Orthogonalité de droites et de plans

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1 Orthogonalité de droites et de plans Par Mathtous Ce mini cours s'adresse en priorité aux élèves de première. Il a pour objectif de rappeler les propriétés essentielles des droites orthogonales et des droites orthogonales à un plan. Il n'a donc pas la prétention d'être exhaustif. I) Produit scalaire de deux vecteurs L'espace usuel est rapporté à un repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ). Si relativement à ce repère, le vecteur u a pour coordonnées ( x ; y ; z ) et que le vecteur u a pour coordonnées ( x ; y ; z ), le produit scalaire u. u vaut : x.x + y.y + z.z. On vérie aisément les propriétés suivantes : Quels que soient les vecteurs u, v, w, et quel que soit le réel k : u. v = v. u u. ( v + w) = u. v + u. w u. (k v) = k ( u. v) ( cas particulier : u ). v = u. ( v ) = ( u. v) On remarque évidemment que 0. u = u. 0 = 0, mais il se peut que le produit scalaire de deux vecteurs soit nul sans qu'aucun ne le soit. On est donc amené à poser la dénition suivante : deux vecteurs sont orthogonaux si ( et seulement si ) leur produit scalaire est nul. II) Droites orthogonales Une droite peut être dénie par un de ses points et par un de ses vecteurs directeurs ( un vecteur directeur est toujours non nul ). Si u est un vecteur directeur de la droite (D), si u est un vecteur directeur de la droite (D'), et si les deux vecteurs u et u sont orthogonaux, alors tout vecteur directeur de (D) est orthogonal à tout vecteur directeur de (D'). Quelle propriété vue dans le paragraphe précédent permet d'armer cela? Pas trouvé? C'est la dernière : si v est un autre vecteur directeur de la droite (D), il est colinéaire au vecteur u : il existe un réel k tel que v = k u. De même, si v est un autre vecteur directeur de la droite (D'), il est colinéaire au vecteur ) u : il existe ) un réel k tel que v = k u. Donc : v. v = (k u). (k u = kk ( u. u = kk 0 = 0 puisque les deux vecteurs u et u sont orthogonaux. 1

2 Donc les deux vecteurs v et v le sont aussi. Par suite, on peut poser la dénition suivante : deux droites sont orthogonales si ( et seulement si ) un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre. Auquel cas tout vecteur directeur de l'une est orthogonal à tout vecteur directeur de l'autre. Deux droites orthogonales n'ont aucune raison d'être coplanaires, mais si elles le sont, elles se coupent alors en formant des angles droits : elles sont perpendiculaires. Le terme orthogonales est donc plus général que le terme perpendiculaires. Droite orthogonale à un plan Un plan (P) peut être déni par un point A et deux vecteurs indépendants ( non colinéaires ) u et v. L'ensemble (A; u; v) est alors un repère dans ce plan. Si le vecteur n est orthogonal aux deux vecteurs u et v, il est orthogonal à tout vecteur du plan (P), en eet : un tel vecteur peut s'écrire : w = x u + y v donc : n. w = x ( n. u) + y ( n. v) = 0 puisque n. u = 0 et n. v = 0. D'où la dénition : Un vecteur est normal ou orthogonal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs indépendants de ce plan. Il est alors orthogonal à tout vecteur de ce plan. Exemple : Equation d'un plan déni par un point et un vecteur normal. Soit un point A de coordonnées (α; β; γ) relativement à un repère orthonormé de l'espace, et soit n un vecteur de coordonnées (a; b; c) relativement à ce même repère. On cherche une équation du plan (P) passant par A et dont le vecteur n soit un vecteur normal. Le point M de coordonnées (x; y; z) est un point du plan (P) si et seulement si les deux vecteurs n et AM sont orthogonaux. Ce qui équivaut à : a (x α) + b (y β) + c (z γ) = 0 qui est de la forme : ax + by + cz + k = 0. Réciproquement, toute équation de cette forme est celle d'un plan orthogonal au vecteur de coordonnées (a; b; c). On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est normal à ce plan. 2

3 Tout vecteur directeur u de cette droite est alors orthogonal à tout vecteur t du plan. Il sut pour cela qu'un vecteur directeur de la droite soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Il en résulte le théorème suivant : Théorème : Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites de ce plan. Une application de ces résultats est le théorème dit des trois perpendiculaires. Soit une droite (AB) orthogonale en B à un plan (P) ( B (P) ). Et soit une droite (D') du plan (P). La droite du plan (P) passant par B et perpendiculaire à la droite (D') la coupe en C. On va démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (D'). On va donner 3 démonstrations plus ou moins diérentes : 1) En utilisant le théorème précédent : La droite (AB) est orthogonale au plan (P), donc elle est orthogonale à la droite (D') contenue 3

4 dans ce plan. La droite (D') est donc orthogonale à la droite (AB), mais aussi à la droite (BC) : elle est orthogonale à deux droites du plan (ABC), donc elle est orthogonale à ce plan. Par suite, elle est orthogonale à toutes les droites du plan (ABC), notamment à la droite (AC). Elle est également sécante à (AC), donc les deux droites (D') et (AC) sont bien perpendiculaires. 2) En revenant aux vecteurs : Soit v un vecteur directeur de la droite (D'). AB est un vecteur directeur de la droite (AB) qui est orthogonale au plan (P) : donc ce vecteur est orthogonal à tout vecteur du plan (P), en particulier au vecteur v. Donc : AB. v = 0. La droite (BC) est perpendiculaire à la droite (D'), donc les vecteurs BC et v sont orthogonaux : BC. v = 0. Il en résulte que AC. v = AB. v + BC. v = 0. Donc la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (D'). 3) En utilisant le théorème de Pythagore : Les triangles ABC, BCM, et ABM sont des triangles rectangles : ABC est un triangle rectangle en B puisque la droite (AB) est orthogonale au plan (P) donc orthogonale à toutes les droites de ce plan. Donc selon le théorème de Pythagore : AC 2 = AB 2 + BC 2. BCM est un triangle rectangle en C puisque (BC) est perpendiculaire à la droite (D') ou (CM). Donc on a de même : BM 2 = CM 2 + BC 2. Enn, ABM est un triangle rectangle en B puisque (AB) est perpendiculaire à (BM). Donc : AM 2 = AB 2 + BM 2. Il en résulte que : AM 2 = AB 2 + BM 2 AM 2 = AB 2 + BC 2 + CM 2 AM 2 = AC 2 + CM 2 Cette égalité prouve que le triangle ACM est rectangle en C, et donc que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (CM) ou (D'). 4

5 III) Distance d'un point à un plan Cette application généralise dans l'espace un résultat connu concernant la distance d'un point à une droite en dimension 2. Nous avons vu précédemment que l'équation cartésienne d'un plan relativement à un repère orthonormé est de la forme :ax + by + cz + k = 0, où a, b, et c sont les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan. Soit donc P un plan d'équation ax + by + cz + k = 0, A de coordonnées (α ; β ; γ) un point quelconque de l'espace ( situé ou non dans le plan P ). La droite passant par A et orthogonale à P coupe P en H de coordonnées (x H ; y H ; z H ), et n un vecteur normal à P, de coordonnées a, b, et c. Le vecteur AH lui aussi orthogonal à P a donc pour coordonnées : (λa ; λb ; λc). La distance du point A au plan P est donc AH = λ a 2 + b 2 + c 2. Reste à déterminer λ. Puisque H appartient au plan P, on a : ax H + by H + cz H + k = 0. Le vecteur AH a pour coordonnées (x H α ; y H β ; z H γ) qui sont égales à (λa ; λb ; λc). Donc, x H = λa + α ; y H = λb + β ; et z H = λc + γ. En remplaçant dans l'équation ax H + by H + cz H + k = 0, on obtient : a(λa + α) + b(λb + β) + c(λc + γ) + k = 0, d'où : λ (a 2 + b 2 + c 2 ) + (aα + bβ + cγ + k) = 0, aα + bβ + cγ + k et donc : λ = a 2 + b 2 + c 2, le dénominateur n'étant pas nul puisque n ne l'est pas. aα + bβ + cγ + k Il en résulte que AH = aα + bβ + cγ + k a a 2 + b 2 + c 2 + b 2 + c 2 = 2. a2 + b 2 + c 2 5