Équations et inéquations à une inconnue

Transcription

1 Équations et inéquations à une inconnue EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 8 AOÛT 008 Connaissances Capacités Commentaires. Nombres et calculs.4 Équations et inéquations du premier degré Problèmes du premier degré : inéquation du premier degré à une inconnue. Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits. Mettre en équation un problème. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques ; représenter ses solutions sur une droite graduée. Résoudre une équation mise sous la forme A (x) B (x) = 0, où A (x) et B (x) sont deux expressions du premier degré de la même variable x. La notion d équation ne fait pas partie du socle commun. Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique, méthode par essais successifs, ). L étude du signe d un poduit ou d un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable est hors programme. Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. 8 Ouverture Si T d = jours et d = 4 jours, alors F = 0,7 4 +, soit : F,9. Pour une grippe de force : p, soit : p. Pour une grippe de force 4 : p 4, soit : p 4. Je prends un bon départ QCM B C A 4 B C 6 B 7 B 8 C 9 A = x + 8 B = x 0 C = 8x a. D = x(7 x) E = ( + x)[x + (4x )] = ( + x)(x ) = ( + x)(x ) F = (x 8)[(x + 7) (x )] = (x 8)(x + 8) b. G = (x + 4)(x 4) H= ( + x) ( x) I = (7x + 9)(7x 9). On note x le nombre inconnu. L équation demandée est : (x + ) = x En développant (x + ) dans le premier membre, on obtient l équation x + 0 = x + 4, dont la solution est le nombre 6. Le nombre cherché est 6.. a. x + 8 b. x c. 6x 8 d. 7x. a. + x b. x 8 0 c. 4x 8 d. 9x 8. x A 0 B x A 0 B L abscisse x d un point qui appartient au segment [AB] vérifie : x 4 Activités Objectif Savoir mettre en équation et résoudre un problème du premier degré à une inconnue.. a. On ne peut pas trouver facilement une solution de l équation 4x + = 0 x. b. 4x + = 0 x. 6x + = 0. On a ajouté x aux deux membres de l égalité. 6x = 8. On a retranché aux deux membres de l égalité. x =. On a divisé par 6 les deux membres de l égalité. c. la solution de l équation 4x + = 0 x est. Éditions Belin, 0.

2 . On note x le nombre auquel pense Manon. Le problème se traduit par l équation 4x + = 0 x, dont la solution est, d après la résolution précédente. Manon a pensé au nombre. Objectifs Découvrir la notion d équation produit nul. Savoir résoudre une telle équation.. a. Lorsque l on multiplie un nombre quelconque par zéro, le produit est égal à zéro. Si a = 0 ou b = 0, alors a b = 0. b. Le produit de deux nombres ne peut pas être nul si aucun des deux nombres n est nul. Si a b = 0, alors a = 0 ou b = 0. c. Les seules valeurs possibles de a et b telles que le produit a b soit nul sont a = 0 ou b = 0.. a. Le premier membre de cette équation est un produit, et le deuxième membre est zéro. b. x = 0 lorsque x = ; 4x + = 0 lorsque x = 4. c. Les solutions de l équation (x )(4x + ) = 0 sont donc les nombres et 4. Objectifs Savoir résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue. Représenter ses solutions sur une droite graduée.. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) x , x b. L inéquation x 7 n a pas une seule solution. En effet, d après ce qui précède, les nombres 6 ; et sont des solutions de cette inéquation. c. Les nombres 0 ; 8 ; 0 ; et,4 par exemple sont des solutions de l inéquation x 7.. a. Étape : on ajoute à chaque membre de l inéquation. Étape : on réduit chaque membre de l inéquation. Étape : on divise chaque membre de l inéquation par. Étape 4 : on simplifie chaque membre de l inéquation. b. Les solutions de l inéquation x 7 sont les nombres inférieurs ou égaux à. c. L inéquation x 7 admet donc une infinité de solutions. d. D après la question précédente, est une solution de l inéquation x 7. En effet :.. On reprend les mêmes étapes que pour l inéquation x 7, et on obtient : x. Les solutions de l inéquation x 7 sont donc les nombres inférieurs à. 4. a. Sur la première figure, le crochet est tourné vers la partie grise (rouge sur le manuel), ce qui n est pas le cas sur la deuxième figure : lorsque le crochet est tourné vers la partie grise (rouge sur le manuel), le nombre fait partie des solutions de l inéquation ; s il est tourné vers la partie noire, le nombre en est exclu. b. x 7 x 0 x x 7 x 0 x Objectif Savoir mettre en inéquation et résoudre un problème du premier degré à une inconnue.. L aire du rectangle ADMT est égale à 4x.. a. M [DC] donc : MC = DC DM, soit MC = 7 x. b. Les dimensions du rectangle MCRS sont et 7 x (exprimés en cm). Donc l aire du rectangle MCRS est égale à (7 x).. a. L information «L aire du rectangle ADMT doit être supérieure à celle du rectangle MCRS» se traduit par l inéquation : 4x (7 x). b. 4x (7 x) 4x x 7x x. Les solutions de l inéquation 4x (7 x) sont les nombres supérieurs à. Elles sont représentées en gris sur la droite graduée ci-dessous a. DM est une distance, donc x est positif et M appartient au segment [DC], donc x est inférieur ou égal à 7. D où : 0 x 7. b. L aire du rectangle ADMT est donc supérieure à celle du rectangle MCRS pour les valeurs de x comprises entre et 7, c est-à-dire lorsque le point M appartient au segment [CD], à une distance supérieure à cm du point D. Savoir-faire 4 a. Les solutions de l équation (4 7x) = 8 sont 7 et 7. b. Les solutions de l équation 49 = (x + ) sont et. c. Les solutions de l équation (x 8) = ( + 4x) sont 7 et 9. 9 Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 9 Éditions Belin, 0.

3 Les solutions sont représentées en gris sur les droites graduées ci-dessous. a. On obtient x b. On obtient x c. On obtient x ,0 0 0,0 0, 0, 6 Soit x le nombre de fourchettes vendues. On traduit le problème par l inéquation : 4,x On obtient : x. Marie devra vendre au moins fourchettes pour que le montant total de ses ventes soit au moins égal à a. b. L égalité x + x + x = 0 est vraie pour, 0 et 4 donc, 0 et 4 sont trois solutions de l équation x + x + x = 0.. On peut conjecturer que : x + x + x 0 pour x 0 et x 4. x + x + x 0 pour x et 0 x 4. Exercices À l oral = ; on n obtient pas, donc n est pas une solution de l équation x + 7 = = ; on obtient, donc est une solution de l équation x + 7 =. ( ) + 7 = ; on n obtient pas, donc n est pas une solution de l équation x + 7 =.. ( ) = et 4 ( ) + 9 = : les résultats sont différents, donc n est pas une solution de l équation x = 4x La solution de l équation x + = est le nombre.. La solution de l équation 4 x = est le nombre. 0. La réponse correcte est c. 7(x + ) = 6.. La solution de l équation 7(x + ) = 6 est. Le nombre cherché est.. Le premier membre (x + 7)( x) est un produit et le deuxième membre est zéro, donc l équation (x + 7)( x) = 0 est une équation produit nul.. Le deuxième membre de l équation ( 4x + )( x) = n est pas nul, donc l équation ( 4x + )( x) = n est pas une équation produit nul. Le premier membre de l équation 4( x) 6(x + 7) = 0 n est pas un produit, donc l équation 4( x) 6(x + 7) = 0 n est pas une équation produit nul. Les réponses correctes sont b. et d.. Équation (x )(x + ) = 0. x = 0 ou x + = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation (x )(x + ) = 0 sont et. Équation (4x )( + x) = 0. 4x = 0 ou + x = 0. x = ou x =. 4 Les solutions de l équation (4x )( + x) = 0 sont et 4.. Équation (x 7) = 0. En divisant les deux membres de l égalité par, on obtient x 7 = 0, soit : x = 7. La solution de l équation (x 7) = 0 est 7. Équation x(8 x) = 0 x = 0 ou 8 x = 0. x = 0 ou x = 8. Les solutions de l équation x(8 x) = 0 sont 0 et a. x 4 = 0 s écrit (x + )(x ) = 0, qui est une équation produit nul. b. x = 0 s écrit ( + x)( x) = 0, qui est une équation produit nul. c. x = 49 s écrit x 49 = 0, ou encore (x + 7)(x 7) = 0, qui est une équation produit nul. d. x x + = 0 s écrit (x ) = 0, ou encore (x )(x ) = 0, qui est une équation produit nul.. a. Les solutions sont et. b. Les solutions sont et. c. Les solutions sont 7 et 7. d. La solution est. Éditions Belin, 0.

4 . Vrai.. Faux.. Vrai. 4. Vrai.. Vrai. 6. Faux. 6 Les nombres entiers relatifs x qui vérifient l encadrement proposé sont, pour chaque question :. ; ; ; 0 et.. ; ; 0 et.. 6 et. 4. ; 0 et.. ; ; ; 0 ; ; et. 6. et. 7 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ). x 4,.. x.. x, x 0,. 8 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. x + 7. b. x 6 0. c. x. d. x 8. e. x. f. x. 9 Les réponses qui conviennent sont b. et c. 0. Le problème se traduit par : x + 4. Les nombres possibles sont les nombres supérieurs à 40.. Le problème se traduit par : x. Les nombres possibles sont les nombres inférieurs à. Parmi les nombres proposés, seuls les nombres ; ; et sont des solutions de l inéquation proposée. En effet, les solutions de l inéquation sont les nombres x tels que : x. Je m entraîne. Faux. En effet : ( 4) = 7.. Vrai. En effet : 4 ( ) 9 = et 6 + ( ) =.. 7 = 4 et + 6 =. On n obtient pas le même résultat, donc n est pas une solution de l équation 7 x = x ( ) = 0 et ( ) + 6 = 0. On obtient le même résultat, donc est une solution de l équation 7 x = x a. =, donc est une solution de l équation x =. b. ( ) = ( ) = 6 et + = + 6 = 6 ; on obtient le même résultat, donc est une solution de l équation (x ) = + x. c. Chaque membre de l égalité est égal à (soit ) lorsque x est égal à, donc est une solution de x l équation = x. 4 4 d. = = et + 8 = 4 4 = ; on obtient le même résultat, donc est une solution 4 x + de l équation = x 4.. Par exemple, les équations x + = 0 ; x = et x + 9 = ont pour solution.. Par exemple, les équations 4x = 0 ; x + = 8 et, + x = 0x 0 ont, pour solution.. Par exemple, les équations 4 x = ; x + 4 = et 4x = ont pour solution. 4 6 On obtient les solutions suivantes : a. b. 4, c. 4, d. 7 (ou,) 7 On obtient les solutions suivantes : a. 4 (ou,) b. c. d. e. 8 f. (ou 4,) 8 On obtient les solutions suivantes : a. (ou,) b. 9 c. 7 7 d. 7 e. f. 9 On obtient les solutions suivantes : a. b. (ou 0,46) c.. d a. x + x = b. x + = c. x = 4. L âge actuel du père de Martin est + x.. Le problème est traduit par l équation ( + x) + 0 = (x + 0), soit la réponse b. x + = (x + 0) x + = x + 0 x =.. Martin a ans, et son père a 40 ans. 4 On obtient les solutions suivantes : a. b. c. 0 7 d. 4 4 Le problème se traduit par l équation ( + x) = 0,4 ; que l on résout : ( + x) = 0,4 + x = 0,4 x =,4 x =,8. On a donc : x =,8 cm ( + x) = 8, x = 8, 40x = 88, x = 0,96. Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 4 Éditions Belin, 0.

5 . a. En notant x le taux cherché, l équation s écrit 40( + x) = 8,. b. D après la question, le taux de TVA cherché est 0,96, soit 9,6%. 4 a. Les solutions sont et. b. Les solutions sont 4 et 7. c. Les solutions sont et 4 9. d. Les solutions sont 8 et a. Les solutions sont 0 et 6. b. Les solutions sont 0 et. c. Les solutions sont d. La solution est 6. 4 et. 47 a. La solution est 4. b. La solution est 4. c. Les solutions sont et 4. d. Les solutions sont 7 et. 48. Par exemple : (x 4)(x + ) = 0.. Par exemple : (x + )(7x ) = a. x + x = 0 s écrit x(x + ) = 0. Les solutions sont et 0. b. 4(x + ) + (x ) (x + ) = 0 s écrit (x + )( + x) = 0. Les solutions sont et. c. (x + )( x) + ( x)(9 x) = 0 s écrit ( x)(x + ) = 0. Les solutions sont et. d. (x 7) ( x)(x 7) = 0 s écrit (x 7)(6x 0) = 0. Les solutions sont et 7. 0 a. x + 4x + 4 = 0 s écrit (x + ) = 0, qui équivaut à l équation x + = 0. La solution est. b. 49x 8x + 4 = 0 s écrit (7x ) = 0, qui équivaut à l équation 7x = 0. La solution est 7. c. x 6 = 0 s écrit (x + 4)(x 4) = 0. Les solutions sont 4 et 4. d. 8 x = 0 s écrit (9 + x)(9 x) = 0. Les solutions sont 9 et 9. Pour chaque cas, on résout les équations obtenues après factorisation. a. (x + ) 9 = 0 s écrit (x + )(x ) = 0. Les solutions sont et. b. 4 (x + ) = 0 s écrit (7 + x)( x) = 0. Les solutions sont 7 et. c. (6x + ) (7 + 4x) = 0 s écrit (0x + 8)(x 6) = 0. Les solutions sont 4 et. d. ( x) ( + 8x) = 0 s écrit (x + 4)( x + 6) = 0. Les solutions sont 4 et 6.. (x ) 6 = x 4x = x 4x.. L équation x 4x = 0 s écrit (x ) 6 = 0, ou encore (x + )(x 6) = 0. Les solutions sont et 6.. Faux.. Faux.. Vrai. 4. Faux. 4. x. x 6. x. a. b. 0 0 c. d e. f = et 4, donc l inégalité x 7 4 est vraie lorsque x est égal à.. ( 4) + 0 =, et n est pas plus grand que, donc l inégalité x + 0 est fausse lorsque x est égal à 4.. a. 6 = 9 et 9, donc l inégalité x est fausse lorsque x est égal à 6. b. = et, donc l inégalité x est vraie lorsque x est égal à. c. 4 = et, donc l inégalité x est vraie lorsque x est égal à 4. d. 0 = et, donc l inégalité x est vraie lorsque x est égal à = et 7, donc est une solution de l inéquation 8x ( ) = et 7, donc n est pas une solution de l inéquation 8x 7. 8 ( ) = 7 et 7 7, donc est une solution de l inéquation 8x = et 7, donc 0 est une solution de l inéquation 8x 7. Éditions Belin, 0.

6 8 7 ( 7) = 8 et 8, donc 7 est une solution de l inéquation 7 x. 7 0 = 7 et 7, donc 0 n est pas une solution de l inéquation 7 x. 7 ( ) = 0 et 0, donc n est pas une solution de l inéquation 7 x. 7 8 = 7 et 7, donc 8 n est pas une solution de l inéquation 7 x. 7 4 = et, donc 4 n est pas une solution de l inéquation 7 x = 9 et + =. 9, donc n est pas une solution de l inéquation 9x 6 + x. 9 ( 4) 6 = 4 et + ( 4) = , donc 4 est une solution de l inéquation 9x 6 + x = 7 et + 7 = , donc est une solution de l inéquation 7 9x 6 + x. 9 6 = et + =., donc n est pas une solution de l inéquation 9x 6 + x. 9 ( 7) 6 = 69 et + ( 7) =. 69, donc 7 est une solution de l inéquation 9x 6 + x. 60 a. + = et, donc est une solution de l inéquation + x. b. = 4 et 4 0, donc n est pas une solution de l inéquation x 0. c. = 48 et 48 8, donc est une solution de l inéquation x 8. d. + = 8 et 4 = , donc n est pas une solution de l inéquation x + 4x. 6. Par exemple, les nombres ; 8 et 7 sont des solutions de l inéquation x 4.. Par exemple, les nombres ; et 0 ne sont pas des solutions de l inéquation x Par exemple, les inéquations x + 8 ; 4x + 99 et x ont pour solution. 4. Par exemple, les inéquations x + 4 ; x 4 et 6x 0 ont pour solution. 6. Il faut retrancher à chaque membre de l inégalité x + 8 pour obtenir l inégalité x 6, puis diviser par chaque membre de cette nouvelle inégalité pour obtenir x.. Il faut retrancher à chaque membre de l inégalité x + pour obtenir l inégalité x 8, puis diviser par chaque membre de cette nouvelle inégalité pour obtenir x 4.. Il faut ajouter, puis x à chaque membre de l inégalité 7x 9 x pour obtenir l inégalité 0x 0, puis diviser par 0 chaque membre de cette nouvelle inégalité pour obtenir x. 6. Si x 6, alors x , x soit : x ; d où :. On a bien : x.. Si 7x +, alors 7x +, soit : 7x 4 ; d où : 7x On a bien : x. 64. c.. a.. b. 6 Les solutions sont représentées en gris sur les droites graduées ci-dessous. a. On obtient x : 0 4 b. On obtient x 7 : c. On obtient x 9 : d. On obtient x Les solutions sont représentées en gris sur les droites graduées ci-dessous. a. On obtient x 4 : b. On obtient x : 4 0 c. On obtient x : 4 0 d. On obtient x : a. x + 7 x 6 x 4 b. x + 4 x x 0 c. + x x 0 Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 4 Éditions Belin, 0.

7 d. 7 x x 9 x b. (x ) 9 x x x 68 a x 7 4x x 0 0 c. 4x (x ) 4x 6x + x b. x 4 x 0 4 c. x 9 x 4 x 0 d. x + 7 x 9 x a. x 7 6x 7x 7 x 4 0 b. x + x 4x 7 x 7 4 x d. 7( x + ) (4 x) 4x + + 6x 0x 47 x Chacune de ces inéquations est équivalente à : x.. Chacune de ces inéquations est équivalente à : x. 6x 7 On résout l inéquation, soit : x, ou encore : x. Les valeurs de x cherchées sont les nombres positifs inférieurs à. 7. a. c. 4x 6x x 4 x 0 d. x x x x a. (x + ) 4 x + 4 x 7 44 x 7 b. L égalité x + x 6x = 0 est vraie pour, 0 et, donc, 0 et sont trois solutions de l équation x + x 6x = 0.. On peut conjecturer que : x + x 6x 0 pour x et 0 x. x + x 6x 0 pour x 0 et x. Éditions Belin, 0.

8 Thème de convergence A =, donc : A 0,8 g/l. 7 0,7 0. a. On obtient : x =, soit : x 7,4. 0,6 0,7 b. D après la question précédente, cet homme pèse environ 7,4 kg. Je m entraîne au 7. B.. B.. A. brevet 76. ( 7) = ( ) = 4.. ( + ) = = 9.. a. On note x le nombre qu il faut choisir. (x + ) = 0 revient à x + = 0, soit : x =. Il faut donc choisir le nombre pour que le résultat du programme A soit 0. b. On note x le nombre qu il faut choisir. (x 7) = 9 revient à (x 7) 9 = 0, soit : [(x 7) + ][(x 7) ] = 0, ou encore : (x 4)(x 0) = 0. x 4 = 0 ou x 0 = 0. x = 4 ou x = 0. Il faut donc choisir le nombre 4 ou le nombre 0 pour que le résultat du programme B soit On note x le nombre qu il faut choisir. (x + ) = (x 7) revient à (x + ) (x 7) = 0, soit : [(x + ) + (x 7)][(x + ) (x 7)] = 0, ou encore : (x ) = 0. Ce qui revient à x = 0, soit : x =. Il faut donc choisir le nombre pour obtenir le même résultat avec les deux programmes. 77 On note x le nombre de cartouches d encre commandées. On traduit par une équation que les deux tarifs sont identiques : 7,0x = 4,80x +. On obtient : x = 6. Les deux tarifs sont identiques pour l achat de 6 cartouches. 78. B.. C.. A. 79 On note x le nombre cherché. On traduit le problème par l équation : x = x. On résout cette équation. x On obtient : =, soit x = 9. Le nombre cherché est 9, ou 4,. 80. D = 6x + x 6.. D = (x + ) + (x )(x + ) = (x + )[(x + ) + (x )] = (x + )(x ).. Résoudre D = 0 revient à résoudre (x + )(x ) = 0 x + = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation D = 0 sont et. 8 n 4n + 44 = (n ) qui s annule lorsque n est égal à. Donc Anatole a tort. 8. On obtient A = x + x A = (x ) + (x )( x) = (x )[(x ) + ( x)] = (x )( x ).. Résoudre A = 0 revient à résoudre (x )( x ) = 0. x = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation A = 0 sont et. 8 On note x le nombre cherché. 4 x On traduit le problème par l équation : = x 4. 4 x On résout l équation =, qui, pour x, x 4 équivaut à 4(4 x) = ( x), ou 6 4x = x. On obtient x = 9. Le nombre cherché est 9. J approfondis 96. Faux. En effet, cette équation admet pour solutions les nombres 4 et 4.. Vrai. En effet, si x 7, alors x + 4 +, donc x +.. Faux. En effet, la solution de cette équation est Vrai. En effet, si x +, alors x, donc x. 97 En notant L la longueur du terrain, et sa largeur, L + = 40 on obtient le système : = L 40. La résolution du système donne les dimensions du terrain : L = 4 m, et = 0 m x = 4, soit : x = x 7 =, soit : x = 4.. x =, soit : x = x x = 4 6, soit : x = 7.. (x + ) =, soit x =.. + x = x, soit x =. Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 4 Éditions Belin, 0.

9 00 Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O et les droites (AC) et (BD) sont parallèles, donc OA OC d après le théorème de Thalès, on a : = OB OD. A [OB], donc : OB = OA + AB = + = ; C [OD], donc : OD = OC + CD = x +,. x On obtient l équation : = x +,, soit : (x +,) = x, d où : x =,7. 0 On note x le nombre d années cherché. On traduit le problème posé par l équation 4 + x = ( + x). On résout l équation 4 + x = ( + x). On obtient : x = 4. L âge de Marie sera le triple de celui de Pierre dans 4 ans (vérification : + 4 = 6, = 8 et 8 = 6). 0 a. x x + 9 = ( x x ) x x + 9 = + x + x 7x = x = 7. La solution de cette équation est 7. b. ( + 4x) = (8x + )(x ) + 8x + 6x = 6x 4x + x 0x = 4 x =. La solution de cette équation est. c. (x ) = 4x( x + ) 4x 0x + = + 4x 4x 6x = x = 8. La solution de cette équation est 8. x a. + 4x x = 4 4. x + 4 8x x + = x x = x 0x = 6 x =. La solution de cette équation est. 7x x x + b. = x x 6 x + = x x + 6 = x + x = 0 x = 0 La solution de cette équation est On note x le nombre de petits-enfants. On traduit le problème par l équation : x + = x. On résout l équation x + = x. La solution de cette équation est. Grand-père a petits enfants x x 400 x 7, Les solutions de l inéquation 400x sont les nombres inférieurs ou égaux à 7,.. On note x la hauteur d eau (en cm) dans l aquarium. Volume d eau (en cm ) dans l aquarium : x = 400x. De plus, 90 L = cm. On traduit alors le problème par l inéquation 400x D après la question précédente, on obtient : x 7,. La hauteur d eau qu il ne faut pas dépasser est donc 7, cm. 06 a. + 8( + x ) x 8x x 8, soit : x. Les solutions sont les nombres supérieurs à. 0 b. (x + 4) 9x x 8 9x x 6 x 6. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à c. + x 4x + x 4x 6x x 6, soit : x. Les solutions sont les nombres inférieurs à. 0 Éditions Belin, 0.

10 d. x 4 ( 4) x 7 x + x 7 x x. Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux à On note n la note cherchée. On traduit le problème par l inéquation 8, + + 9, + n. 4 8, + + 9, + n On résout l inéquation. On obtient : n 7. 4 Fabien devra obtenir au moins 7 au prochain contrôle. 08 On note x le plus petit de ces nombres. On traduit le problème : 6 x + (x + ) + (x + ) 68. On résout d abord l inéquation 6 x + (x + ) + (x + ). On obtient : x 6. On résout ensuite l inéquation x + (x + ) + (x + ) 68. On obtient : x 6. Ce qui donne : 6 x 6. x étant un nombre entier, on déduit : x =. Les trois entiers cherchés sont ; et. 09 a. (x )(x + )( x) = 0 x = 0 ou x + = 0 ou x = 0. x = ou x = ou x =. Les solutions de l équation (x )(x + )( x) = 0 sont ; et. b. De même, les solutions de l équation x(6 x)(4 + x) = 0 sont 0 ; 6 et 4. c. (00 9x )(x + x + ) = 0 s écrit (0 + x)(0 x)(x + ) = 0. Les solutions de l équation (00 9x )(x + x + ) = 0 sont donc 0 ; 0 et. d. (x + )(4x 6) = 0 s écrit (x + )(x + 4) (x 4) = 0. Les solutions de l équation (x + )(4x 6) = 0 sont donc ; et. 0 a. (x )(x + ) = (x + )(x + ) (x )(x + ) (x + )(x + ) = 0 (x + )[(x ) (x + )] = 0 (x + )( x ) = 0 x + = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation (x )(x + ) = (x + )(x + ) sont et. b. (x + ) = (4x 7)(x + ) (x + ) (4x 7)(x + ) = 0 (x + )[ (x + ) (4x 7)] = 0 (x + )( x + 8) = 0 Les solutions de l équation (x + ) = (4x 7)(x + ) sont donc : et 8. c. (x + )( x) = 4x 9 (x + )( x) (4x 9) = 0 (x + )( x) (x + )(x ) = 0 (x + )[( x) (x )] = 0 (x + )(8 x) = 0 Les solutions de l équation (x + )( x) = 4x 9 sont donc et 8.. a. (x + )(x ) = 0. x + = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation (x + )(x ) = 0 sont et. b. (x + )(x ) = x x. c. x x = 0 s écrit (x + )(x ) = 0. D après la question.a, les solutions de l équation x x = 0 sont donc et.. a. Dire que le triangle ABC est rectangle en A revient à dire que l égalité de Pythagore est vérifiée : BC = AB + AC. On obtient ainsi : (x + ) = x + (x + ). b. (x + ) = x + (x + ). x + 4x + 4 = x + (x + x + ). x + x + = 0. Ce qui peut aussi s écrire : x x = 0. D après la question.c, les solutions de l équation x x = 0 sont et. Donc la solution positive de l équation (x + ) = x + (x + ) est. c. Lorsque x =, x + = 4 et x + =. Le seul triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois nombres entiers consécutifs est le triangle dont les côtés ont pour longueurs, 4 et.. On résout l inéquation x + 7. On obtient : x.. On résout l inéquation (4 x) 6. On obtient : x 7, soit : x,4. Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 47 Éditions Belin, 0.

11 . a. On note x l inconnue ; on obtient : 4 x 7. b. On note x l inconnue ; on obtient : (x + 4).. a. Les solutions sont les nombres x qui vérifient : x. b. Les solutions sont les nombres x qui vérifient : x. 4 a. + x x 4 + x x x x x 0 x 0 Les solutions sont les nombres supérieurs à 0. x x b. + 6 x 6 x x + 6 x x x. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à. c. 4 x + x x + 0 x x 0x 4x 4 x 4 4. Les solutions sont les nombres supérieurs à 4 4. x x 7 d x x x x + 4 9x 7 7 x 9 Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux 7 à. 9 On note x l âge actuel de cette personne. Le problème se traduit par l équation (x + ) (x ) = x. On obtient : x = 8. L âge actuel de cette personne est 8 ans. 6 a. (x + ) = 6 (x + ) 6 = 0 [(x + ) + 6][(x + ) 6] = 0 (x + 9)(x ) = 0 48 x + 9 = 0 ou x = 0. x = 9 ou x =. Les solutions de l équation (x + ) = 6 sont 9 et. b. (x ) = (6 x) (x ) (6 x) = 0 [(x ) + (6 x)] [(x ) (6 x)] = 0 (x + )(4x ) = 0 x + = 0 ou 4x = 0. x = ou x = 4. Les solutions de l équation (x ) = (6 x) sont et 4. c. 9x + 4 = x 9x x + 4 = 0 (x ) = 0 x = 0 x = La solution de l équation 9x + 4 = x est. d. x = 0x x 0x + = 0 (x ) = 0 x = 0 x = La solution de l équation x = 0x est. 7 a. 4x + x + 9 (x + )(4 x) = 0 (x + ) (x + )(4 x) = 0 (x + )[(x + ) (4 x)] = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation 4x + x + 9 (x + )(4 x) = 0 sont et. b. x 49 + (x 7)(6 + x) = 0 (x + 7)(x 7) + (x 7)(6 + x) = 0 (x 7)[(x + 7) + (6 + x)] = 0 (x 7)(6x + ) = 0 x 7 = 0 ou 6x + = 0. x = 7 ou x =. 6 Les solutions de l équation x 49 + (x 7)(6 + x) = 0 sont 7 et. c. 6x 4 = 6x = 0 (4x + )(4x ) = 0 6 Éditions Belin, 0.

12 4x + = 0 ou 4x = 0. x = ou x = 4 4. Les solutions de l équation 6x 4 = sont et 4 4. d. 7x 6(x + ) = 7 x x 7x x 8 = 7 x x 9x = 0 (x + )(x ) = 0 x + = 0 ou x = 0. x = ou x =. Les solutions de l équation 7x 6(x + ) = 7 x x sont e. (x + )(7 x) = x + x + 7x x + 4 4x = x + x + x + x + = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x = La solution de l équation (x + )(7 x) = x + x + est. et. 8 x est un nombre non nul pour les trois équations. x a. = x. x = 6 x 6 = 0 (x + 6)(x 6) = 0 x + 6 = 0 ou x 6 = 0. 6 x = ou x = 6. Les solutions de l équation x = x sont 6 et 6. x + b. =. 4x 4x(x + ) = 9 4x + x + 9 = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x = x + La solution de l équation = est. 4x 7 x c. = x x 7 4x = x 4x = 8 4x 8 = 0 (x + 9)(x 9) = 0 x + 9 = 0 ou x 9 = 0. 9 x = ou x = 9. Les solutions de l équation 7 x 9 = x sont et 9 x. 9. blanche = 6 6(6 x) x = x x = x + x.. a. (x ) = 0 s écrit x = 0, donc la seule solution de l équation (x ) = 0 est. b. x 6x + 9 = 0 s écrit (x ) = 0, donc, d après la question précédente, la solution de l équation x 6x + 9 = 0 est. x + x 8 = 0 s écrit (x 6x + 9) = 0, ou encore x 6x + 9 = 0. Donc la solution de l équation x + x 8 = 0 est.. blanche = 8 cm, d où : x + x = 8, soit : x + x 8 = 0. La valeur de x pour laquelle l aire de la partie blanche est égale à 8 cm est donc cm. 0. y = 09 x. x + y = 09. On résout le système. ( x + 7)( y 7) = xy + 8 y = 09 x Ce système s écrit, 7x + 7y = 77 y = 09 x ou encore. x + y = On choisit la méthode par substitution : on remplace y par 09 x dans la deuxième équation. On obtient : x + (09 x) =, soit : x = 98, d où : x = 49. Puis : y = = 60. On vérifie que le couple (49 ; 60) est solution du système : = 09 et =. Les nombres cherchés sont : x = 49 et y = 60. Argumenter et débattre. ( x ) 0x = 7(6 + x) + x + 6 0x = 4 7x 0x = 4 Ce qui est impossible. En effet, quel que soit le nombre x, on a : 0x = 0. Donc l équation ( x ) 0x = 7(6 + x) n admet pas de solution.. 7(x ) + 9x = ( x) + 7 7x + + 9x = + x + 7 0x = 0 Ce qui est toujours vrai quel que soit le nombre x. Donc l équation 7(x ) + 9x = ( x) + 7 admet une infinité de solutions.. (x 7) 8x (6 + x) x 4 8x 8 6x 0x Chapitre 4 Équations et inéquations à une inconnue 49 Éditions Belin, 0.

13 Cette inégalité est toujours fausse, donc l inéquation (x 7) 8x (6 + x) n admet pas de solution.. 8x + (6 4x) 8x + 8x 0x Cette inégalité est toujours vraie, donc l inéquation 8x + (6 4x) admet une infinité de solutions.. Faux. En effet, la solution de cette équation est 0.. Vrai. En effet, cette inéquation équivaut à 0x 0.. Vrai. En effet, cette équation équivaut à 0x = 0, soit x = Vrai. En effet, cette inéquation équivaut à (x ) 0. Ce qui es toujours faux, car un carré n est jamais strictement négatif. 4 (x + y) = (x y) équivaut à 4xy = 0, soit xy = 0. L égalité est vérifiée lorsque x = 0 ou y = 0, et seulement dans ce cas. Atelier découverte. A D 0 E B 77 4 C. D [AB], E [AC] et (DE) // (BC). Donc, d après le théorème de Thalès, on a : AE DE =. AC BC x 0 Par conséquent : =. 4 + x 77 x. On déduit : (4 + x) = 0 77, soit : 4x + x = ou encore : x + 4x = a. (x 0)(x + 84) = 0. x + 84x 0x = 0 x + 4x = 0 x b. Résoudre l équation x + 4x = 0 revient donc à résoudre l équation (x 0)(x + 84) = 0. x 0 = 0 ou x + 84 = 0. x = 0 ou x = 84. Les solutions de l équation (x 0)(x + 84) = 0 sont 84 et 0.. D après la question précédente, les solutions de l équation x + 4x = 0 sont 84 et 0. Une longueur étant un nombre positif, on ne retient que la solution positive: x = 0. Le côté de la ville carrée mesure donc 0 pas. 6. On note x la longueur du côté de la ville carrée. On traduit le problème par l équation x 00x = L équation x 00x = s écrit x 00x = 0, ou encore (x 00) = 0. On obtient ainsi : x 00 = 0, soit : x = 00.. Le côté de cette ville carrée mesure a. x = (x 4)(x + ) x = x + x 8x x + = 0. 9x x + 4 = 0 (x ) = 0 x = 0. b. L équation x + = 0 a pour solution, donc l équation x = (x 4)(x + ) a pour solution. L équation x = 0 a pour solution, donc l équation 9x x + 4 = 0 a pour solution.. a. x + 6x = 7 x + 6x = 6 9 x + 6x + 9 = 6 (x + ) = 6 (x + ) 6 = 0 [(x + ) + 4][(x + ) 4] = 0 (x + 7)(x ) = 0 b. x + 7 = 0 ou x = 0. x = 7 ou x =. Les solutions de l équation x + 6x = 7 sont donc : 7 et. 0 Éditions Belin, 0.