Relation d ordre et inéquation

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1 I Ordre et comparaison : Relation d ordre et inéquation Comparer deux réels a et b, c est chercher lequel des deux est le plus grand ou s ils sont égaux. Propriété : Dire que a est strictement plus petit que b, ou inérieur à b, équivaut à dire que a b est strictement négati. (Les inégalités peuvent-être au sens large : ). a < b ña b < 0 Sau précision les propriétés sont vraies pour tout réel a, b, c et d 1. Ordre et addition : Propriété 1 : Si on ajoute un même nombre aux deux membres d une inégalité on obtient une inégalité de même ordre, ou sens. Si a < b alors a+c < b+c Propriété 2 : Si on ajoute membre à membre deux inégalités de même sens on obtient une inégalité de même sens. 2. Ordre et multiplication : Si a < b et c < d alors a+c < b+d Propriété 3 : Si on multiplie les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement positi on obtient une inégalité de même sens Si a < b et c > 0 alors ac < bc Si on multiplie les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement négati on obtient une inégalité de sens diérent. Si a < b et c < 0 alors ac > bc Propriété 4 : Si on multiplie membre à membre des inégalités de même sens entre des nombres positis on obtient une inégalité de même sens. Si 0 < a < b et 0 < c < d alors ac < bd 1

2 II Comparaison entre deux nombres et leurs carrés, leurs racines carrés, leurs inverses : 1. Deux nombres et leurs carrés : Deux nombres positis et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0 < a < b alors a² < b² Deux nombres négatis et leurs carrés sont rangés dans un ordre diérent. Si a < b < 0 alors b² < a² Faire la démonstration en étudiant à chaque ois le signe de a² - b² 2. Deux nombres positis et leurs racines carrés : Deux nombres positis et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0 < a < b alors a < b 3. Deux nombres et leurs inverses : Deux nombres, non nuls, de même signe et leurs inverses sont rangés dans un ordre diérent. Si ab > 0 et a < b alors 1 b < 1 a III Comparaison entre un nombre positi, sa racine carrée, son carré et son cube : Cette comparaison peut être aite à partir des courbes représentant les onctions de réérences y 3,5 3 2,5 y=x^3 y=x² 2 y=x 1,5 1 y=racine de x 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x 2 Si a > 1 alors a < a < a² < a 3 si 0 < a < 1 alors a 3 < a ² < a < a 2

3 IV Etude du signe du binôme Déinition : Une expression du type ax +b, avec a 0, est appelé un Binôme Objectis : expérimenter diérentes méthodes pour connaître le signe du Binôme. Dans toute la suite on se propose de trouver le signe de 2x + 5, selon les valeurs du réel x. Première méthode : En résolvant des inéquations 1. Compléter : a) 2x + 5 = 0 donc pour x égal à... 2x+5 est... b) 2x + 5 > 0 donc pour x... 2x + 5 est...( + ). c) 2x + 5 < 0 donc pour x... 2x + 5 est...( - ). 2. Résumer ces résultats dans le tableau x Deuxième méthode : en utilisant la représentation d une droite Soit la droite D d équation y = 2x + 5. On veut connaître le signe de y en onction des valeurs de x 1. Dessiner la droite D, et chercher les coordonnées du point d intersection de cette droite avec l axe x x. 2. Colorier en bleu la partie de la droite sous l axe des abscisses et en rouge celle au dessus. 3. En utilisant le graphique, compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de 2x+5 3

4 Troisième méthode : En aisant un test Grâce aux méthodes précédentes on devine que le binôme s annule pour une valeur et une seule et que de chaque côté de cette valeur le binôme prend des signes diérents. On peut donc calculer le binôme pour deux valeurs «bien choisie «de x 1. Calculer la valeur de 2x+5 pour x = 3 2. Calculer la valeur de 2x+5 pour x = 2 3. Compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de 2x Expliquer ce qu on entend par «bien choisie «Quatrième méthode : En appliquant le théorème Le signe du binôme ax + b est toujours donné par le tableau suivant : b a Signe de ax + b Signe de ( a) Signe de a D où Théorème : Le binôme ax+b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à celle qui annule ce binôme. 1. Dans l expression 2x+5 qu elle est la valeur de a? quel est son signe? quelle est la valeur de x qui annule le binôme? 2. Compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de 2x + 5 4

5 V Résolution d inéquations : 1. Résolution graphique : Soit C et C g les représentations graphiques de deux onctions et g, dans un même repère. Les solutions de l inéquation (x) k sont les abscisses des points de C situés audessus ou sur la droite d équation y = k Les solutions de l inéquation (x) < g(x) sont les abscisses des points de C qui sont en dessous de C g. L ensemble des solutions est donné sous la orme d un intervalle ou d une réunion d intervalles. ( x) > k ( x ) > 0 ( x) > g( x) Les solutions de cette inéquation Les solutions de cette inéquation sont les Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points de abscisses des points de C se situant sont les abscisses des points de C se situant strictement au strictement au dessus de la droite C se situant strictement dessus de la droite d équation y = 0 : ce sont les abscisses des au dessus de C g. d équation y = k. points de C se situant strictement au dessus de l axe des abscisses. On résout de la même açon : ( x) < k ; ( x) k ; ( x) k. On résout de la même açon : ( x ) < 0 ; ( x) 0 ; ( x) 0. On résout de la même açon : ( x) < g( x) ; ( x) g( x) ; ( x) g( x). Exemple : On considère une onction représentée ci-contre dans un repère. 1) Quel est l ensemble de déinition de? 2) Résoudre graphiquement : a) ( x ) = 3 ; b) ( x) 1 ; c) ( x ) < 0. 5

6 2. Résolution par le calcul : Seul le calcul permet de résoudre de açon exacte les inéquations. Méthode de résolution : Donner l ensemble de déinition de l inéquation puis on résout dans cet ensemble. Se ramener à un membre égal à 0. Factoriser, s il y a des quotients réduire au même dénominateur puis actoriser. Faire un tableau de signe. Donner l ensemble des solutions dans l ensemble de déinition. Remarque : Avant toute résolution bien repérer si c est une équation ou une inéquation Exercice1 : Etudier avec la méthode de votre choix, sur une autre euille, le signe de chacune des expressions suivantes selon les valeurs du réel x, et représenter, pour chacune d'elles, les résultats dans un tableau. 1) 3x + 5 ; 2) 4x 8 ; 3) 3x + 6 ; 4) 2x 3 Exercice 2 : le but de l'exercice est d'étudier le signe de ( 2x 2 ) ( x + 3) 1) compléter le tableau suivant : Signe de 2x 2 Signe de x + 3 Signe de( 2x 2 ) ( x + 3 ) 2) donner des phrases exprimant le signe de ( 2x 2 ) ( x + 3 ) en onction de x Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes grâce un tableau de signes : 1) ( x + 1 ) ( 3 x ) 0 ( x + 2 ) ( 4 2x ) 0 2) 7 x 2 3 ( x + 5) < 0 2x ( x 3 ) > x 3) 7 + x 0-2 x 2 2 x + 3 < 0 2 x + 3 x Exercice 5 : Étudier le signe des expressions suivantes après les avoir actorisées F ( x) = (x + 1 ) + ( 3x 2 )( x + 1 ) G ( x) = ( 2 x )( 3 x) ( x 2) ( 5 x) Exercice 6 : Une entreprise abrique une quantité x d'objets, x est compris entre 0 et 80. Le bénéice est donné en onction de x par : B(x)= x 2 54x ) montrer que B(x) = (x 4 ) ( x 50 ) 2) résoudre l'inéquation B(x) > 0 3) donner les quantités à produire pour que l'entreprise réalise un bénéice. 6