Chapitre 4 : Fonctions dérivées

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1 1. Limite en 0. Accroissement moyen. Limite en 0 : Si f est une fonction définie sur un intervalle I contenant 0, on admet que chercher la limite de f en 0 revient à calculer l'image de 0 par f. On note lim f = f 0 0 eemple : Soit f = Déterminer sa limite en 0. Définition: a et b étant deu nombres réels distincts de l'intervalle I, l'accroissement moyen de la f b f a fonction f entre a et b est le quotient. b a Interprétation graphique: f b f a Le quotient est le coefficient directeur b a de la droite (AB) appelée sécante (AB). Dans ce qui suit, on va s'intéresser à la position de la sécante par rapport à la courbe lorsque le point B «se rapproche» de A. En d'autres termes, en posant b=a h avec h réel non nul, «B se rapproche de A» lorsque h «tend» vers 0. Écrire l'accroissement moyen de f entre a et a h. Eemple: f = 2. Déterminer la limite en 0 lorsque h tend vers 0 de l'accroissement moyen de f entre 2 et 2 h. Traduction graphique? 2009 My Maths Space Page 1/5

2 En économie : coût marginal d'une unité produite. Soit C q le coût total lorsque l'on a fabriqué q unités. Le coût marginal de la q ième unité produite est l'accroissement de coût dû à cette dernière unité produite c'est à dire C m q =C q C q 1. eemple: La fonction de coût total pour la fabrication de q chaises est donnée en euros, par C q = q 2 20q 200, pour q [0 ;10 ]. Calculer le coût marginal de la 4ème chaise fabriquée. Eprimer le coût marginal de la q ième chaise en fonction de q. 2. Nombre dérivé en A et tangente en A. f a h f a Définition : Si le quotient tend vers un nombre lorsque h tend vers 0, alors la h fonction f est dérivable en a. La limite de ce quotient est le nombre dérivé de f en a. On le note f ' a. f a h f a Écriture mathématique : lim = f ' a h 0 h Interprétation graphique: f est une fonction dérivable en a et C f sa courbe représentative; A le point de C f d'abscisse a et M un point mobile de C f d'abscisse a h. Point de vue calcul Point de vue graphique tangente en A : La tangente à la courbe C f au point A d'abscisse a est la droite passant par A dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a. Son équation réduite est : y= f ' A A f A Propriétés de la tangente: contact approimation f ' a =0 Eercice : soit f = 4 1. Donner l'équation de la tangente à C f en A d'abscisse My Maths Space Page 2/5

3 3. Fonction dérivée et sens de variation. Définition : Soit f une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si le nombre dérivé f ' eiste pour tous les nombres de I. La fonction dérivée de f est la fonction notée f ' qui, à tout de I, fait correspondre son nombre dérivé f '. Plus schématiquement, f ' : f '. Dire que f est dérivable sur I signifie que, en tout réel de I, la courbe C f admet une seule tangente de coefficient directeur f ' Fonctions dérivées des fonctions de référence : Fonction b 2 3 n a b Condition n 1, n N 0 0 Fonction dérivée 1 Théorèmes (admis) : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si f ' est positif pour tout de I, alors f est croissante sur I. Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur positif, c'est à dire que tous les nombres f ' sont positifs : la courbe «monte» donc la fonction est croissante sur I. Si f ' est négatif pour tout de I, alors f est décroissante sur I. Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres f ' sont négatifs : la courbe «descend» donc la fonction est décroissante sur I My Maths Space Page 3/5

4 Eemple d'étude de variations d'une fonction : Soit f définie sur [ 2 ;5 ] par f = 2 2. Déterminer les variations de f sur [ 2 ;5 ]. 4. Calcul de dérivées Fonction dérivée de la somme de deu fonctions : Soit u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f =u v, alors f est dérivable sur I et f ' =u ' v '. En d'autres termes, u v ' =u' v' Eemple: I =[ 0 ; [, u = et v = 3 f ' 2.. On pose f =u v. Calculer Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel. Si f =k u, alors f est dérivable sur I et f ' =k u '. En d'autres termes, k u '=k u ' Eemple: I =]0 ; [, f est définie sur I par f = Calculer f ' 2. Fonction dérivée du produit de deu fonctions : Soit u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f =u v, alors f est dérivable sur I et f ' =u' v u v'. En d'autres termes, u v ' =u' v u v' Eemple: I =R, f est définie sur I par f = Calculer f ' My Maths Space Page 4/5

5 Fonction dérivée du quotient de deu fonctions : Soit u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur I. Si f = u v, alors f est dérivable sur I et u ' v u v ' f ' = v 2. En d'autres termes, u u ' v u v' '= v v 2 Eemple: I =[2 ;10], f est définie sur I par f = Calculer f ' pour tout d e I. Cas particulier : f = 1 v ( v dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors f ' = 1 v '= v' v 2 eemple : g définie sur [0;3] par g = 1, calculer g ' pour tout de [0;3] My Maths Space Page 5/5