Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction"

Transcription

1 Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors nécessairement f(a). On écrit alors lim f(x) f(a) x a Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout point de I. Graphiquement, la courbe de f se dessine d un seul trait, sans lever le stylo. f est continue sur [a; b] La fonction Partie Entière n est pas continue sur son domaine de définition. y=e(x) y = f(x) a o b o Conséquence : Toute fonction construite comme somme, produit et composée de fonctions continues est continue. Les fonctions usuelles sont continues. Théorème : (admis) Si f est dérivable en a alors elle est continue en a. Généralisation : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable pour toute valeur a de I, alors f est dérivable sur I. Si f est dérivable sur I alors elle est continue sur I. Théorème des valeurs intermédiaires (admis) Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] alors pour tout compris entre f(a) et f(b),l équation f(x)= admet au moins une solution x o comprise entre a et b. L exemple ci-contre montre que l équation f(x) = a trois solutions, donc au moins une. f(a) f(b) [ ] a x x x 2 b 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page Terminale S

2 L image d un intervalle [a; b] par une fonction continue est toujours un intervalle [m; M], où m est un minorant de f sur [a; b] et M un majorant. Pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c tel que f ( c) k. II. Résolution d équation f(b) Théorème : Si f est une fonction continue strictement croissante sur l intervalle I = [a; b] alors :. L image de I par f est l intervalle [f(a) ; f(b)] 2. Pour tout dans [f(a); f(b)], l équation f(x)= a une unique solution dans I. f(c) f(a) [ ] a c b Démonstration :. Soit x un réel de l intervalle [a; b] alors a x b. f étant strictement croissante sur I, f(a) f(x) f(b). Ainsi, f (I) est inclus dans [f(a) ; f(b)]. Soit un réel de [f(a) ; f(b)]. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = admet au moins une solution dans [a;b] donc [f(b), f(a)] est inclus dans f (I). Il vient alors que [f(b), f(a)] = f (I). 2. f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x de [a ; b], x < x, f(x) < f(x ) et donc f(x) f(x ). Supposons que l équation f(x) = admette deux solutions x et x, alors f(x ) = f(x ). Or, f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x de [a ; b], x < x, f(x) < f(x ) et donc f(x) f(x ). Ce qui infirme la supposition. Donc l équation f(x) = admet une unique solution dans I. Ce théorème est le même si f est une fonction continue strictement décroissante. III. Révisions et compléments sur la dérivation. Nombre dérivé. Fonction dérivée Définition : Dérivabilité d une fonction en x Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et h un réel non nul. Dire que la fonction f est dérivable en x de ]a;b[ signifie qu il existe un réel A tel que f(x h) f(x ) f( x) f ( x ) lim A ou encore que lim A h h xx x x Le nombre A est appelée nombre dérivé de f en x. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 2 Terminale S

3 Définition 3 : Fonction dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f qui à tout x de I associe f (x). 2. Nombre dérivé et tangente Définition 4 : Nombre dérivé coefficient directeur Le nombre dérivé de f en x est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (x,f(x )) Définition 5 : Equation réduite de la tangente Soit f une fonction dérivable sur I et x un point de I. Une équation réduite de la tangente à C f en M (x, f(x )) est y = f (x )(x x ) + f(x ) La distance MP mesure la valeur absolue de l erreur commise par l approximation affine. Plus h est proche de, plus l erreur est petite. f(a+h) f(a) + hf (a) o a M P a + h f(a) A 3. Dérivées usuelles Fonction Dérivée Domaine Expression Domaine Expression R f(x)= k R f (x)= R f(x)= x n, n R f (x) = n x n- R + f(x)= x R +* f (x)= 2 x 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 3 Terminale S

4 4. Opérations sur les fonctions dérivables Nous admettons les résultats suivants : a. Dérivée de u + v Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. La dérivée de la somme, notée (u+ v), est égale à la somme des dérivées, notée u + v. (u + v) = u + v b. Dérivée de u v Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. La dérivée du produit, notée (u v), est égale à : (u v) = u v + u v = u v + u v Cas particulier : la dérivée de la fonction ku, notée (ku), est ku. c. Dérivée de v Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que pour tout x, v(x). Alors la fonction est v dérivable sur I et : d. Dérivée de v u ' v ' 2 v v. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Et pour tout x, v(x). Alors la fonction quotient ' u v est dérivable sur I et : u u' v uv' v v² e. Cas usuels : Toute fonction polynôme est dérivable sur R. Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout ensemble inclus dans son ensemble de définition. 5. Fonction f u Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur I. La fonction f définie par f(x) = u(x) est dérivable sur I et pour tout x de I, f (x) = Principe de la démonstration Soit t appartenant à I le taux d accroissement de f en t est : lim 2 u' (x) 2 u(x). 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 4 Terminale S

5 6. Fonction f : x uax b Soit u une fonction s dérivable sur un intervalle I. La fonction f : x uax b pour tout x de I, f ' x au' ax b est dérivable sur I et Principe de la démonstration Soit t appartenant à I le taux d accroissement de f en t est : On pose et. lim lim 7. Dérivation de la fonction u n Soit u une fonction dérivable sur I et n un entier naturel non nul. La fonction f définie par f(x) = (u(x)) n est dérivable sur I, et pour tout x de I, f (x) =n(u(x)) n- u (x). Si n<, alors il faut rajouter l hypothèse, pour tout x de I, u(x) mais la formule est toujours valable. On remplace alors avant de calculer la dérivée Démonstration ex 6 p 8. Dérivation d une fonction composée (admis) 9. Application à la dérivation Théorème fondamental (admis) f est un fonction dérivable sur un intervalle I. Lorsque f est strictement positive sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle s annule, f est strictement croissante sur I. Lorsque f est strictement négative sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle s annule, f est strictement décroissante sur I. Lorsque f est nulle sur I, f est constante sur I. Théorème : Soit f dérivable sur un intervalle I et c un réel de I. Si la dérivée f s annule en c en changeant de signe alors f(c) est un extremum local de f sur I. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 5 Terminale S

6 IV. Comportement d une fonction à l infini. Limite infinie Définition : Limite infinie en + Soit f une fonction numérique définie sur [x ;+[ avec x un réel. Si f(x) est aussi grand que l on veut dès que x est assez grand, on dit que f a pour limite + en +. On écrit lim f ( x). Autrement dit Pour toute valeur A aussi grande que l on veut, il existe une valeur x, telle que pour tout x > x, f(x) > A, ou encore que tout intervalle ]A ;+[ contient toutes les valeurs de f(x). y =A y = f(x) 2. Limite finie o x Définition : Limite finie en + Soit f une fonction numérique définie sur [x ;+[ avec x un réel et un réel. Si la distance f (x) est aussi petite que l on veut dès que x est assez grand, on dit que : f a pour limite en +. On écrit lim f( x). y= f(x) y = o x A partir de x assez grand, x > x, tout intervalle de centre contient toutes les valeurs de f(x). 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 6 Terminale S

7 Définition : Dire que lim f( x), c est dire que lim ( f( x) ). Définition : Asymptote horizontale Si fonction f. lim x f(x), on dit que la droite d équation y = est asymptote horizontale en à la courbe de la Dans l exemple ci-dessus, la droite d équation y = est asymptote horizontale en +. Tout cela reste vrai au voisinage de Limite au voisinage de + et des fonctions de référence lim x 2 lim x 3 lim x 2 lim x 3 lim x lim lim x x V. Limite d une fonction en a, a réel Définition : Limite infinie en a Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert en a. Si f(x) est aussi grand que l on veut dès que x est assez proche de a, on dit que : f a pour limite + en a. On écrit lim f(x) x a Dans l exemple ci-contre, on remarque que lim f ( x ) xa et lim f( x ) xa xa Limite particulière : lim et x x x xa lim x x x o x = a y= f(x) Définition : Asymptote verticale Si lim f ( x ), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f en xa Commentaire : La courbe de la fonction inverse admet une asymptote verticale d équation x =. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 7 Terminale S

8 VI. Opérations sur les limites Soit f et g deux fonctions numériques dont les limites sont données dans un même voisinage. Si Alors lim f(x) = lim g(x) = lim [ f(x)+ g(x)] = lim f(x)g(x) = lim L L L + L LL L L ' L L L + + L + si L < + si L < si L > si L > f(x) = g(x) avec règle des signes () () La limite de ce type de fonction est + ou, selon le signe de L et si g(x) tend vers zéro par valeurs positives ou négatives. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 8 Terminale S

9 VII. Théorèmes de comparaison Théorème de majoration, minoration. Si pour x assez grand, f(x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) 2. Si pour x assez grand, f(x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) Démonstration : D après la définition, lim gx ( ) signifie que tout intervalle ]M ;+ [ contient toutes les valeurs de g(x). Comme, pour x assez grand, f(x) g(x), tout intervalle ]M ;+ [ contient aussi toutes les valeurs de f(x). Ainsi, lim f( x). On démontre de la même façon le résultat 2. Théorème d encadrement dit «des gendarmes» (admis) Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I =]a, +[ et un réel. Si pour x assez grand, h(x) f(x) g( x) et si lim g( x) lim h( x) alors lim f( x). Autrement dit : Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I =]a, +[ et un réel. Si pour x assez grand, on a f( x) g( x) et si lim g( x) alors lim f( x) Démonstration : L inégalité f ( x) g( x) signifie que pour tout x assez grand, g(x) f(x) + g(x). Or, lim g( x). D après les règles opératoires, g x et lim g( x) lim ( ) x x gendarmes», lim f( x). x. En utilisant le théorème précédent dit «des 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page 9 Terminale S

10 VIII. Limite de fonction composée Définition de la composée de deux fonctions Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit incluse dans J ( ui ( ) J). La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v et est notée v u. v u( x) v u x. Pour tout réel x de I : Théorème Limite de fonction composée (admis) Soit f, g et h trois fonctions telles que f = goh. Chaque lettre a, b, et c désigne soit un réel, soit +, soit. Si lim hx ( ) b et si lim g ( X ) c alors lim g ( hx ( )) c. x a X b x a f ( x) 2x. Application : Déterminer la limite en + de la fonction définie par 2 Déterminer la limite en + de la fonction définie par f (x) x² x. 3. Continuité, dérivation et limite de fonctions Page Terminale S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 1 Introduction 1.1 Limites de suites En classe de première, on a déjà rencontré les limites de suites. Définition On dit qu'une suite u, définie sur

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Dérivées : Rappels et compléments

Dérivées : Rappels et compléments Dérivées : Rappels et compléments I) Rappels ) Dérivabilité en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative dans un repère ( O;

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel.

Plus en détail

Étude de fonctions Limites et continuité

Étude de fonctions Limites et continuité Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité 1 Limites et continuité Table des matières 1 Limites - Rappels de première 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Asymptotes parallèles aux axes..................... 3 1.3 Limites des

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)).

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)). 1S1: doc 5 Dérivation 2015-2016 I Pour bien commencer I.1 Limite en 0 d une fonction Soit I un intervalle contenant 0, I = I\ {0} et f : I R D é f i n i t i o n : On dit que f admet une limite finie L

Plus en détail

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG F.Gaudon 3 juillet 2015 Table des matières 1 Fonction dérivée 2 2 Opérations sur les fonctions dérivables 2 2.1 Somme..............................................

Plus en détail

Cours de terminale S. Giorgio Chuck VISCA 4 octobre 2013 LES LIMITES

Cours de terminale S. Giorgio Chuck VISCA 4 octobre 2013 LES LIMITES Cours de terminale S Giorgio Chuck VISCA 4 octobre 2013 LES LIMITES 1 Table des matières I Les limites 4 I Les généralités 4 I.1 limite infinie en l infini........................................... 4

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle I) Définition de la fonction exponentielle 1) Théorème 1: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que : Pour tout nombre x, f (x) = f(x), et f(0) = 1 Cette fonction

Plus en détail

I. Limites d une fonction à l infini

I. Limites d une fonction à l infini T STI SIN Limites de fonctions 6//202 Lycée Don Bosco 202-203 I. Limites d une fonction à l infini Activité a. Limites infinies On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = x 2 x +, et

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE

LIMITES ET CONTINUITE LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI ) Limite infinie à l'infini Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite + en +. on écrit f x = f x = A > 0,

Plus en détail

Dérivation, cours, terminale S

Dérivation, cours, terminale S Dérivation, Dérivation, 27 septembre 2016 Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f (a), signifie que le taux d accroissement

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Ph DEPRESLE septembre 05 Table des matières Limites à l infini. Limites infinies............................................ Limites finies-asymptotes horizontales.............................

Plus en détail

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a. (*) WWW.SEGBM.NET 1 Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées 1 Notion de limites 1.1 Voisinages On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Plus en détail

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES)

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES) DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1 Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID I TNGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Etude de fonctions. lim x = + lim x = Opérations sur les limites

Etude de fonctions. lim x = + lim x = Opérations sur les limites Etude de fonctions I Limites 1) Rappels Limites de fonctions monômes k = k avec k constante x 2 = + x = + x = x 2= + x 3 = x 3 = + Photocopie du livre 1 ère ES page 98 Opérations sur les ites 2) Des nouveaux

Plus en détail

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

LIMITES et CONTINUITE

LIMITES et CONTINUITE LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +, f(x) devient de plus en plus grand. il

Plus en détail

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites.............................................. 2 2.2 Théorèmes.............................................

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

Nombre dérivé. Fonction dérivée.

Nombre dérivé. Fonction dérivée. Nombre dérivé. Fonction dérivée. 1. Nombre dérivé. 1.1. Introduction Activité 1 : D'après IREM Clermont Ferrand Activité 1 1.2.Taux d'accroissement. Limite en 0. Définition : Soit f une fonction définie

Plus en détail

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj DÉRIVATION I. Rappels Vidéos ttps://www.youtube.com/playlist?listplvudmbpupcaoy7qiladhc9-rbgvrgwj ) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel

Plus en détail

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide de la ère S à la TS. I Exercices Dérivabilité Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point demandé. f(x) = x 2 en x = 3 (Revenir à la définition du nombre dérivé) 2. f(x) = x en x =. 3. f(x)

Plus en détail

Fonctions dérivées Applications

Fonctions dérivées Applications Fonctions dériées Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Quelques rappels. Nombre dérié Tangente......................................... Notion de fonction dériée.........................................3

Plus en détail

Continuité et Dérivabilité

Continuité et Dérivabilité Cours de Terminale S Giorgio Chuck VISCA 30 septembre 2015 Continuité et Dérivabilité 1 Table des matières I la continuité 3 I continuité en un point,sur un intervalle d une fonction 3 I.1 définition...................................................

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Continuité : une approche graphique 2 2 Théorème des valeurs intermédiaires 3 2.1 Cas des fonctions continues.......................................

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

Fonctions : Dérivation-Composition

Fonctions : Dérivation-Composition Fonctions : Dérivation-Composition Terminale S 2011/2012 15 septembre 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre 2011 1 / 21 Nombre dérivé Plan 1 Compléments sur la dérivation

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS SOMMAIRE LIMITES DE FONCTIONS *. 1. LIMITES D UNE FONCTION... 2 LIMITES A L INFINI... 2 LIMITE REELLE ( OU FINIE) EN + ET -... 2 LIMITE INFINIE EN + ET -... 2 LIMITES EN UN REEL A... 3 LIMITE INFINIE EN

Plus en détail

Dérivées et continuité

Dérivées et continuité Dérivées et continuité TS Exercice 1 [Côté exercices Réactivation de notions de la classe de Première? ] QCM p 90 Déclic I Rappels sur les dérivées A Les principale idées vues en Première 1 Les dérivées,

Plus en détail

Chapitre 6 : La fonction exponentielle

Chapitre 6 : La fonction exponentielle I Définition Chapitre 6 : La fonction exponentielle Propriété (admise) I J Soient u : une fonction affine, et v une fonction dérivable sur l intervalle x ax+b J. Alors la fonction f définie sur I par f(x)

Plus en détail

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité * 1. Rappels sur la dérivation 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel de I. Soit h un nombre très petit et non nul. Alors Dire que f est dérivable en a de I signifie

Plus en détail

Chapitre 3 Les Dérivées

Chapitre 3 Les Dérivées Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées Capitre 3 Les Dérivées A) Nombre dérivé et tangente à une courbe en un point (rappels de première) 1) Définitions Soit un point A sur la courbe d'une fonction

Plus en détail

Fonctions numériques : dérivation

Fonctions numériques : dérivation Fonctions numériques : dérivation Table des matières I Notion de tangente à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle I de courbe représentative C f et soit A un point fixe de C f. Soit

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

Chapitre 3 : Dérivation et continuité

Chapitre 3 : Dérivation et continuité 1 DÉRIVATION D UNE FONCTION Chapitre 3 : Dérivation et continuité 1 Dérivation d une fonction 1.1 Nombre dérivé de f en a et fonction dérivée Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle

Plus en détail

Dérivabilité d une fonction numérique.

Dérivabilité d une fonction numérique. 34 Chapitre 6 Dérivabilité d une fonction numérique. 6.1 Taux d accroissement Définition : Soient f une fonction numérique et I D f un intervalle ouvert. Soit c I, on appelle taux d accroissement de f

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

Continuité, cours, terminale S

Continuité, cours, terminale S Continuité, cours, terminale S Continuité, cours, terminale S F.Gaudon http://mathsfg.net.free.fr 26 mars 2013 1 Continuité 2 Généralisation à des intervalles quelconques Continuité 1 Continuité 2 Généralisation

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle 1 et définition La fonction exponentielle Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :.................. Définition Cette fonction est appelée............................ On note : Ainsi

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. Il ne s agit pas d un manuel, certains chapitres du programme n étant pas rédigés. Année

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

5 Limites de fonctions

5 Limites de fonctions 5 Limites de fonctions Manuel Repères p.54. Objectifs : Comprendre les notions de ite finie ou infinie d une fonction, en un point ou à l infini Savoir déterminer la ite d une somme, d un produit, d un

Plus en détail

I. Fonction de référence

I. Fonction de référence I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions

Plus en détail

opérations sur les fonctions dérivées applications de la dérivation

opérations sur les fonctions dérivées applications de la dérivation opérations sur les fonctions dérivées applications de la dérivation rappels : fonction domaine de définition domaine sur lequel la fonction est dérivable fonction dérivée fonction constante : f() k (k

Plus en détail

Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre Fonctions de référence...3 I Fonctions affines...3 a) Signe d'une fonction affine...3 II

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Partie A : Limites de fonctions

Partie A : Limites de fonctions Chapitre 2 I Limite d une fonction en ou en A) Limite finie en ou en 1) Activité 1 Partie A : Limites de fonctions On considère la fonction définie pour tout par de courbe représentative a) A l aide d

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants :

Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants : Cours DERIATION 0 ACTIITE DERIATION et CALCUL FORMEL - Odyssée Le professeur de mathématiques a donné le «devoir maison» suivant : Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats

Plus en détail

Notion de continuité sur un intervalle. I. Notion de dérivée et tangente à une courbe en un point

Notion de continuité sur un intervalle. I. Notion de dérivée et tangente à une courbe en un point Capitre 3 Term. ES Notion de continuité sur un intervalle Ce que dit le programme : CONTENUS Notion de continuité sur un intervalle CAPACITÉS ATTENDUES Exploiter le tableau de variation pour déterminer

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Titre du dossier : Calculs de dérivées Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Société : Ecole de la deuième Chance Marseille Mots clés

Plus en détail

Fonctions d une variable réelle

Fonctions d une variable réelle Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................

Plus en détail

Etude de la fonction logarithme

Etude de la fonction logarithme Etude de la fonction logarithme Après un bref rappel des résultats vus dans le module de définition des fonctions logarithmes, nous menons l étude approfondie de la fonction logarithme népérien. 1/ Rappels

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Stépane PASQUET, 4 octobre 06 C Sommaire Limites aux infinis....................................... Limite en un nombre fini, ite à droite, ite à gauce d un nombre fini........

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire.

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire. 1 Recherche de l'ensemble de définition Plan d'étude d'une fonction. Fonctions rationnelles. f x existe si le dénominateur n'est pas nul. 2n Fonctions avec radical du type. f x existe si la quantité sous

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : Déterminer les

Plus en détail

Etude de fonction : notion de continuité

Etude de fonction : notion de continuité Etude de fonction : notion de continuité Leur faire lire des rappels sur les fonctions pour le jour en question. Toutes les fonction considérées dans ce chapitre sont définies sur ou une partie de et sont

Plus en détail

LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications.

LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications. LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications. Pré-requis : Notions de limite, continuité, dérivabilité ; Théorème des valeurs intermédiaires ; L image d un segment par une application continue est un segment.

Plus en détail