 1, f (x) = 9(2x) + 6(1) + 0 = 18x + 6 = 6(3x + 1). Or, si on avait bêtement appliqué le théorème 2.8, on aurait pu croire que f (x) = 2(3x + 1) 2 1 = 2(3x + 1) 6(3x + 1). On a donc la preuve que le théorème initial ne s applique pas aux puissances de fonctions. Il faudra donc trouver un résultat équivalent à celui-ci, mais qui fonctionne avec les puissances de fonctions. Limite et continuité 88 / 103

89 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Limite et continuité 89 / 103

90 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Limite et continuité 90 / 103

91 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Limite et continuité 91 / 103

92 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée de la puissance d une fonction Limite et continuité 92 / 103

93 Dérivation des fonctions composées Dérivée d une fonction composée Dérivée d une fonction composée 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d une fonction Dérivée d une fonction composée 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 93 / 103

94 Dérivation des fonctions composées Dérivée d une fonction composée Dérivée d une fonction composée Supposons qu on vous demande de dériver la fonction F(x) = x On peut constater que F est une fonction composée. Si on pose y = f (u) = u et u = g(x) = x 2 + 1, alors on peut écrire y = F(x) = f (g(x)) = f g. Sachant comment dériver f et g, on aurait intérêt à établir une régle de dérivation pour la composition des fonctions f et g. C est ce que propose de faire la règle de dérivation en chaîne. Il s agit de l un des plus importants théorèmes en calcul différentiel. Limite et continuité 94 / 103

95 Dérivation des fonctions composées Dérivée d une fonction composée Dérivée d une fonction composée Limite et continuité 95 / 103

96 Dérivation implicite Dérivation implicite 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 96 / 103

97 Dérivation implicite Dérivation implicite Jusqu à présent, nous avons travaillé avec des courbes qui étaient données par des équations explicites de la forme y = f (x), où la variable dépendante est exprimée directement par rapport à la variable indépendante. Par contre, certaines courbes ne peuvent pas être exprimées par une telle équation. C est par exemple le cas d un cercle de rayon r dont l équation est x 2 + y 2 = r 2. Il est alors question d équation implicite, où aucune variable n est exprimée en fonction de l autre. Nous dirons qu une courbe dans le plan xy est donnée implicitement si son équation est de la forme f (x, y) = 0. Limite et continuité 97 / 103

98 Dérivation implicite Dérivation implicite Bien qu il soit toujours assez simple de convertir une équation explicite en équation implicite, il n est pas toujours possible de faire le contraire, c est-à-dire de convertir une équation implicite en équivalent explicite. Pour réussir à déterminer dy dx à partir d une équation implicite, nous devons 1 dériver chaque membre de l équation par rapport à x, en considérant y comme une fonction dérivable par rapport à x ; 2 regrouper tous les termes contenant dy du même côté de l égalité ; dx 3 isoler dy en faisant une mise en évidence, puis une division. dx Limite et continuité 98 / 103

99 Dérivation implicite Dérivation implicite Limite et continuité 99 / 103

100 Dérivation implicite Dérivation implicite Limite et continuité 100 / 103

101 Références Références 6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée 7 Dérivée d ordre supérieur 8 Dérivation des fonctions composées 9 Dérivation implicite 10 Références Limite et continuité 101 / 103

102 Références Réseau de concepts Limite et continuité 102 / 103

103 Références Références Éric Brunelle and Marc-André Désautels. Calcul différentiel. Les Éditions CEC inc., Gilles Charron and Pierre Parent. Calcul différentiel, 6e édition. Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, Josée Hamel and Luc Amyotte. Calcul différentiel, 2e édition. Éditions du renouveau pédagogique, Stéphane Beauregard and Chantal Trudel. Calcul différentiel. Groupe Modulo, Limite et continuité 103 / 103