PROBLÈME 1 : Une équation matricielle PRÉLIMINAIRES PARTIE I

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1 TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE PROBLÈME 1 : Une équation matricielle Extrait sujet «Petites Mines» 010 Le but de ce problème est d étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c est à dire qui vérifient la relation M t M = t MM 1) Dans la suite de l énoncé, on se contentera alors de dire que la matrice M vérifie la relation 1) PRÉLIMINAIRES 1 Rappeler la dimension de M n R) ainsi que sa base canonique PARTIE I Dans toute cette partie, toutes les matrices envisagées seront dans l espace vectoriel M R), c est à dire ayant lignes, colonnes et des coefficients réels En particulier, on notera I =, A =, C = 0 1 Montrer que les matrices A et C vérifient la relation 1) 3 Calculer A En déduire que pour tout entier naturel non nul, A n vérifie la relation 1) 4 Montrer que A est inversible Dans toute la suite on notera U = A + I 5 Montrer que la matrice U vérifie la relation 1) Montrer : n N, α n R, U n = α n U En déduire que toutes ses puissance U n, n N vérifient la relation 1) On notera dans la suite E l ensemble des matrices de M R) qui vérifient la relation 1) 6 Calculer les produits de la matrice A + C et de sa transposée En déduire que E n est pas un sous-espace vectoriel de M R) a b 7 Étant donné une matrice M = quelconque de M c d R), déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur a, b, c et d pour que M appartienne à E On donnera les deux formes possibles des matrices de E 8 En déduire que E est la réunion de deux sous-espaces vectoriels de M R), dont on précisera pour chacun une base 9 Étant donné M et N deux matrices de E, a-t-on nécessairement MN E? On pourra utiliser certaines matrices introduites précédemment dans l énoncé PARTIE II On se place ici dans l espace M 3 R), et on considère la matrice S = L ensemble des matrices de M 3 R) qui commutent avec leur transposée donc qui vérifient la relation 1)) est noté E 3 10 Déterminer S et montrer que S et S sont dans E 3 11 Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R = ai 3 + bs + cs appartient à E 3 1 En déduire que E 3 contient un espace vectoriel de dimension 3 que l on notera F 13 Montrer que F est stable par multiplication matricielle PSI - Lycée de l Essouriau

2 TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE PROBLÈME : Un endomorphisme de R n [X] Dans tout ce problème, n désigne un entier non nul, a et b sont deux nombres réels La notation R n [X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R et ayant un degré inférieur ou égal à n Pour tout P R n [X], on pose ϕ n P ) = X a)x b)p n X a + b ) P Questions préliminaires 1 Rappeler la dimension de R n [X] puis donner une base de cet espace Vérifier que degϕ n P )) n 3 Montrer que ϕ n est un endomorphisme de R n [X] Dans cette partie on suppose que n = 1 Partie A - Étude de ϕ 1 4 On suppose dans cette question que a = b = 0 Exprimer l image de ϕ 1 d un polynôme P = αx + β puis déterminer Ker ϕ 1 et Im ϕ 1 5 Retour au cas général a R et b R a) Déterminer ϕ 1 1) et ϕ 1 X) b) Justifier que ϕ 1 est un automorphisme de R 1 [X] et et seulement si ϕ 1 1) et ϕ 1 X) ne sont pas colinéaires c) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que ϕ 1 soit un automorphisme de R 1 [X] Partie B - Étude du noyau de ϕ n Désormais n N L objet de cette partie est l étude du noyau de ϕ n ; nous commençons par un peu d analyse 6 On pose α = maxa, b) et on considère l intervalle I =]α, + [ x a + b) a) Démontrer que la fonction f : x x est continue sur I a + b)x + ab b) Déterminer une primitive F de la fonction f sur I a+b c) Résoudre sur I l équation différentielle E) : y nx n x a)x b) y = 0 7 On suppose que n est pair et on écrit n = p avec p N Déduire de la question 6c) une base de Kerϕ p ) Donner sa dimension 8 On suppose maintenant que n est impair et on écrit n = p + 1 avec p N Déduire de la question 6c) une base de Kerϕ p+1 ) On pourra discuter suivant les valeurs de a et b) PSI - Lycée de l Essouriau

3 TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE PROBLÈME 1 : Une équation matricielle Extrait sujet «Petites Mines» 010 PRÉLIMINAIRES 1 dimm n R)) = n et la base canonique est E ij ) 1 i,j n où les E ij sont les matrices élémentaires PARTIE I Sans aucun calcul, on remarque que t A = A donc t AA = A = A t A donc A vérifie la relation 1) De même on remarque que t C = C donc t CC = C = C t C donc C vérifie la relation 1) 3 Trivialement A = I et donc n N, A n = A si n est pair et A n = I si n est impair A et I vérifiant la relation 1), on en déduit que A n vérifie la relation 1) 4 A = I prouve que A est inversible et que A 1 = A 5 U vérifie la relation 1) car comme pour la matrice A elle est symétrique Montrons : n N, U n = n 1 U par récurrence : Pour n = 1 le résultat donne U = 0 U donc est vrai Supposons que pour un entier n on a U n = n 1 U et montrons la relation au rang n + 1 : U n+1 = UU n = n 1 U par hypothèse de récurrence ; Or U = U d où U n+1 = n 1 U = n U Les puissances U n, vérifient 1) puisque ce sont les mêmes que U à une constante multiplicative près A + C = donc 0 t A + C)A + C) = et A + C) t A + C) = 0 4 Ceci prouve que A + C ne commute pas avec sa transposée donc n appartient pas à E alors A et C sont dans E E n est pas un sous-espace vectoriel de M R) car il n est pas stable par somme a c a b a 7 t MM = = + c ) ab + dc b d c d ab + dc b + d De même on obtient : M t M = ac + bd = ab + dc { { Donc M E a + b = a + c b = c b = c ou bien b + d = c + d ac + cd = ac + dc ac cd = ac + dc a c a c Soit b = c ou bien b = c et d = a et donc M = ou bien M = c d c a ) ) Donc M Vect,, ou bien M Vect, E est donc bien la réunion de deux espaces vectoriels Calculons UC = Montrons qu alors UC / E 1 1 car ne commute pas avec sa transposée : = et = On n a donc pas la propriété proposée puisque U et C en donnent un contre-exemple 10 S = PARTIE II On a également t SS = I 3 et S t S = I 3 donc S E 3 S commute donc avec sa transposée, donc S également : t S )S = t S t SSS = t SSS t S = SS t S t S = S t S ) soit S E 3 a + b ac + bd ac + bd c + d ) PSI - Lycée de l Essouriau

4 TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE 11 t RR = ai 3 + b t S + c t S ))ai 3 + bs + cs ) t RR = a + b + c )I 3 + abs + t S) + ac t S ) + S ) + bcs t S ) + S t S) t RR = a + b + c )I 3 + abs + t S) + ac t S ) + S ) + bcs + t S) et R t R = ai 3 + bs + cs )ai 3 + b t S + c t S )) R t R = a + b + c )I 3 + abs + t S) + ac t S ) + S ) + bcs t S ) + S t S) = t RR donc R E 3 1 Notons F = VectI 3, S, S ) = {ai 3 + bs + cs a, b, c) R 3 } D après la question 11, toute matrice de F commute avec sa transposée, donc F E3 a b c De plus : ai 3 + bs + cs = 0 c a b = 0 3 a = b = c = 0 donc la famille I 3, S, S ) est b c a libre et F est bien un espace vectoriel de dimension 3 inclus dans E 3 13 Soient a, b, c) et d, e, f) deux éléments de R 3 et soit R = ai 3 + bs + cs et T = di 3 + es + fs RT = adi 3 + ae + bd)s + af + be + cd)s + bf + ce)s 3 + cfs 4 = adi 3 + ae + bd)s + af + be + cd)s bf + ce)i 3 cfs car on prouve aisément que S 3 =?I 3 Donc RT VectI 3, S, S ) = F et F est bien stable par multiplication PROBLÈME : Un endomorphisme de R n [X] Questions préliminaires 1 dimr n [X]) = n + 1 et la base canonique de cet espace vectoriel est 1, X, X,, X n ) Raisonnons sur le degré : Si deg P n 1 alors deg X a)x b)p ) n et deg X a + b ) ) P n donc degϕ n P )) n Si deg P = n alors P = a n X n + Q avec Q de degré inférieur ou égal à n 1 On a donc degϕ n Q)) n d après ce qui précède De plus ϕ n X n ) = nx a)x b)x n 1 n X a + b ) X n ϕ n X n ) = nx n+1 na + b)x n + abnx n 1 nx n+1 a + b Xn = a + b Xn + abnx n 1 On en déduit que degϕ n X n )) = n et donc deg P n par somme avec Q Soit, pour tout polynôme P R n [X], degϕ n P )) n 3 On montre facilement que ϕ n est linéaire et à valeurs dans R n [X] D après le donc ϕ n est un endomorphisme de R n [X] Partie A - Étude de ϕ 1 4 ϕ 1 αx + β) = βx donc P Ker ϕ 1 β = 0 donc Ker ϕ 1 = VectX) et dim Ker ϕ 1 = 1 On a également Im ϕ 1 = VectX) et dim Im ϕ 1 = 1 5 a) ϕ 1 1) = X + a + b et ϕ 1 X) = a + b X + ab b) ϕ 1 est un automorphisme de R 1 [X] et et seulement si ϕ 1 est surjectif ϕ 1 est un endomorphisme) Or ϕ 1 est surjectif si et seulement si rg ϕ 1 = soit Im ϕ 1 = R 1 [X] ou Vectϕ 1 1), ϕ 1 X)) = R 1 [X] ϕ 1 est un automorphisme de R 1 [X] et et seulement si la famille ϕ 1 1), ϕ 1 X)) est libre soit ϕ 1 1) et ϕ 1 X) non colinéaires PSI - Lycée de l Essouriau

5 TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE c) Dans la base canonique 1, X), ϕ 1 1) a pour coordonnées a+b, 1) et celles de ϕ 1X) sont ab, a+b ) Donc ϕ 1 est un automorphisme de R 1 [X] si et seulement si : xy x a + b) a b) y 0 + ab ϕ 1 est un automorphisme de R 1 [X] si et seulement si a b Partie B - Étude du noyau de ϕ n 6 On pose α = maxa, b) et on considère l intervalle I =]α, + [ a) La fonction g : x x a + b)x + ab = x a)x b) ne s annule pas sur I car α = maxa, b) et les racines de g sont a et b Donc en tant que quotient de deux fonctions polynômes dont le dénominateur ne s annule pas la x a + b) fonction f : x x est continue sur I a + b)x + ab b) La fonction f étant de la forme u u u étant strictement positive), une primitive de f est : F : x lnx a + b)x + ab) = lnx a)x b)) La quantité dans le logarithme est bien positive sur I c) L équation différentielle est de la forme y = n fx)y L ensemble des solutions sur I de E) est : 7 On suppose que n est pair et n = p avec p N P Ker ϕ p X a)x b)p = p S = {I R, x Cx a)x b)) n/ } X a + b ) P la fonction polynômiale associée à P est solution de E) sur I L équivalence résulte du fait que solution polynômiale de E) et polynôme P coïncident sur I qui contient une infinité de points La fonction polynôme est de la forme x Cx a)x b)) n/ et par suite P = Cx a)x b)) p On a donc Kerϕ p ) = Vect[x a)x b)) p ] une droite vectorielle de dimension 1 8 On suppose maintenant que n est impair et n = p + 1 avec p N De même qu à la question précédente : P Ker ϕ p+1 la fonction polynômiale associée à P est solution de E) sur I La fonction solution de E) est de la forme Cx a)x b)) n/ = Cx a)x b)) p x a)x b) si a b, cette solution n est pas polynômiale et donc Ker ϕ p+1 = {0 E } soit dim Ker ϕ p+1 = 0 Rn[X] si a = b, P = λx a) p+1 donc Kerϕ p+1 ) = Vectx a) p+1 ) une droite vectorielle dimension 1) PSI - Lycée de l Essouriau