2_ limites en, + en 3 en en + 5_ Ω ( 3)

Transcription

1 Exercice n 1. La fonction f est définie par f (x)= x2 +3 x 1 Méthode. On commence par tracer la fonction sur la calculatrice et on conjecture les réponses. Attention. N'oubliez pas les parenthèses en écrivant la fonction : (x^2+3*x-1)/() On note sur le brouillon, pas sur la copie, les réponses conjecturées par lecture graphique. 1_ -3 n'a pas d'image. 2_ ites en, + en 3 en en + x = -3 asymptote verticale 3_ y = x est bien une asymptote oblique 4_ si x < -3 la courbe est au dessus de δ si x >-3 la courbe est au dessus de δ 5_ Ω ( 3) est le centre de symétrie. Maintenant je peux commencer l'exercice. En n'oubliant pas de comparer les résultats trouvés à ceux conjecturés. 1_ Ensemble de définition de f. f (x ) existe si le dénominateur n'est pas nul, 0 D f =] ; 3[ ] 3 ; + [ 2_ Limites aux bornes de l'ensemble de définition. Limites à l'infini. La fonction f est une fonction rationnelle donc elle a les mêmes ites en plus l'infini et moins l'infini que le rapport simplifié des monômes de plus haut degré. Thierry Vedel page 1 sur 11

2 x De même : x + x 2 f ( x)= x x = x f ( x)= x + Limites en -3. x 2 +3 x 1= 1 x 3 x 3 =0 x=+ x= Il faut faire une étude de signe. x 2 +3 x 1= 1 donc le numérateur est strictement négatif au voisinage de -3 x 3 Si x < -3 alors x + 3 < 0 et f (x ) est positif au voisinage de -3 f (x)=+ x 3 x< 3 Si x > -3 alors x + 3 > 0 et f (x) est négatif au voisinage de -3 f (x )= x 3 x> 3 Les ites en 3 - et 3 + sont infinies donc la droite d'équation x = -3 est une asymptote verticale de la courbe de f à droite et à gauche de -3. 3_ δ d'équation y=x est une asymptote oblique. f (x) x= x2 +3 x 1 x= x2 +3 x 1 x( ) = 1 Remarque importante, car elle va simplifier le calcul. On en déduit que : f (x)=x 1 x x + f ( x) x= 1 x =0 f ( x) x= 1 x + =0 δ d'équation y=x est une asymptote oblique au voisinage de plus l'infini et au voisinage de moins l'infini. 4_ Positions relatives de la courbe de f et de l'asymptote δ On étudie le signe de f (x) x Pour x ] ; 3[ x < - 3 donc <0 et 1 >0 et f (x) x>0 La courbe est au dessus de l'asymptote δ Thierry Vedel page 2 sur 11

3 Pour x ] 3 ; + [ x > - 3 donc >0 et 1 <0 et f (x) x<0 La courbe est en dessous de l'asymptote δ 5_ Le point d'intersection Ω des deux asymptotes est le centre de symétrie de la courbe. Coordonnées de Ω { x= 3 donc Ω y= x ( 3) Centre de symétrie. L'ensemble de définition est symétrique par rapport à f (x)=x 1 donc x Ω f (2 x Ω x) = f ( 6 x) = 1 6 x 6 x +3 = 6 x 1 x 3 = 6 x+ 1 = 6 ( ) x 1 f (2 x Ω x) = 2 y Ω f ( x) Ω est le centre de symétrie de la courbe Exercice n 2. 1_ Comparaison de 2 n et n 2 pour différentes valeurs de n. n=0, 2 0 >0 2 n=1, 2 1 >1 2 n=2, 2 2 =2 2 n=3, 2 3 <3 2 n=4, 2 4 =4 2 n=5, 2 5 >5 2 n=6, 2 6 >6 2 n=10, 2 10 >10 2 n=100, >100 2 A partir de n = 5, 2 n a l'air strictement supérieur à n 2 Thierry Vedel page 3 sur 11

4 2_ Résolution de 2n 2 (n+1) 2. 2n 2 (n+1) 2. 2 n 2 ( n+1) 2 0 ( 2 n (n+1))( 2 n+( n+1)) 0 (( 2 1)n 1)(( 2+1)n+1) 0 D'après le signe du trinôme, les solutions sont à l'extérieur des racines , <0 Tout n 3 est solution 3_ Démonstration par récurrence de la proposition P n. P n. est la proposition : 2 n n 2. Initialisation. D'après le 1_, P 4 est vraie. Hérédité. On suppose que P n est vraie, n > 3. 2 n n 2. donc 2 n+1 2n 2. n > 3 et pour tout n 3, 2n 2 (n+1) 2. donc 2 n+1 (n+1) 2. Si P n est vraie, n > 3, alors P n+1 est vraie Conclusion. Pour tout n > 3, P n est vraie. 4_ D'après la question 1_, Pour tout n N {3}, P n est vraie. Exercice n 3. Exercice de spécialité. 1_ est un multiple de 7? Déterminons les puissances de 5 modulo 7. Modulo 7 n 5 n 1 5 ou ou Thierry Vedel page 4 sur 11

5 Division euclidienne de 750 par 6. Flûte, ma calculatrice n'a plus de piles!!! Comment fais-je? Je réfléchis. 750 est pair et 7+5+0=12 donc 750 est divisible par 3 donc 750 est un multiple de = 5 6q 1 = (5 6 ) q 1 (1) q 1 (modulo 7) (modulo 7) est un multiple de 7. Vérification avec mon traitement de texte préféré, LibreOffice. cas(iquorem(5^750-1,7)) donne : ;0 Le premier nombre est le quotient dans la division par 7, le deuxième, 0, est le reste. Vous pouvez vérifier. 2_ Chiffre des unités de Le chiffre des unités est le reste dans la division euclidienne par (modulo 10) Déterminons les puissances de 2 modulo 10. Modulo 10 n 2 n Cycle de longueur 3 8 ou =4 503 donc le chiffre des unités est 6. Vérification avec mon traitement de texte préféré, LibreOffice. cas(irem(2012^2012,10)) 6 Thierry Vedel page 5 sur 11

6 Exercice n 3. Elèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité. La courbe est la représentation graphique de la fonction f. La droite tracée sur le graphique est la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 2. 1 Le coefficient directeur de la tangente est environ donc par lecture graphique 2 f ' (2) 1 2. Thierry Vedel page 6 sur 11

7 Exercice n 4. Etude préinaire d'une fonction. Partie A. La fonction h est définie sur R par h( x)=4 x 3 12 x 2 10 x+2 Méthode. On commence par tracer la fonction sur la calculatrice et on conjecture les réponses. On note sur le brouillon, pas sur la copie, les réponses conjecturées par lecture graphique. 1_ Dérivée de h h' ( x)=12 x 2 24 x 10=2 (6 x 2 12 x 5) 2_ Tableau de variation de h. Signe de la dérivée. On applique le signe du trinôme du second degré à 6 x 2 12 x 5 Δ= =24 11=(2 66) 2 Thierry Vedel page 7 sur 11

8 x 1 = b Δ = 2 a x 2 = = Vérification avec mon traitement de texte préféré, LibreOffice. cas(factor(derive(4*x^3-12*x^2-10*x+2))) 2 ( x )(6 x 66 6 ) cas(proot(derive(4*x^3-12*x^2-10*x+2))) { 0, ;2, } cas(zeros(derive(4*x^3-12*x^2-10*x+2))) { ; } x x 1 x 2 + signe de f ' + + M + f m M = f ( x 1 ) 3,86>0 m= f ( x 2 ) 35,86<0 3_ Limites de h en plus l'infini et moins l'infini. La fonction h est une fonction polynomiale donc elle a les mêmes ites en plus l'infini et moins l'infini que le monôme de plus haut degré. h( x)= 4 x 3 = x x x + h( x)= x + 4 x 3 =+ 4_ Solutions de l'équation h( x)=0 Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle ] ; x 1 [ h est continue et strictement croissante sur ] ; x 1 ] h( x)= et f (x 1 )=M >0 et 0 appartient à l'intervalle ] ; f (x 1 )] x L'équation h( x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle ] ; x 1 ] De même, h est continue et strictement décroissante sur ] x 1 ; x 2 [ f (x 1 )=M >0 et f (x 2 )=m<0 et 0 [ f (x 1 ) ; f (x 2 )] L'équation h( x)=0 admet une unique solution β sur l'intervalle ] x 1 ; x 2 [ Thierry Vedel page 8 sur 11

9 De même, h est continue et strictement croissante sur [ x 2 ; + [ h( x)=+ et f (x 2 )=m<0 et 0 [ f ( x 2 ) ; + [ x + L'équation h( x)=0 admet une unique solution γ sur l'intervalle [ x 2 ; + [ L'équation h( x)=0 admet exactement trois solutions α, β et γ telles que α<β<γ. Signe de la fonction h. h est strictement croissante sur ] ; α ] et f (α)=0 donc h est strictement négative sur ] ; α [ De même, h est strictement croissante sur ]γ ; + ] et f (γ)=0 donc h est strictement positive sur ]γ ; + ] ]β ; γ[ h est continue sur ]α ; β[ et ne s annule pas donc elle est de signe constant. x 1 ]α ; β[ et f (x 1 )=M >0 donc h est strictement positive sur ]α ; β[ De même, x 1 ]β ; γ[ et f (x 2 )=m<0 donc h est strictement négative sur 5_ γ appartient à l'intervalle [3 ; 4]. L'équation h( x)=0 admet une unique solution γ sur l'intervalle [ x 2 ; + [ [3 ; 4] [ x 2 ; + [, f (3)<0 et f (4)>0 d'après la continuité γ [3 ; 4]. 6_ Valeur approchée de γ au millième. Recherche par dichotomie. On pose a 0 =3 et b 0 =4 f ( a 0 +b 0 2 ) = f ( 7 2) <0 donc a 1= 7 2 et b 1=4 f ( a 1 +b 1 2 ) = f ( 15 4 ) >0 donc a 2 = 7 2 et b 2 =15 4 Thierry Vedel page 9 sur 11

10 Valeurs exactes des dix premiers termes des suites (a n ) et (b n ) encadrant mon tableur favori, LibreOffice. γ donnés par Dichotomie Calcul exact h( x)=4 x 3 12 x 2 10 x+2 n a n b milieu ou valeur n approchée de γ image du milieu précision /2-17/2 1/2 1 7/2 4 15/4 107/16 1/4 2 7/2 15/4 29/8-179/128 1/8 3 29/8 15/4 59/ /1024 1/ /8 59/16 117/ /8192 1/ /8 117/32 233/ / / /64 117/32 467/ / / /64 467/ / / / / / / / / / / / / /1024 Les suites sont donc : a 0 =3 a 1 = 7 a 2 2 = 7 2 b 0 =4 b 1 =4 b 2 = 15 4 a 3 = 29 8 b 3 = 15 4 a 4 = 29 8 b 4 = a 5 = 29 8 b 5 = a 6 = b 6 = a 7 = b 7 = a 8 = b 8 = a 9 = b 9 = =3, ,647 arrondi à γ 3,647 arrondi à Vérification avec mon traitement de texte préféré, LibreOffice. cas(zeros(4*x^3-12*x^2-10*x+2)) {0, ;3, ; 0, } 7_ Points de la courbe de h où la tangente est parallèle à la droite d d'équation y=2 x. Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente donc on résout f ' ( x)=2 2(6 x 2 12 x 5) = 2 6 x 2 12 x 5 = 1 6 x 2 12 x 6 = 0 x 2 2 x 1 = 0 Δ=b 2 4ac=8=(2 2 ) 2 x 1 = b Δ 2 2 = 2 =1 2 2 a 2 x 2 =1+ 2 La tangente est parallèle à la droite d d'équation y=2 x aux points d'abscisse x 1 et x 2. Thierry Vedel page 10 sur 11

11 8_ Equation de la tangente à la la courbe de h au point d'abscisse -1. L'équation de la tangente au point d'abscisse a est y=h ' (a)(x a)+h(a) h( 1)= 4 et h ' ( 1)=26 donc y=26 ( x+1) 4 L'équation est y=26 x+22 Partie B. La fonction f est définie sur R par f (x)=x 4 4 x 3 5x 2 +2 x+1 1_ Démonstration de f ' =h f ' (x) = ( x 4 ) ' (4 x 3 ) ' (5 x 2 ) ' +(2 x ) ' +(1) ' = 4 x 3 4 (3 x 2 ) 5(2 x)+2(1) = 4 x 3 12 x 2 10 x+2 f ' (x) = h( x) 2_ Déduire de la partie A le sens de variation de f et établir le tableau de variation. D'après la question 4_ de la partie A. h est strictement négative sur ] ; α [ ]β ; γ[ décroissante sur cet ensemble. h est strictement positive sur ]α ; β[ ]γ ; + ] sur cet ensemble. donc f est strictement donc f est strictement croissante Tableau de variations. x α β γ + signe de f ' = h M + f m 1 m 2 3_ Calculer f(1). Donner une approximation affine de f(1,01) en expliquant la méthode. Rappel de cours. f (1+h) f (1) f (1+h) f (1) f ' (1)= donc pour h petit f ' (1) h 0 h h h f ' (1) f (1+h) f (1) donc f (1+h) f (1)+h f ' (1) Pour justifier il suffit de dire que f (1+h) f (1)+h f ' (1) On prend h = 0,01 f (1)= 5 et f ' (1)= 16 donc f (1,01) 0,01 ( 16) 5 f (1,01) 5,16 cas(simplify(derive(x^4-4*x^3-5*x^2+2*x+1))) 4 x 3 12 x 2 10 x+2 Thierry Vedel page 11 sur 11