Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes
|
|
- Brian Labrie
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016
2 Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 2 / 53
3 Les suites infinies Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 3 / 53
4 Les suites infinies Définition : suite infinie Une suite infinie est un ensemble ordonné d une infinité de nombres réels {a n } n=n 0. Elle peut s exprimer à l aide d une fonction a n = f (n) { n n+1 } n=1 = { 1 2, 2 3, 3 4,...} Elle peut s exprimer par récursion a 1 = 2, a n+1 = 1 6 a n pour n 1 f 1 = f 2 = 1, f n = f n 1 + f n 2 pour n 3 (Fibonacci) 4 / 53
5 Les suites infinies Définition : limite d une suite La limite L d une suite {a n } n=n 0 existe lorsque les termes a n peuvent être rendus aussi proche que l on veut de L en prenant n suffisamment grand. Dans ce cas, on écrit lim a n = L ou a n L lorsque n. n Si lim n a n existe, la suite converge. Sinon elle diverge. Deux questions Est-ce qu une suite converge ou diverge? Si elle converge, vers quelle valeur? 5 / 53
6 Les suites infinies Théorème Si a n = f (n) et lim f (x) = L, alors lim a n = L. x n Théorème du sandwich Si a n b n c n pour n n 0 et lim lim b n = L. n Corollaire Si lim n a n = 0, alors lim n a n = 0. a n = lim c n = L, alors n n Théorème Si lim a n = L et f est une fonction continue en L, alors n lim f (a n) = f ( lim a n) = f (L). n n 6 / 53
7 Les suites infinies Quelques lois Soit {a n } et {b n }, deux suites convergentes. Soit c R. Alors lim (a n + b n ) = lim a n + lim n n lim (a n b n ) = lim a n lim n n lim ca n = c lim a n n n lim a nb n = lim a n lim b n n n n a lim n n b n lim c = c n = lim n an lim n n b n n b n bn si lim n b n 0 7 / 53
8 Les suites infinies Définition : suite croissante/décroissante Une suite {a n } n=n 0 est croissante si a n a n+1 pour tout n n 0 ; décroissante si a n a n+1 pour tout n n 0. Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. Définition : suite bornée Une suite {a n } n=n 0 est bornée supérieurement s il existe un nombre M tel que a n M pour tout n n 0 ; bornée inférieurement s il existe un nombre m tel que a n m pour tout n n 0. Une suite est bornée si elle est bornée inférieurement et supérieurement. 8 / 53
9 Les suites infinies Théorème d une suite monotone Toute suite bornée et monotone est convergente. Remarques Il existe des suites bornées qui ne convergent pas. Il existe des suites monotones qui ne convergent pas. Toute suite convergente est bornée. Il existe des suites convergentes qui sont non monotones. 9 / 53
10 Les séries Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 10 / 53
11 Les séries Définition : série infinie Soit une suite infinie {a n } n=n 0. L expression s appelle une série infinie. Exemples n = n=3 n=1 a n0 + a n a n = diverge. 1 2 n = = 1 converge. n=n 0 a n 11 / 53
12 Les séries Définition : somme partielle Considérons la série a n. n=n 0 La somme partielle des k premiers termes est s k = k La suite des sommes partielles est donnée par {s k } k=1. a n0 +i 1. i=1 Définition : convergence/divergence d une série Si lim s k = s existe, alors a n est convergente et on écrit k n=n 0 a n = s. n=n 0 Dans ce cas, s s appelle la somme de la série. Sinon la série est divergente. 12 / 53
13 Les séries Définition : série géométrique La série géométrique est donnée par pour a 0. Elle diverge si r 1. a + ar + ar 2 + ar = n=1 ar n 1 Sinon ( r < 1) elle converge et sa somme vaut a 1 r. 13 / 53
14 Les séries Théorème Si a n converge, alors lim a n = 0. n=n 0 n Théorème de la divergence Si lim n a n 0 ou n existe pas, alors Remarque Il existe des séries divergentes n=n 0 a n diverge. n=n 0 a n telles que lim n a n = / 53
15 Les séries Quelques lois Soit a n = A et b n = B, deux séries convergentes. Soit n=n 0 n=n 0 c R. Alors c a n = ca n=n 0 (a n + b n ) = A + B n=n 0 (a n b n ) = A B n=n 0 15 / 53
16 Tests de l intégrale et de comparaison Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 16 / 53
17 Tests de l intégrale et de comparaison La suite des sommes partielles d une série à termes positifs est strictement croissante. Par conséquent, la série converge si cette suite est bornée. Test de l intégrale Soit f une fonction continue, positive et décroissante sur [n 0, [. Soit a n = f (n). Si n 0 f (x) dx converge, alors a n converge. n=n 0 Si n 0 f (x) dx diverge, alors n=n 0 a n diverge. 17 / 53
18 Tests de l intégrale et de comparaison Définition : série de Riemann Une série de Riemann est donnée par n=1 1 pour p R. np Elle converge si p > 1. Elle diverge si p 1. Définition : série harmonique La série de Riemann avec p = 1 : n=1 s appelle la série harmonique. Elle diverge. 1 n = / 53
19 Tests de l intégrale et de comparaison Test de comparaison Soit a n et b n des séries à termes positifs. n=n 0 n=n 0 Si b n converge et a n b n pour tout n n 0, alors n=n 0 converge aussi. Si b n diverge et a n b n pour tout n n 0, alors n=n 0 diverge aussi. n=n 0 a n n=n 0 a n 19 / 53
20 Tests de l intégrale et de comparaison Forme limite du test de comparaison Soit a n et b n des séries à termes positifs. Si n=n 0 n=n 0 a n lim = c et c > 0, n b n alors a n et b n convergent toutes les deux ou divergent n=n 0 n=n 0 toutes les deux. 20 / 53
21 Autres tests de convergence Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 21 / 53
22 Autres tests de convergence Définition : série alternée Une série alternée est de la forme n=n 0 ( 1) n 1 b n ou n=n 0 ( 1) n b n avec b n > 0 pour tout n n 0. Par exemple, la série harmonique alternée est ( 1) n 1 = 1 1 n n=1 22 / 53
23 Autres tests de convergence Test des séries alternées (de Leibniz) Si b n b n+1 pour tout n n 0 et lim b n = 0, alors n converge. Estimation du reste Si b n b n+1 pour tout n n 0 et lim n b n = 0, alors R k = s s k b k+1. n=n 0 a n 23 / 53
24 Autres tests de convergence Définition : convergence absolue Une série a n est dite absolument convergente si a n est n=n 0 n=n 0 convergente. Théorème Une série a n absolument convergente est convergente. n=n 0 Remarque Il existe des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. 24 / 53
25 Autres tests de convergence Test du rapport (d Alembert) Si lim a n+1 n a n = L < 1, alors a n est absolument n=n 0 convergente. Si lim a n+1 n a n = L > 1 ou lim a n+1 n a n =, alors a n est n=n 0 divergente. Si la limite n existe pas ( ) ou est égale à 1, alors on ne peut rien conclure sur la convergence de la série. 25 / 53
26 Autres tests de convergence Test de Cauchy n Si lim an = L < 1, alors a n est absolument n n=n 0 convergente. n n Si lim an = L > 1 ou lim an =, alors a n est n n n=n 0 divergente. Si la limite n existe pas ( ) ou est égale à 1, alors on ne peut rien conclure sur la convergence de la série. 26 / 53
27 Les séries entières Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 27 / 53
28 Les séries entières Définition : série entière Une série entière centrée en a s écrit c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) n=0 où a et c n, n 0, sont des constantes et x une variable. La somme de cette série f (x) = c n (x a) n est donc une fonction. n=0 Remarque f (a) = c n (a a) n = c 0. Par conséquent, la série converge n=0 toujours pour x = a. 28 / 53
29 Les séries entières Théorème Pour une série entière c n (x a) n, il y a trois cas possibles : n=0 1 Elle converge seulement en x = a. 2 Elle converge pour tout x R. 3 Il existe un nombre R tel que la série converge pour x a < R et diverge pour x a > R. Remarque Dans le cas 3, la série peut être convergente ou divergente en x = a ± R. Il faut vérifier ces deux points séparément. 29 / 53
30 Les séries entières Définition : rayon de convergence R est appelé le rayon de convergence. Définition : intervalle de convergence Les valeurs de x pour lesquelles la série converge définissent l intervalle de convergence. Il est noté I et est donné par I = [a R, a + R], ]a R, a + R], [a R, a + R[ ou ]a R, a + R[. Dans le cas 2, on écrit I =], [ ou I = R. Dans le cas 1, on a I = [a, a]. 30 / 53
31 Développement des fonctions en séries entières Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 31 / 53
32 Développement des fonctions en séries entières Des fonctions peuvent s écrire comme des séries entières. Par exemple, à partir de la série géométrique, on déduit que f (x) = 1 1 x = 1 + x + x = x n pour x < 1. n=0 En utilisant des transformations de la série géométrique, on peut écrire d autres fonctions en séries entières. Par exemple, f (x) = x = 1 4 ( 1 4 )n x n pour x 4 < 1. n=0 32 / 53
33 Développement des fonctions en séries entières Théorème Si c n (x a) n a un rayon de convergence R > 0, alors la n=0 fonction f (x) = c n (x a) n est dérivable sur l intervalle ]a R, a + R[ et n=0 f (x) = c 1 +2c 2 (x a) +3c 3 (x a) = nc n (x a) n 1 n=1 f (x) dx = K + c0 (x a) + c 1 2 (x a) 2 + c 2 3 (x a) = K + c n n+1 (x a)n+1. n=0 Le rayon de convergence de ces deux séries est aussi R (le comportement aux bornes de l intervalle peut toutefois changer). 33 / 53
34 Séries de Taylor et MacLaurin Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 34 / 53
35 Séries de Taylor et MacLaurin Théorème Si une fonction f (x) admet une représentation en série entière centrée en a pour x a < R, alors f (x) = n=0 f (n) (a) (x a) n pour x a < R. n! Définitions : séries de Taylor et de MacLaurin Cette série est appelée la série de Taylor de f centrée en a. Lorsque a = 0, la série est aussi appelée la série de MacLaurin de f. 35 / 53
36 Séries de Taylor et MacLaurin Définition : polynôme de Taylor Le polynôme de Taylor de degré n de f (x) centré en a est T n (x) = n i=0 f (i) (a) (x a) i. i! Observation Pour x R donné, f (x) = n=0 f (n) (a) n! (x a) n si f (x) = lim n T n(x). 36 / 53
37 Séries de Taylor et MacLaurin Définition : reste du polynôme de Taylor Le reste du polynôme de Taylor de degré n, noté R n (x), est Théorème R n (x) = f (x) T n (x). Si lim R n(x) = 0 pour x a < R, alors n f (x) = f (n) (a) n! (x a) n pour x a < R. n=0 37 / 53
38 Séries de Taylor et MacLaurin Pour démontrer que lim n R n(x) = 0, on peut se servir de l inégalité suivante. Théorème (inégalité de Taylor) Si f (n+1) (x) M pour x a < d, alors R n (x) M (n + 1)! x a n+1 pour x a < d. Dans cette inégalité, M peut dépendre de n. Résultat utile x n lim n n! = 0 x R. 38 / 53
39 Séries de Taylor et MacLaurin Quelques séries de base e x = x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... n=0 sin x = ( 1) n x2n+1 (2n+1)! = x x3 n=0 cos x = ( 1) n x2n (2n)! = 1 x2 n=0 3! + x5 5! x7 2! + x4 4! x6 Pour ces trois séries, R = et I = R. 7! ! / 53
40 Les nombres complexes Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 40 / 53
41 Les nombres complexes Les nombres complexes sont une généralisation des nombres réels. Ils ont été inventés pour combler les failles des nombres réels pour les fonctions telles que, ln,... Dans plusieurs cas, les nombres complexes facilitent la résolution de problèmes d ingénierie. 41 / 53
42 Les nombres complexes Définition : nombre complexe Un nombre complexe se représente sous la forme z = a + bi où a et b sont des réels et i est un symbole tel que i 2 = 1. i est appelé le nombre imaginaire. a est appelé la partie réelle de z et notée Re(z). b est appelé la partie imaginaire de z et notée Im(z). C = {a + bi a, b R} est l ensemble des nombres complexes. Remarque Un nombre réel a est aussi un nombre complexe avec b = / 53
43 Les nombres complexes Les nombres complexes peuvent se représenter dans un plan (partie réelle sur l axe horizontal, partie imaginaire sur l axe vertical). Quelques propriétés Soit a + bi et c + di deux nombres complexes. a + bi = c + di si et seulement si a = c et b = d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i 43 / 53
44 Les nombres complexes Définition : conjugué complexe Soit z = a + bi un nombre complexe. Le conjugué complexe de z est z = a + bi = a bi. Quelques lois Soit z et w deux nombres complexes. z + w = z + w zw = z w (z n ) = (z) n 44 / 53
45 Les nombres complexes Division de nombres complexes Pour faire une division de nombres complexes, on doit multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Par exemple : 3 + 2i 2 4i = Convention c = c i pour c > 0. (3 + 2i) (2 4i) (2 + 4i) (2 + 4i) = i. 45 / 53
46 Les nombres complexes Racines d un polynôme de degré 2 Le polynôme ax 2 + bx + c possède les racines même si b 2 4ac < 0. x = b ± b 2 4ac 2a Si z = α + βi, β 0, est racine, alors z = α βi est aussi racine. 46 / 53
47 Les nombres complexes Théorème fondamental de l algèbre Soit P n (x) = n c j x j un polynôme de degré n tel que c j R, j=0 j = 0, 1,..., n, et c n 0. Alors il existe n nombres complexes z 1, z 2,..., z n (possiblement identiques) tels que P n (x) = c n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ). 47 / 53
48 Les nombres complexes Définition : forme polaire La forme polaire d un nombre complexe z = a + bi est z = r(cos θ + i sin θ) où r = z = a 2 + b 2 est le module de z, θ est l argument de z : il satisfait sin θ = b r n est pas unique. et cos θ = a r et 48 / 53
49 Les nombres complexes Multiplication sous forme polaire Si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )). Formule de de Moivre Si z = r(cos θ + i sin θ), alors z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)). 49 / 53
50 Les nombres complexes Division sous forme polaire Si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) si z 2 0. Inverse sous forme polaire Si z = r(cos θ + i sin θ) 0, alors 1 z = 1 (cos θ i sin θ). r 50 / 53
51 Les nombres complexes Racines d un nombre complexe Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe. Quelles sont les racines n e de z? On cherche donc n nombres complexes w 0, w 1,..., w n 1 tels que (w k ) n = z pour k = 0, 1,..., n 1. Ces nombres sont : w k = r 1 n ( cos (θ + 2kπ n ) (θ + 2kπ )) +i sin, k = 0, 1,..., n 1. n 51 / 53
52 Les nombres complexes Définition : fonction exponentielle complexe Soit z un nombre complexe. Alors Une propriété e z = n=0 z n n! = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... Soit z 1 et z 2 des nombres complexes. Alors e z 1+z 2 = e z 1 e z / 53
53 Les nombres complexes Formule d Euler e iθ = cos θ + i sin θ On peut donc écrire z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ. D où ln z = ln re iθ = ln r + iθ. 53 / 53
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailF1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA
F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailPremiers pas avec Mathematica
Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détail