2. FONCTIONS NUMERIQUES : LIMITES - CONTINUITE.

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1 2. FONCTIONS NUMERIQUES : LIMITES - CONTINUITE. 1. DEFINITION. Etant donné un ensemble quelconque E non vide, on appelle fonction numérique sur E, toute application de E sur R. L'ensemble des fonctions de E sur R est noté F(E,R) Soit f F(E, R), le plan étant rapporté à un repère cartésien, on appelle courbe représentative de la fonction f l'ensemble (C) des points M(x,y) du plan tels que: x E, y = f(x). On dit aussi que l'équation cartésienne de la courbe (C) est y = f(x) 2. FONCTIONS BORNEES. Définition : Soit f F(E, R). Si f(e) est majoré, alors f(e) admet une borne supérieure que l'on note sup x E f(x) ou bien supf(e). Si f(e) est minoré, alors f(e) admet une borne inférieure que l'on note inf x E f(x) ou bien inf f(e). Si f(e) est majoré, on dit que f est majorée dans E. Si f(e) est minoré, on dit que f est minorée dans E. Si f est à la fois minorée et majorée, on dit que f est bornée dans E. Théorème : Si f et g sont majorées dans E et si de plus f g alors sup f(x) sup g(x) x E x E

2 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. Si f et g sont minorées dans E et si de plus f g alors inf f(x) inf g(x) x E x E Proposition : Une application f F(E, R) est bornée sur E s'il existe un réel M > 0 tel que : x E, f(x) M On note B(E,R) l'ensemble des applications bornées de E dans R. 3. FONCTIONS MONOTONES. Soit E une partie de R non réduite à un point, et F(E,R) l'ensemble des applications de E dans R. Définition : Une fonction f F(E, R) est dite croissante sur E si et seulement si (x,x') E 2, x < x' f(x) f(x' ) D'après les propriétés d'ordre dans R si f F(E, R) et si, quels que soient x et x' avec x x' dans E et on a : f(x) f(x') x x' 0, alors f est croissante sur E. Une fonction f F(E, R) est strictement croissante sur E si et seulement si (x,x') E 2, x < x' f(x) < f(x' ) Une fonction f F(E, R) est décroissante sur E si et seulement si (x,x') E 2, x < x' f(x) f(x' ) Une fonction f F(E, R) est strictement décroissante sur E si et seulement si (x,x') E 2, x < x' f(x) > f(x' ) Si une fonction f est croissante sur E ou décroissante sur E, on dit qu'elle est monotone sur E. Théorème : Soit E une partie non vide de R, alors pour toute fonction f F(E, R) strictement monotone de E sur R est une bijection de E sur F = f(e) La fonction réciproque f 1 existe : 2

3 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. (x E et y = f(x)) (x = f 1 (y) et y F) De plus f 1 est strictement monotone sur F, de même sens de variation que f (et par conséquent f et f 1 sont toutes les deux strictement croissantes ou strictement décroissantes). Dans un repère normé (O, i, j ), les courbes représentatives de f et f 1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes de coordonnées. 4. FONCTIONS PAIRES. FONCTIONS IMPAIRES. Soit f une fonction définie sur un ensemble E. f est paire si : x E, x E (E est symétrique / 0) et f( x) = f(x). En repère orthogonal, la courbe (C) admet l'axe des ordonnées Oy comme axe de symétrie et pour étudier f, il suffit de l'envisager sur E [ 0, + [ Plus généralement, la courbe (C) admet comme axe de symétrie la droite d'équation x = a si et seulement si x E, a x E, a + x E et f(a x) = f(a + x) Pour étudier f, il suffit de l'envisager sur E [ a, + [. f est impaire si : x E, x E (E est symétrique / 0) et f( x) = f(x) La courbe (C) admet l'origine comme centre de symétrie et pour étudier f, il suffit de l'envisager sur E [ 0, + [ Plus généralement, la courbe (C) admet le point de coordonnées I(a, b) comme centre de symétrie si et seulement si x E, a + x E et a x E et f(a + x) + f(a x) = 2b Pour étudier f, il suffit de l'envisager sur E [ a, + [. 5. FONCTIONS PERIODIQUES Soit f une fonction de E dans R. On dit que f est périodique de période T (ou T - périodique), si et seulement si il existe un réel T non nul tel que : 3

4 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. x E, x + T E, f(x + T) = f(x) Si T est une période pour f, tout multiple de T non nul est aussi une période pour f. Dans les cas usuels l'une des périodes positives est plus petite que toutes les autres; c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la fonction f et sera noté T. Par exemple, si a 0, les fonctions et la fonction x a cos(ax + b) et x a sin(ax + b) ont pour période 2π a x a tan(ax + b) a pour période π a Pour étudier une fonction de période T, il suffit de l'envisager sur E [ α,α+ T[avec α réel quelconque. Si (Γ) est la courbe représentative de la restriction de f à cet intervalle, la courbe (C) s'obtient en complétant (Γ) par les arcs de courbe qui s'en déduisent par les translations de vecteur kv avec V = T i + 0 j et k Z. 6. VOISINAGES DANS R D'UN POINT. Définition : Soit a R, on appelle voisinage de a dans R, toute partie de R contenant un intervalle ] a ε,a + ε [ où ε > 0. ] a ε,a + ε [ est encore appelé voisinage fondamental de a, ou boule ouverte de centre a, rayon ε. Soit a = + ; on appelle voisinage de plus l'infini dans R, toute partie de R contenant un intervalle ] A, + [, où A > 0. ] A,+ [ est encore appelé voisinage de plus l'infini dans R. Notations : a R =R {-, + } a R, on note V a ou V(a) l'ensemble des voisinages de a dans R Remarque : les voisinages sont des parties de R 4

5 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. Si a R, et si V V a alors a V mais si V V + (resp. V ) alors + V + (resp. V ) Exemples : ] 2,1 [ V(0) mais ] 1,0 ] V(0) et ] 1,1[ V(2) 7. PROPRIETES DES VOISINAGES Soit a R toute partie de R contenant un voisinage de a est un voisinage de a Soit a R, l'intersection de deux voisinages de a est un voisinage de a Soit (a,b) R 2 avec a b, il existe V V a et W V b tels que V W = 8. LA TOPOLOGIE DE R. Ouvert : On appelle ouvert de R toute partie qui est voisinage de chacun de ses points Une partie I de R est un intervalle ouvert si elle est l'une des formes suivantes : i) I = ] a,b [ = x R a < x < b ii) I = Topologie : { } ] a, + [ = { x R a < x} ou I = ],a [ = { x R x < a} iii) I = ], + [ =R On appelle topologie de R l'ensemble des ouverts de R Fermé : On appelle fermé de R toute partie de R dont le complémentaire est un ouvert de R Intérieur d'une partie : On appelle point intérieur à une partie A de R tout point x de A tel que A soit voisinage de x. On appelle intérieur de A, noté A ο, l'ensemble des points intérieurs à A : A ο = { x A A V(x) } 5

6 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. Adhérence d'une partie (ou fermeture) : On appelle point adhérent à une partie A de R tout point x de R tel que tout voisinage de x ait une intersection non vide avec A On appelle adhérence de A, notée A, l'ensemble des points adhérents de A { } A = x R X V(x),A X = Frontière d'une partie : On appelle frontière d'une partie A de R, notée Fr(A), l'ensemble des points adhérents à A et à son complémentaire Fr(A) = A (R A) Exemple Si A = [ 0,1[ alors A ο = ] 0,1 [ et A = [ 0,1 ] puis Fr(A) = { 0,1} 9. LIMITES 9.1. Limites d'une fonction en un point a. Soit f : E F (E et F parties de R), un élément a R adhérent à E et un élément L de R, on dira que la fonction f admet pour ite (ou tend vers) L quand x tend vers a si et seulement si ( Y (L)), ( X (a)) (f(x E Y) (L) ensemble des ouverts de R qui contiennent L (a) ensemble des ouverts de R qui contiennent a L R et a R, ε > 0, α> 0, x E, x a α f(x) L ε L R et a = +, ε > 0, B R, x E, x B f(x) L ε L R et a =, ε > 0, B R, x E, x B f(x) L ε L = + et a R, A R, α> 0, x E, x a α f(x) A L = + et a = +, A R, B R, x E, x B f(x) A 6

7 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. L = + et a =, A R, B R, x E, x B f(x) A Pour L =, on se ramène aux trois cas précédents en considérant la ite de ( f) Théorème : unicité de la ite Si f admet L et L' pour ites en a, alors L=L' Notations Si f admet L pour ite en a, alors on note x a f(x) = L ou a f = L ou f(x) x a L ou f(x) a L Soit f : E F (E et F parties de R), et P une partie de E soit a un point adhérent à P (a R) et un élément L de R, on dira que f tend vers L lorsque x tend vers a en restan t dans P si et ssi la restriction de la fonction f à l' ensemble P notée f P tend vers L quand x tend vers a 1) si a R et si P = ],a[ E, on dira que f a une ite à gauche au point a, égale à L, on note f(x) = L f = L x a a x<a 2) si a R et si P = E ] a, + [, on dira que f a une ite à droite au point a, égale à L, on note f(x) = L f = L x a a + x>a Conséquence directe de la définition : Si a est élément de l'ensemble de définition de f et si f admet une ite L en a, alors L = f(a), on dira que f est continue en a Remarque : f admet une ite à droite en a et une ite à gauche en a égales n'entraîne pas que f admet une ite en a. On pourrait avoir a + f = a f f(a) 7

8 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. y ] [ f (a ) 0 a x La ite d'une fonction polynôme en + et en est la même que celle de son monôme de plus haut degré. La ite d'une fraction rationnelle en + et en est la même que celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. sinx 1 cosx = 1 x 0 x x 0 x 2 = 1 2 tanx ln(1 + x) = 1 x 0 x x 0 x ln n x x + x p = 0 p > 0, n 0 x 0 + xp lnx = 0 p > 0 1 e x x 0 x e x = 1 x + x p = + =1 x xp e x = 0 p Z 10. FORMES INDETERMINEES 1 er type : 0x ; ; 2 ème type : 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 0 pour ce deuxième type et uniquement dans ce cas, utilisons u v = e vlnu avec u > 0 Forme indéterminée au voisinage de x 0 non nul, posons u = x x 0 et lorsque x x 0 alors u 0 8

9 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. Forme indéterminée au voisinage de l'infini, posons u = 1 x et lorsque x alors u FONCTIONS CONTINUES Continuité en un point. Définitions : Soit A une partie non vide de R. Une fonction f F(A,R) est dite continue au point a de A si et seulement si x a f(x) = f(a) ou si ε > 0, α > 0, x A, x a α f(x) f(a) ε Remarques : 1) si f F(A,R) n'est pas continue en a A, on dit qu'elle est discontinue en a 2) Il existe des fonctions qui ne sont continues en aucun point 3) soit f F(A,R) et a A, on dira que f est continue à droite (resp à gauche) si et seulement si f [ a,+ [ A est continue en a (resp f ],a] A ) Prolongement par continuité. Soit I un intervalle de R, x 0 I, I { x 0 } Soit f :I { x 0 } R telle que f(x) = L R x x 0 On appelle prolongement par continuité de f en x 0 la fonction g définie sur I par : x I { x 0 }, g(x) = f(x) g(x 0 ) = L Continuité sur un intervalle. Soit A une partie non vide de R, on dit que f est continue sur A, si et seulement si elle est continue en tout point de A. On note C(A,R) l'ensemble des fonctions continues sur A. 9

10 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours. 12. FONCTIONS k-lipschitzienne. (Lipschitz Allemand ) * Soit f :I R où I est un intervalle de R, et soit k R +. On dit que f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si : (x,y) I 2, f(x) f(y) kx y Proposition : Soit f :I R et k R + *. Si f est k-lipschitzienne sur I, alors f est continue sur I. Lorsque k < 1, la fonction f est dite contractante 13. PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE. Théorème : Image d'un intervalle par une fonction continue Soit I un intervalle de R, et f C(I,R), alors f(i) est un intervalle de R. Remarques : 1) Si I = [ a,b ], f(a) et f(b) ne sont pas nécessairement les bornes de f(i) L'intervalle f(i) n'est pas nécessairement du même type que I Corollaire 1 Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (α,β) I 2 tel que f(α)f(β) < 0 alors il existe au moins un réel x 0 ] α,β[ tel que f(x 0 )= 0 Corollaire 2 Toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine dans R Image d'un segment par une fonction continue. Théorème : Soit (a,b) R 2, a < b, et f continue sur [ a,b ]. Alors f( [ a,b ]) est un segment de R, c'està-dire un intervalle fermé et borné. 10

11 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limite. Continuité Cours Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Théorème : Soit f une fonction continue strictement monotone sur l'intervalle I, alors f est une bijection de I sur l'intervalle J = f(i). La bijection réciproque f 1 est continue strictement monotone de J sur I et f 1 a le même sens de variation que f. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les représentations graphiques de f : I J et f 1 :J I sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Définition : Une bijection f : I J telle que f et f 1 soient continues est appelée un homéomorphisme de I dans J. 11

12 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limites - Continuité Exercices corrigés. FONCTIONS NUMERIQUES : LIMITES - CONTINUITE. Exercices corrigés. MATH02E01. 1 Etudier la ite suivante : x 1 1 x 2 1 x 2. MATH02E x 1 x Etudier les ites suivantes : x 0 x x 1 ; 3 x 1 x 1 MATH02E03. Etudier la ite suivante : x 0 1 cosx x 2 MATH02E04. Etudier la ite suivante : x 0 sin2x 1 cosx MATH02E05. Etudier la ite suivante : x π (π 2x)tan x 2 12

13 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limites - Continuité Exercices corrigés. MATH02E06. Etudier la ite suivante : x π 3 1 2cosx π 3x MATH02E07. Etudier les ites suivantes : x 2x 3 x 2 1 x x 2 1 x MATH02E08. Etudier les ites suivantes : x + ( x2 1 x), puis x + x( x2 1 x). MATH02E09. 3 Etudier les ites suivantes : x + x3 +1 (x +1) et x + x( x + x +1 x + x 1 ). MATH02E10. Déterminer x + x + x + x x x + MATH02E11. 3 Calculer x 4 4 x +1 4 x 1 x + ( ) MATH02E12. Peut-on prolonger par continuité en 0 les fonctions : 13

14 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limites - Continuité Exercices corrigés. a) f: x a x 1+ 1 x b) g: x a x2 x x 2 + x MATH02E13. 3x + 2 Montrer, en revenant à la définition de la ite, que x + 2x 5 = 3 2 MATH02E14. Montrer sans utiliser la ite de f en 2 que la fonction f:x a x 2 + 2x + 3 est continue en x 0 = 2 MATH02E15. Montrer sans utiliser la ite de f en 1 que la fonction f : x a x 3 + 2x + 5 est continue en x 0 = 1 MATH02E16. Montrer sans utiliser la ite de f en 2 que la fonction f:x a x2 x+ 1 est continue en x 0 = 2 MATH02E17. Montrer sans utiliser la ite de f en 0 que la fonction f:x a x+ 1 x 1 est continue en x 0 = 0 MATH02E18. Vérifier la continuité en un point quelconque x 0 R de la fonction f: x x

15 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limites - Continuité Exercices corrigés. MATH02E19. Etudier la continuité de la fonction f : R R définie par f(x) = E(x) [ x E(x) ] 2. MATH02E20. * Vérifier que la fonction f: x a x 3 est lipschitzienne sur l'intervalle [ 2,3] MATH02E21. * Les fonctions suivantes sont-elles lipschitziennes? f: R R, x a x 2 g: [ 0,1] R, x a x 2 MATH02E22. Soit f la fonction définie sur ] 0,+ [ par f(x) = sin 1. Montrer que f n'a pas de ite à droite x en 0. MATH02E23. Peut-on prolonger par continuité les fonctions f et g définies sur R { 0 } par f(x) = xsin 1 x et g(x) = 1 x sin 1 x MATH02E24. La fonction f : x a xsinx admet elle une ite (finie ou non) en + Même question avec g : x a x(2 + sinx) 15

16 SOLUTION MATH02E01 Forme indéterminée " " Réduisons au même dénominateur 1+ x 2 x 1 1 x 2 = x 1 x 1 (1+ x)(1 x) = 1 x x =

17 SOLUTION MATH02E02 Formes indéterminées " 0 0 " Pour la première ite : utilisons la quantité conjuguée et donc l'identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) [ ] [ 1+ x + 1 x ] [ ] 1 + x 1 x L 1 = x 0 x 1+ x + 1 x (1+ x) (1 x) = x 0 x 1+ x + 1 x [ ] = x x + 1 x [ ] = 1 Pour la deuxième ite : utilisons la quantité conjuguée et donc les identités remarquables x 1 a 2 b 2 = (a b)(a + b) et a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) x 1 [ 3 x 1 = x 1] x ) [ x + 1] (x 1) ( 3 x ) [ x +1] x 1 3 x 1 ) = 3 x + 1 x 1 (x 1) x +1 2 [ ] ( x [ ][ x + 1] ( 3 x [ ] = [ ] 17

18 SOLUTION MATH02E03 Forme indéterminée " 0 0 " Utilisons la quantité conjuguée et donc l'identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) 1 cosx x 0 x 2 puisque x 0 1 cosx x 2 = 1 2 [ ][ 1+ cosx] [ cosx] 1 cosx = x 0 x = x 0 1 cosx x 2 [ 1 + cosx ] =

19 SOLUTION MATH02E04 Forme indéter minée " 0 0 " On multiplie par la quantité conjuguée x 0 sin2x 1 cosx = x 0 sin2x( 1+ cosx) = x 0 sinx Si x > 0 alors Si x < 0 alors sin2x 1 cosx sin2x( 1+ cosx) = x 0 + sinx 2 x 0 + sin2x( 1 + cosx) = x 0 sinx 2 x cosx 1 + cosx = sin2x( 1+ cosx) sin2x( 1 + cosx ) x 0 1 cos 2 = x x 0 sin 2 x sin2x ( 1+ cosx) 2x sinx = 2 2 x sin2x ( 1+ cosx) 2x sinx = 2 2 x L'expression admet une ite à gauche et une ite à droite, mais ces deux ites ne sont pas égales donc x a sinx 1 cosx n'admet pas de ite en 0 Remarque : on peut aussi utiliser les formules de l'angle moitié sinu = 2sin u 2 cos u 2 et 1 cosu = 2sin 2 u 2 19

20 SOLUTION MATH02E05 x π 2 (π 2x)tan x Forme indéter minée "0x " Pour se ramener à un voisinage de 0, posons t = π 2 x = t ou x = π 2 t, x π 2 tant puisque t 0 t (π 2x)tanx = ( π π+ 2t)tan( π t 0 2 t ) = 2t t 0 tant = 2 = t 0 sint 1. t cost =1 20 dpic - inpl -- mars 1999

21 SOLUTION MATH02E06 Forme indéterminée " 0 0 " 1ère méthode : Effectuons la translation x π 3 = h ou x = π 3 + h pour ramener la recherche de la ite dans un voisinage de π 3 à un voisinage de 0. x π 3 1 2cosx π 3x π 1 2cos( = 3 + h) h 0 π 3( π 3 + h) 1 cosh+ = h 0 3h 3 sinh en utilisant cos(a + b) = cosacosb sinasinb 1 cosh + h 0 3h h 0 sinh puisque h 0 h 3sinh 3h = cosh =1 et h 0 h 2 = cosh h = h 0 h h 0 2 = 0 2ème méthode : utilisons la définition de la dérivée(voir UMN3) f'(x 0 ) = x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 x π 3 1 2cosx π 3x 2( 1 = 2 cosx) 2(cosx 1 x π 3( π = 2 ) 3 3 x) x π 3(x π = ) 3 x π 3 cosx 1 2 x π 3 On reconnaît le nombre dérivé de x a cosx en π 3 x π 3 1 2cosx π 3x = 2 3 ( sin π 3 ) = 2 3 ( 3 2 ) =

22 SOLUTION MATH02E07 Rappel : X 2 = X = X si X 0 X si X < 0 x x 2x 3 x 2 1 Forme indéter minée " " 2x 3 x 2 1 = x 2x 3 x 2 (1 1 x 2 ) = x x(2 3 x ) ( x) 1 1 x 2 (2 = x 3 x ) 1 1 x 2 = 2 x x x 2 1 x 4 +1 x 2 1 x 4 +1 = x "Forme indéter minée " " x 2 (1 1 x 2 ) x 2 (1 1 x 4 (1+ 1 = x 2 ) x 4 ) x x =1 x 4 22

23 SOLUTION MATH02E08 ( x + x2 1 x) Forme indéterminée " " Utilisons la quantité conjuguée x( x + ( x + x2 1 x) = x + 1 x x = 0 x2 1 x) Forme indéterminée "0x " Utilisons aussi la quantité conjuguée x( x + x2 1 x) = x + x x 2 1+ x = x x + x 1 1 = 1 x

24 SOLUTION MATH02E09 3 x + x3 +1 (x +1) Forme indéter minée " " 3 x + x3 x 3 +1 (x +1) 3 +1 (x +1) = x + 3 (x 3 +1) (x 3 +1) (x +1) + (x +1) 2 x + x 2 ( 3 3 x ) x 2 (1 1 x 3 )2 + 3 (1+ 1 x 3 )(1+ 1 x ) + (1+ 1 x )2 = 1 x + x( x + x +1 x + x 1 ) x + = x + x + x(x + x +1 x x 1) x + x +1 + x + x 1 x(x +1 x +1) x 1+ 1 x + 1 x x 1 x 2 + x x x x( x + x +1 x + x 1 ) =

25 SOLUTION MATH02E10 x + x + x + x + x x Forme indéter minée " " x + x + x + x x = x + x + x + x + x + x x x + x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x + x = x + x x + 1 x 3 x( 1+ 1 x + 1 x x 7 +1) =

26 SOLUTION MATH02E11 Rappels : a 4 b 4 = (a 4 b 4 )(a 4 + b 4 ) 1 1 (a 4 + b 4 ) 1 1 = (a 2 b 2 ) 1 1 (a 4 + b 4 ) a 2 b 2 = (a 2 b 2 )(a 2 + b 2 ) 1 1 (a 2 + b 2 ) = a b 1 1 (a 2 + b 2 ) 3 x 4 x +1 x +1 x + 4 x x 1 [ ] [ x x 1] 3 x 4 2 x + 1 x = 1 x x x x x 26

27 U.M.N. 2. Fonctions numžriques. Limites - ContinuitŽ Solutions. SOLUTION MATH02E12 a) f(x) = x x + 1 x alors ] [ ] [ (x + 1) si x 1, 0 = (x + 1) si x 0,+ f(x) = 1 et f(x) = 1 x 0 x 0 + f n'est pas prolongeable par continuitž en 0. NŽanmoins, on peut prolonger f par continuitž ˆ droite en posant f ~ (0) = 1 ou ˆ gauche en ~ posant f ( 0) = 1 b) g(x) = x2 x x 2 + x = x + 1 x 1 x 1 x + 1 si x ],0[ si x ] 0,+ [ alors g(x) = 1 et g(x) = 1 + x 0 x 0 On peut prolonger g par continuitž en 0 en posant g ~ (0) = 1 dpic Ð inpl Ð mars 1999

28 SOLUTION MATH02E13 Pour tout x 5 2, +, nous avons 3x + 2 2x = 19 2(2x 5) Si on se donne ε > 0, on cherche A R tel que x 5 2,+ donc que x 5 ou x 2ε 4ε Nous pouvons donc choisir A = 19 4ε alors x A 3x + 2 2x = 19 2(2x 5) ε 28

29 SOLUTION MATH02E14 f(2) =11 f définie sur un voisinage de 2, par exemple [ 1,3 ] est continue en x 0 = 2 ε 0, α> 0 tel que x [ 1,3 ], x 2 α f(x) f(2) ε x [ 1,3 ] f(x) f(2) = f(x) 11 = x 2 + 2x 8 = (x 2)(x + 4) = x 2 x x 3 1 < x 2 1 x x 3 5 < x x d'où x 2 x + 4 7x 2 ε On peut choisir α = min(1, ε 7 ) ce qui prouve la continuité de f en x 0 = 2 REMARQUE : Il n'y a pas unicité du nombre α puisque l'on peut envisager un autre voisinage de 2 29

30 SOLUTION MATH02E15 f(1) = 8 f définie sur un voisinage de 1, par exemple [ 0,2 ] est continue en x 0 = 1 ε 0, α> 0 tel que x [ 0,2 ], x 1 α f(x) f(1) ε f(x) f(1) = f(x) 8 = x 3 + 2x 3 = (x 1)(x 2 + x + 3) = x 1 x 2 + x + 3 x [ 0,2 ] En appliquant l'inégalité triangulaire x 2 + x + 3 x 2 + x = 9 donc x 1 x 2 + x + 3 9x 1 ε On peut choisir α = min(1, ε 9 ) ce qui prouve la continuité de f en x 0 = 1 30

31 SOLUTION MATH02E16 f(2) = 4 3 f(x) f(2) = f(x) 4 3 = x2 x = 3x2 4x 4 3(x +1) = x 2 3x + 2 3x +1 On choisit comme voisinage de 2 arbitrairement [ 1,3 ] soit x [ 1,3 ] 2 x +1 4 et x soit 1 x x et 3x f(x) x 2 ε On peut choisir α = min(1, 6ε 11 ) ce qui prouve la continuité de f en x 0 = 2 31

32 SOLUTION MATH02E17 La fonction f(x) = x+1 x 1 f(x) f(0) = f(x) 1 = x +1 x 1 +1 = est définie sur R { 1} et f(0) =1 2x x 1 = 2 On ne peut pas prendre x < 1 à cause du facteur x x 1 1 x 1 On choisit comme voisinage de 0 arbitrairement 1 2, 1 2 alors 3 2 x x et 2 x x 1 4x ε On peut choisir α = min( 1 2, ε 4 ) ce qui prouve la continuité de f en x 0 = 0 32

33 SOLUTION MATH02E18 La fonction g : x a x est continue sur R et la fonction h : x a x 2 1 est continue sur R La fonction composée f = gοh est continue sur R et la fonction f: x x 2 1 est continue en tout point x 0 R 33

34 SOLUTION MATH02E19 f est continue sur R Z en effet f(x) = n (x n) 2 si x [ n,n +1[ n Z et f est continue sur chaque intervalle ] n,n +1[ n Z Etudions maintenant la continuité de f en n Soit n Z Si x n + alors E(x) = n et f(x) = n (n n) 2 = n Si x n alors E(x) = n 1 et f(x) = (n 1) (n (n 1)) 2 = n 2 et donc f est discontinue pour x Z 34

35 SOLUTION MATH02E20 On a, pour x et x' dans l'intervalle [ 2,3 ] [ ] f(x) f(x' ) = x 3 x' 3 = x x' x 2 + xx' +x' 2 x x' x 2 + x x' + x' 2 f(x) f(x' ) x x' [ ] = 27x x' La fonction f est donc 27-lipschizienne sur l'intervalle [ 2,3 ] car: x x' ε f(x) f(x') ε 27 35

36 SOLUTION MATH02E21 Si x et y sont deux réels distincts, on a f(x) f(y) x y = x + y et ce rapport peut être rendu aussi grand que l'on veut en fixant par exemple x=0 et en faisant tendre y vers + donc la fonction f n'est pas lipschitzienne g(x) g(y) En revanche si x et y [ 0,1 ] avec x y, on a 0 = x + y 2 x y et la fonction g est 2-lipschitzienne. Remarque : Ce rapport 2 est le meilleur rapport de Lipschitz possible en prenant x = 1 1 n et y = 1 2 n { } = 2 alors sup x + y;(x,y) [ 0,1 ] 2,x y 36

37 SOLUTION MATH02E22 Si la fonction f admettait une ite L en zéro, pour toute suite (u n ) de nombres réels non nuls convergeant vers zéro, on aurait n + f(u n ) = L 1 Soit pour tout entier n, u n = π 2 + nπ u n = 0 et f(u n ) = sin(π + nπ) = ( 1)n n + 2 La suite f(u n ) n'admet pas de ite quand n + donc f n'admet pas de ite lorsque x

38 SOLUTION MATH02E23 x R { 0 } alors 0 xsin 1 x x et donc x 0 (xsin 1 x ) = 0 On considère la fonction ϕ définie par ϕ(x) = xsin 1 x si x 0 0 si x = 0 ϕ est le prolongement par continuité de f sur R g(x) = 1 x sin 1 x 1 Considérons la suite définie sur N par x n = π 2 + nπ alors x n = 0 et g(x n ) = (π n nπ)sin( π 2 + nπ) = ( 1)n ( π 2 + nπ) g(x n ) n'admet pas de ite lorsque n + et g(x) n'admet pas de ite lorsque x 0 La fonction g n' est pas prolongeable par continuité en 0 38

39 SOLUTION MATH02E24 Soit f(x) = xsinx posonsx n = nπ+ π 2. On a f(x 2n ) = x 2n qui tend vers + et f(x 2n+1 ) = x 2n +1 qui tend vers donc f n' admet pas de ite en + g(x) = x(2 +sinx) pour tout x > 0, g(x) x et donc g(x) = + x + 39

40 U.M.N. 2. Fonctions numériques. Limites. Continuité. Exercices supplémentaires. FONCTIONS NUMERIQUES : LIMITES - CONTINUITE. Exercices supplémentaires. MATH02S01. Déterminer le prolongement par continuité de la fonction définie sur R { 0} par f(x) = 1 [ 2x 2 (1+ x)n 1 nx] où n 2 MATH02S02. Montrer que la fonction définie pour tout x R par f(x) = cos 1 x n'admet pas de ite quand x tend vers 0. 40