1 Le théorème de Pythagore

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Claude Carbonneau
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1 OJCIF du chapitre Numéro héorème de halès Pour toi G1 Connaître et utiliser le théorème de Pythagore G2 Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore G3 Connaître et utiliser le théorème de halès G4 Connaître et utiliser la réciproque du théorème de halès G5 grandir ou réduire une figure G6 Connaître et utiliser les effets d un agrandissement ou d une réduction sur les longueurs, les angles et les aires G7 avoir rédiger une démonstration en géométrie G8 ésoudre un problème de géométrie plane 1 Le théorème de Pythagore 1.1 noncé du théorème Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l angle droit. 1.2 ut du théorème Le théorème de Pythagore sert à calculer un côté d un triangle rectangle connaissant les deux autres. Cependant, l énoncé du théorème ne dépend pas du côté cherché. 1.3 Première application : calcul de l hypoténuse noncé 5? ur la figure ci-contre, le triangle FG est rectangle en F. F = 5 et FG = 7. Calculer G. On donnera sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie au dixième. F 7 G Calculons G. Dans le triangle FG rectangle en F, d après le théorème de Pythagore, Commentaires Les 3 premières lignes sont l énoncé du théorème. F 2 +FG 2 = G 2 Le sommet F de l angle droit est près du signe = G 2 On remplace les deux valeurs connues = G 2 G 2 = 74 G = 74 (valeur exacte) D après la calculatrice G = 8,6 (valeur arrondie au dixième) N. N page 1 Lycée Français Jean Giono

2 1.4 Deuxième application : calcul d un côté de l angle droit noncé 4? 7 ur la figure ci-contre, le triangle est rectangle en. = 4 et = 7. Calculer. On donnera sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie au dixième. Calculons. Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, = = = 49 2 = = 33 = 33 (valeur exacte) D après la calculatrice = 5,7 (valeur arrondie au dixième) Commentaires Cette relation ne dépend pas de la longueur cherchée. 1.5 roisième application : cas d un triangle non rectangle K noncé 3,5 3,6 ur la figure ci-contre, on donne : KL = 3,5, LM = 5 et KM = 3,6. Le triangle KLM est-il rectangle? L 5 M Vérifions si le triangle KLM est rectangle en K. Commentaires LM 2 = 5 2 = 25 [LM] est le grand côté du triangle. LK 2 +KM 2 = 3,5 2 +3,6 2 = 12,25+12,96 = 25,21 K est le sommet de l angle droit supposé. Comme LK 2 +KM 2 LM 2, le triangle KLM n est pas rectangle. 2 éciproque du théorème de Pythagore 2.1 noncé de la réciproque Dans un triangle, si la somme des carrés des deux petits côtés est égal au carré du grand côté, alors le triangle est rectangle et le grand côté est son hypoténuse. Cette égalité doit être parfaite : aucun arrondi ne peut être utilisé. 2.2 ut de la réciproque La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu un triangle est rectangle. Pour l utiliser, il est nécessaire de connaître les trois longueurs du triangle. N. N page 2 Lycée Français Jean Giono

3 N : il ne faut jamais utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur manquante pour ensuite vouloir utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. 2.3 Première application : cas d un triangle rectangle noncé 4,8 6,4 ur la figure ci-contre, on donne : = 4,8, C = 6,4 et C = 8. Montrer que C est un triangle rectangle. 8 C Montrons que le triangle C est rectangle en Commentaires C 2 = 8 2 = 64 [C] est le grand côté du triangle. 2 +C 2 = 4,8 2 +6,4 2 = 23,04+40,96 = 64 est le sommet de l angle droit supposé. Comme 2 +C 2 = C 2, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle C est rectangle en. 3 Le théorème de halès 3.1 Les configuration de halès Le triangle N La figure papillon O M ur les deux figures suivantes, les droites () et (MN) sont parallèles. Chacune des configurations fait intervenir cinq points : les quatre points situés sur les parallèles :,, M et N ; le dernier point O intersection des sécantes et très important dans l énoncé du théorème. M N O Conseil : pour une meilleure lisibilité de la configuration de halès, il sera important de mettre en couleurs les parallèles et le point d intersection des sécantes. 3.2 noncé du théorème M est sur (O) N est sur (O) (MN) // () D après le théorème de halès, OM O = ON O = MN N : il est très important de respecter cette présentation et de mettre en couleur le fameux point O. N. N page 3 Lycée Français Jean Giono

4 3.3 ut du théorème Le théorème de halès sert à calculer une longueur. Pour celà, on choisira deux des trois rapports du théorème dans lesquels on connaîtra trois longueurs et où la quatrième est la longueur à calculer. 3.4 Première application : dans un triangle L M noncé ur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. Les droites () et (LK) sont parallèles. LM = 6cm, LK = 5cm, KM = 8cm et M = 6cm. K Calculer M. Calculons M. est sur (ML) est sur (MK) () // (LK) D après le théorème de halès, M ML = M MK = LK D où M ML = M MK M = M = 6 6 M = 36 8 M = econde application : dans une figure papillon D C noncé ur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. Les droites () et (CD) sont parallèles. Les droites (C) et (D) sont sécantes en. = 3cm, D = 9cm, C = 6cm et = 5cm. Calculer CD. Calculons CD. C est sur () D est sur () (CD) // () D après le théorème de halès, C = D = CD D où D = CD avec D = D = 9 5 = 4cm 4 5 = CD 3 5 CD = 4 3 CD = 12 5 N. N page 4 Lycée Français Jean Giono

5 4 Un premier raisonnement par l absurde Comment prouver que des droites ne sont pas parallèles C noncé ur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. = 6cm, C = 4cm, C = 5cm, = 5cm et F = 4cm F Les droites (F) et (C) sont-elles parallèles? Les droites (F) // (C) sont-elles parallèles? Les droites () et (FC) sont sécantes en. Comparons les rapports F et C. D une part, = 5 6 = D autre part, F C = 4 5 = i les droites étaient parallèles, d après le théorème de halès, les rapports Comme F, les droites (UV) et (F) ne sont pas parallèles. C 5 La réciproque du théorème de halès 5.1 noncé de la réciproque et F C seraient égaux. Les droites () et () sont sécantes en. i 1. =, 2. les points, et d une part et les points, et d autre part sont alignés dans le même ordre alors () // (). N : on reprend la même structure de présentation que celle du théorème de halès. Cet énoncé est valable pour l une des deux configurations suivantes : Le triangle La figure papillon L hypothèse sur l ordre des points sert à éliminer les figures du type ci-contre pour lesquelles les rapports sont égaux alors que les droites ne sont de toute évidence pas parallèles. N. N page 5 Lycée Français Jean Giono

6 5.2 ut de la réciproque La réciproque du théorème de halès sert à prouver que deux droites sont parallèles. Pour cela, on est amené à comparer les deux rapports de l énoncé : il faut donc connaître les quatre longueurs concernées ou du moins les deux rapports. Montrer que des droites sont parallèles V G noncé ur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées. F = 6cm, G = 5cm, FG = 4cm, U = 2,4cm et V = 2cm U F Les droites (F G) et (U V) sont-elles parallèles? Montrons que les droites (FG) // (UV). Les droites (UF) et (VG) sont sécantes en. Comparons les rapports U V et F G D une part, U F = 2,4 6 = 2 5 D autre part, V G = 2 5 De plus, les points U, F et d une part et les points V, G et d autre part sont alignés dans le même ordre. Comme U F = V G, d après la réciproque du théorème de halès, (UV) // (F). 6 grandissement et réduction Définition : 1. ppliquer un agrandissement à une figure, c est multiplier les dimensions de cette figure par un nombre k supérieur à ppliquer une réduction à une figure, c est multiplier les dimensions de cette figure par un nombre k compris entre 0 et 1. Par exemple : C D est une réduction de rapportk = 0,5 d un rectanglecd de dimensions 6 cm et 8 cm ; toutes les dimensions du rectangle CD sont multipliées par 0,5. On remarque que, si les dimensions du rectangle sont divisées par 2 (c est-à-dire multipliées par 0, 5), l aire du rectangle est, elle, divisée par 4 (c est-à-dire multipliée par 0,25). D D C C Propriétés : 1. Un agrandissement (ou une réduction) conserve les angles et donc le parallélisme. 2. Lors d un agrandissement (ou une réduction), si les dimensions sont multipliées par un nombre k, alors l aire est multipliée par k 2. N. N page 6 Lycée Français Jean Giono

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