Mercredi 28 janvier Collège La Charme

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1 BREVET BLANC ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercredi 28 janvier 2009 Collège La Charme Durée : 2 heures L emploi des calculatrices est autorisé En plus des point prévus pour chacune des trois parties de l épreuve, la présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points.

2 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12 POINTS On considère l expression E = (3x+2) 2 (3x+2)(x+7) 1) Développer et réduire E 2) Factoriser E 3) Calculer E lorsque x = 1 2 1) Déterminer, par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 144 et 22. 2) Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 22 garçons se sont inscrits. L association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes. a) Quel est le nombre maximal d équipes que cette association peut former? b) Quelle est alors la composition de chaque équipe? On se donne un programme de calcul : Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Écrire le résultat. 1) Écrire les calculs permettant de vérifier que si l on fait fonctionner ce programme avec le nombre 2, on obtient 0 2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 3.a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme d un carré d un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie). 3.b) En est-il toujours ainsi lorsqu on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse.

3 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12 POINTS La figure ci-dessous n est pas réalisée en vraie grandeur, elle n est pas à reproduire. Les points A, E et C sont alignés, ainsi que les points B, E et D. A AE = 7,2 cm ; EC =,4 cm ED = 7, cm ; BE = 10 cm B E D 1) Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2) Sachant que CD = 6,3 cm, calculer AB. C La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. R On ne demande pas de la reproduire. Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M. A P M PAR est un triangle rectangle en A. On donne AR = 2 cm et RP = 4 cm E 1) Calculer AP et l exprimer sous la forme a b, où a et b sont des entiers. 2) Déterminer la mesure de l angle RPA 3) Expliquer pourquoi les angles RPA et MPE ont la même mesure. 4) PME est un triangle rectangle en M. On donne ME = 3 cm. Calculer PM à 1 mm près. Dans tout l exercice l unité de longueur est le centimètre. La figure n est pas en vraie grandeur et on ne demande pas de la reproduire. M, N et P sont trois points d une cercle C de centre O. On donne : OM = 3 cm et MON = 70. N M 1) Démontrer que le triangle OMN est isocèle, préciser le sommet principal. 2) Calculer la mesure de l angle ÔMN O C 3) Calculer la mesure de l angle MPN P TOURNEZ LA PAGE

4 PROBLÈME - 12 POINTS ABCD est un losange dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O On donne : AB = cm et AC = 6 cm Sur la figure ci-dessous les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de la reproduire. On pourra la compléter si nécessaire. A + B + / + O / + D Première partie 1) En justifiant calculer BO. En déduire que BD = 8 cm. + C 2) Calculer la mesure arrondie au degré de l angle ÂBO. 3) Calculer l aire du losange ABCD. Deuxième partie On place un point M sur le segment [AB]. La droite passant par M et parallèle à la droite (BD) coupe le côté [AD] en N. 1) On suppose que AM = 3. Calculer AN et MN. Justifier. 2) On pose AM = x. Montrer que MN = 1,6x. Troisième partie Pour cette partie, on a encore AM = x. La droite passant par M et parallèle à la droite (AC) coupe le côté [BC] en P. 1) Exprimer BM en fonction de x, puis montrer que MP = 6 1,2x. 2) Calculer la valeur de x pour laquelle le triangle MNP est isocèle en M. En donner une valeur approchée à 0,1 près. Quatrième partie 1) Montrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (MN) puis que AM = AN. En déduire que la droite (AC) est la médiatrice du segment [MN]. De la même façon, on démontrerait que la droite (BD) est la médiatrice du segment [MP]. 2) En déduire le rôle du point O pour le triangle MNP Pour les plus impatients d entre vous, la correction de cette épreuve est disponible sur le blog de mathématiques dont vous trouverez l adresse sur le site du collège http ://collegelacharme.wordpress.com

5 BREVET BLANC - MATHÉMATIQUES - CORRECTION Mercredi 28 janvier 2009 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 1. E = (3x+2) 2 (3x+2)(x+7) = (9x x+4) (3x x+2x+14) E = 9x x+4 3x 2 21x 2x 14 = 6x 2 11x E = (3x+2) 2 (3x+2)(x+7) = (3x+2)[(3x+2) (x+7)] E = (3x+2)(3x+2 x 7) = (3x+2)(2x ) 1. Avec 2 on obtient successivement : 2+4 = 2 puis 2 ( 2) = 4 et enfin 4+4 = 0 2. Avec : +4 = 9 puis 9 = 4 et enfin 4+4 = 49 3.a Avec 6 : 6+4 = 2 puis ( 2) ( 6) = 12 et 12+4 = 16 = 4 2 Avec 10 : 10+4 = 14 puis = 140 et = 144 = b Notons x le nombre entier choisi au départ. Il devient x+4 puis x(x+4) et enfin x(x+4)+4 Développons cette dernière expression on a : x(x+4)+4 = x 2 + 4x+4 On reconnaît une identité remarquable d où x(x+4)+4 = (x+2) 2 On obtient donc toujours le carré d un nombre entier! 3. Pour x = 1 ( 2 ) 1 2 E = = E = = 8 10 = 4 10 = Calculons le PGCD(22;144) par l algorithme d Euclide. 22 = = Ainsi PGCD(22; 144) = = a Le nombre d équipes est un diviseur de 22 et 144. On veut le nombre maximal d équipes, donc le plus grand diviseur commun à 22 et 144. Il s agit par définition du PGCD(22;144). Le nombre maximal d équipes que l association peut former est donc 36 2.b Comme 22 = 367 et que 144 = 364, il y aura 7 garçons et 4 filles par équipe, soit 11 membres

6 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 1. Comparons EA EB et EC ED EA EC = 7,2,4 = 4 1,33 à 0,01 près 3 EB ED = 10 7, = 4 1,33 à 0,01 près 3 EA Ainsi nous avons EC = EB. Comme les points A, E et C sont alignés et dans le même ED ordre que les points alignés B, E et D, d après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en E. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D après la propriété de Thalès nous avons : EA EC = EB ED = AB CD 7,2,4 = 10 7, = AB 6,3 D où 6,3 10 = 7, AB c est à dire AB = 63 = 8,4 cm 7, 4. Dans le triangle PME rectangle en M. On a tan( MPE) = ME PM = 3 PM D où tan(30) = 3 PM et PM tan(30) = 3 ainsi PM = 3,2 cm à 1 mm près tan(30) 1. OMN est un triangle tel que OM = ON = 3 cm. OMN est donc un triangle isocèle de sommet principal O 2. OMN est isocèle en O donc les angles ÔMN et MNO sont égaux. La somme des angles dans le triangle OMN donne 70+2ÔMN = 180 d où ÔMN = 3. MPN est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle au centre MON, donc MPN = MON = Le triangle RPA est rectangle en A. D après le théorème de Pythagore on a : AP 2 + AR 2 = PR 2 AP = 4 2 AP = Dans le triangle RPA rectangle en A. sin( RPA) = RA RP = 2 4 = 1 2 = 0, A la calculatrice on trouve donc AP 2 = 12 AP = 12 = 4 3 = 2 3 RPA = RPA et MPE sont deux angles correspondants, ils sont donc égaux.

7 PROBLÈME MN = 1,6x PREMIÈRE PARTIE 1. ABCD est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Dans le triangle ABO rectangle en O, d après la propriété de Pythagore on a : AO 2 + BO 2 = AB BO 2 = 2 BO 2 = 2 9 = 16 BO = 4 O est le milieu de la diagonale [BD] donc BD = 2 BO = 8 2. Dans le triangle ABO rectangle en O, cos(âbo) = BO AB = 4 = 0,8 A la calculatrice on obtient ÂBO 37 AC BD 3. Aire(ABCD) = 6 8 = 24 cm DEUXIÈME PARTIE TROISIÈME PARTIE 1. BM = x Dans le triangle BAC, les droites (MP) et (AC) sont parallèles. D après la propriété de Thalès : MP = BM BA = BP BC = MP AC 6( x) x = MP 6 6( x) = MP = 30 6x MP = 6 1,2x 2. Il faut que MN = MP, c est à dire résoudre l équation : 1,6x = 6 1,2x 1,6x+1,2x = 6 = 30 6x 1. Dans le triangle ABD, les droites (MN) et (BD) sont parallèles. D après la propriété de Thalès on a : AN = 3 AN = 3 cm AM AB = AN AD = MN BD 3 = AN = MN 8 2. En reprenant le raisonnement précédent on obtient : x = MN 8 MN = 8 x MN = 8x MN = 8 3 MN = 24 MN = 4,8 cm QUATRIÈME PARTIE 2,8x = 6 x = 6 2,1 cm 2,8 1. Les diagonales du losange étant perpendiculaires, (AC) est perpendiculaire à(bd). (MN) est parallèle à (BD). Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (MN). Comme on l a vu dans la question 2 de la deuxième partie, si AM = x alors on a : D où AM = x = AN x = AN (AC) est donc une droite perpendiculaire à (MN) et A est à égale distance de M et N. (AC) est bien la médiatrice du segment [MN] 2. O est l intersection de deux médiatrices du triangle MNP. Il s agit donc du centre du cercle circonscrit au triangle MNP.