BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier durée : 2 heures

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1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points) Exercice 1 (4 pts) Soit f la fonction définie par f (x) = x 2 4x Calculer l image de 5, puis de 2 par la fonction f. 2. Prouver que 2 3 est un antécédent de 11 par la fonction f. Ecrire les étapes du calcul Calculer f (10 3 ). Donner la réponse en écriture décimale puis en écriture scientifique. Ecrire les étapes du calcul. Exercice 2 (3 pts) Un confiseur dispose de 133 bonbons au citron et de 95 bonbons à l orange. Il souhaite faire plusieurs paquets identiques contenant chacun le même nombre de bonbons de chaque sorte. 1. Combien de paquets pourra faire le confiseur au maximum? 2. Combien de bonbons de chaque sorte y aura-t-il dans chaque paquet? 3. Le paquet de bonbons est vendu 3,50 hors taxe. Calculer le prix du paquet avec une taxe (TVA) de 19,6%. Exercice 3 (2,5 pts) 1. Résoudre l inéquation 3 (x 2) x 4 2. Représenter graphiquement les solutions de cette inéquation sur une droite graduée. 3. Le nombre est-il solution de cette inéquation? Pourquoi? Exercice 4 (2,5 pts) Aujourd hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de l âge de Marc. Votre démarche sera bien détaillée sur la copie. Page 1/3

2 Activités géométriques (12 points) Exercice 1 ( 5,5 pts) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Soit le point E sur [AB] tel que BE= 1,5 cm et le point F sur [BC] tel que BF = 2,5 cm. 1. a) Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles. b) Prouver que EF = 2 cm. 2. Calculer l aire du trapèze AEFC. 3. Calculer la mesure de l angle arrondie au degré. Exercice 2 ( 3 pts) Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan. Un doseur de lessive liquide, représenté ci-contre, a la forme d'une calotte sphérique de centre O, de rayon R = OA = 4,5 cm. L'ouverture de ce récipient est délimitée par le cercle de centre H et de rayon HA = 2,7 cm. La hauteur totale de ce doseur est HK. 1. Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO. 2. Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8,1 cm. 3. Le volume V d'une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par la formule : Calculer en fonction de π le volume exact du doseur en cm 3. En déduire la capacité totale arrondie au millimètre cube.du doseur. Exercice 3 ( 3,5 pts) On considère le cercle ( C) de centre O, point de la demidroite [Ay). La demi-droite [Ax) est tangente au cercle ( C) en T. On donne AT = 9 cm. 1. Calculer une valeur approchée, au millimètre près, du rayon du cercle (C ) 2. À quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT] pour que l'angle mesure 30? (Donner une valeur approchée arrondie au millimètre.) Page 2/3

3 Problème(12 points) B Le propriétaire d un terrain dont la forme est un triangle rectangle souhaite y construire une maison de base rectangulaire. Sur la figure ci-contre, le terrain est représenté par le triangle ABC rectangle en A avec AB = 20 m et AC = 25m. N x M 20m N est un point de [BC] et M et P sont les points de [AB] et [AC] tels que AMNP soit un rectangle. On pose MN = x (en mètres). La maison à construire est représentée par le rectangle NMAP. C 25m P A PARTIE A 1. Pourquoi les droites (MN) et (AC) sont-elles parallèles? 2. En utilisant le théorème de Thalès, exprimer la distance BM en fonction de x. En déduire que MA = 20 0,8x. 3. Pour quelle valeur de x la base de la maison est-elle carrée? (arrondir au mètre). 4. Démontrer que l expression développée de l aire du rectangle AMNP (en m²) est 20x 0,8x². PARTIE B Soit f la fonction qui à un nombre x (compris entre 0 et 25) associe l aire du rectangle AMNP en m². La fonction f est donc définie par f : x 20x 0,8x². 1. Calculer f (7,5) puis f (15). 2. Voici la représentation graphique de la fonction f : (en mètres) Répondre aux questions suivantes par des phrases : a. Lire graphiquement l image de 20 par la fonction f. Que représente concrètement ce résultat pour le propriétaire du terrain? b. Lire graphiquement les antécédents de 120 par la fonction f. Que représentent concrètement ces résultats pour le propriétaire du terrain? c. Lire graphiquement l aire maximale de la base de la maison et la valeur de MN correspondante. Page 3/3

4 CORRECTION Activités numériques (12 points) Exercice 1 Soit f la fonction définie par f (x) = x 2 4x Calculer l image de 5, puis de 2 par la fonction f. f (5) = 5² f (5) = f (5) = 6 L image de 5 est 6 f (2) = (2)² 4 (2) + 1 f (5) = f (5) = 13 L image de 2 est Prouver que 2 3 est un antécédent de 11 par la fonction f. Ecrire les étapes du calcul. 9 Calculons Donc 2 3 est un antécédent de 11 par la fonction f 9 3. Calculer f (10 3 ). Donner la réponse en écriture décimale puis en écriture scientifique. Ecrire les étapes du calcul. = 9,96001 Exercice 2 (3 pts) Un confiseur dispose de 133 bonbons au citron et de 95 bonbons à l orange. Il souhaite faire plusieurs paquets identiques contenant chacun le même nombre de bonbons de chaque sorte. 1. Combien de paquets pourra faire le confiseur au maximum? Le nombre maximal de paquets est le PGCD de 133 et 95. Calculons le à l aide de l algorithme d Euclide : PGCD (133 ; 95) = PGCD (95 ; 38) = PGCD (38 ; 19) = 19 (dernier reste non nul) Le confiseur peut réaliser au maximum 19 paquets. 2. Combien de bonbons de chaque sorte y aura-t-il dans chaque paquet? = 7 et = 5 Il y aura 7 bonbons au citron et 5 à l orange dans chaque paquet.

5 3. Le paquet de bonbons est vendu 3,50 hors taxe. Calculer le prix du paquet avec une taxe (TVA) de 19,6%. 19,6 Une augmentation de 19,6 % est associée à la fonction f : x 1 x 100 C est à dire f : x 1,196 x (x représente le prix initial et 1,196 x le prix augmenté) Le prix après l augmentation est donc l image 3,50 par f f (3,5) = 1,196 3,5 = 4,186 Le prix augmenté est 4,19 Exercice 3 (2 pts) 1. Résoudre l inéquation 3 (x 2) x 4 3x + 6 x 4 3x x 6 4 4x 10 x x 2,5 2. Représenter graphiquement les solutions de cette inéquation sur une droite graduée. Je colorie les solutions 2,5 3. Le nombre est-il solution de cette inéquation? Pourquoi? n est pas solution car il est supérieur à 2,5. Exercice 4 (2 pts) Aujourd hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Dans combien d années l âge de Pierre sera-t-il le double de l âge de Marc. Votre démarche sera bien détaillée sur la copie. Choix de l inconnue : soit x le nombre d années cherché. Mise en équation : Aujourd hui Dans x années Age de Marc x Age de Pierre x Le problème se traduit par l équation : 26 + x = 2 (11 + x) Résolution : 26 + x = x = 2x x 4 = x Conclusion : Dans 4 ans l âge de Pierre sera le double de l âge de Marc

6 Activités géométriques (12 points) Exercice 1 (5,5 pts) 1. a) Démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles. ABC est un triangle dans lequel les points B, E et A sont alignés dans le même ordre que B, F et C. De plus et., donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EF) sont parallèles. b) Prouver que EF = 2 cm. Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Comme (AC) et (EF) sont parallèles et que (AB) est perpendiculaire à (AC), on en déduit que (AB) est perpendiculaire à (EF). Le triangle EFB est donc rectangle en E. On peut utiliser la propriété de Pythagore. On a : BF² = BE² + EF² 2,5² = 1,5² + EF² 6,25 = 2,25 + EF² EF² = 6,25 2,25 = 4 Donc EF = = 2 cm. (On peut aussi utiliser la propriété de Thalès pour répondre à cette question). 2. Calcul de l aire du trapèze AEFC. Aire(AEFC) = Aire(ABC) Aire(BEF) = = = 24 1,5 = 22,5 cm². 3. Calculer l arrondi au degré de la mesure de l angle. Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : cos = = = 0,8. Donc Exercice 2 (3 pts) 1. Dessiner AHO en vraie grandeur. H 2,7 cm A 4,5 cm O

7 2. Calculer la longueur OH et en déduire que HK = 8,1 cm Dans le triangle AHO rectangle en H, d après le théorème de Pythagore : AO 2 = AH 2 + OH 2 4,5 2 = 2,7 2 + OH 2 OH 2 = 20,25 7,29 = 12,96 OH = = 3,6 cm. On en déduit que : HK = HO + OK = 3,6 + 4,5 = 8,1 cm. 3. Calcul du volume de la calotte sphérique. Exercice 3 (3,5 pts) 1. Calculer une valeur approchée du rayon OT du cercle. (Ax) est la tangente au cercle en T donc, par définition, (Ax) et (OT) sont perpendiculaires. AOT est rectangle en T donc : tan =. OT = AT tan = 9 tan 29 5 cm (valeur arrondie au mm). 2. À quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT] pour que l'angle mesure 30? Le triangle OBT doit être rectangle en T. On aura : tan =. BT = Le point B doit donc être placé sur le segment [AT] à 0,3 cm de A (9 8,7). Problème(12 points) B PARTIE A 1. Pourquoi les droites (MN) et (AC) sont-elles parallèles? N x M 20m (MN) et (AC) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AB). 2. Exprimer la distance BM en fonction de x. En déduire que MA = 20 0,8x C 25m P A Dans le triangle ABC, M appartient à (AB), N appartient à (BC) et les droites (MN) et (AC) sont parallèles, donc on peut utiliser la propriété de Thalès : donc.

8 On a : BM = = = 0,8x. On en déduit que MA = BA BM = 20 0,8x. 3. Pour quelle valeur de x la base de la maison est-elle carrée? (arrondir au mètre). La maison sera carrée si MA = AN. Donc si 20 0,8x = x En résolvant cette équation, on trouve x = = soit environ 11,1 m 4. Démontrer que l expression développée de l aire du rectangle AMNP (en m²) est 20x 0,8x². Aire(AMNP) = MN MA = x (20 0,8x) = x 20 x 0,8x = 20x 0,8x². 1. Calculer f (7,5) puis f (15). 2. f(7,5) = 20 7,5 0,8 7,5² = 105 f(15) = ,8 15² = 120. PARTIE B (en mètres) a. Lire graphiquement l image de 20 par la fonction f. Que représente concrètement ce résultat pour le propriétaire du terrain? L image de 20 par la fonction f est environ 80. Cela signifie que lorsque MN vaut 20 m, la base de la maison a une aire d environ 80 m². b. Lire graphiquement les antécédents de 120 par la fonction f. Que représentent concrètement ces résultats pour le propriétaire du terrain? Les antécédents de 120 par la fonction f sont environ 10 et 15. Cela signifie que pour construire une maison dont l aire de la base est de 120 m², la longueur MN doit être environ égale à 10 m ou à 15 m. c. Lire graphiquement l aire maximale de la base de la maison et la valeur de MN correspondante. L aire maximale de la base de la maison est d environ 125 m². Elle est obtenue pour une valeur de MN environ égale à 12,5 m.

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