ABCD est un carré donc les distances des côtés sont égales. On note.

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1 Exercice 1 ABCD est un carré donc les distances des côtés sont égales. On note. Pour construire E et F, on a tracé un quart de cercle de centre D passant par B. On peut ainsi noter car ils correspondent tous à la valeur du rayon de ce cercle. 1. Notons : S DEF l aire de la surface de tout le secteur DEF (hachuré ou non) S 1 l aire de la surface blanche intérieure au secteur DEF S 2 l aire de la surface hachurée Par définition, on observe que (voir schéma). Or, on connaît l expression de l aire d un cercle en fonction de son rayon : Ainsi, on peut exprimer S DEF en fonction de y : du cercle de rayon y. De la même manière, on exprime S 2 en fonction de x : l aire du cercle de rayon x.. Il s agit du quart de l aire. Il s agit du quart de Cherchons maintenant à relier les valeurs de x et y entre elles. On se place dans le triangle ABD, il s agit d un triangle rectangle isocèle en A puisqu ABCD est un carré. On a alors la valeur de l hypoténuse qui est BD=y et la valeur des deux autres côtés adjacents qui est AB=AD=x. D après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés adjacents est égale au carré de l hypoténuse. Ainsi soit ou bien encore en prenant la racine carrée de chaque côté (les distances sont bien positives) :. On peut remplacer la valeur de y dans l expression de S DEF : D après l égalité du début, on a : ( ( ) ) Pour conclure, on a bien montré, en utilisant la formule d aire d un cercle et le théorème de Pythagore, que les deux aires S 1 et S 2 sont égales. Devoir Maison n 2 : corrigé 1/8

2 2. Notons S ABCD l aire du carré ABCD. On sait alors, en gardant la notation x, que D après 1, l aire de la surface hachurée est : Or, le nombre Pi est un irrationnel dont la valeur approchée est. Donc, on en déduit que : ainsi Pour conclure, l aire de la surface hachurée est plus grande que les trois quarts de l aire du carré ABCD. Exercice 2 1. La majorité des calculatrices basiques (peu évoluées) nous renvoient le résultat étonnant de 0 quand on lui demande de calculer la valeur de A en une seule fois. 2. On trouve dans A l expression d une identité remarquable de la forme. Or, on connaît l égalité suivante : Ainsi, pour A, cela donne : Soit : car la différence des deux nombres est égale à Les deux résultats sont bien sûr différents. Le raisonnement utilisé en 2 est correct et le résultat est juste. La différence s explique par le fait que certaines calculatrices ne peuvent calculer de très grands nombres et vont approximer. La différence de deux «grands nombres» va ainsi être nulle. Il faut donc toujours se méfier des résultats obtenus électroniquement et garder du bon sens mathématique! Devoir Maison n 2 : corrigé 2/8

3 Exercice 3 Mise sous forme irréductible ( ) ( ) ( ) Exercice 4 Un triangle équilatéral a trois côtés égaux, trois angles égaux et ses médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs sont confondues. Les triangles ABC et DEF sont tous deux équilatéraux. On note O le centre du cercle inscrit au triangle DEF qui est aussi circonscrit au triangle ABC. On en déduit que O est aussi le centre de gravité (point de concours des médianes) des triangles ABC et DEF. En effet, le point de concours des bissectrices (centre du cercle inscrit), des médiatrices (centre du cercle circonscrit) et des médianes (centre de gravité) est le même car il s agit de triangles équilatéraux. Devoir Maison n 2 : corrigé 3/8

4 Par la suite, on notera x la valeur du côté du triangle ABC soit et on notera y la valeur du côté du triangle DEF soit. Soit H le point tel que [CH] hauteur du triangle ABC. Hauteurs des triangles On se place dans le triangle ACH par exemple. Celui-ci est rectangle en H car [CH] est la hauteur passant par A. Alors, d après le théorème de Pythagore, soit : ( ) donc Ainsi, la hauteur (aussi médiane) du triangle ABC a pour valeur. De la même manière, on peut montrer que la hauteur (aussi médiane) du triangle DEF a pour valeur. Aires des triangles L aire d un triangle est le produit d un côté et la hauteur correspondante divisé par 2. Ainsi, l aire S ABC du triangle ABC est : ( ) De la même manière pour DEF : ( ) Ainsi, le rapport d aires du triangle DEF sur le triangle ABC est : ( ) Rapport entre côtés D après le théorème des médianes, le centre de gravité se trouve aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet et aux 1/3 en partant du côté (règle des 2/3, 1/3). Ainsi, dans le triangle ABC, OC est égal aux deux tiers de la hauteur du triangle ABC et, dans le triangle DEF, OA est égal au tiers de la hauteur du triangle DEF. Or, on remarque que OC et OA représentent tous deux le rayon du cercle donc OC=OA. Devoir Maison n 2 : corrigé 4/8

5 Autrement dit : soit. On peut alors remplacer y dans l expression du rapport d aire : ( ) ( ) Pour conclure, le triangle DEF est 4 fois plus grand que le triangle ABC. Pour s en convaincre un peu plus, il suffit de faire une rotation du triangle ABC de centre O et d angle 45. Dans la figure obtenue, on distingue clairement 4 triangles égaux formant un grand triangle. On voit se dessiner ici le début du triangle de Sierpiński Exercice 5 1. On calcule les carrés suivants : 2 (pair) donne 2² = 4 (pair) 3 (impair) donne 3² = 9 (impair) 4 (pair) donne 4² = 16 (pair) 5 (impair) donne 5² = 25 (impair) 6 (pair) donne 6² = 36 (pair) 7 (impair) donne 7² = 49 (impair) 22 (pair) donne 22² = 484 (pair) 23 (impair) donne 23² = 529 (impair) On peut conjecturer, d après ces cas particuliers, qu un entier et son carré ont la même parité (pair donne pair et impair donne impair). 2. Un entier naturel pair admet une écriture de la forme n=2k où k est un entier naturel. Un entier naturel impair admet une écriture de la forme n=2k+1 où k est un entier naturel. Si n est pair alors il peut s écrire de la forme et son carré sera : avec un entier naturel Ainsi n² est lui aussi pair. Devoir Maison n 2 : corrigé 5/8

6 Si n est impair alors il peut s écrire de la forme et son carré sera : avec un entier naturel Ainsi n² est lui aussi impair. On a bien montré la conjecture faite en 1 pour tout entier naturel n (écriture littérale), un entier et son carré ont la même parité. 3. On peut démontrer la réciproque de cette propriété par l absurde. Prenons un entier n. Cas 1 : n² est pair. Supposons que n, au contraire, est impair. D après 2, en l élevant au carré, on a n² impair. Absurde car n² est pair! On en déduit que n est pair lui aussi. Cas 2 : n² est impair. Supposons que n, au contraire, est pair. D après 2, en l élevant au carré, on a n² pair. Absurde car n² est impair! On en déduit que n est impair lui aussi. Pour finir, on a bien l équivalence démontrée : un entier et son carré suivent la même parité. Exercice 6 On donne un segment de longueur 1. Voici trois méthodes de construction d un segment de longueur équerre et un compas. avec une règle, une Méthode 1 Outils nécessaires : règle, équerre Par construction de triangles rectangles successifs, on peut arriver à construire un segment de longueur. On peut y arriver en dessinant un «escargot de Pythagore», c est-à-dire en commençant avec un triangle rectangle isocèle de côté 1 : l hypoténuse obtenu sera. Il suffit ensuite de continuer l escargot en rajoutant un segment de longueur 1 perpendiculaire à cet hypoténuse et ainsi de suite. Les hypoténuses décriront, en fait, les racines carrées (radicaux) des entiers naturels successifs. Devoir Maison n 2 : corrigé 6/8

7 Justification : Le triangle ABC est rectangle en B alors, d après le théorème de Pythagore, AB²+BC² = AC² soit AC² = 2. Le triangle ACD est rectangle en C donc AC²+CD² = AD² soit AD² = 2+1² = 3. Ainsi de suite jusqu au triangle AOP rectangle en O donc AO²+OP² = AP² soit AP² = 14+1² = 15. D une manière plus succincte, on peut procéder par «turbo-construction» et rajouter non pas un segment de 1 à chaque fois mais plutôt un segment de longueur 2 puis de longueur 3 selon le schéma suivant. Justification : Le triangle ABC est rectangle en B alors, d après le théorème de Pythagore, AB²+BC² = AC² soit AC² = 2. Le triangle ACD est rectangle en C donc AC²+CD² = AD² soit AD² = 2+2² = 6. Enfin, le triangle ADE est rectangle en D donc AD²+DE² = AE² soit AE² = 6+3² = 15. Méthode 2 Outils nécessaires : règle, compas, (équerre) On utilise ici la propriété que tout triangle dont la base est le diamètre d un cercle et que son sommet opposé appartient à la courbe du cercle sera rectangle en ce sommet. Pour cette construction, il faut tracer un segment de longueur 1 ici [AI] puis un segment de longueur égale à la valeur dont on veut connaître la racine carrée (ici pour ce sera donc 15) ici noté [IB]. On obtient le segment [AB] de longueur totale 16. On prend son milieu O et on trace le demi-cercle de rayon OB et de centre O. Soit C le point d intersection entre la perpendiculaire à (AB) passant par I et le demi-cercle. Devoir Maison n 2 : corrigé 7/8

8 Le segment [IC] aura alors pour longueur la valeur recherchée de. Justification : Le triangle AIC est rectangle en I donc, d après le théorème de Pythagore, IC²+AI² = AC² soit IC² = AC²-1². Le triangle BIC est rectangle en I donc IC²+IB² = BC² soir IC² = BC²-15². Si l on somme ces deux équations, on obtient 2xIC² = AC²+BC²-1²-15². Or, d après la propriété du début, on a aussi le triangle ABC qui est rectangle C donc AC²+BC²=AB²=16². On arrive donc à l équation : 2xIC² = AC²+BC²-1²-15² = AB²-1²-15² = 16²-1²-15² = (16²-15²)-1 = (16+15)(16-15)-1 = 31-1 = 30 Au final : IC² = 30/2 = 15 Méthode 3 Outils nécessaires : règle, compas Remarquons d abord que 15 = 3 x 5. On place un point O. On place ensuite un point A tel qu OA=3 puis un point B tel qu OB=5 avec O, A et B alignés (voir schéma ci-dessous). On place ensuite les points A et B les symétriques respectifs de A et B par rapport à O. On trace les deux cercles de diamètres respectifs [AB ] et [A B]. Soit C l un des deux points d intersection des deux cercles. Le segment [OC] a alors pour longueur la valeur recherchée de. Justification : Selon le même principe que la méthode 2, prenons le triangle AB C par exemple. Le point C est sur le cercle de diamètre [AB ] donc AB C est rectangle en C. De plus, du fait de la symétrie, (OC) perpendiculaire à (AB ). Dans le triangle OAC rectangle en O, on a OC² = AC²-OA² = AC²-3² et, dans le triangle OB C, on a OC² = B C²-OB ² = B C²-5². Puisque le triangle AB C est rectangle en C, on a AC²+B C² = AB ² = 8². Au final, 2xOC² = AC²+B C²-3²-5² = 8²-3²-5² = = 30 donc OC² = 15. Devoir Maison n 2 : corrigé 8/8

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