Chapitre 7. Diagonalisation
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- Delphine Lefebvre
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1 Chapitre 7. Diagonalisation Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc. 1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition, multiplication, puissance, polynôme. déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : λ 1 0 ) ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n Exemple = π
2 Chapitre 7. Diagonalisation Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc. 1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition, multiplication, puissance, polynôme. déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : λ 1 0 ) ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n Exemple = 3 2 π π 9 1 0
3 2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s écrit avec P une matrice inversible. Exemple. A = ( ) 1 2 P =. 1 3 A = PMP 1, ou bien P 1 AP = M, ( 3a 2b 2a+2b 3a 3b 2a+3b ) = P ( ) a 0 P 0 b 1 avec Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculer A 2,A 3,A n, etc, il suffit de remplacer a par a n et b par b n! Preuve.
4 2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s écrit avec P une matrice inversible. Exemple. A = ( ) 1 2 P =. 1 3 A = PMP 1, ou bien P 1 AP = M, ( 3a 2b 2a+2b 3a 3b 2a+3b ) = P ( ) a 0 P 0 b 1 avec Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculer A 2,A 3,A n, etc, il suffit de remplacer a par a n et b par b n! Preuve. A 2 = (PMP 1 ( ) 2 = (PMP ) 1 )(PMP ( 1 ) = PM(P 1 P)MP 1 = a PM 2 P a = P 0 b 2 P 1 = 2 2b 2 2a 2 + 2b 2 ) 3a 2 3b 2 2a 2 + 3b 2.
5 3 Diagonalisation Diagonaliser une matrice A, c est de trouver une matrice inversible λ 1 0 P = ( v 1,, v n ) et une matrice diagonale M = λ n telles que A = PMP 1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P et M? Rappelons que λ 1 0 ) PM = ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n et AP = (A v 1,,A v n ).
6 3 Diagonalisation Diagonaliser une matrice A, c est de trouver une matrice inversible λ 1 0 P = ( v 1,, v n ) et une matrice diagonale M = λ n telles que A = PMP 1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P et M? Rappelons que λ 1 0 ) PM = ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n et AP = (A v 1,,A v n ). Donc AP = PM A v 1 = λ 1 v 1,,A v n = λ n v n
7 3 Diagonalisation Diagonaliser une matrice A, c est de trouver une matrice inversible λ 1 0 P = ( v 1,, v n ) et une matrice diagonale M = λ n telles que A = PMP 1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P et M? Rappelons que λ 1 0 ) PM = ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n et AP = (A v 1,,A v n ). Donc AP = PM A v 1 = λ 1 v 1,,A v n = λ n v n (A λ 1 Id) v 1 = 0,(A λ 2 Id) v 2 = 0,
8 3 Diagonalisation Diagonaliser une matrice A, c est de trouver une matrice inversible λ 1 0 P = ( v 1,, v n ) et une matrice diagonale M = λ n telles que A = PMP 1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P et M? Rappelons que λ 1 0 ) PM = ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n et AP = (A v 1,,A v n ). Donc AP = PM A v 1 = λ 1 v 1,,A v n = λ n v n (A λ 1 Id) v 1 = 0,(A λ 2 Id) v 2 = 0, v 1 Ker(A λ 1 Id), v 2 Ker(A λ 2 Id),.
9 3 Diagonalisation Diagonaliser une matrice A, c est de trouver une matrice inversible λ 1 0 P = ( v 1,, v n ) et une matrice diagonale M = λ n telles que A = PMP 1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P et M? Rappelons que λ 1 0 ) PM = ( v 1,, v n )..... = (λ 1 v 1,,λ n v n 0 λ n et AP = (A v 1,,A v n ). Donc AP = PM A v 1 = λ 1 v 1,,A v n = λ n v n (A λ 1 Id) v 1 = 0,(A λ 2 Id) v 2 = 0, v 1 Ker(A λ 1 Id), v 2 Ker(A λ 2 Id),.Déterminer des noyaux on sait faire!
10 ( ) 5 3 Exo. Pour diagonaliser A =, on fabrique d abord deux 6 4 nouvelles matrices A 2Id et A ( 1)Id et on détermine pour chacune d elles une base du noyau (ces deux valeurs 2, 1 sont les racines de l équation det(a λid) = 0 ) : diagonaliser A ( ) det(a λid) = 0 ( λ = ) 2 ւ ց 1 ( ) A λid 6 ( 6 ) 6 ( 3 ) 1 1 base du noyau 1 ( ) ( ) assembler P = et M = vérifier que AP = PM Conclure que A = PMP 1. A est diagonalisée. Diagonaliser de même la matrice ( )
11 Valeurs propres et vecteurs propres Définition. On dit qu un vecteur v non nul est un vecteur propre de A si A v est proportionnel à v, c est-à-dire qu il existe une valeur λ telle que A v = λ v. On dit que λ est la valeur propre de A associée à v. Reprenons ( notre exemple :) ( ) ( ) 3a 2b 2a+2b a A = = P P 3a 3b 2a+3b 0 b 1 avec P = ( ) ( ) ( ) ( ) a Donc AP = P, et A = a, A = b 0 b ( ) 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée 1 ( )..
12 Valeurs propres et vecteurs propres Définition. On dit qu un vecteur v non nul est un vecteur propre de A si A v est proportionnel à v, c est-à-dire qu il existe une valeur λ telle que A v = λ v. On dit que λ est la valeur propre de A associée à v. Reprenons ( notre exemple :) ( ) ( ) 3a 2b 2a+2b a A = = P P 3a 3b 2a+3b 0 b 1 avec P = ( ) ( ) ( ) ( ) a Donc AP = P, et A = a, A = b 0 b ( ) 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée a ; 1 ( ) 2 3 ( )..
13 Valeurs propres et vecteurs propres Définition. On dit qu un vecteur v non nul est un vecteur propre de A si A v est proportionnel à v, c est-à-dire qu il existe une valeur λ telle que A v = λ v. On dit que λ est la valeur propre de A associée à v. Reprenons ( notre exemple :) ( ) ( ) 3a 2b 2a+2b a A = = P P 3a 3b 2a+3b 0 b 1 avec P = ( ) ( ) ( ) ( ) a Donc AP = P, et A = a, A = b 0 b ( ) 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée a ; 1 ( ) 2 est un vecteur propre, de valeur propre associée b. 3 ( )..
14 Valeurs propres et vecteurs propres Définition. On dit qu un vecteur v non nul est un vecteur propre de A si A v est proportionnel à v, c est-à-dire qu il existe une valeur λ telle que A v = λ v. On dit que λ est la valeur propre de A associée à v. Reprenons ( notre exemple :) ( ) ( ) 3a 2b 2a+2b a A = = P P 3a 3b 2a+3b 0 b 1 avec P = ( ) ( ) ( ) ( ) a Donc AP = P, et A = a, A = b 0 b ( ) 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée a ; 1 ( ) 2 est un vecteur propre, de valeur propre associée b. 3 Nous venons de démontrer : ( )..
15 Valeurs propres et vecteurs propres Définition. On dit qu un vecteur v non nul est un vecteur propre de A si A v est proportionnel à v, c est-à-dire qu il existe une valeur λ telle que A v = λ v. On dit que λ est la valeur propre de A associée à v. Reprenons ( notre exemple :) ( ) ( ) 3a 2b 2a+2b a A = = P P 3a 3b 2a+3b 0 b 1 avec P = ( ) ( ) ( ) ( ) a Donc AP = P, et A = a, A = b 0 b ( ) 1 est un vecteur propre, de valeur propre associée a ; 1 ( ) 2 est un vecteur propre, de valeur propre associée b. 3 Nous venons de démontrer : ( ). Théorème de diagonalisation. Une matrice carrée n n est diagonalisable ssi elle possède n vecteurs propres formant une base..
16 Un( autre ) exemple ( ) : A( est) une ( matrice ) 2 2 telle que A = et A =. Alors A est diagonalisable : ( ) ( ( ) ( )) ( )( ) A = 2,1 =, avec P =??, M =?? et A =??.
17 Un( autre ) exemple ( ) : A( est) une ( matrice ) 2 2 telle que A = et A =. Alors A est diagonalisable : ( ) ( ( ) ( )) ( )( ) A = 2,1 =, avec P =??, M =?? et A =??. Réponse : A = 1 ( )
18 Comment trouver les valeurs propres? On cherche d abord les λ i (valeurs propres). Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λ i d une matrice A sont les solutions de l équation det(a λid) = 0.
19 Comment trouver les valeurs propres? On cherche d abord les λ i (valeurs propres). Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λ i d une matrice A sont les solutions de l équation det(a λid) = 0. Exo. Trouver les valeurs propres de ( ) 1 2 et 0 3 ( )
20 Polynôme caractéristique Définition Pour toute matrice carrée A, on appelle det(a λid) le polynôme caractéristique de A. Ainsi les valeurs propres de A sont précisément les racines du polynôme caractéristique. Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de , 6 4 0, / π Puis déterminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.
21 4. Critères de diagonalisabilité Théorème 0 (déjà vu) Une matrice A est diagonalisable ssi elle possède une famille de vecteurs propres formant une base. Théorème 1 (facile) Si toutes les racines du polynôme caractéristique de A sont simples, alors A est diagonalisable. (sinon, A peut être ou ne pas être diagonalisable). Théorème 2 (difficile) Si A est une matrice réelle et symétrique, alors toutes les valeurs propres de A sont réelles et A est diagonalisable. Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : ( ) ( ) ( ) ,,
22 Rappel. Le polynôme caractéristique d une matrice carrée A est det(a λid) (c est un polynôme en λ). ( ) a b Exemple : Le polynôme caractéristique de est c d a λ b c d λ = (a λ)(d λ) cd = λ2 (a+d)λ+ad bc. 5 Trace, déterminant et valeurs propres Rappel. Les valeurs propre d une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale.
23 Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale. ( ) ( ) a b 0 1 Exemples. tr = a+d, tr =?? c d tr =?? Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propres de A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A. ( ) a b Preuve. Supposons A =, det(a) = ad bc,tr(a) = a+d. c d
24 Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale. ( ) ( ) a b 0 1 Exemples. tr = a+d, tr =?? c d tr =?? Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propres de A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A. ( ) a b Preuve. Supposons A =, det(a) = ad bc,tr(a) = a+d. c d On a det(a λi) = λ 2 (a+d)λ+ad bc.
25 Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale. ( ) ( ) a b 0 1 Exemples. tr = a+d, tr =?? c d tr =?? Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propres de A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A. ( ) a b Preuve. Supposons A =, det(a) = ad bc,tr(a) = a+d. c d On a det(a λi) = λ 2 (a+d)λ+ad bc. Soient s,t les deux racines. Alors on peut factoriser det(a λi) = (λ s)(λ t) = λ 2 sλ tλ+st = λ 2 (s+t)λ+st. En comparant les coefficients on obtient :
26 Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur la diagonale. ( ) ( ) a b 0 1 Exemples. tr = a+d, tr =?? c d tr =?? Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propres de A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A. ( ) a b Preuve. Supposons A =, det(a) = ad bc,tr(a) = a+d. c d On a det(a λi) = λ 2 (a+d)λ+ad bc. Soient s,t les deux racines. Alors on peut factoriser det(a λi) = (λ s)(λ t) = λ 2 sλ tλ+st = λ 2 (s+t)λ+st. En comparant les coefficients on obtient : s + t = a+d = tr(a) et st = ad bc = det(a). Le cas général se démontre de manière similaire.
27 6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A 1. Théorème. Pour le polynôme caractéristique d une matrice A, si λ (terme-constant) l on fait une substitution, on obtient A (terme-constant) Id une matrice qui vaut la matrice zéro.
28 6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A 1. Théorème. Pour le polynôme caractéristique d une matrice A, si l on fait une substitution λ (terme-constant) A (terme-constant) Id, on obtient une matrice qui vaut la matrice zéro. ( ) 1 2 Exemple. Soit A =. Son polynôme caractéristique est 3 4 det(a λid) = λ 2 tr(a)λ+det(a) = λ 2 5λ 2 substitution A 2 5A 2Id. Le théorème prétend alors que A 2 5A 2Id vaut la matrice zéro. Vérifier-le!
29 6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A 1. Théorème. Pour le polynôme caractéristique d une matrice A, si l on fait une substitution λ (terme-constant) A (terme-constant) Id, on obtient une matrice qui vaut la matrice zéro. ( ) 1 2 Exemple. Soit A =. Son polynôme caractéristique est 3 4 det(a λid) = λ 2 tr(a)λ+det(a) = λ 2 5λ 2 substitution A 2 5A 2Id. Le théorème prétend alors que A 2 5A 2Id vaut la matrice zéro. Vérifier-le! La preuve est plus facile dans le cas ( où ) A est s 0 diagonalisable. Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t).
30 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t).
31 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t). Après substitution on obtient ( ) ( ) s 0 s 0 (A sid)(a tid) = P( -sid)( -tid)p 1 = P0P 1 = 0. 0 t 0 t Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n. A quoi ça sert?
32 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t). Après substitution on obtient ( ) ( ) s 0 s 0 (A sid)(a tid) = P( -sid)( -tid)p 1 = P0P 1 = 0. 0 t 0 t Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n. A quoi ça sert? Ça aide à calculer ( ) à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =, 3 4 on a A 2 5A 2Id = 0. Donc A 2 5A = 2Id, et A(A 5Id) = 2Id, par suite A 1 2 (A 5Id) = Id. Donc A 1 = 1 2 (A 5Id). 2. calculer les puissances : A 3 = A 2 A = (5A+2Id)A = 5A 2 + 2A =
33 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t). Après substitution on obtient ( ) ( ) s 0 s 0 (A sid)(a tid) = P( -sid)( -tid)p 1 = P0P 1 = 0. 0 t 0 t Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n. A quoi ça sert? Ça aide à calculer ( ) à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =, 3 4 on a A 2 5A 2Id = 0. Donc A 2 5A = 2Id, et A(A 5Id) = 2Id, par suite A 1 2 (A 5Id) = Id. Donc A 1 = 1 2 (A 5Id). 2. calculer les puissances : A 3 = A 2 A = (5A+2Id)A = 5A 2 + 2A = = 5(5A+2Id)+2A = 27A+10Id, et
34 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t). Après substitution on obtient ( ) ( ) s 0 s 0 (A sid)(a tid) = P( -sid)( -tid)p 1 = P0P 1 = 0. 0 t 0 t Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n. A quoi ça sert? Ça aide à calculer ( ) à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =, 3 4 on a A 2 5A 2Id = 0. Donc A 2 5A = 2Id, et A(A 5Id) = 2Id, par suite A 1 2 (A 5Id) = Id. Donc A 1 = 1 2 (A 5Id). 2. calculer les puissances : A 3 = A 2 A = (5A+2Id)A = 5A 2 + 2A = = 5(5A+2Id)+2A = 27A+10Id, et A 4 =
35 La preuve est plus facile dans( le cas) où A est diagonalisable. s 0 Faisons-la en taille 2 : A = P P 0 t 1 et det(a λid) se factorise en (λ s)(λ t). Après substitution on obtient ( ) ( ) s 0 s 0 (A sid)(a tid) = P( -sid)( -tid)p 1 = P0P 1 = 0. 0 t 0 t Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n. A quoi ça sert? Ça aide à calculer ( ) à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =, 3 4 on a A 2 5A 2Id = 0. Donc A 2 5A = 2Id, et A(A 5Id) = 2Id, par suite A 1 2 (A 5Id) = Id. Donc A 1 = 1 2 (A 5Id). 2. calculer les puissances : A 3 = A 2 A = (5A+2Id)A = 5A 2 + 2A = = 5(5A+2Id)+2A = 27A+10Id, et A 4 = = 145A+52Id.
36 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale?
37 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1.
38 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice?
39 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d intérêt :
40 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d intérêt : Avec 3% d intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans?
41 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d intérêt : Avec 3% d intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? On pose u 0 = 100, et u n le capital au bout de n ans, alors u n = (1+0,03)u n 1 = (1,03) n 100.
42 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d intérêt : Avec 3% d intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? On pose u 0 = 100, et u n le capital au bout de n ans, alors u n = (1+0,03)u n 1 = (1,03) n 100. Avec x euros d action A et y euros d action B, les valeurs après un an sont x + 0,03y et 0,04x + y respectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans?
43 7. Retour à la diagonalisation A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c est-à-dire d exprimer A sous la forme PMP 1 avec M diagonale? Ça sert en particulier de faciliter le calcul d une puissance de la matrice, par exemple A 3 = PM 3 P 1. A quoi ça sert de calculer des puissances d une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d intérêt : Avec 3% d intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? On pose u 0 = 100, et u n le capital au bout de n ans, alors u n = (1+0,03)u n 1 = (1,03) n 100. Avec x euros d action A et y euros d action B, les valeurs après un an sont x + 0,03y et 0,04x + y respectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans? On pose { ( ) ( )( ) xn+1 = x n + 0,03y n xn+1? xn ou bien = y n+1 = 0,04x n + y n y n+1 y n
44 8. Sens géométrique des vecteurs propres
45 Cas de valeurs propres multiples Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : ( ) ( ) ( ) ,, On va rencontrer des valeurs propres multiples.
46 ( ) 1 1 Pour, on voit qu elle est symétrique, donc par le théorème 1 1 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique 1 λ λ = λ(λ 2). De là on voit qu il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...
47 ( ) 1 1 Pour, on voit qu elle est symétrique, donc par le théorème 1 1 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique 1 λ λ = λ(λ 2). De là on voit qu il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres... ( ) 1 1 Pour, on n a qu une seule valeur propre λ = 1. Calculer 0 1 ( ) 0 1 une base de son sous espace propre : A Id =. On trouve 0 0 Ker(A Id) = e 1. Donc P = ( ) e 1 n est pas une matrice carrée. A n est pas diagonalisable.
48 ( ) 1 1 Pour, on voit qu elle est symétrique, donc par le théorème 1 1 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique 1 λ λ = λ(λ 2). De là on voit qu il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres... ( ) 1 1 Pour, on n a qu une seule valeur propre λ = 1. Calculer 0 1 ( ) 0 1 une base de son sous espace propre : A Id =. On trouve 0 0 Ker(A Id) = e 1. Donc P = ( ) e 1 n est pas une matrice carrée. A n est pas diagonalisable. ( ) 5 1 Pour, le polynôme caractéristique est 1 3
49 ( ) 1 1 Pour, on voit qu elle est symétrique, donc par le théorème 1 1 2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme caractéristique 1 λ λ = λ(λ 2). De là on voit qu il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres... ( ) 1 1 Pour, on n a qu une seule valeur propre λ = 1. Calculer 0 1 ( ) 0 1 une base de son sous espace propre : A Id =. On trouve 0 0 Ker(A Id) = e 1. Donc P = ( ) e 1 n est pas une matrice carrée. A n est pas diagonalisable. ( ) 5 1 Pour, le polynôme caractéristique est (λ 4) Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un. A n est pas diagonalisable.
50 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est 2 8 1
51 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8.
52 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont
53 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont λ 1 = 5, λ 2 = 2 et λ 3 = 1.
54 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont λ 1 = 5, λ 2 = 2 et λ 3 = 1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient
55 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont λ 1 = 5, λ 2 = 2 et λ 3 = 1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient Donc , A = PMP 1, avec P = ,
56 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont λ 1 = 5, λ 2 = 2 et λ 3 = 1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient , , Donc A = PMP 1, avec P = et M =
57 2 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) (2 λ) (3 λ)(1 λ) 8. Il faut surtout garder le facteur (2 λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3 λ)(1 λ) 8. Donc les valeurs propres sont λ 1 = 5, λ 2 = 2 et λ 3 = 1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, on échelonne les trois matrices et obtient , , Donc A = PMP 1, avec P = et M =
58 1 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) ( 1 λ) (3 λ)(1 λ) 8.
59 1 0 0 Pour 1 3 1, son polynôme caractéristique est ( ) ( 1 λ) (3 λ)(1 λ) 8. On garde les facteurs, ici ( 1 λ), on obtient que les valeurs propres sont 5, -1 et λ 1 = 5 : , λ 2 = 1 : Par chance, la valeur λ 2 qui compte double, a deux vecteurs propres libres dans Ker(A λ 2 Id). On peut donc former P et M telles que A = PMP 1. Ici P =??, M =??
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63 D autres cas de valeurs propres multiples A = 0 5 0, B = 0 1 3, C = A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double. B a pour valeurs propres 2, 1, 1, une base de Ker(B 2Id) est
64 D autres cas de valeurs propres multiples A = 0 5 0, B = 0 1 3, C = A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double. B a pour valeurs propres 2, 1, 1, une base de Ker(B 2Id) est 0 1, et une base de Ker(B ( 1)Id) est 1
65 D autres cas de valeurs propres multiples A = 0 5 0, B = 0 1 3, C = A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double. B a pour valeurs propres 2, 1, 1, une base de Ker(B 2Id) est 0 1, et une base de Ker(B ( 1)Id) est e 1, e 2. Donc B est 1 diagonalisable. La matrice C a pour valeurs propres
66 D autres cas de valeurs propres multiples A = 0 5 0, B = 0 1 3, C = A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double. B a pour valeurs propres 2, 1, 1, une base de Ker(B 2Id) est 0 1, et une base de Ker(B ( 1)Id) est e 1, e 2. Donc B est 1 diagonalisable. La matrice C a pour valeurs propres 2,2,1. Mais il nous manque de vecteurs propres libres pour former la matrice P. La matrice C n est donc pas diagonalisable, voir Exo. 6 de TD 7.
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70 Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes (les pivôts doivent être égales à 1 ) On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale : On remplace les 0 sur la diagonale par 1 et on extrait ces 2 2 vecteurs colonnes : 1 0 et
71 Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes (les pivôts doivent être égales à 1 ) On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale : On remplace les 0 sur la diagonale par 1 et on extrait ces 2 2 vecteurs colonnes : 1 0 et 0 2. C est la base recherchée! 0 1
72 Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes (les pivôts doivent être égales à 1 ) On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la diagonale : On remplace les 0 sur la diagonale par 1 et on extrait ces 2 2 vecteurs colonnes : 1 0 et 0 2. C est la base recherchée! 0 1 Preuve : Ces vecteurs sont clairement libres et de bon nombre par le théorème du rang. Il reste plus qu à vérifier manuellement qu ils sont dans le noyau.
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