Leçon Leçon n 5 : Approximation gyroscopique. Effets dans les domaines macroscopique et microscopique. (1 er CU)

Transcription

1 Leçon 5 33 Leçon n 5 : Approximation gyroscopique Effets dans les domaines macroscopique et microscopique (1 er U) Introduction 1 Approximation gyroscopique 11 Généralités 1 Approximation gyroscopique 13 Gyroscope déséquilibré 14 Gyroscope équilibré Effets macroscopiques *1 Précession des équinoxes ompas gyroscopique ou gyrocompas 3 Effets microscopiques 31 Précession d un moment magnétique 3 ésonance magnétique onclusion Introduction L étude du mouvement d un gyroscope est un problème formel de mécanique Pour en simplifier la mise en équation nous allons faire une approximation : l approximation gyroscopique Elle nous permettra néanmoins de mettre en évidence les propriétés essentielles du gyroscope Pour y parvenir nous utiliserons principalement, le théorème du moment cinétique (TM), appliqué à un solide S en rotation Nous donnerons ensuite plusieurs exemples de systèmes physiques dans lesquels se manifeste l effet gyroscopique 1 Approximation gyroscopique 11 Généralités Un gyroscope est un solide de révolution S, mobile autour d un point fixe Dans notre exemple, S est constitué d un volant, d une tige et d un contrepoids Le volant peut être mis en rotation autour de l axe et le contrepoids permet d équilibrer le gyroscope en plaçant le centre de masse du solide S, au point Le solide S a donc trois degrés de liberté représentés par les angles d Euler ; ψ l angle de précession, θ l angle de mutation et φ l angle de rotation propre La liaison est sphérique Pratiquement, on la réalise par une liaison ardan en combinant trois liaisons pivots ou par une liaison rotule θ φ S w ψ y Dans le référentiel terrestre = xy supposé galiléen, la vitesse de rotation du volant est : x ψ u Ω= ψ e +θ e +φ e w '

2 34 leçon 5 Dans la suite, nous identifions le solide S avec son volant, leurs moments d inertie étant pratiquement égaux 1 Approximation gyroscopique Dans le référentiel galiléen = x y, on étudie le mouvement de S autour du point fixe, lorsque sa vitesse de rotation φ autour de son axe de révolution ' est très grande par rapport aux autres vitesses de rotation ψ et θ eci se traduit par ; φ ψ et φ θ L approximation gyroscopique s écrit alors : Ω φ e =Ωe ' ' D autre part, S possède une symétrie de révolution Appelons ' = x ' y '' le référentiel lié au solide Les trois axes orthonormés de ', sont des axes principaux d inertie Dans ', la matrice d inertie de S en est donc diagonale et s écrit : Ix' 0 0 I = 0 I y' I' [] La relation vectorielle = [] I scalaire, suivant l axe ' : I' Ω 13 Gyroscope déséquilibré Expérience Ω donnant l expression du moment cinétique de S, prend la forme Le contrepoids du gyroscope est réglé de façon à ce que le centre de masse ne soit pas confondu avec Lorsque le volant est en rotation à la vitesse φ autour de l axe, on observe un mouvement de précession du solide S, à la vitesse ω=ψ, autour de l axe vertical La mesure de cette vitesse avec un chronomètre permet de vérifier l approximation φ ψ e mouvement de précession s accompagne d un mouvement de mutation, c est à dire de petites variations de l angle θ Pour éliminer la mutation, on empêche θ de varier tout en accompagnant le gyroscope dans son mouvement de précession eci implique φ θ, et l approximation gyroscopique est vérifiée n peut également utiliser une toupie Le point fixe 0 est alors le point de contact entre la toupie et son support La mesure de ω=ψ est néanmoins plus difficile Interprétons cette expérience dans l approximation gyroscopique, sur le modèle d une toupie (le même raisonnement s applique au gyroscope utilisé précédemment) onsidérons une toupie conique de masse m, de centre de masse, posée sur sa pointe Elle est soumise à son poids et à la réaction du support sur la pointe au point Le moment de la réaction en est nul et dans, le TM s écrit : x ψ θ m g u φ y d mga = M = m g = e, où a =, car le moment cinétique est parallèle au vecteur Projetons cette équation sur et e Il vient d après les propriétés du produit mixte :

3 Leçon 5 35 = = 0 = te, d d et e d d = = 0 = te Ainsi, le moment cinétique décrit un cône d axe, d angle au sommet constant La toupie précessionne autour de l axe Appliquons la relation de dérivation d un vecteur dans un référentiel mobile La dérivée du moment cinétique dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, s écrit : d d = + ω ' Dans, avec l approximation gyroscopique, le moment cinétique = I ' Ω e ' est constant (en supposant Ω= te ) Sa dérivée est nulle et donc : d mga = ω = e n déduit la vitesse de précession : ω= mga I Ω e ' Les mesures expérimentales de ω et Ω permettent de vérifier cette relation Application Une toupie de rayon de base r = 5 cm et de hauteur h = 10 cm, tourne à la vitesse Ω= 50 tr / s Son moment d inertie est I' = 3mr /10 et son centre de masse tel que a = 3 h / 4 Sa vitesse de précession est : mga 5gh 1 ω= = = 3,1 rad s, I Ω r Ω ' et sa période : π T = = s ω q : La masse de la toupie n intervient pas dans l expression de la vitesse de précession D autre part, 1 1 l approximation gyroscopique est vérifiée car ; Ω= 314 rad s ω= 3,1 rad s 14 Gyroscope équilibré Expérience Le contrepoids du gyroscope est placé de façon à ce que le centre de masse soit confondu avec Le gyroscope est placé sur un plateau tournant, le plus loin possible de l axe de rotation Lorsque le volant est en rotation, on fait tourner lentement le plateau L axe de S garde alors une direction fixe

4 36 leçon 5 De même, en considérant la rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel de opernic, l axe, du gyroscope posé sur une table, reste pointé vers une étoile fixe dans le ciel Mais ceci ne s observe qu au bout de plusieurs heures Pour interpréter cette expérience, il suffit d écrire le TM dans un référentiel galiléen En, les moments des forces appliquées à S sont nuls et : d = M = 0 = te Dans l approximation gyroscopique, l axe garde une direction fixe Expérience Maintenant, le gyroscope est placé au centre du plateau tournant La rotation d axe de S par rapport au plateau est bloquée Le gyroscope un axe peut tourner autour de l axe w (et bien sur, autour de ) Lorsque le volant est en rotation, on fait tourner le plateau très lentement à la vitesse ω et on observe une rotation de S autour de l axe w Le couple de force qu exerce le gyroscope sur son support s appelle le couple gyroscopique Il apparaît lorsqu on impose au gyroscope, une rotation autour d un axe autre que l axe Le moment de ce couple se mesure à l aide d un dynamomètre lorsque S est horiontal (voir figure) dynamomètre Plateau ω w u Ω Interprétons l expérience Le support, constitué par le plateau tournant, exerce sur le gyroscope, un couple de moment M,s g Dans le référentiel terrestre supposé galiléen le TM s écrit : d = M,s g D autre part, le référentiel S lié au support (le plateau tournant), tourne à la vitesse ω dans, et : d d = + ω S n en déduit : d S = M ω,s g A l équilibre dans S, la somme des moments des forces est nulle et le gyroscope exerce sur son support un couple gyroscopique de moment : M = ω,g s n vérifie cette relation avec les mesures expérimentales de ω, M,g s et Ω permettant d obtenir

5 Leçon 5 37 Effets macroscopiques *1 Précession des équinoxes La terre est un gyroscope déséquilibré Elle tourne autour de son axe de révolution Sud-Nord à la vitesse Ω T Mais elle n est pas parfaitement sphérique, et de ce fait, les astres exercent sur elle un couple de forces gravitationnelles (n pourra ne donner que les principaux résultats de ce calcul un peu long, éventuellement à faire en y exercice) x x Evaluons le moment M du couple de forces ϕ qu un astre A exerce sur la terre Pour cela commençons par déterminer le potentiel puis le champ de gravitation créé par la terre au point A, centre de l astre n note r = A, = et : 1 r PA = r- = r 1 + r r En effectuant un développement au deuxième ordre en r 1, il vient : θ 0 P θ r A e ϕ e r e θ y P 1 1 r 3 r = PA r 8 r r r Le potentiel de gravitation en A, s écrit : dm G G G φ= G dm dm 3( ) r = dm PA r r 5 r r r φ1 terme φ terme φ 3 terme unipolaire dipolaire quadrupolaire L intégration porte sur les coordonnées x, y et du point P (dans le référentiel = x y ) à l intérieur de la terre Le terme unipolaire est égale à Gm T /r et le terme dipolaire est nul car est le centre de masse de la terre Il reste à évaluer le terme quadrupolaire Dans, les coordonnées du point A sont (r sinθ cos ϕ, r sinθ sin ϕ, r cos θ ), et donc : G φ = θ ϕ+ θ ϕ+ θ r 3 3 ( x r sin cos y r sin sin r cos ) r dm 5 Passons dans le référentiel principal d inertie = x y lié à la terre, en effectuant une rotation d axe x et d angle θ 0 Le changement de coordonnées s écrit : x = x y = y cosθ 0 + sinθ0 = y sinθ + cosθ 0 0 n reporte ces coordonnées dans l expression de φ 3 où les variables d intégration sont x, y et

6 38 leçon 5 D après la symétrie de révolution de la terre, les intégrales de x, y y et x sont nulles e qui revient à dire que dans le repère principal d inertie, les produits d inertie sont nuls D autre part les moments d inertie vérifient les égalités : I 1 = I x = I = I y I 3 = I Les intégrales de x et y sont donc identiques En tenant compte de ces remarques et en utilisant la relation de transformation du sinus en cosinus on obtient l expression de φ 3 dans laquelle I1 I 3 = ( y )dm, puis celle du potentiel de gravitation : Le champ de gravitation est : Gm T G (I 3 3 I 1 ) 1 3 cos cos 0 sin sin 0 sin ( ) φ= θ θ + θ θ ϕ r r G =G e + G e + G e, r r θ θ ϕ ϕ où φ G r =, r 1 φ G θ = et r θ 1 φ G θ = rsinθ ϕ Le moment M du couple de forces que l astre exerce sur la terre est l opposé du moment A m A G que la terre exerce sur l astre : M = A m G = r e m ( G e + G e + G e ) A r A r r Dans la base ( ex, ey, e ) du repère = x y, ce moment s écrit : θ θ ϕ ϕ ( θ e ϕ θ e ϕ e ) M = rm G sin ϕ + ( G cosθ G cos ϕ) -G sinθ A x y Si l on suppose que l astre se déplace dans le plan de l écliptique, θ=π Dans ce cas, le calcul de G et G conduit à : θ ϕ G 3G (I I ) sin sin θ = θ0 ϕ r et 3G G ϕ = 4 (I 3 I 1 ) sin θ0 sin ϕ r Le moment s écrit alors : M 3G m 1 r ( ) A = I3 I 3 1 sinθ0 sin ϕ ex sin θ0 sin ϕ ey + sin θ0 sin ϕ e Prenons la valeur moyenne de ce moment lorsque l angle ϕ varie Puisque sinϕ = 0 : sin ϕ = 1 et 3G m A M = ( I 3 I 1) 3 sin θ0 e x 4 r evenons à l effet gyroscopique Par analogie avec le gyroscope déséquilibré, dans le référentiel de opernic, le TM s écrit : d = M =ω,

7 Leçon 5 39 où ω est la vitesse de rotation de dans r M = M ex = ( M /sin θ0) e e n déduit la vitesse de précession de l axe des pôles de la terre : M ω = e sin θ 0 Il en résulte que chaque année, la position apparente du soleil dans le ciel est modifiée est ce que l on appelle la précession des équinoxes Evaluons cette vitesse lorsque l on tient compte de la contribution du soleil et de la lune 3G m S m L M,S+ L T = (I 3 I 1 ) sin θ0 4 rs r L Sachant que 3 3 L L S S m d =,17m d la vitesse de précession s écrit : 3 (I 3 I 1) G cosθ 0 3,17 m S ω = e 3 4I 3 Ω T d S 5 1 En utilisant les valeurs Ω T = 7,310 rad s, θ= 3 7, et 3(I 3 I 1) 4 I ainsi que la 3 troisième loi de Kepler T d = 4π Gm on obtient : a S S et a 4, ω= = 7,7310 rad s, T π T = = 5699 Ta 57 siècles ω L approximation gyroscopique est bien vérifiée ompas gyroscopique ou gyrocompas Le gyrocompas est un gyroscope équilibré qui permet d indiquer la direction du Nord et la latitude en un point de la surface terrestre Les deux expériences proposées sont délicates Elles nécessitent un bon gyroscope Ω T,g w ψ y θ=π Imposons une position horiontale à l axe du gyroscope Pour cela on fixe θ=π en bloquant la rotation horiontale de la liaison ardan Appliquons le TM au gyroscope et à son support, dans le référentiel de opernic : λ x ψ u (,g +,s ) d(,g +,s ) d = + Ω T (,g +,s) = M, où T est le référentiel terrestre, Ω T la vitesse de rotation de la terre et M le moment des forces que le socle, lié à la terre, exerce sur le support n note J le moment d inertie suivant l axe du support Les moments cinétiques en s écrivent : T,g I et,s J = Ω e = ψ e

8 40 leçon 5 En projetant le TM sur l axe, on obtient l équation scalaire : d,s + e T (,s +,g) = Ω M T r : De plus : ( ) e T,s +,g = T,g =,g T Ω Ω e Ω e w ( cos e sin e ) Ω =Ω λ + λ et ew = sinψ ex + cosψ e y T T x n obtient finalement en faisant apparaître l angle ψ π, l équation du pendule : ( ) d T ( ) ψ π J +ΩΩ I cos λ sin ψ π =M Si M = 0, le gyroscope et son support oscillent autour de la position stable ψ =π Pour de petites oscillations la période est : I T = π ΩΩ cos λ T I En réalité M ψ 0 car en tournant le support frotte sur son socle L oscillateur s amortit et l axe finit par pointer vers le nord, dans le plan du méridien Le gyrocompas donne aussi la latitude du lieu Suite à l expérience précédente, il suffit de bloquer la rotation d angle ψ du gyroscope, l axe étant dans le plan du méridien, et de laisser libre la rotation d angle θ Le gyroscope va osciller autour de la direction donnée par l axe des pôles La latitude est représentée par l angle λ que fait le vecteur Ω T avec l horiontale dans le plan du méridien L équation pendulaire s obtient en projetant le TM sur l axe w mais cette fois le support est simplement constitué par la partie en rotation suivant cet axe n appelle son moment d inertie K w Le calcul conduit à : π d θ λ K π w +ΩΩ T I sin θ λ = M w 3 Effets microscopiques 31 Précession d un moment magnétique A l échelle microscopique, les atomes constituants la matière possèdent un moment magnétique qui englobe le moment magnétique orbital que l on explique classiquement par la rotation des électrons autour du noyau (diamagnétisme) et le moment magnétique intrinsèque, ou spin des particules introduit par la théorie quantique relativiste (paramagnétisme) Notons µ le moment magnétique d un dipôle magnétique et son moment cinétique calculé en son centre de masse Ils sont reliés par la relation µ =γ où γ est le facteur gyromagnétique Placé dans un champ magnétique uniforme B 0 le moment magnétique est soumis à un couple de forces de moment :

9 Leçon 5 41 M = µ B = γ B 0 0 Dans le référentiel terrestre, le TM appliqué au dipôle s écrit : d = γb 0 Par analogie avec le gyroscope déséquilibré, le dipôle magnétique précessionne autour de B 0 à la vitesse angulaire : ω L = γb0 ette vitesse est appelée la pulsation de Larmor B 0 µ Ainsi pour un moment magnétique d origine purement intrinsèque, l image classique la plus simple du spin est celle d une particule en rotation sur elle-même, constituant un gyroscope 3 ésonance magnétique En plus du champ magnétique uniforme B 0 on soumet des échantillons de matière et donc des dipôles magnétiques, à un champ magnétique B 1 d intensité beaucoup plus faible, perpendiculaire à B 0, tournant à la vitesse ω =ωe Le référentiel terrestre est noté = x y et le référentiel tournant = x y Dans le TM appliqué au dipôle, s écrit : d d = + = γ ( 0 + 1) ω B B De même que ω L = γ B 0 e =ωl e, la vitesse de précession du dipôle autour du champ tournant est ω 1 = γ B 1 ex =ω1 ex, et si ω = ωl ω, dans le référentiel on obtient : Le champ d ( ) = ω e +ω e = γb 1 x eff B eff est le champ magnétique efficace vu par le dipôle dans x B + ω 0 γ ω t B eff B 1 x y y Lorsque ω ω1, dans le moment magnétique précessionne pratiquement à la vitesse : ω ω e = γ B0 +, γ autour du champ magnétique vertical B 0 + ω γ Lorsque ω 0, dans le moment magnétique précessionne à la vitesse ω 1 autour du champ B 1 En réalité, le moment magnétique est quantifié et sa projection sur l axe est µ = γ m où est la constant de Planck réduite et m le nombre quantique magnétique Dans le champ B eff l énergie de ce moment magnétique E = µ B eff est donc aussi quantifiée Supposons que m prenne deux valeurs ( m =± 1 ) Le moment se retourne et passe à un état d énergie supérieur avec une variation E = hν Il absorbe un photon de fréquence ν

10 4 leçon 5 La résonance magnétique correspond à une absorption de photons de fréquence ν pour une valeur particulière de ω Si l environnement du moment magnétique change, c est à dire si la constitution de la matière varie, un champ magnétique b se superpose à B 0 et l absorption du photon n a plus lieu à la pulsation de Larmor mais à ω= γ ( B0 + b) La résonance magnétique nucléaire (MN) fait intervenir les moments magnétiques des noyaux des atomes La fréquence d absorption ν se situe dans le domaine des radiofréquences entre 1 Mh et 500 Mh ette technique est très utilisée dans le domaine biomédical La résonance paramagnétique électronique (PE) utilise les moments magnétiques des électrons des atomes La fréquence d absorption varie entre 10 Gh et 00 Gh onclusion Que le gyroscope soit équilibré ou déséquilibré, lorsqu on lui impose un mouvement de rotation par rapport à un axe, il répond par un couple de forces lui donnant une rotation perpendiculaire à cet axe est le couple gyroscopique lorsqu il est équilibré et le couple qui lui donne son mouvement de précession lorsqu il ne l est pas Les applications du gyroscope équilibré utilisent le couple gyroscopique Ainsi le gyrocompas permet à des avions, des sous-marins, ou tout autre appareil ayant une carcasse métallique, de s orienter alors que l utilisation de la boussole magnétique n est plus possible Le gyroscope déséquilibré se rencontre dans des systèmes physiques macroscopiques tels que la terre ou microscopiques tels que le moment magnétique des particules Bibliographie JP Pére, Mécanique, Masson, 1997 M Bertin, JP Faroux, J enault, Mécanique 1 et, Dunod, 1994