T ES/L CORRECTION DU BAC BLANC DU 15 FEVRIER 2013

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1 T ES/L CORRECTION DU BAC BLANC DU 15 FEVRIER 2013 Exercice 1-3 points - Polynésie juin 2010 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro. 1) Soit la fonction définie sur l intervalle 4; 6 dont la courbe est représentée sur la figure ci-contre dans un repère orthonormé. Les points 1; 0, 1; 4 et 3; 0 appartiennent à la représentation graphique de. a) On considère le nombre réel affirmer, en unité d aire, que : On peut b) Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d une primitive de la y fonction? A 1 1 C 0 1 x 0 1 x x 0 1 x Courbe C 1 Courbe C 2 Courbe C 3 2) Une primitive de la fonction g définie sur l ensemble des nombres réels R par est la fonction définie sur R par : 1 1 Page 1 sur 8

2 Exercice 2-5 points - Un village vacances propose deux types d appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour. Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l une des deux formules d entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l appartement en fin de séjour par le personnel d entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d entretien). Le gestionnaire a constaté que : - 60 % des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20 % ne souscrivent aucune formule d entretien ; - la formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45 % des locataires de studio et par 55 % des locataires de deux-pièces ; - 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule. On rencontre un vacancier au hasard. Soit S l évènement «le vacancier a loué un studio» ; A l évènement «le vacancier a souscrit la formule Simple» ; B l évènement «le vacancier a souscrit la formule Confort» ; R l évènement «le vacancier n a souscrit aucune formule d entretien». 1) Traduire l énoncé à l aide d un arbre pondéré. 2) a) Quelle est la probabilité que le vacancier ait loué un deux-pièces? Il n'y a que deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine, alors l'évènement «le résident a loué un deux-pièces» est l'évènement contraire de l'évènement «le résident a loué un studio». On le note D'où : 1 1 0,60 0,40 Donc la probabilité que le vacancier ait loué un deux-pièces est égale à 0,4 b) Calculer. L'arbre pondéré permet de calculer Alors 1 Donc 1 1 0,45 0,20, Page 2 sur 8

3 3) a) Calculer ; en déduire. On a 0,2 0,6 0,12 Donc, Il n'y a que deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. D après la formule probabilités totales : Or 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule, càd 0,18 Alors 0,18 0,12 0,06 Donc, b) Le vacancier a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15. Il s'agit de déterminer la probabilité de l'évènement R sachant que l'évènement est réalisé. Or D où, 0,15, Donc, Le vacancier a loué un deux-pièces. On a montré que la probabilité qu il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15. 4) Le gestionnaire affirme que près de la moitié des vacanciers choisissent la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation. Comme dans la question précédente on utilise la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité de l'évènement A. Soit 0,45 0,60 0,55 0,40 0,49 Donc 49% des résidents ont choisi la formule Simple. D où près de la moitié des vacanciers choisissent la formule Simple Page 3 sur 8

4 Exercice 3-6 points - Au 1er janvier 2010, une ville avait une population de habitants. Un bureau d étude fait l hypothèse qu à partir du 1er janvier 2010 : le nombre d habitants de la ville diminue chaque année de 5% du fait des naissances et des décès ; personnes supplémentaires viennent s installer chaque année dans cette ville du fait des mouvements migratoires. Partie A : Étude théorique. Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d habitants de cette ville au 1er janvier de l année (2010+n). Ainsi u 0 = ) a) Calculer u 1 et u 2. On sait que le nombre d habitants de la ville diminue chaque année de 5% du fait des naissances et des décès ; personnes supplémentaires viennent s installer chaque année dans cette ville du fait des mouvements migratoires. D où u 1 = 0,95 u = 0, = u 2 = 0,95 u = 0, = Donc u 1 = et u 2 = b) La suite (u n ) est-elle arithmétique? Justifier. On a u 1 u 0 = = et u 2 u 1 = = donc (u n ) n est pas arithmétique. c) La suite (u n ) est-elle géométrique? Justifier. On a 0,967 et 0,967 donc (u n ) n est pas géométrique. 2) Justifier que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,95u n On sait que le nombre d habitants de la ville diminue chaque année de 5% du fait des naissances et des décès ; personnes supplémentaires viennent s installer chaque année dans cette ville du fait des mouvements migratoires. D où pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,95 u n ) Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n a) Calculer v 0. v 0 = u = = Donc v 0 = b) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. v n+1 = u n = 0,95 u n = 0,95 u n = 0,95 (u n ) = 0,95 v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et de premier terme v 0 = c) Exprimer v n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison q = 0, 95 et de premier terme v 0 = D où pour tout entier naturel n, v n = v 0 q n Donc pour tout entier naturel n, v n = , 95 n Page 4 sur 8

5 d) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = ,95 n Comme v n = u n Alors u n = v n Donc pour tout entier naturel n, u n = , 95 n e) Déterminer La suite (v n ) est géométrique de raison q = 0, 95 et q ]0; 1[ donc lim 0 on a u n = v n donc par somme Partie B. Le but de cette partie est de prévoir l évolution de la population en utilisant le modèle théorique étudié à la partie A. 1) Quel sera le nombre d habitants de la ville au 1er janvier 2020? On cherche donc u 10 pour connaitre le nombre d habitant en 2020 Alors u 10 = , = ,40 Donc le nombre d habitants de la ville au 1er janvier 2020 sera d environ personnes 2) À partir de quelle année la population de cette ville passera-t-elle sous la barre des habitants? Justifier. On veut u n < ,95 n < ,95 n < ,95 n < 0,95 n < 0,25 Avec la calculatrice, on a pour n = 28, 0, ,2503 et 0, ,2378 Donc à partir de 2038 la population de cette ville passera sous la barre des habitants. 3) Comment interpréter le résultat obtenu à la question 3) de la partie A? D après la question A3), comme lim On peut estimer que si la population suit cette tendance, la population de cette ville tendra vers Page 5 sur 8

6 Exercice 4-6 points - France métropolitaine et Réunion septembre 2007 La courbe, donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d une fonction définie et dérivable sur R. On note sa fonction dérivée. Les points A(3; e) et B (4; 2) appartiennent à cette courbe. La tangente à la courbe en A est parallèle à l axe des abscisses et la tangente à la courbe en B coupe l axe des abscisses au point d abscisse 6. Partie I : Lectures graphiques Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier. 1) Pour quelles valeurs du nombre réel de l intervalle [3; 10] a-t-on? On cherche les abscisses des points de la courbe (C) situés sous la droite d'équation y=2. Sur l intervalle [3 ;10], pour ; 2) Déterminer et. La tangente à la courbe en A(3 ;e) est parallèle à l axe des abscisses alors Le nombre dérivé 4 est le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe en B(4 ;2) Or la droite (T) coupe l axe des abscisses au point d abscisse 6. D'où 4 1 Donc Partie II : Étude de la fonction La fonction représentée par, représentée ci-dessus, est la fonction définie sur l intervalle ; par. 1) Calculer. Donner la valeur décimale arrondie à l unité ,196 L'arrondi à l unité de 0est. 2) a) Pour tout nombre réel x de l intervalle ;, calculer et montrer que dérivable sur 0; comme produit de fonctions dérivable sur 0; On a avec 2 1 Alors D où Donc Page 6 sur 8

7 b) Sur l intervalle ; étudier le signe de, puis dresser le tableau de variations de la fonction. Pour tout réel, 0. Donc sur l intervalle 0;, est du même signe que l'expression 3 Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de : 3) a) Soit la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par. Montrer que est une primitive de la fonction sur l intervalle ;. dérivable sur 0; comme produit de fonctions dérivable sur 0; On a avec 1 1 Alors D où Donc D'où g est une primitive de sur ; b) En déduire la valeur moyenne de sur l intervalle ;. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième. La valeur moyenne de sur l intervalle ; est : Donc sur l intervalle 2 ; 10 est : La valeur moyenne de sur l intervalle [2 ;10] est La valeur décimale arrondie au millième de m est 0,921 Page 7 sur 8

8 Partie III : Étude d un bénéfice Une entreprise vend centaines de litres de parfum par jour,,. Le bénéfice en milliers d euros réalisé, par jour, par l entreprise lorsqu elle vend centaines de litres est donné par pour, ;,. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres. 1) Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres. On sait que 400L correspondant 4 centaines de litres Le montant en milliers d euros du bénéfice réalisé sur la vente de 400 litres est : 4 2 Le bénéfice réalisé sur la vente de 400 litres est de ) Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros? (Donner la réponse arrondie à 1 ). D'après l'étude précédente, la fonction admet un maximum pour 3 et ce maximum est 3 2,718. Pour réaliser un bénéfice maximal, il faut vendre 300 litres par jour. Le bénéfice réalisé sera d'environ ) À partir de quelle quantité journalière l entreprise ne vend-elle pas à perte? L entreprise ne vend pas à perte quand son bénéfice est positif. Càd pour une quantité solution de : car pour tout, 0 2 À partir de 200 litres vendus par jour, l entreprise ne vend pas à perte. Page 8 sur 8