Chapitre X : Torseurs

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1 Chapitre X : Torseurs de : Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable définir une application linéaire symétrique ou antisymétrique définir la matrice d une application linéaire et de trouver ses valeurs propres. effectuer les opérations de dérivation des vecteurs. énoncer les principales propriétés des torseurs montrer que le champ des vitesses d un solide en mouvement est un torseur

2 22 Mathématiques pour les Sciences Physiques I Applications linéaires u, v E, - Définition Soit f une application de E dans E. f est linéaire si : f(u+v)=f(u)+f(v) λ, u E, f(λu)= λ f(u) 2 - Matrice d une application linéaire Soit (e, e 2, e ) une base orthonormée directe de E et f une application linéaire de E dans E Soit u E, on peut écrire : u = u i i= D après la linéarité de f on peut écrire : e i f ( u) = f uie i ui f ( ei ) = i= i= Ainsi, pour connaître l application linéaire f, il suffit de connaître les images par f de chacun des vecteurs de base. En notant : f ( e ) = j a ij i= e i, on peut écrire la relation précédente sous forme matricielle pour obtenir la matrice colonne de f(u) sur la base (e, e 2, e ): a a a u = a a a a a a [ f ( )] u u2 u ou [ f ( u) ] = A[ u] La matrice A associée à f est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans la base (e, e 2, e ) des images de e, e 2 et e.

3 Torseurs 2 - vecteurs propres et valeurs propres Un vecteur non nul u de E est un vecteur propre de f si il existe λ tel que : f ( u) λ est la valeur propre associée à u. = λ u Pour trouver les valeurs propres d une application linéaire, il suffit de résoudre f ( u) λ u = 0 avec u 0, ce qui s écrit matriciellement : a a a a a a a a a a a a soit : a a a a a a u u u 2 u λ u u 2 0 = u λ 0 0 u 0 0 u ceci ne pouvant être réalisé avec ( u, u, u ) (,, ) 2 0 = qu en annulant le déterminant de ce système, c est à dire en annulant le polynôme caractéristique de f : det( A λi ) = Applications symétriques et antisymétriques Soit h une application de E dans E. h est symétrique si u, v E u h(v)=v h(u) h est antisymétrique si u, v E u h(v)=-v h(u) propriétés : une application symétrique ou antisymétrique est nécessairement linéaire.

4 24 Mathématiques pour les Sciences Physiques 5 - Propriétés des applications linéaires symétriques Soit h s une application symétrique (et donc linéaire) de E dans E. Notons A S la matrice de h s dans une base orthonormée directe (e, e 2, e ). t t A S =A S où A S est la matrice transposée de A S. Autrement dit, la a q r matrice de h s est symétrique : A S = q a22 s r s a Les valeurs propres de h s sont réelles. Il existe au moins une base orthonormée constituée de vecteurs propres de h s. Dans cette base, la matrice de h s est diagonale : λ λ λ emarque : quand on effectue la recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d une application linéaire et que l on exprime sa matrice dans une base propre (c est-à-dire une base constituée de vecteurs propres), on dit que l on diagonalise l opérateur. enfin, si h s est une application linéaire symétrique définie positive, c est-à-dire si : u E, u h s (u)>0 alors les valeurs propres de h s sont strictement positives. 6 - Propriétés des applications linéaires antisymétriques Soit h a une application antisymétrique (et donc linéaire) de E dans E. Notons A A = [ a ij ] la matrice de h a dans une base orthonormée directe (e, e 2, e ). L antisymétrie de h a conduit à : i, e i h a (e i )=- e i h a (e i ), soit a ij =0 i,j, e j h a (e i )=- e i h a (e j ), soit a ij =-a ji

5 Torseurs 25 0 La matrice de h a s écrit donc : A A = r r vérifier alors la propriété fondamentale : 0 u E,[ ha ( u) ] = A A[ u] = r r r 0 r r 0 2 r 2 r r et on peut 0 r u r u r u2 = r2 u2 0 u r u 2 2 On voit qu il existe un unique vecteur de E appelé vecteur de l application linéaire antisymétrique qui permet d écrire : h a u E, ( u) = u 7 - dérivation composée des vecteurs En physique, pour décrire l évolution spatio-temporelle des objets étudiés (mobiles, champs, etc.) on utilise un repère spatial matérialisé par des axes de coordonnées et x un repère temporel ou chronologie. L ensemble est appelé référentiel. Ainsi, un événement se produisant en M dans un référentiel est repéré par trois coordonnées spatiales (x, x 2, x ) et une coordonnée temporelle t, soit un quadruplet (x, x 2, x, t) x e e O e 2 M x 2 Considérons deux référentiels et en mouvement relatif et soit u un vecteur fixe de, c est à dire dont les coordonnées (x, x 2, x ) ne dépendent pas de t. La dérivée de u par rapport à est nulle : du dt = 0 ' x x e e O e 2 x x x 2 u x 2

6 26 Mathématiques pour les Sciences Physiques Nous cherchons à étudier le mouvement de u par rapport à, c est-à-dire en pratique à calculer la dérivée temporelle de u dans. Celle ci est a priori non nulle puisque est en mouvement par rapport à. A l aide des coordonnées, nous avons : du dt dx dt dx = dt dx dt mais nous cherchons une méthode plus efficace de calcul. Considérons l application φ qui à un vecteur u fixe de associe sa dérivée par rapport à : φ : u a d u dt Soient maintenant u, v deux vecteurs fixes de. Le produit scalaire d dv du u v est une constante. Donc ( u v) dt = 0 = u + v, ce qui dt dt avec l application φ s écrit : u φ( v) = v φ( u) Ceci montre que l application φ est antisymétrique. Il existe donc un unique vecteur W tel que : φ(u)=w u. 2 Soit : du = W u dt. Le vecteur W s appelle le vecteur rotation de par rapport à Généralisation : Etudions maintenant le cas d un vecteur u mobile par rapport à et a priori aussi par rapport à.,,, Nous avons : u = x e + x e + x e,,, 2 2

7 Torseurs 27 donc : du dt,,,,,, ( xe x2e2 xe) d = + + dt,,, dx dx, 2,,, e,, e 2,, e, e e 2 e x2 dx = + + dt dt dt + x d + d + x d dt dt dt Le première parenthèse est la dérivée de u par rapport à, tandis que la seconde représente la dérivée par rapport à d un vecteur fixe de, quantité dont nous maîtrisons maintenant le calcul. On en déduit la formule fondamentale : II Torseurs - Définition du du = u dt + W dt Soit V un champ de vecteurs, c est-à-dire une application de l espace affine euclidien E (ou d une partie de E ) dans l espace vectoriel E : ' V: E E M a V( M) Le champ de vecteurs V est antisymétrique si il existe un vecteur tel que : P, M E, V( M) = V( P) + PM On dit alors que le champ de vecteur V est un torseur. Pour connaître complètement un torseur, il suffit de connaître sa résultante, c est à dire son vecteur, et son moment en un point, c est à dire sa valeur V(P) en un point P particulier.

8 28 Mathématiques pour les Sciences Physiques Le couple torseur. V( P) constitue les éléments de réduction en P du 2 - équiprojectivité Un champ de vecteur est équiprojectif si : P, M E, V( M) PM = V( P) PM Théorème : un champ de vecteur équiprojectif est antisymétrique et réciproquement Géométriquement, l équiprojectivité traduit l égalité des projections des deux moments V(M) et V(P) sur la droite PM. V(P) P M V(M) - comoment de deux torseurs Soient deux torseurs V et V 2. On définit le comoment de ces deux torseurs par le scalaire : P 2 = V V2 = = V2 ( ) ( P) ( P) P + 2 V V2 V ( P ) Bien noter dans cette définition que le calcul s effectue prenant les éléments de réduction au même point P pour les deux torseurs. Exercice : montrer que la valeur de P ne dépend pas du point P choisi pour exprimer les éléments de réduction des deux torseurs. 4 - axe central d un torseur C est l ensemble des points P de l espace en lesquels le moment V(P) est parallèle au vecteur. On montre que c est une droite et que sur cette droite, le torseur garde une valeur constante. La norme du torseur est en outre minimum sur cette droite.

9 Torseurs couple Un couple est un torseur qui a sa résultante nulle. Propriété : le moment d un couple est indépendant du point où on le calcule. Un couple n a pas d axe central. 6 - glisseur G. Un glisseur est un torseur dont le moment s annule en un point La droite (G,) est alors l axe central du glisseur et le torseur y prend des valeurs nulles. 7 - torseur associé à un ensemble de vecteurs liés On appelle vecteur lié le couple (A,u) E E Soit un ensemble de n vecteurs liés (A i, u i ) i=..n. On définit le torseur associé à ces n vecteurs liés par ses éléments de réduction en P : n = ui i= V = n V( P) = PAi u i i = Exemple : Soit une plaque matérielle soumise à deux forces F et F 2 opposées et appliquées respectivement en A et A 2. Le «torseur des actions» exercées sur la plaque est : A F 2 A 2 O F = F + F2 = 0 F = G( O) = OA F + OA 2 F2 = AA 2 F2 = G

10 0 Mathématiques pour les Sciences Physiques O est un point quelconque de l espace. Le torseur est un couple et on vérifie que son moment est indépendant de O. 8 - torseur associé à un champ de vecteurs Soit F un champ de vecteurs défini sur un domaine D de E. On définit le torseur associé au champ de F par ses éléments de réduction en P : = F( A) dτa A D V = V( P) = AP F( A) dτ A D exemple : torseur des actions de pesanteur Soit un système matériel défini sur un domaine D de E. Un élément de volume dτ A centré en A est soumis à la force de pesanteur : dp(a)= ρ(a) g dτ A Autrement fit, la densité volumique de force de pesanteur en A est F(A) = ρ(a) g Evaluons les éléments de réduction en G du torseur associé aux actions de pesanteur : = F( A) dτ = g = A ρ( A) dτa ρ( A) dτa g = Mg A D A D A D P = = GA F = GA g 0 = G( G) ( A) dτa ρ( A) dτa A D A D On constate que le torseur associé aux actions de pesanteur est un glisseur dont l axe passe par le barycentre G du système matériel. A

11 Torseurs 9 - torseur cinématique d un solide en mouvement Considérons le mouvement d un solide par rapport à un référentiel. On attache à ce solide un référentiel : le solide est immobile dans. x x P O x 2 Soit P un point du solide, ou plus généralement un point fixe de. On cherche le vecteur vitesse de P par rapport à. x e e O e 2 x x 2 V( P) dop = dt Passons par le point O lui aussi fixe dans : dop doo' O' P do' P V( P) = V( O') + = = + dt dt dt do' P Or O P est un vecteur fixe de et donc : = W O' P dt où W désigne le vecteur rotation du solide (en fait de ) par rapport à. Le champ des vitesses d un solide vérifie : V( P) = V( O') + W O' P C est un torseur appelé torseur cinématique du solide.

12 2 Mathématiques pour les Sciences Physiques Exercices sur les applications linéaires Vecteur d un opérateur antisymétrique Soit h a une application linéaire antisymétrique. Montrer que son vecteur s écrit : = e ( e ) 2 i = i h a i Application linéaire symétrique définie positive On considère un solide Σ occupant un domaine D de E et un point O de E. On note I O l application définie par : u E a I ( u) = O P D OP ( u OP) Montrer que I O est une application linéaire, symétrique définie positive. dm Exercices sur les torseurs Invariant vectoriel Soit un torseur donné par ses éléments de réduction en P : V( P) V( P) Montrer que la quantité I = 2 ne dépend pas de P.

13 Torseurs Espace vectoriel des torseurs Montrer que l ensemble des torseurs forme un espace vectoriel Condition d antisymétrie On considère dans E le champ de vecteurs défini par : V t Vx = + y tz ( P) = V y = x + 2tz 2 Vz = 2 + tx t y. Pour quelles valeurs de t ce champ est-il un torseur? 2. Lorsque c est un torseur, calculer son vecteur. éponse :. t=0 ou -2 =-4e x -2e y -e z 2.Si t=0, =-e z Si t=-2,

14 4 Mathématiques pour les Sciences Physiques