BTS OPTICIEN LUNETIER Mathématiques - BTS Blanc - Décembre 2012

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1 ISO Paris 11 BTS OPTICIEN LUNETIER Mathématiques - BTS Blanc - Décembre 2012 Session 2012 Durée : 2 heures Coefficient : 2 Matériel autorisé : Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. (Circulaire n du 16/11/1999.) Tout autre matériel est interdit. Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet. Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7. Un formulaire de 3 pages est joint au sujet. 1/7

2 Exercice 1 Partie A : étude d'une fonction On donne la fonction f définie sur l'intervalle [0;100] par f (x) = 216x x ln x On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. (unités graphiques : 1cm pour 5 en abscisse et 1cm pour 200 en ordonnée). 1) Justifier que la fonction f est dérivable sur [0;100], puis calculer f '(x) pour tout x réel appartenant à l'intervalle [0;100]. 2) Montrer que sur l'intervalle [0;100], le signe de f '(x) est celui du polynôme P défini par P(x) = 2x x En déduire le tableau de variation de f sur cet intervalle. 3) Donner une équation de la tangente à C au point d'abscisse 0. 4) En quels points la courbe C admet-elle une tangente horizontale? 5) Tracer la courbe C pour x [0;100]. 6) a. Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution non nulle dans l'intervalle [0;100], notée α. b. Graphiquement, donner une valeur approchée de α à l'unité près. c. Sans justification, préciser cette valeur arrondie au centième près. Partie B : application Pour des raisons d'approvisionnement limité, la coopérative "Le Val de Seille" ne peut produire et commercialiser plus de 100 tonnes de tomates confites par an. Le coût total de production (en euros) est donné par la fonction g définie sur [0;100] par : g(x) = 10x ln x , où x désigne le nombre de tonnes produites. Elle vend toute cette production à 2160 la tonne. 1) Déterminer, en fonction de x, le bénéfice de la société sur le poste "tomates confites". Exprimer ce bénéfice en utilisant la fonction f de la partie A. 2) Combien de kilogrammes faut-il au minimum pour que ce bénéfice soit positif? 3) Combien de tonnes faut-il produire pour que ce bénéfice soit maximum? Que vaut-il alors? 2/7

3 Exercice 2 Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A. Une étude statistique a permis d'établir qu'à partir du début de l'année 1990, le taux des ménages équipés d'un ordinateur dans une ville V est donné approximativement, en fonction du nombre t d'années écoulées depuis le début de l'année 1990, par : f (t) = 1 1+ ke at, où k et a sont deux nombres réels positifs D'après cette étude, on sait qu'au début de l'année 1990, 20% des ménages étaient équipés d'un ordinateur et qu'au début de l'année en 1999, 40% des ménages l'étaient. Partie A : détermination de k et a 1) Montrer que k et a sont solutions du système 1+ k = 5 1+ ke 9a = 2,5 2) Résoudre ce système, puis donner la valeur décimale arrondie à 10 2 près de a. Partie B : étude de fonction On admet que la fonction f est définie pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle [ 0;+ [ par 1 f (t) = 1+ 4e 0,11t On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (0;i ; j ). (unités graphiques : 0,5cm sur l'axe des abscisses, 10cm sur l'axe des ordonnées). 1) a. Etudier la limite de f en + et en déduire que C admet une asymptote, notée ( ), dont on donnera une équation. Quelle est la position relative de C par rapport à ( )? [ [ : b. Montrer que, pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle 0;+ c. Dresser le tableau de variation de f. 0,44e 0,11t f '(t) = ( 1+ 4e 0,11t ) 2 d. Tracer ( ) et C (placer en particulier les points de C d'abscisses respectives 20 et 40). e. Résoudre algébriquement l'équation f (t) = 0,6 et faire apparaître sur la figure les traces permettant de visualiser cette résolution. 3/7

4 2) On considère la fonction F, définie sur [ 0;+ [ par F(t) = 1 0,11 ln(4 + e0,11t ). a. Montrer que F est une primitive de f sur 0;+ [ 0;+ [, F '(t) = f (t). [ [, c'est-à-dire que pour tout t appartenant à b. Calculer 1 ( F(9) F(7) ), la valeur moyenne de f sur l'intervalle [7;9]. 2 Partie C : utilisation de résultats de la partie B On suppose que f (t) est une approximation satisfaisante, au moins jusqu'en 2010, du taux des ménages équipés d'un ordinateur dans la ville V. En utilisant cette approximation et des résultats obtenus à la partie B, déterminer : 1) Le pourcentage des ménages équipés d'un ordinateur au début de l'année ) L'année à partir de laquelle 60% des ménages seront équipés d'un ordinateur. 3) Une valeur approchée du pourcentage moyen des ménages équipés d'un ordinateur entre le début de l'année 1997 et le début de l'année /7

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