Algèbre. Loi interne. Loi et relation. Propriétés des lois internes (1/3) Propriétés des lois internes (3/3) Propriétés des lois internes (2/3)

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1 Algèbre L algèbre et la théorie des groupes : Al jabr tiré du titre d un livre d Al Khawarizmi Étude de la résolution des équations algébriques et étude des transformations géométriques. Théorie basée sur la notion d opération Type de structures très utilisées en informatique : arithmétique, arithmétique modulaire (taille des nombres limitée), cryptographie, Bibliographie : Eléments de théorie des groupes, J. Calais, PUF Algèbre fondamentale et Arithmétique, G. Gras & M.N. Gras, Ellipses Loi interne Loi interne : soit E un ensemble non vide. On appelle loi interne sur E une application de E E dans E. On note généralement une loi interne + (ou.) et l image d un couple (x,y) par cette loi est notée x+y (ou x.y) et non +(x,y). L ensemble E doté d une loi interne + est noté (E,+) (et parfois appelé magma). Exemples : - sur N, f(x,y)=x+y est une loi interne, g(x,y)=x y aussi - sur N, f(x,y)=x-y n est pas une loi interne Notes : - un ensemble peut admettre plusieurs lois internes - une loi peut être externe Loi et relation Une loi interne + de E est une relation ternaire R sur E E E et une application (tout couple d'éléments de E a une image unique) : x+y=z (x,y,z) R Une loi externe + de E E dans F est une relation ternaire R sur E E F et une application : x+y=z (x,y,z) R Attention : toute relation ternaire n'est pas une loi, car la loi a un caractère applicatif, c'est-à-dire que tout couple d'éléments de E a une image unique! Propriétés des lois internes (/3) Commutativité : + sur E est commutative ssi pour tout x,y de E, x+y=y+x Associativité : + sur E est associative ssi pour tout x,y,z de E, x+(y+z)=(x+y)+z Distributivité : + sur E est distributive par rapport à sur E ssi pour tout x,y,z de E, x+(y z)=(x+y) (x+z) (distributivité à gauche) et (y z)+x=(y+x) (z+x) (distributivité à droite). Exemples : - dans N, + est commutative, associative mais pas distributive par rapport à (par contre, est commutative, associative et distributive par rapport à +) - dans N, L définie par xly=x+y n est ni commutative ni associative Propriétés des lois internes (/3) Élément neutre : + sur E admet un élément neutre e ssi pour tout x de E, x+e=e+x=x Élément inversible : + sur E admettant un élément neutre e, x de E est dit inversible ssi il existe x de E tel que x+x =x +x=e. x est appelé inverse de x dans (E,+) Propriétés des lois internes (3/3) Théorème : - si un élément neutre existe, il est unique et est son propre inverse - + étant associative, si x E est inversible, son inverse y est unique et y est inversible d inverse x Exemples : - dans N muni de l addition, l élément neutre est. Aucun élément n est inversible - dans Z muni de l addition, l élément neutre est et tout élément est inversible - dans Q muni de la multiplication, l élément neutre est, tout élément est inversible Preuve : - si e et e sont éléments neutres, pour tout x, e+e =e+e =e=e - - si z et y inverses de x, x+y=y+x=e et x+z=z+x=e. + étant associative, y=y+e=y+(x+z)=(y+x)+z=e+z=z - y+x=x+y=e

2 Monoïde - Groupe Monoïde : un ensemble E muni d une opération interne + associative et possédant un élément neutre est un monoïde Exemple : - l ensemble des mots écrits avec un alphabet A muni de l opération interne de concaténation est un monoïde Groupe : un ensemble E muni d une opération interne + associative, possédant un élément neutre et pour laquelle tout élément de E possède un inverse est un groupe Note : - un groupe est un monoïde où tout élément est inversible Exemples : - (N,+) et (Z, ) sont des monoïdes - (Z,+) et (Q*, ) sont des groupes - (Z,-) n'est pas un groupe Groupe additif : Groupe (suite) un groupe doté d une loi interne notée +, nommée addition, et d un élément neutre noté est appelé groupe additif. L inverse d un élément x est noté x et appelé l opposé de x. Groupe multiplicatif un groupe doté d une loi interne notée., nommée multiplication, et d un élément neutre noté est appelé groupe multiplicatif. L inverse d un élément x est noté x - et appelé l inverse de x. Notes : - x = et x n =x.... x n fois - x n.x m =x n+m et (x n ) m = x n.m Groupe (suite de la suite) Note : - un élément (x.x ).x 3 peut être écrit x.x.x 3 du fait de l associativité de. Groupe fini Ordre d un groupe : un groupe est dit fini s il a un nombre fini d éléments. Le cardinal d un groupe fini est appelé ordre du groupe (noté G ou o(g)). Groupe (suite de la suite...) Groupe abélien : un groupe est dit abélien (ou commutatif), si sa loi interne est commutative Exemple : - (N,+) est un groupe abélien Inverse : dans un groupe, l inverse d un élément x.x....x n est x - n.x - n-....x - En effet, rien n'oblige dans la définition d'un groupe à ce que l'opération soit commutative Groupe de permutations (/) Groupe de permutations (/) Groupe de permutations : l ensemble des permutations d un ensemble E (c est-à-dire des bijections de E dans E), noté S E, muni de l opération de composition est un groupe : la composition est interne (la composition de deux permutations est une permutation) et associative la composition admet Id pour élément neutre toute permutation σ a pour inverse σ -, la permutation réciproque qui remet les éléments dans l ordre initial. Pour un ensemble de n éléments, le groupe est noté S n (il est parfois appelé le groupe symétrique S n ). Exemple de la permutation de 3 éléments : transforme (x,y,z) en (x,y,z), transforme (x,y,z) en (x,z,y), transforme (x,y,z) en (z,y,x),. => S 3 = {,,,,, } La composition des permutations n'est pas commutative : par exemple o transforme (a,b,c) en (c,b,a) mais o transforme (a,b,c) en (b,a,c) (a,b,c) (a,c,b) (c,b,a) (a,b,c) (b,c,a) (b,a,c) Les groupes de permutations ne sont donc pas abéliens

3 Table de Cayley Les images des couples d éléments d un groupe fini (G,.) par l opération. peuvent être organisées dans une table. o Table de Cayley du groupe de permutations S 3 Groupe Z/nZ (/3) Congruence : soit n entier positif. Deux éléments x et y de Z sont dit congruents modulo n si x-y=nz où z Z. On note x y (mod n). La relation de congruence est une relation d équivalence. L existence de la division euclidienne dans Z implique que pour tout x de Z et n de N*, il existe p et q tels que x = pn+q. Donc, x est congruent modulo n au reste de sa division par n. La classe d équivalence d un élément x pour la relation «modulo n» est la même que celle de son reste par la division modulo n. Les classes d équivalence sur Z de la relation «modulo n» sont donc celles de,,.., n- Groupe Z/nZ (/3) Z/nZ est l ensemble quotient de Z par la relation «modulo n». Z/nZ = {,,..,n-} où i est la classe d équivalence de i. Exemples : - Z/Z = {, } - Z/3Z = {,, } Proposition : Z/nZ est un groupe abélien pour la loi interne x+y=x+y Preuve : montrons que + est une application (et donc une loi interne). Si x = x et y = y, k Z tel que x x = kn et l Z tel que y y = ln. Donc x + y (x + y) = (k + l)n, donc x + y = x + y. Montrons que + dans Z/nZ est associative. x + (y + z) = x + (y + z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x + y) + z = (x + y) + z Groupe Z/nZ (3/3) Suite de la preuve : l élément neutre de Z/nZ est car x + = x + = x. Tout élément x a pour opposé n-x : x+n x = x+n x = n =. Le groupe ainsi défini est abélien car (Z,+) est abélien : x+y = x+y = y+x = y+x. Arithmétique des ordinateurs : en considérant la représentation des entiers sur 4 octets, soit 3 bits, avec le premier bit qui donne le signe, on a une arithmétique sur le groupe Z/ 3 Z, avec pour chaque nombre, un représentant dans [- 3, 3 -] et le signe. Sous-groupe (/4) Sous-groupe : (G,.) étant un groupe, une partie H de G est un sous-groupe de G si pour tout x,y de H, x.y H et pour tout x de H, x - H. Notes : - la définition d un sous-groupe implique que l élément neutre appartienne au sous-groupe - tout sous-groupe d un groupe G est un groupe pour la loi induite par G - un groupe G contenant plus d un élément (l élément neutre e) a au moins sous-groupes : G et {e} Sous-groupe propre : on appelle sous-groupe propre d un groupe G tout sous-groupe différent de G Sous-groupe (/4) Proposition : les sous-groupes de (Z,+) sont les nz={nx, x Z} Preuve : les nz sont clairement des sous-groupes de G. Montrons que tout sous-groupe de G est de cette forme. Soit G un sous-groupe de Z. Notons a le plus petit des entiers positifs de G. Alors, pour tout n de N, na est dans G. Supposons qu il existe un b dans G, positif et non multiple de a. b est donc encadré par deux multiples de a, na < b < (n+)a. Donc b na G et b na < a, ce qui est contradictoire. Notes : - soit deux entiers positifs a et b. az bz est un sous-groupe de Z, donc il existe un m de N tel que az bz = mz. m = ppcm(a,b) - le pgcd de a et b est le n tel que nz = az+bz={g Z, il existe x az et y bz et g=x+y} 3

4 Sous-groupe (3/4) Sous-groupe (4/4) Exemple : - dans le groupe S 3 des permutations de 3 éléments muni de la composition, {, } est un sous-groupe de S 3 Théorème : si G est un groupe et {H i } i I une famille de sousgroupes de G, alors i I H i est un sous-groupe de G Preuve : posons H = i I H i. Si deux éléments x et y appartiennent à H, ils appartiennent à tous les H i et x.y aussi, donc x.y appartient à H = i I H i. Si x appartient à H, il appartient à tous les H i, et donc x - appartient à tous les H i et donc x - appartient à H. Théorème 3 : si G est un groupe et {Hi}i I une famille de sousgroupes de G totalement ordonnée par l inclusion, alors i I H i est un sous-groupe de G Preuve : posons H = i I H i. Si x, y sont dans H, il existe i et j dans I tels que x H i et y x H j. On a H i H j (ou H j H i ) puisque H est totalement ordonné par. Donc x.y H j (ou H i ) et donc à H et de même x - H. Note : - (Z,+) et (3Z,+) sont des sous-groupes de (Z,+) mais Z 3Z n est pas un sous-groupe (par exemple, +9=). Sous-groupe engendré (/4) Sous-groupe engendré : soit G un groupe et H une partie nonvide de G. Le sous-groupe de G engendré par H, noté <H>, est le plus petit sous-groupe de G contenant H. Proposition 3 : <H> = i I H i où les H i sont les sous-groupes de G contenant H. Preuve : i I H i est un sous-groupe (théorème ), et il contient clairement H. Montrons que c est le plus petit vérifiant cette propriété. S il existe M sous-groupe de G tel que H M i I H i, alors M est un sous-groupe contenant H et i I H i M donc M = i I H i. Sous-groupe engendré (/4) Exemple : - dans le groupe S 3 des permutations de 3 éléments muni de la composition, <>={,, } et <,>=S 3 o Sous-groupe engendré (3/4) Sous-groupe engendré (4/4) Théorème 4 : H étant une partie non vide d un groupe (G,.), <H> = {x....x n ; n N* et x i ou x i - H pour tout i} Preuve : notons S = {x....x n ; n N* et x i ou x i- H pour tout i}. Tout élément de H est dans S donc H S. Montrons que S est un sous-groupe de G. Pour tout élément x....x n de S, x n -....x - est dans S par construction. Pour tout couple (x,y) d éléments de S, x.y est aussi dans S par construction. Donc S est un sous-groupe de G et il contient H, donc <H> S. De plus, tout sous-groupe de G contenant H contient nécessairement les éléments de S, donc S <H> et donc S=<H>. Partie génératrice : si une partie H d un groupe G est telle que <H>=G, H est dite partie génératrice de G (on dit aussi que H engendre G). Exemple : - <,>=S 3 donc {,} est une partie génératrice de S 3 Groupe monogène : si il existe dans un groupe G un élément x tel que <x>=g, G est dit monogène (on note <x> plutôt que <{x}>). Exemple : - Z, pour l addition, est un groupe monogène car <>=Z 4

5 Ordre d un élément Groupe cyclique : un groupe monogène fini est dit cyclique Ordre d un élément : l ordre d un élément d un groupe G est le cardinal du sous-groupe qu il engendre dans G. Cet ordre peut être infini. Sous-groupes et treillis Treillis de sous-groupes : l ensemble des sous-groupes d un groupe G forme un treillis pour l inclusion. Pour H et H sousgroupes, H H = H? H et H H = <H?, H>. L élément minimal de ce treillis est {e} et l élément maximal le groupe G lui-même. Exemples : - dans tout groupe, l élément neutre est le seul élément d ordre - dans (Z,+), tout élément est d ordre infini sauf - dans S 3,, et sont d ordre, et sont d ordre 3 <H,H > H H H H <, > <, > <, > < > < > < > < > Morphisme de groupes (/4) Morphisme de groupe : soit (G,.) et (H,+) deux groupes. Une application f : G H est un morphisme si f(a.b) = f(a)+f(b) pour tout a et b de G. Noyau : le noyau d un morphisme f: G H, noté Ker(f) est l ensemble {x G, f(x)=e} où e est l élément neutre de H. Image : l image d un morphisme f: G H, noté Img(f) est l ensemble {y H, x G tel que f(x)=y} Automorphisme : un automorphisme est un isomorphisme d un groupe dans lui-même Morphisme de groupes (/4) Propriétés d un morphisme de groupe f : (G,.) (H,+). si e est l élément neutre de G et e celui de H, f(e)=e. f(x - )=-(f(x)) 3. Ker(f) est un sous-groupe de G et Im(f) est un sous-groupe de H 4. l image d un sous-groupe de G par f est un sous-groupe de H Preuve : soit G sous-groupe de G et H = f(g ). Soit x et y dans G, alors f(x)+f(y)=f(x.y). x.y G car G est un sousgroupe donc f(x.y) H. Si x G, x - G et f(x - )=-(f(x)) appartient à H. Donc H est bien un sous-groupe de H. Morphisme de groupes (3/4) 5. f surjective Im(f)=H Preuve : immédiate d après la définition de la surjectivité 6. f injective Ker(f)={e} Preuve : si f injective et x Ker(f). Alors f(x)=e =f(e) donc x=e et donc Ker(f)={e} si Ker(f)={e} et x et x dans G tels que f(x)=f(x ). Alors e =-f(x)+f(x )=f(x - )+f(x )=f(x -. x ) et donc x -. x Ker(f) et x -. x =e donc x =x et donc f est injective 7. si f:g G, g:g G sont des morphismes, fog:g G aussi Morphisme de groupes (4/4) Exemples : - f:z Z/nZ telle que f(x)= x est un morphisme surjectif (surjection canonique). Ker(f)=nZ. - g:h G où H est sous-groupe de G et telle que g(x)=x est un morphisme injectif (injection canonique). Isomorphisme de groupe : un isomorphisme est un morphisme bijectif. Deux groupes sont dits isomorphes s il existe un isomorphisme de l un dans l autre. En particulier, tels groupes finis sont de même ordre. Notes : - si f est un isomorphisme, f - existe et est un isomorphisme - l isomorphie est une relation d équivalence. On peut ainsi considérer les classes d équivalence des groupes isomorphes et ne travailler que sur des représentants de ces classes. 5

6 Isomorphismes Classe modulo un sous-groupe (/3) Exemple : (<, >,o) et (Z/3Z,+) o + Relation d équivalence sur un groupe : soit G un groupe et H un sous-groupe de G, alors la relation R sur G définie par xry x -.y H est une relation d équivalence. On l appelle la relation d équivalence à gauche modulo H. Preuve : - xrx pour tout x (définition d un groupe) - xry entraine x -.y H et donc (x -.y) - H aussi car H est un groupe donc y -.x H et donc yrx - xry et yrz implique x -.y H et y -.z H donc x -.y. y -.z H et donc x -.z H Note : - la relation d équivalence à droite modulo H est définie par xr y x.y - H Classe modulo un sous-groupe (/3) Exemple : - sur Z, la relation d équivalence à gauche modulo Z est xry x+y est multiple de Classes d une relation d équivalence sur un groupe : la classe d un élément a de G pour la relation d équivalence à gauche modulo un sous-groupe H est ah={a.x, x H} Preuve : si ary, a -.y H, donc y=a.(a -.y) ah. Si y ah, y est de la forme a.z avec z H et donc a -.y=z H donc ary Exemple : - pour la relation définie sur Z par Z, la classe à gauche de est Z, celle de est {+x, x Z} Classe modulo un sous-groupe (3/3) Proposition 4 : pour H sous-groupe de G, l application f:h ah définie par f(x)=a.x est une bijection Preuve : f est trivialement surjective. Si a.x=a.y alors a -.a.x = a -.a.y donc x=y donc f est injective. Corollaire (théorème de Lagrange) : pour un groupe fini, l ordre d un sous-groupe divise l ordre du groupe Preuve : soit G un groupe, H un de ses sous-groupes et a un élément de G. H et ah étant en bijection, l ordre de H est égal à celui de ah. Puisque les classes d équivalence de type ah forment une partition de G et qu elles ont toutes H éléments, G = H (le nombre de classes). Sous-groupe distingué (/) Indice d un sous-groupe : l indice d un sous-groupe H d un groupe G, noté [G:H] est le nombre de classes de G modulo H Sous-groupe distingué (ou normal) : H est un sous-groupe distingué de G si c est un sous-groupe stable par conjugaison, c est-à-dire que h H et x G, xhx - H Exemples : - les sous-groupes {e} et G d un groupe G sont distingués - si G est abélien, tous ses sous-groupes sont distingués Propriété 5 : ah = Ha si et seulement si H est distingué Preuve : H distingué équivaut à aha - H pour tout a de G. Sous-groupe distingué (/) Suite de la preuve : pour a G, si ah=ha, a.x Ha donc il existe un y de H tel que a.x = y.a et donc a.x.a - =y.a.a - =y donc a.x.a - appartient à H et H est distingué. Si H est distingué, soit a.x un élément de ah. Alors a.x.a - H, donc a.x.a -.a est dans Ha et donc a.x est dans Ha. De même, si x.a est un élément de Ha, a -.x.a est dans H et donc a.a -.x.a est dans ah et donc x.a est dans ah. Proposition 6 : si H est un sous-groupe distingué de G, alors G/H peut être muni de la loi induite par celle de G : x. y = x.y. G/H est un groupe pour cette loi. Preuve : le neutre de G/H est e. L inverse de x est x -. 6

7 Groupe quotient Note : - les relations d équivalence droite et gauche modulo un sous-groupe distingué sont équivalentes Groupe quotient : étant donnés un groupe G et un sous-groupe distingué H de G, le groupe quotient de G par H, noté G/H, est l'ensemble des classes d équivalence pour la relation d équivalence modulo H. On a bien sur [G:H]= G/H. Exemple : - Z/3Z est le groupe quotient pour la relation xry x-y 3Z donc x-y est multiple de 3 Proposition 4 : G étant un groupe, f un morphisme défini sur G, G/Ker(f) est un groupe pour la loi définie par x. y = x.y Preuve : voir TD Théorème d isomorphisme Théorème d isomorphisme : G étant un groupe et f un morphisme sur G, alors G/Ker(f) est isomorphe à Im(f)=f(G) Preuve : soit g:g/ker(f) Im(f) définie par x f(x). Montrons que g est une application. Si x = x, x.x - Ker(f) donc f(x.x - )=e si on note e l élément neutre de Im(f). Or f(x.x - )=f(x).f(x - )=f(x).f(x ) - donc f(x).f(x ) - = e et f(x)=f(x ) donc g(x)=g(x ). g est donc une application. g est surjective car tout f(x) a au moins un antécédent x dans G/Ker(f). Montrons que g est injective. Si f(x) = f(x ), f(x).f(x ) - =e= f(x.x - ) donc x.x - Ker(f) et donc x = x. f est donc une application injective et surjective donc bijective. Montrons que g est un morphisme. g(x. x ) = g(x.x ) = f(x.x ) = f(x).f(x ) = g(x).g(x ) Groupe opérant sur un ensemble et point fixe Action de groupe : soit G un groupe, E un ensemble. L action de G sur E est définie par l application de G E E telle qu à tout couple (g,x) correspond par cette application g.x et telle que : x E, e.x=x (e étant le neutre de G) et g,g G et x E, g.(g.x)=(g.g ).x Exemples : - un groupe peut agir sur lui-même par l action G G G avec (g,g ) g.g - le groupe des permutations d un ensemble E peut agir sur E par l action Σ E E avec (σ,x) σ(x) Point fixe d une action de groupe : on dit que x E est un point fixe pour l action de G sur E si g.x=x pour tout g de G 7